循环码的多项式描述

所 以
Snk1 = hnk1RT T Snk2 = hnk2R M S0 = h0RT
这是前面介绍过的由接收矢量相应分量直接求和计 算伴随式的方法，对所有线性码都适用。
1 1 ST = H RT = 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
(n,k) 循环码的监督矩阵
对偶问题 如果 xn+1=h(x) g(x)，其中 g(x) 为 (n－k) 次多项式， 以 g(x)为生成多项式，则生成一个 (n,k) 循环码； 以 h(x) 为生成多项式，则生成 (n,n－k) 循环码； 这两个循环码互为对偶码。
6.3.6 循环码的译码
线性码的译码是根据接收字多项式的伴随式和可纠的错 误图样间的一一对应关系，由伴随式得到错误图样； 循环码是线性码的一个特殊子类，循环码的译码与线性 码的译码步骤基本一致。不过由于循环码的循环特性， 使它的译码更加简单易行； 循环码的译码过程仍包括三个步骤： 接收多项式的伴随式计算； 求伴随式对应的错误图样； 用错误图样纠错。
表 6.3.1 循环码的循环移位 移位次数 0 1 2 3 4 5 6 码 字 码多项式 x4+x3+x2+1 x(x4+x3+x2+1)≡x5+x4+x3+x (模 x7+1) (模 x7+1)
0011101 0111010 1110100 1101001 1010011 0100111 1001110
(5) 循环码的监督多项式和监督矩阵
循环码的监督多项式：设 g(x) 为 (n,k) 循环码的生成多项 式，必为 (xn+1) 的因式，则有 xn+1=h(x) g(x)，式中h(x) 为 k 次多项式，称为 (n,k) 循环码的监督多项式。 (n,k) 循环码也可由其监督多项式完全确定。 举例： (7,3) 循环码 x7+1= (x3+x+1)(x4+x2+x+1) 4次多项式为生成多项式 g(x)=x4+x2+x+1=g4x4+g3x3+g2x2+g1x+g0 3次多项式是监督多项式 h(x)=x3+x+1=h3x3+h2x2+h1x+h0
举例：求 (7,3) 循环码的生成多项式。 [解]： 分解多项式 xn+1，取其4次因式作生成多项 式 x7+1= (x+1) (x3+x2+1) (x3+x+1) 可将一次和任一个三次因式的乘积作为生成 多项式，因而可取 g1(x)= (x+1) (x3+x2+1) = x4+x2+x+1 或 g2(x)= (x+1) (x3+x+1) = x4+x3+x2+1
定理6.3.3(定理6.3.2的逆定理)：在一个 (n,k) 线性码 定理 中，如果全部码多项式都是最低次的 (n－k) 次码 多项式的倍式，则此线性码为一个 (n,k) 循环码。
注：一般说来，这种循环码仍具有把 (n,k) 线性码码 中任一非0码矢循环移位必为一码矢的循环特性，但从一 个非0码矢出发，进行循环移位，就未必能得到码的所有 非0码矢了。所以称这种循环码为推广循环码。
循环码的监督矩阵
由等式 x7+1= h(x) g(x) 两端同次项系数相等得
将上面的方程组 写成矩阵形式
上式中，列阵的元素是生成多项式 g(x) 的系数，是 一个码字，那么第一个矩阵则为(7,3)循环码的监督 监督 矩阵，即 矩阵
循环码监督矩阵的构成
由式 (6.3.2) 可见，监督矩阵的第一行是码的监督多 项式 h(x) 的系数的反序排列 反序排列，第二、三、四行是第 反序排列 一行的移位； 可用监督多项式的系数来构成监督矩阵
Gk×n = [Ik Qk×r ]
GS = [Ik Qk×r ] Qk×r = (P×k )T r
或
(6.2.11)
(6.2.12)
HS = [P×k Ir ] r
(Qk×r )T = P×k r
(4) 接收字循环移位的伴随式与伴随式循环移位的关系 定理6.3.7：设 S(x) 为接收矢量 R(x) 的伴随式，则 R(x) 定理 的循环移位 xR(x) (mod (xn+1) ) 的伴随式 S(1)(x) 等于伴 随式 S(x) 的循环移位 xS(x) (mod g(x) )，即 S(1)(x)≡xS(x) (mod g(x) ) 上式说明： 上式说明：接收矢量的循环移位（mod (xn+1) 运算下） 与伴随式在模 g(x) 运算下（即在除以 g(x) 的伴随式计 算电路中）的循环移位是一一对应的。
这说明：对一个循环码只要生成多项式一旦确定，码 就确定了，编码问题就解决了。 所以：作一循环码的关键，就在于寻找一个适当的生 成多项式。
定理： 定理 (n,k) 循环码的生成多项式 g(x) 是 (xn+1) 的因式，即 xn+1=h(x) g(x)。 定理：若 g(x) 是一个 (n－k) 次 多项式，且为 定理 (xn+1) 的因式，则 g(x) 生成一个 (n,k) 循环码。 结论：当求作一个(n,k)循环码时，只要分解多项 结论： 式(xn+1) ，从中取出(n－k)次因式作生成多项 式即可。
(2) 循环码的生成多项式
码的生成矩阵一旦确定，码就确定了； 这就说明： (n,k) 循环码可由它的一个 (n－k) 次码多项 式 g(x) 来确定； 所以说 g(x) 生成了 (n,k) 循环码，因此称 g(x) 为码的生 成多项式。
(3) 生成多项式和码多项式的关系
定理：在 (n,k) 循环码中，生成多项式 g(x) 是 定理 惟一的 (n－k) 次码多项式，且次数是最低的。 定理：在 (n,k) 循环码中，每个码多项式 C(x) 定理 都是 g(x) 的倍式；而每个为 g(x) 倍式且次数小 于或等于 (n－1) 的多项式，必是一个码多项式。
因此， 因此， C(x) 的 i 次循环移位 C(i)(x) 是 C(x) 乘以 xi 除 以 (xn+1) 的余式，即
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结论：循环码的码矢的 i 次循环移位等效于将码多 项式乘 xi 后再模 (xn+1)。
(4) 举例：(7,3) 循环码
可由任一个码矢，比如 (0011101) 经过循环移位， 得到其它6个非0码矢； 也可由相应的码多项式(x4+x3+x2+1)，乘以 xi(i=1,2,…,6)，再模(x7+1)运算得到其它6个非0码多 项式。移位过程和相应的多项式运算如表6.3.1所示。
R6 R 5 0 R6 + R4 + R3 S3 R4 0 R6 + R5 + R4 + R3 S2 = R = 3 R + R + R S1 0 5 1 R2 6 1 R5 + R4 + R0 S0 R 1 R 0
C1×n = m×kGk×n 1
循环码
1 、循环码的多项式描述 2 、循环码的生成多项式 3 、系统循环码 4 、多项式运算电路 5 、循环码的编码电路 6 、循环码的译码 7 、循环汉明码 8 、缩短循环码
(1) 循环码的性质
循环码是线性分组码的一个重要子类； 由于循环码具有优良的代数结构，使得可用简 单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算， 并可使用多种简单而有效的译码方法； 循环码是研究最深入、理论最成熟、应用最广 泛的一类线性分组码。
码多项式的模 (xn+1) 运算 0和1两个元素模2运算下构成域。
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
码矢 C 循环 i 次所得码矢的码多项式
C(x) 乘以 x，再除以 (xn+1)，得
上式表明：码矢循环一次的码多项式 C(1)(x) 是原码多 项式 C(x)乘以 x 除以 (xn+1) 的余式。写作
x2(x4+x3+x2+1)≡x6+x5+x4+x2 (模 x7+1) x3(x4+x3+x2+1)≡x6+x5+x3+1 x4(x4+x3+x2+1)≡x6+x4+x+1 x5(x4+x3+x2+1)≡x5+x2+x+1 x6(x4+x3+x2+1)≡x6+x3+x2+x (模 x7+1) (模 x7+1) (模 x7+1) (模 x7+1)
码字循环关系图 单纯循环码的码字循环图：(7,3)循环码
推广循环码的码字循环图：(6,3)循环码
100100 001001 111111 010010 101101 011011 000000 图6.3.2 (6,3)循环码的循码字环关系图
(4) 如何寻找一个合适的生成多项式
由下面式子可知：循环码的多项式等于信息多项式乘 以生成多项式。
(2) 循环码的定义
循环码：如果 (n,k) 线性分组码的任意码矢 C=(Cn－1,Cn－2,…,C0) 的 i 次循环移位，所得矢量 C(i)=(Cn－1－i,Cn－2－i,…,C0,Cn－1,…,Cn－i) 仍是一个码矢，则称此线性码为 (n,k) 循环码。
(3) 码多项式
码多项式：为了运算的方便，将码矢的各分量作为多 项式的系数，把码矢表示成多项式，称为码多项式。 其一般表示式为 C(x)=Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+C0) 码多项式 i 次循环移位的表示方法 记码多项式C(x)的一次左移循环为 C(1)(x) ，i 次左移循 环为 C(i)(x)
(1) 循环码的生成矩阵
根据循环码的循环特性，可由一个码字的循环移位得 到其它的非0码字。在 (n,k) 循环码的 2k 个码字中，取 前 (k－1) 位皆为0的码字 g(x)（其次数r=n－k），再经 (k－1) 次循环移位，共得到 k 个码字: g(x),xg(x),…,xk－1 g(x) 这 k 个码字显然是相互独 立的，可作为码生成矩阵 的 k 行，于是得到循环码 的生成矩阵 G(x)
(1) 根据伴随式定义 ST=HRT 计算伴随式S
设
hnk1 hnk2 H = M h 0 其 hi (i = n k 1, n k 2,L,0) 中 表 H的 矢 。 示 行 量
设
S = (Snk1, Snk2 ,L, S0 )， 得到 伴随式 各分 量的 表示 式 ST = HRT hnk1RT Snk1 hnk1 Rn1 hnk1 Snk2 hnk2 Rn2 hnk2 T hnk2RT R = = = M M M M M h RT S0 h0 R0 h0 0