chapt10-_球谐函数(4学时)

和球谐函数方程
1 Y 1 2Y l (l 1)Y 0 sin 2 2 sin sin
（10.１.2）
(10.1.2)式的解 Y ( , ) 与半径 r 无关，故称为球谐函数，
或简称为球函数．
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球谐函数方程进一步分离变量，令
Y ( , ) ( )( )
得到关于 的常微分方程
1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 sin d d sin
（10.1.3）
称为 l 阶连带勒让德方程. 令
2 P ( x)dx 2l 1
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl

2 1 l
1
(l 0,1,2,)
(10.2.4)
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4. 广义傅里叶级数
定理10.2.1 [-1,1]上的任一连续函数
10.2 勒让德多项式的性质
10.2.1 勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论： （i） Pn ( x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内； （ii） Pn 1 ( x) 的零点与 2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x ( x), 容易得到
n 0
(10.2.7)
2n 1 π Cn f (cos )Pn (cos )sin d 0 2
（10.2.8）
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10.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）
注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 1 (3x 2 1) (3cos 2 1) 2 4
1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8 1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 5 3 P5 ( x) (63x 70 x 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128 1 1 P6 ( x) (231x 6 315 x 4 105 x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
3.勒让德多项式的正交性及其模
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足

其中
当
1
1
Pn ( x)Pl ( x)dx Nl2 n ,l
n ,l
1 0
1 1
(10.2.2)
(n l ) (n l )
(10.2.3)
n l 时满足 Pn ( x)Pl ( x)dx ， 0
3 1 3 3 1 3 3 C1 x P1 ( x)dx x xdx 2 1 2 1 5
7 1 3 7 1 3 1 3 2 C3 x P3 ( x)dx x (5x -3x)dx 2 1 2 1 2 5 3 2 3 x P P3 ( x) 所以 1 ( x) 5 5
f ( x)
可展开为
f ( x) Cn Pn ( x)
n 0

（10.2.5） (10.2.6)
其中系数
2n 1 1 Cn f ( x)Pn ( x)dx 1 2

在实际应用中,经常要作代换 x cos ,此时勒让德方程的解为
Pn (cos ) ，这时有
f (cos ) Cn Pn (cos )
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2 勒让德多项式的微分表示 1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1) 2 l ! dxl
（10.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
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在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR （10.1.1） 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr R( r ) Ar l Br ( l 1)
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（10.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
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2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
10.3 勒让德多项式的生成函数（母函数）
10.3.1勒让德多项式的生成函数的定义 如图10.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为
4 π 0 的正电荷，则在球内任一点
M（其球坐标记作
1 因此， 应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解(10.2.14)的形式， d
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3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
l! f ( ) ( z) d l 1 C 2πi ( z )
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
容易证明微分表示（10.1.10）也可表示为环路积分形式
1 1 Pl ( x) 2πi 2l
C 为 z 平面上围绕
（10.1.11）
zx
点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．
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第十章 勒让德多项式 球函数
10.1 勒让德方程及其解的表示
10.1.1 勒让德方程 勒让德多项式
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
例10.2.3 以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把
f ( x) 2 x3 3x 4 展开为广义傅里叶级数．
【解】 本例不必应用一般公式 ，事实上， 设它表示为
f ( x)
Байду номын сангаас
是三次多项式（注意 f ( x) 既非奇函数，也非偶函数），
2 x 3x 4 Cn Pn ( x)
比较同次幂即得到
4 C3 , 5 由此得到
3
C2 0,
21 C1 , 5
C0 4
21 4 2 x 3x 4 4P0 ( x) P1 ( x) P3 ( x) 5 5
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例10.2.2 将函数 cos 2 (0 π) 展开为勒让德多项式
Pn (cos ) 形式
【解】
令
cos x，则由 cos2 2cos2 1 2 x2 1
（10.1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0 ，即有
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
（10.1.5）
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
3 按勒让德多项式形式展开. f ( x ) x 例10.2.1 将函数
【解】 根据 （10.2.5）设
x3 C0 P0 ( x) C1P1 ( x) C2 P2 ( x) C3P3 ( x)
考虑到 Pn ( x) (1)n Pn ( x) ，由(10.2.6)显然有 C0 C2 0
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10.1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示
Pl ( x) 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 l
为
[ ] 2 k
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 （10.1.7）
1 2 x 1 C0 C2 (3x 2 1) 2
2
考虑到勒让德函数的奇偶性
4 1 C2 , C0 可定出 3 3 1 4 1 4 故有 cos(2 ) P0 ( x) P2 ( x) P0 (cos ) P2 (cos ) 3 3 3 3
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结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数
f ( x) 为奇函数，则展开式（10.2.5）系数 C2 n 0
若需展开的函数 f ( x) 为偶函数，则展开式（10.2.5）系数
C2n1 0
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n 0,1,2,3,
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3 n 0
3
1 1 2 C0 1 C1 x C2 (3x 1) C3 (5 x 3 3x) 2 2 1 3 3 5 2 (C0 C2 ) (C1 C3 ) x C2 x C3 x 3 2 2 2 2
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Pn ( x) 的零点互相分离．
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
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l l
（10.2.1） 为偶数时，勒让德多项式 Pl ( x)为偶函数，
为奇数时
Pl ( x) 为奇函数
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下面我们给出一般性结论：
结论1：设
k
为正整数，可以证明：
x 2 k C2 k P2 k ( x) C2 k 2 P2 k 2 ( x) C0 P0 ( x) x 2 k 1 C2 k 1P2 k 1 ( x) C2 k 3 P2 k 3 ( x) C1P1 ( x)
l 2n l 2n 1 ( n 0,1,2, )
l 2, 式中 [l 2] (l 1) 2,
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式． 也称为第一类勒让德函数．
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