小专题椭圆----斜率之积是定值-

O

x

y

P

A

B

椭圆一个性质的应用

性质 如图1，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线

PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值2

2b a

-．

证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．

所以122

22=+b

y a x ①

12

2

1

22

1=+b y a x ② 由①－②得2

2

1

222

12b

y y a x x --=-， 所以22

2

1

22

12a b x x y y -=--， 所以222

111222111PA PB

y y y y y y b k k x x x x x x a

-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质

属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．

一、证明直线垂直

例1 如图2，已知椭圆22

142

x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭

圆于点P ．求证：MO PB ⊥．

证明 设(2,)M y ，由性质知1

2

PA PB

k k ⋅=-，即

1

2

MA PB k k ⋅=- ③

图1

图2

直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2

MO y y k a ==， 所以1

2

MA MO k k =

④ 将④代入③得1MO PB k k ⋅=-，

所以MO PB ⊥．

例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2．

证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．

由性质知12

22PA PA b k k a ⋅=-，即1222MA NA b k k a ⋅=-，所以222211a

b a x y a x y -=-⋅+ ⑤

1222QA QA b k k a ⋅=， 即2122MA NA b k k a ⋅=-，所以221122a

b a x y a x y -=-⋅+ ⑥ 比较⑤与⑥得

1221()()()()x a x a x a x a +-=+-，

所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =．

所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2．

二、证明直线定向

例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 2

3＝1

上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在．

求证：直线MN 的斜率为定值．

证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ⋅=-

，即1

2MA NB k k ⋅=-， 12DA DB

k k ⋅=-，即1

2

NA MB k k ⋅=-．

所以

111222N M M N y y x x +-⋅=--+，1

1(224)2

M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦

x

y A

O

B C

D

M

N 图4

图3

111222N M M N y y x x -+⋅=-+-，1

1(224)2

M N M N M N M N y y y y x x x x -+-=--+- ⑧

由⑦－⑧得()M N M N y y x x -=--

所以1MN k =-，即直线MN 的斜率为定值1-．

三、证明点的纵坐标之积为定值

例4 如图5，已知椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1，过椭圆C 的右焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，

B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线P A ，PB 分别交椭圆

C 的右准线l 于M ，N 两点． 记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，求证：y M ·y N 为定值．

证明 当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9.

当直线AB 的斜率k 存在时，由性质知k P A k ＝－34，所以k P A ＝－3

4k .

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， 所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－3

4k (x ＋x 2)，

因为右准线l 的方程为4x =， 所以y M ＝－3

4k

(x 2＋4)－y 2，

因为,,A F B 三点共线，所以直线AB 的斜率k ＝y 2

(x 2－1).

所以y M ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)

4y 2

－y 2.

因为直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2

x 2.

所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22

x 2

.

又因为x 224＋y 223

＝1，所以4y 22＝12－3x 2

2， 所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)＋4－x 22x 2＝－9，

所以y M y N 为定值－9.

图5