chapt10-_球谐函数(4学时)
球谐分析
球谐分析，带谐，田谐，瓣谐球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度如重力位可表示为：带谐系数：coefficient of zonal harmonics地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points on the sphere where.Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zer os of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated Legendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudin al direction, the trigonometric sin and cos functions possess 2|m| zeros.When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harm onic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.When ℓ= |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referred to as sectoral.For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral. More general spherical harmonics of degree ℓare not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal sets can be of a fairly general kind.[10]360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
球谐函数表
球谐函数表
球谐函数表是一种数学工具，用于描述球体上的函数。
球谐函数表将球体上的函数分解为一系列基本的函数，这些函数称为球谐函数。
球谐函数在物理学、化学、地球科学等领域中有广泛的应用。
球谐函数表通常包含了一系列球谐函数的值和公式。
这些函数可以用来描述球体上的各种物理量，例如温度、压力、电场、磁场等。
球谐函数表中的函数可以通过计算机程序进行计算，因此在实际应用中非常方便。
球谐函数表中的函数是通过对球体上的函数进行分解得到的。
这种分解方法称为球谐分解。
球谐分解是一种将球体上的函数分解成一系列基本函数的方法，这些基本函数称为球谐函数。
球谐函数的特点是它们在球体上具有对称性。
球谐函数表在物理学、化学、地球科学等领域中有广泛的应用。
例如，在化学中，球谐函数可以用来描述原子轨道的形状；在地球科学中，球谐函数可以用来描述地球表面的形状和重力场。
因此，球谐函数表是一种非常重要的数学工具。
球谐函数
第九章 球谐函数Page 1 of 38第九章 第九章 球谐函数 128.〕球谐函数的数学理论曾被当作若干专著的主题。
有关这一课题的最 完备的著作，E．海恩博士的《球谐函数手册》(Handbuch der Kugelfunctionen)现在(1878)已经出了两卷本的第二版，而F．诺依曼博士也 发表了他的《关于球谐函数理论的论著》(Beitrge zur Theorie der Kugelfunctionen，Leipzig，Teubner，1878)。
汤姆孙和泰特的《自然哲学》 中对这一课题的处理在第二版(1879)中得到了颇大的改进，而陶德洪特先生的 《关于拉普拉斯函数、拉梅函数和贝塞耳函数的初等论著》(Elementary Treatise on laplace’s Functions，Lamé’s Functions，and Bessel Functions)以及弗勒尔斯先生的《关于球谐函数及其有关问题的初等论著》 (Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subject connected with them)已经使得没有必要在一部关于电的书中在这一课题的纯数学的发展 方面花费太多的篇幅了。
然而我却保留了用它的极点来对球谐函数作出的确定。
论势在那里变为无限大的奇点 论势在那里变为无限大的奇点 在那里变为 129.〕如果一个电荷A 均匀地分布在中心座标为(a，b，c)的一个球面上， 则由第125节可知，球外任一点(x，y，z)上的势是0式中r ＝(x-a) +(y-b) +(z-c) ．(2) 由于V的表示式不依赖于球的半径，这个表示式的形式就将是相同的，如 果我们假设半径为无限小的话。
表示式的物理诠释将是，电荷A 是放在一个无 限小的球的表面上的，这个小球近似地和一个数学点相同。
我们已经证明（第 55，81节）电的面密度有一个极限，从而在物理上是不可能把一个有限的电荷 放在半径小于某值的一个球上的。
球谐函数表
球谐函数表
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这里列出球谐函数 ，以方程式表示为
；
其中， 为正值整数， 为小于或等于 的正值整数， 是伴随勒让德多项式，以方程式表示为。
表内有些方程式也给出直角坐标版本。
球坐标与直角坐标之间的变换关系是
、
、。
目录
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特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数(课堂PPT)
1 (x2 1)l 1 l
l!
l
(x2 )lk (1)k (1)k
1
x 2l 2k
2l l!
2l l! k0 (l k)!k!
k0 2l k!(l k)!
11
把上式对x求导 l 次．凡是幂次 (2l 2k) l 的项在
l 次求导过程中成为零，所以只需保留幂次 (2l 2k) l
[
l 2
]
(1)k
k 0
2l
k
(2l !(l
2k)! k)!(l
2k
)!
xl
2
k
Pl (x).
12
3.勒让德多项式的积分表示
根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f (l) (z) l!
f ( ) d
2πi C ( z)l1
容易证明微分表示（4.1.10）也可表示为环路积分形式
的项，即
k l 2
的项，应取
kmax
[l ] 2
，并且注意到
dl x2l2k (2l 2k)(2l 2k 1) [2l 2k (l 1)]xl2k dxl
因此有
1
dl
(x2 1)l
[
l 2
]
(1)k
(2l
2k )(2l
2k
1)
(l 2k 1) xl2k
2l l ! dxl
k 0
2l k !(l k)!
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2n1 (0) 0
（4.1.8）
l 2n （即为偶数）时．，则 P2n (x) 含有常数项，即
（4.1.7）中 k l 2 n 的那一项，所以
球谐函数编码
球谐函数编码球谐函数编码是一种用来描述三维空间中与球对称的函数的数学工具。
它在许多领域中被广泛应用，如计算机图形学、物理学、地球物理学等。
本文将介绍球谐函数编码的原理和应用，并讨论其在计算机图形学中的重要性。
首先，让我们来了解球谐函数的定义。
球谐函数是在单位球面上定义的函数，它们满足拉普拉斯方程，形式上可以表示为Y(l, m)(θ, φ)，其中l和m为整数，θ和φ为球坐标系中的角度。
球谐函数具有很多有趣的性质，比如正交性和归一化性。
正交性意味着不同的球谐函数在单位球面上是正交的，归一化性是指每个球谐函数在单位球面上的模长为1。
这些性质使得球谐函数可以用来表示球对称的函数。
球谐函数编码的原理是将一个三维函数在单位球面上展开为球谐函数的线性组合。
对于一个给定的三维函数，我们可以将其在球坐标系中表示，并计算相应的球谐系数。
这些球谐系数就是球谐函数编码的结果，它们可以用来重构原始函数。
由于球谐函数的正交性，我们可以使用较少的球谐系数来近似表示一个三维函数，从而实现数据压缩的效果。
在计算机图形学中，球谐函数编码被广泛应用于环境光照的表示和计算。
环境光照是指来自环境中的间接光照，它对物体的渲染和表面细节起到重要的作用。
传统的环境光照模型通常使用立体角积分来计算光照贡献，这种方法计算复杂且耗时。
而球谐函数编码可以将环境光照表示为几个球谐系数的线性组合，从而简化了计算过程。
通过使用球谐函数编码，我们可以高效地计算和渲染复杂的光照效果。
除了环境光照，球谐函数编码还可以应用于球面形状的表示和变形。
通过将球面形状表示为一组球谐系数，我们可以对形状进行压缩和变形。
这对于动画和游戏开发十分有用，可以减小数据的存储和传输开销，并实现高效的形状变形效果。
总结起来，球谐函数编码是一种用来描述三维空间中与球对称的函数的数学工具。
它具有正交性和归一化性的特性，可以用来表示球对称的函数。
在计算机图形学中，球谐函数编码被广泛应用于环境光照的计算和表示，以及球面形状的压缩和变形。
球谐函数小结
球谐函数小结
球谐函数是描述球面上的函数，球面上的函数可以表示为一组基函数的线性组合，球谐函数是一组正交归一的基函数。
球谐函数在物理学和数学中有广泛的应用，特别是在量子力学、电磁学和地球物理学中。
球面上的函数可以表示为球谐函数的线性组合，球谐函数是一个连续谱，其参数为两个整数l和m，其中l表示角向量的长度，m表示角向量的方向。
球谐函数是通过对球面上的函数进行积分得到的。
球谐函数满足正交归一性的特性，即两个不同的球谐函数的内积为0，同一个球谐函数的内积为1。
这使得球谐函数可以用于展开球面上的函数，类似于傅里叶级数可以用于展开周期函数。
球谐函数具有良好的旋转不变性，即对球面上的旋转操作保持不变，这是由于球谐函数是由球面上的函数通过积分得到的。
这一特性使得球谐函数在物理学中有广泛的应用，特别是在描述自旋和轨道角动量的量子力学问题中。
球谐函数在电磁学中的应用包括描述电磁波的传播和散射，以及描述电磁场的边界条件。
球谐函数在地球物理学中的应用包括描述地球重力场和地球磁场的分布。
球谐函数还在计算机图形学中有广泛的应用，特别是在渲染和图像处理中。
球谐函数可以用于描述光照和材质的反射性质，
用于计算全局光照和间接光照的效果。
球谐函数也可以用于图像压缩和图像编辑等任务。
总结起来，球谐函数是一组正交归一的基函数，用于描述球面上的函数。
球谐函数具有正交归一性、旋转不变性和良好的连续性等特性，广泛应用于物理学、数学、计算机图形学等领域。
通过对球谐函数的理解和应用，可以更好地理解和解决与球面上的函数相关的问题。
chapt10-_球谐函数(4学时)解析
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（10.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
2018/10/16 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
l! ( z) 2πi
f ( ) C ( z)l 1 d
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
l 2n l 2n 1 ( n 0,1,2, )
l 2, 式中 [l 2] (l 1) 2,
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式． 也称为第一类勒让德函数．
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR （10.1.1） 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr R( r ) Ar l Br ( l 1)
Pn ( x) 的零点互相分离．
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
工程数学2010-CH10-勒让德多项式和球谐函数-2010
若y (0) = c0 , y′(0) = c1 已知, 则 (−l )(l + 1) c2 = c0 , 2 ⋅1 (2 − l )(l + 3) c4 = c2 4⋅3 (2 − l )(−l )(l + 1)(l + 3) = c0 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
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试解 R = r m 代入欧拉型方程 r 2 R′′ + 2rR′ − l (l + 1) R = 0 得
[ m(m − 1) + 2m − l (l + 1)] r m = 0
即 m(m + 1) − l (l + 1) = 0 解得m1 = l , m2 = −(l + 1). 由此得R (r )的通解 R (r ) = Ar + B
k =0 ∞
(2k − 2 − l )(2k − 4 − l ) ⋅⋅⋅ (−l )(l + 1)(l + 3) ⋅⋅⋅ (l + 2k − 1) . uk = (2k )! 对级数 y1 (±1) = ± ∑ vk ,
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Θ = 0
球 坐 标 下 的 薛 定 谔 方 程
v 根据量子力学, 质量为m的微观粒子在势场V (r )中的 行为由薛定谔(Schrodinger)方程给出 h2 2 ∂ψ v ih =− ∇ ψ + V (r )ψ 2m ∂t h r 其中ψ ( r , t )为粒子的波函数,h = , h为普朗克常数. 2π v v 若V (r ) = V ( r ) = V ( r ), 可以在球坐标下分离变量. 令 v ψ (r , t ) = ψ ( r ,θ , ϕ , t ) = R (r )Y (θ , ϕ )T (t ) 代入薛定谔方程, 得到
chapt10- 球谐函数(4学时)
(n l ) (n l )
当 n l 时满足
1
1
Pn ( x)Pl ( x) dx 0 ，
(10.2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1
1
Pl ( x)dx
2
2 2l 1
(l 0,1, 2,)
(10.2.4)
2012-6-3
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
例10.2.3 以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把
f ( x) 2 x 3x 4
3
展开为广义傅里叶级数．
【解】 本例不必应用一般公式 ，事实上， f ( x) 是三次多项式（注意 设它表示为
2 x 3 x 4 Cn Pn ( x)
3 n 0 3
f ( x) 既非奇函数，也非偶函数），
（10.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
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3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
( z)
2πi
C1
C3 7
3
2
1 1
1
1
x P1 ( x)dx
3
3
2
1 1
1
1
x xdx
3
3 5
2 5
2
3
x P3 ( x)dx
3
7
波函数 球谐函数
波函数球谐函数引言波函数是量子力学中描述粒子行为的主要数学工具，它包含了粒子在空间中的波动性质。
球谐函数是一类特殊的函数，广泛应用于物理学领域，尤其是描述球对称系统的量子力学问题。
本文将深入探讨波函数和球谐函数的基本定义、性质以及应用。
什么是波函数波函数（Wave Function）是描述一个粒子在时空中运动的数学函数。
它是量子力学中最基本的概念之一，可以用来计算粒子的位置、动量以及其他物理量的期望值。
波函数一般用Ψ来表示，其形式为Ψ(x, t)，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的物理意义可以通过波粒二象性来理解。
在经典物理学中，粒子被视为具有确定的位置和动量，而在量子力学中，粒子却同时具有波动性质和粒子性质。
波函数描述了粒子的波动性质，而根据波函数的模的平方，可以得到粒子在空间中的概率分布。
波函数的平方的积分即为1，表示粒子存在的概率为100%。
当波函数为实数时，表示粒子的运动态势；当波函数为复数时，则还包含了粒子的相位信息。
球谐函数的定义球谐函数（Spherical Harmonics）是解偏微分方程的一组特殊函数。
在量子力学中，球谐函数被广泛应用于描述具有球对称性质的物理系统，如电子在原子核周围的运动。
球谐函数一般用Y(l, m)来表示，其中l和m分别是球谐函数的量子数。
l代表轨道角量子数，取值范围为0、1、2、…；m代表磁量子数，取值范围为-l到l。
球谐函数的表达式相对复杂，通常用勒让德多项式和指数函数来表示。
球谐函数具有正交归一性，即不同的球谐函数之间满足正交关系，归一性表明在球面上对球谐函数的积分为1。
球谐函数的性质使其成为量子力学中的重要工具，可以用来表示粒子的波函数、求解薛定谔方程以及描述角度分布等。
波函数和球谐函数的关系波函数和球谐函数存在密切的关系。
具体来说，波函数可以用球谐函数展开，从而得到粒子在空间中的波动性质。
这种展开的过程叫做球谐函数展开。
球谐函数展开的数学表达式为：Ψ(x, t) = ∑(C(l, m) * Y(l, m))，其中C(l, m)为展开系数，表示波函数在不同的球谐函数上的投影。
球谐函数表达颜色
球谐函数表达颜色
球谐函数是将球面上的函数分解为一组基函数的累加，其中基函数由勒让德多项式得到。
对于球面坐标系上的函数，如果用颜色来描述，可以尝试使用球谐函数来表示。
例如，可以使用蓝色表示正数，黄色表示负数。
具体而言，可以尝试使用球谐函数的基函数来表示颜色，例如，可以使用基函数的旋转不变性和正交性等性质来描述颜色的变化和分布。
以上内容仅供参考，建议查阅关于球谐函数的书籍或咨询数学领域专业人士获取更准确的信息。
第四章-特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数PPT课件
[l]
Pl(x)k20(1)k2lk!((l2lk)2!(kl)!2k)!xl2k （4.1.7）
上式中[l/2]表示不 大于l/2的最大整数
[2l]l22l1,,
l 2n l 2n1
(n0,1,2,)
上式具有多项式的形式，故称 P l ( x ) 为 l 阶勒让德多项式．
勒让德多项式也称为 第一类勒让德函数．
(nl) (nl)
当 n
l
时满足
1
1Pn(x)Pl(x)d，x0
(4.2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
N l 1 1P l2(x)dx2l2 1 (l0,1 ,2, )
(4.2.4)
下面给出公式（4.2.2），及其模(4.2.4)的证明
【证明】 （1）正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程(4.1.6)，故有
Pn (cos) ，这时有
f(cos) CnPn(cos) n0
(4.2.7)
其中系数为 (注意积分上、下限)
C n2 n 2 1 0 πf(c o s)P n(c o s)sin d （4.2.8）
4.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）
例4.2.1 将函数 f (x) x3 按勒让德多项式形式展开.
再进行 l 次分部积分，即得
Nl22(2 l(1 l)!l)2
1(x21)l d2l(x21)l dx
1
dx2l
(x2 1)l 是 2l 次多项式，其 2l 阶导数也就是最高幂项
x 2 l 的 2l 阶导数为 (2l )! ．故
N l2(1)l 22 (l2 (ll)!!)2
1(x1)l(x1)ldx
注意到 (x2 1 )l(x 1 )l(x 1 )l以 x1 为 l 级零点，
第二讲 球谐函数及其性质
第二讲球谐函数及其性质
周亚军
【期刊名称】《干旱气象》
【年(卷),期】1995(000)002
【摘要】第二讲球谐函数及其性质周亚军对于全球或半球的大气环流模式来讲，采用球面曲线坐标系比较方便。
这个坐标系下的一组大气运动方程组解，通常有两种方法，一是大家熟悉的有限差分法（或称网格法），二是谱方法。
众所周知，在网格法中存在着“极区问题”，只有经过各种处理...
【总页数】3页(P47-49)
【作者】周亚军
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.小波变换及其工程应用（连载）：第二讲小波系数的性质及变换算法 [J], 朱继梅
2.第二讲物质的性质和变化 [J], 石会朝
3.小学数学教学大纲讲座第二讲浅谈小学数学的学科性质 [J], 李生哲
4.第二讲整数性质的初步应用 [J], 梁学友
5.《档案法》及其实施办法讲座——第二讲《档案法》的性质、地位、特点 [J], 胡元潮
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数学物理方法课件(北师大版)10
• 例8. 计算定积分Iℓ=(2ℓ+1) ∫10xPℓ(x)dx. p240
(k 1) (k 1)
§10.2 连带勒让德函数
（一）连带勒让德的函数满足的方程(m≠0)：
2 2 d d m (1 x 2 ) 2 2 x [l (l 1) ] 0. 2 dx dx 1 x • x0=0是方程的常点，可以用常点的级数解法。
是完备的，因此可以作为广义傅里叶级数的基，把定义在 区间[-1,1]上的函数展开：
f ( x) f l Pl ( x),
l 0
2l 1 1 fl f ( x) Pl ( x)dx, 1 2
或
f ( ) f l Pl (cos ),
l 0
2l 1 fl f ( ) Pl (cos ) sin d . 0 2
• 系数递推公式：
ak 2
(k l )(k l 1) ak (k 2)(k 1)
• 一般选取最高幂次x ℓ的系数为aℓ=(2 ℓ)!/2 ℓ(ℓ!)2. • 最终得到ℓ阶勒让德多项式的表达式为：
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l x l 2 k . 2 k!(l k )!(l 2k )! k 0
• 球谐函数是拉普拉斯方程的两个角向本征函数的组合。
（二）正交关系（对所有的m和ℓ ）
m n * m n im in Y ( , )[ Y ( , )] sin d d P (cos ) P (cos ) sin d e e d l k l k 0 0
m 2
可以证明：Pℓm(x)和 Pℓ-m(x)线性相关！
球谐函数
从（29）式显而易见得出
是一个 阶 次并且维数为 的相伴勒让德函数。从引理11我们可以看出除去乘法中的一个常量，这个就等于
如下立即从定理7中得出这个积分与 成比例，所以 是一个 阶 次并且维数为 的相伴勒让德函数。
现在考虑下方程
于是 ，且定理6中
定理7：（拉普拉斯形式）
如果考虑 ，类似的我们可以得到更进一步的球面调和函数的表现形式。若令 则变为 维空间中 次球面调和函数，形如： ，根据定理6，这里有
，
也可以写成
相伴Legendre函数
为了得到正交系下球面调和函数的显式形式现介绍
定义4：假设 上的点表示为形式
定义 被称作 阶 次的相伴勒让德函数并且维数为 ，如果
为了决定 ，设 并且
由于
我们得到
=
这就得到
引理12：设 和 是 中任何两个点，并假设 在区间 连续。那么
这里
从引理7我们现在得到 的乘法和关于 的积分。
定理6：（funk-hecke formula）假设 在区间 连续，那么对每一个n维球面调和函数
都有
球面调和函数的积分形式
为了清晰可见，我们把下面的 维空间中 阶球面调和函数记为 和 维空间中 次Legendre多项式记为 。
由定义我们设 ，接着我们有 。
如果向量 可以构成一个正交系，我们可以用
<1>
来表示 上的点,而 是由 张成的空间的单位向量。
这时单位球面上的曲线元素可以写成
我们由上面可以得到
上面积分式子的右边可以转化为
，当q=2,3,…。
<2>
记
<3>
为拉普拉斯算子，这时我们引入
定义1:令 为q维的n次齐次多项式，同时满足
3.3球谐函数
3.3球谐函数<i>数理方法资料</i>§3.3 球谐函数一、球谐函数的推导由球函数方程及其自然边界条件1 1 2Y(θ, ) Y(θ, )sinθ θ sinθ θ +sin2θ 2+l(l+1)Y(θ, )=0（1）Y(θ, )单值（即Φ( )=Φ( +2π)）Y(θ, )有限1、实数形式的球谐函数：Ylm(θ, )=Plm(cosθ)(Cmcosm +Dmsinm ),2、复数形式的球谐函数：(l=0,1,2,L;m=0,1,2,L,l) （2）本征函数Φm( )=Amcosm +Bmsinm ，本征值m=0,1,2Ll 由欧拉公式eim +e im cosm =2eim e imsinm =2ieim +e im eim e imΦm( )=Am+Bm22i11=(Am iBm)eim +(Am+iBm)e im 22=Cmeim m=0,±1,±2L即Φm( )=Cmeim所以，复数形式的球谐函数可写为：m=0,±1,±2L,±l （3）Ylm(θ, )=Plm(cosθ)eim ,另外，由于Plm(l=0,1,2,L;m=0,±1,±2,L) （4）2(cosθ)的模Nlm=l+m!2，eim 的模为l m!2l+1∴归一化的球函数写为：m（5）其中，( 1)是归一化常数的相角，l称为球谐函数的阶。
l球谐函数Ylm(θ, ),(m=0,±1,±2,L,±l)共有2l+1个不同函数，相互独立，均满足球函数<i>数理方法资料</i>方程，这种情况，称为2l+1度简并。
这样定义的球谐函数Y(θ, )的模为1，即∫∫π2π(θ, )sinθdθd =1 （6）Ylm(θ, )Ylm二、球谐函数的正交性2π由于e∫im2π,(e)d =0,im′m=m′m≠m′1∫π(l+m)!2,Plm(cosθ)Pl′m(cosθ)sinθdθ=∫Plm(x)Pl′m(x)dx= l m!2l+11 0,l=l′l≠l′∴对于归一化的球谐函数Ylm(θ, )具有如下的正交形式：∫∫π2π1,()=Ylm(θ, )Yl ,sinddθ θθ 'm'0,l=l′,m=m′（7）′′l≠l,m≠m三、球谐函数的广义傅里叶级数对于0≤θ≤π,0≤ ≤2π上的单值有限函数f(θ, )，可以以{Ylm(θ, )}为基展开二重广义傅里叶级数f(θ, )=∑l=0∞m= l∑CllmlmY(θ, ) （8）系数π2πClm=∫∫(θ, )sinθdθd （9）f(θ, )Ylm四、l=0,1,2时球谐函数的表达式：Ylm(θ, )=( 1)m2l+1l m!Pm(x)eiml4πl+m!Y10(θ, )=3cosθ4π5Y20(θ, )=3cos2θ 116π15Y2±2(θ, )=sin2θe±2i32π1()Yθ, = 004π3()Yθ, msinθe±i = 1±18π15 ±i()Yθ, msinθcosθe=2±1 8π例题：将f(θ, )=3sin2()θcos2 1在0≤θ≤π,0≤ ≤2π上展开以{Ylm(θ, )}为基的广义傅里叶级数<i>数理方法资料</i>i+e i 222 e f(θ, )=3sinθcos 1=3sinθ 1 23=sin2θ(e2i +e 2i +2) *****=sin2θe2i +sin2θe 2i +sin2θ 14421 ***-***** 1522i2 2isinθe +sinθe (3cos2θ 1)=415 8π 2 415 8π2=6622(θ, )+2, 2(θ, ) 220(θ, )555P269 12.16 （3）12x+2z2+3xy+4xz展开以Ylm(θ, )为基的广义傅立叶级数2r ()x=rsinθcosy=rsi nθsin z=rcosθ∴12x+2z2+3xy+4xz2r=sin2θcos2 +2cos2θ+3sin2θsin cos +4sinθcosθcos()32e2i e 2i ei +e i +e i 2 e2+2cosθ+sinθ+4sinθcosθ=sinθ 222i21113i3i=sin2θe2i +sin2θe 2i +sin2θ+2cos2θ sin2θe2i +sin2θe 2i *****+2sinθcosθei +2sinθcosθe i 1113i3i=sin2θe2i +sin2θe 2i +3cos2θ 1+1 sin2θe2i +sin2θe 2i *****+2sinθcosθei +2sinθcosθe i2()1()θ Y,= 003Q Y1±1(θ, )=msinθe±i8π15 ±i()Yθ, msinθcosθe=21± 8π代入上式Y10(θ, )=3cosθ4π5Y20(θ, )=3cos2θ 116π15Y2±2(θ, )=sin2θe±2i32π()<i>数理方法资料</i>原式=132π132π1π3i32π22+2 2+20+4Y00 224*****i32π8π8π2 2 221+22 1***-*****=2Y00+2+3i520+*****+2 2 3i***-*****2222 2 421+42 ***-*****=2Y00+2π520+2π(1 3i)Y22+2π(1 3i)Y2 2 42π21+42π2 ***-*****5。
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注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 1 (3x 2 1) (3cos 2 1) 2 4
1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8 1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 5 3 P5 ( x) (63x 70 x 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128 1 1 P6 ( x) (231x 6 315 x 4 105 x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
和球谐函数方程
1 Y 1 2Y l (l 1)Y 0 sin 2 2 sin sin
（10.１.2）
(10.1.2)式的解 Y ( , ) 与半径 r 无关，故称为球谐函数，
或简称为球函数．
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10.2 勒让德多项式的性质
10.2.1 勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论： （i） Pn ( x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内； （ii） Pn 1 ( x) 的零点与 2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x ( x), 容易得到
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2 勒让德多项式的微分表示 1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1) 2 l ! dxl
（10.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
2 P ( x)dx 2l 1
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
2 1 l
1
(l 0,1,2,)
(10.2.4)
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4. 广义傅里叶级数
定理10.2.1 [-1,1]上的任一连续函数
n 0
(10.2.7)
2n 1 π Cn f (cos )Pn (cos )sin d 0 2
（10.2.8）
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10.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）
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例10.2.2 将函数 cos 2 (0 π) 展开为勒让德多项式
Pn (cos ) 形式
【解】
令
cos x，则由 cos2 2cos2 1 2 x2 1
3 按勒让德多项式形式展开. f ( x ) x 例10.2.1 将函数
【解】 根据 （10.2.5）设
x3 C0 P0 ( x) C1P1 ( x) C2 P2 ( x) C3P3 ( x)
考虑到 Pn ( x) (1)n Pn ( x) ，由(10.2.6)显然有 C0 C2 0
3 n 0
3
1 1 2 C0 1 C1 x C2 (3x 1) C3 (5 x 3 3x) 2 2 1 3 3 5 2 (C0 C2 ) (C1 C3 ) x C2 x C3 x 3 2 2 2 2
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在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR （10.1.1） 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr R( r ) Ar l Br ( l 1)
比较同次幂即得到
4 C3 , 5 由此得到
3
C2 0,
21 C1 , 5
C0 4
21 4 2 x 3x 4 4P0 ( x) P1 ( x) P3 ( x) 5 5
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Pn ( x) 的零点互相分离．
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
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l l
（10.2.1） 为偶数时，勒让德多项式 Pl ( x)为偶函数，
为奇数时
Pl ( x) 为奇函数
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3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
l! f ( ) ( z) d l 1 C 2πi ( z )
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
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10.1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示
Pl ( x) 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 l
为
[ ] 2 k
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 （10.1.7）
3 1 3 3 1 3 3 C1 x P1 ( x)dx x xdx 2 1 2 1 5
7 1 3 7 1 3 1 3 2 C3 x P3 ( x)dx x (5x -3x)dx 2 1 2 1 2 5 3 2 3 x P P3 ( x) 所以 1 ( x) 5 5
l 2n l 2n 1 ( n 0,1,2, )
l 2, 式中 [l 2] (l 1) 2,
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式． 也称为第一类勒让德函数．
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球谐函数方程进一步分离变量，令
Y ( , ) ( )( )
得到关于 的常微分方程
1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 sin d d sin
（10.1.3）
称为 l 阶连带勒让德方程. 令
第十章 勒让德多项式 球函数
10.1 勒让德方程及其解的表示
10.1.1 勒让德方程 勒让德多项式
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
例10.2.3 以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把
f ( x) 2 x3 3x 4 展开为广义傅里叶级数．
【解】 本例不必应用一般公式 ，事实上， 设它表示为
f ( x)
是三次多项式（注意 f ( x) 既非奇函数，也非偶函数），
2 x 3x 4 Cn Pn ( x)
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（10.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
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2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数
f ( x) 为奇函数，则展开式（10.2.5）系数 C2 n 0
若需展开的函数 f ( x) 为偶函数，则展开式（10.2.5）系数
C2n1 0
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n 0,1,2,3,
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1 2 x 1 C0 C2 (3x 2 1) 2
2
考虑到勒让德函数的奇偶性
4 1 C2 , C0 可定出 3 3 1 4 1 4 故有 cos(2 ) P0 ( x) P2 ( x) P0 (cos ) P2 (cos ) 3 3 3 3
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3.勒让德多项式的正交性及其模
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
其中
当
1
1
Pn ( x)Pl ( x)dx Nl2 n ,l
n ,l
1 0
1 1
(10.2.2)
(n l ) (n l )
(10.2.3)
n l 时满足 Pn ( x)Pl ( x)dx ， 0
f ( x)
可展开为
f ( x) Cn Pn ( x)