专题复习总结球及球体.docx

2016 年高考专题复习 --球与球体01.25

典型例题 1——球的截面

例 1 球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中 AB 18 ， BC 24 、 AC 30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

【练习】过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、AC 、 AD ，且两两夹角都为 60 ，若球半径为 R ，求弦 AB 的长度．

例 2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（

）．

A ．有且只有一个

B ．一个或无穷多个

C ．无数个

D ．以上均不正确

例 3 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长

的 1

，经过 3 个点的小圆的周长为 4 ，求这个球的半径．

6

例 4 A 、 B 是半径为 R 的球 O 的球面上两点，它们的球面距离为

R ，求过 A 、 B 的平面中，与球心的最大距离是多少？

2

例 5．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA, MB , MC ，求 MA 2MB 2MC 2的值．

例 6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．

典型例题 4——球与几何体的切、接问题

例7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器

内注入水，并放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面

相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．

例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

例10．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

作业 1. 正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

3 在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为

49cm2和 400 cm2．求球的表面积．

【高考真题】

1.（2010 四川理数）（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为 B ， BCD 是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点 M，N，那么 M、N 两点间的球面距离是

（A）Rarccos 17

（） Rarccos

18

（）1R（）4R 25315

25

2.（2010 湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最

上面的球，则球的半径是cm.

3.（2009 全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直

于 OA 的平面截球面得到圆 M ，若圆 M 的面积为 3，则球 O 的表面积

等于 __________________.

4.（ 2009 陕西卷文）如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，

OO12 ，A、B是圆O1上两点，若AO1B =，则 A,B

O1

B

2A 两点间的球面距离为.O

5.（安徽卷理 16 文 16）已知A, B, C , D在同一个球面

上 , AB平面BCD ,BC CD , 若 AB 6, AC 2 13, AD8 ,则B,C两点间的

球面距离是

6.（江西卷文 15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球

的两条弦 AB、 CD 的长度分别等于2 7、4 3，每条弦的两端都在球面

上运动，则两弦中点之间距离的最大值为．

7.（辽宁卷理 14 文 14）在体积为4 3的球的表面上有A，B，C三点，

， 2 ，，

C 两点的球面距离为

3

，则球心到平面 ABC的

AB=1 BC=A3

距离为 _________．

8.（天津卷理12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 43，则该正方体的表面积为.

9.（浙江卷理 14 文 15）如图，已知球O点面上四点A、D

B、C、D，DA平面ABC，AB BC，DA=AB=BC=3，则

A 球O 点体积等于 ___________。

C B

2016 年高考专题复习 ----球与球体

例1 分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面， ABC 是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半

径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式 r 2 R2 d 2求出球半径 R ．

解：∵ AB 18 ， BC 24， AC 30，

∴ AB 2BC 2AC 2，ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形．

∴ABC 的外接圆的半径为 15 ，即截面圆的半径r15 ，

又球心到截面的距离为 d 1

R ，∴ R2(

1

R)2152，得R10 3 ．22

∴球的表面积为 S 4 R24(10 3) 21200

说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式rR2 d 2解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关

系，求三个量．

【练习】由条件可抓住 A BCD 是正四面体， A 、 B 、 C 、 D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设AB a ，则截面 BCD 与球心的距

离 d 6 a R ，过点B、C、D的截面圆半径 r 3

a ，所以

33

( 3 a)2R2(6

a R)2得 a

2 6

R ．

333

例 2 分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数

个大圆，故选 B

例3 分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．