北师大版初中数学用尺规作三角形 教案

4用尺规作三角形

1.掌握尺规作图的方法及一般步骤.

2.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形.

3.经历尺规作图实践操作过程,训练和提高学生的尺规作图的技能,能根据条件作出三角形.

能依据规范作图语言作出相应的图形,在实践操作过程中,逐步规范作图语言.

通过与同伴交流作图过程和结果的合理性,体会对问题的说明要有理有据.

【重点】经历尺规作图实践操作过程,训练和提高学生的尺规作图的技能,能根据条件作出三角形.

【难点】能依据规范的作图语言,作出相应的图形,在实践操作过程中,逐步规范作图语言.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】直尺、三角板、圆规.

导入一:

问题1

尺规作图的工具是.

问题2

我们已经会用尺规作哪些几何图形?

[处理方式]学生独立思考,回忆尺规作图的工具,直尺和圆规.掌握已学过的尺规作图,作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角……

[设计意图]基础知识复习,有利于学生衔接新旧知识,形成清晰的知识脉络.

[设计意图]由此激发学生学习新知的欲望,从而揭示课题.

这就是今天我们要一起探究的用尺规作三角形.

导入二:

1.尺规作图的基本工具是和.

2.用尺规作图的步骤有:、、.

3.如图:已知:线段a.求作:一条线段,使它等于a.

作法:

(1)作射线;

(2)在射线上截取=,则线段就是所求作的线段.

4.如图所示,已知∠AOB.求作:一个角,使它等于∠AOB.

作法:

(1)作射线;

(2)以O为,以任意长为画弧,交OA于点C,交OB于点D;

(3)以O'为,以的长为半径画弧,交O'A'于点C';

(4)以点C'为圆心,以的长为半径画弧,交前弧于点D';

(5)过D'作射线.则∠就是所求作的角.

5.组成三角形的基本元素是和.

6.两个三角形全等的条件是:

①(简记为).

②(简记为).

③(简记为).

④(简记为).

[设计意图]让学生知道圆规和直尺在作图中的作用,通过简单导学案,回顾作线段和作角,进一步熟悉尺规作图的过程及其步骤,为本节课的学习作好铺垫.

探究活动1已知三角形的两边及其夹角,求作三角形

思路一

已知:线段a,c,∠α.

求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.

[处理方式]

①在作图之前可先在练习本上画出所求作三角形的草图,在图上标出已知条件再作图.从图中可知是两边及夹角,所以可先作一条线段等于已知线段中的任一条,然后以所作的线段为角的一边,它的一端点为角的顶点作角.使这个角等于已知角,再在角的另一边截取已知线段的另一条,最后连接,组成三角形.(还有其他方法同学们探究)

②把自己作的三角形和小组内其他同学所作的三角形重叠比较,看是否一样大.

③用证明两个三角形全等.

【展示成果】教师作图,生叙述作图步骤并用尺规模仿教师进行作图.

1.作一条线段BC,使BC=a.

2.以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC=∠α.

3.在射线BD上截取线段BA=c.

4.连接AC.

△ABC就是所求作的三角形.

提问:将你所作的三角形与同伴作的三角形进行比较,它们全等吗?为什么?

【思考】全等,因为作的三角形与同桌所作的三角形有两边和它们的夹角分别相等.

提问:同学们,还有没有其他的作法呢?

【思考】有,先作一个角等于已知角,然后再在角的两条边上分别截取线段等于已知线段,从而作出三角形.

作三角形的顺序①边夹角边

作三角形的顺序②

【方法总结】已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.(课件展示)

思路二

已知:如图所示,线段a,c,∠α.

求作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.

[处理方式]学生分析,先画出草图,然后提出问题:

(1)上面画图要求中的角是两边的夹角吗?

(2)如果先画一条边,然后再画什么?还有其他画法吗?最后请同学们独立画出图形,其中一名学生到黑板去板演.

参照教科书第86页作法,并模仿完成作图.

提问:将你所作的三角形剪下来,与同伴作出的三角形进行比较,它们全等吗?

你认为哪种画法较好一些?

[设计意图]通过学生亲自动手实践,体会尺规作图的方法,并感受SAS的合理性.

探究活动2已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形

已知:∠α,∠β,线段c.

求作:△ABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.

【思维导航】

(1)在练习本上画出所求作三角形的草图,在图上标出已知条件再作图.

(2)把自己作的三角形和其他同学所作的三角形重叠比较,看是否一样大.

(3)用证明两个三角形全等.

[处理方式]生独立思考,探索作图的过程,有能力作出图形的学生,要求在小组内交流,用自己的语言表述作图过程.教师参与学生的活动,并给予指导,发现不同的作图方法.

作法提示:(学生叙述步骤;方法不唯一)

(1)作=∠α;

(2)在射线上截取线段=c;

(3)以为顶点,以为一边,作∠=∠β,交于点,△ABC 就是所求作的三角形.

处理建议:

(1)让学生自己探究作图的方法.

(2)教师可在黑板演示,让学生按步骤进行作图,做好示范,让后进生感到“有章可循”.

(3)让学生尝试说出解题过程,教师及时规范学生的作图语言.

(4)让学生明确作图的道理,能用学过的全等知识加以说理.

[设计意图]已知三角形的两角及夹边作三角形的方法可能是多样的,教师要注意让学生逐步了解接受作图方法,培养学生初步的作图能力.

探究活动3已知三角形的三条边,求作这个三角形

如图所示,已知线段a,b,c.求作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.

[处理方式]

(1)让学生自己探究作图的方法.

(2)学生充分交流后教师可在黑板演示,规范学生的作图语言.能用学过的全等知识加以说理.

(3)教师让学生说出画图的具体步骤,只要合理,教师都给予肯定,然后教师展示学生的不同作图方法.

作法:

(1)作一条线段BC=a;

(2)分别以B,C为圆心,以c,b为半径画弧,两弧交于A点;

(3)连接AB,AC,△ABC就是所求作的三角形.

(学生的作图方法不同,只要合理,教师都给予鼓励)

[设计意图]学生有以前所学的基本作图为基础,进一步了解较复杂的作图题如何入手,学会转化及知识的迁移,培养学生的作图能力.大胆放开学生,相信学生.教师重点关注学生作图语言的规范表述,并给予及时恰当的引导、点拨和方法总结.

探究活动4学以致用,应用新知

已知:线段a,b.

求作:△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a.

[处理方式]独立思考,动手画图,小组交流.

展示成果:

1.先画一条线段等于a,再以其两个端点为圆心,分别以2a和b的长为半径画弧,其交点就是三角形的另一个端点.

2.我认为先画一条线段等于2a较简单.

画图并展示如下:

提问:根据以上几个问题的解决,哪位同学能说一下根据已知条件画三角形的一般步骤吗?

先画出草图,根据草图寻找作图方法.

(1)确定作图的第一步是画边还是角,有时方法不唯一,但有难易之分,要注意把握.

(2)根据确定的作图方法按步骤进行作图.

(3)必要时对自己所画的图形的正确性进行说明.

[设计意图]用尺规作三角形的题目类型较多,要及时对学生的作图能力、分析能力进行培养.

[知识拓展]

1.尺规作图的作法叙述必须使用规范、精炼的作图语言.

2.作图时常先假设图形已作出,再分析图形哪一部分图形先作出来,然后找出余下图形的作图方法.

1.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.

2.已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.

3.已知三角形的三条边,求作这个三角形.

1.利用尺规不能唯一作出的三角形是()

A.已知三边

B.已知两边及夹角

C.已知两角及夹边

D.已知两边及其中一边的对角

解析:已知两边及其中一边的对角不能说明两个三角形全等.故选D.

2.下面各组中的三条线段,能围成三角形的是()

A.3厘米、2厘米、5厘米

B.4厘米、3厘米、8厘米

C.9厘米、3厘米、3厘米

D.5厘米、5厘米、4厘米

解析:A.因为3+2=5,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;B.因为4+3=7,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;C.因为3+3=6,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;D.满足三角形任意两边之和大于第三边,能组成三角形,符合题意.故选D.

3.已知:线段a,b,求作:等腰三角形ABC,使AB=BC=a,AC=b.

解:如图所示.①作射线AD,在射线AD上截取AC=b.②分别以A,C为圆心,a为半径作弧,两弧交AC上方于点B.③连接AB,BC.△ABC即为所求.

4.如图所示,已知∠α和线段a,用尺规作一个三角形,使一个内角等于∠α,另一个内角等于2∠α.且这两角的夹边等于2a.

解:如图所示,(1)画∠CAB=∠α;

(2)画AB=2a;

(3)画∠CBA=2∠α;

△ABC为所求三角形.