数学专业标准毕业论文格式范本

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数学论文的格式要求(仅供参考)

数学论文的格式要求（仅供参考）第一部分：题头题头含标题、作者，各单独占一至二行。

标题要求直接、具体、醒目、简明扼要，小2号宋体加粗，居中编排；作者，小4号仿宋体，居中编排；作者单位，单位名称（学校），省市，邮政编码，5号楷体，居中编排。

第二部分：提要提要部分含摘要、关键词等。

分别以【摘要】、【关键词】（小4号楷体加粗）开头，内文用5号楷体，各空2字格编排。

摘要是论文内容的高度概要，是不加注释和评论的简短陈述，具有独立性和自含性。

其内容应说明论文的主要研究内容、研究方法、研究结论等。

论文中文摘要一般以3—5行为宜。

关键词3-5个，应能反映全文的主题、主要内容、主要思想、主要观点等，关键词之间以分号隔开，关键词结束不用标点符号。

第三部分：正文正文是论文的核心内容，含引言与本论。

引言，或称小引，要简要说明论文话题的缘起、价值与意义、研究方法等，直接“引入”本论。

本论是主体部分，内容须观点明确、论据充分、论证严密、逻辑清晰、层次分明、语言流畅、结构严谨。

正文应按照内容层次分节，编号，要层次分明，用5号宋体。

各种标题要求如下：1. 一级标题：以阿拉伯数字排序标号，数字后用英文句号“.”，如：1. …。

一级标题标号与标题采用3号黑体，单独一行，居左顶格编排。

2. 二级标题：用阿拉伯数字在一级标号后增第二层标号顺序标注，两层标号之间用英文句号“.”分割，第二层标号后不使用任何符号，如：2.3 …。

二级标题标号与标题采用小3号黑体，单独一行，居左顶格编排。

3. 三级标题：用阿拉伯数字在二级标号后增第三层标号顺序标注，各层标号之间用英文句号“.”分割，第三层标号后不使用任何符号，如：1.2.4…。

三级标题标号与标题采用4号黑体，单独一行，居左顶格编排。

各级标题字数均以不超过1行为限，标题结束处不使用任何标点符号。

4．定义：定义在各一级标题下顺序标号，比如，第1节第二个定义为定义1.2。

5．结论与说明：定理、引理、推论、注记等结论与说明在各一级标题下按顺序统一标号，比如，第2节第3个上述定理、引理、推论或注记，如果是引理则标注为引理2.3，如果是推论则标注为推论2.3。

数学类毕业设计(论文)模板

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：科技进步度量的理论与方法探讨专业：信息与计算科学年级：2007级学号：1210ＸＸＸＸ作者：张某某指导老师：ＸＸＸ（教授）完成时间：2011年5月目录摘要 (I)Abstract (II)1 引言 (1)2 科技进步的含义 (1)3 关于科技进步贡献率的度量方法 (2)4 测算模型的选择 (4)5 参数,αβ的确定 (4)5.1 迭代法 (5)5.2 直接定义法 (6)6 指标的选择与具体实例 (10)致谢 (13)参考文献 (13)科技进步度量的理论与方法探讨张某某（重庆三峡学院数学与计算机科学学院信息与计算科学专业2007级重庆万州 404000）摘要：科技进步的基本概念源自经济学家对生产函数的研究。

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX最后根据测算该地区的科技进步率，可以得出该地区的科技进步发展趋势。

数学专业毕业论文的标准格式_论文格式_

数学专业毕业论文的标准格式一、论文格式要求一篇完整的论文应包括如下四部分：第一部分：正文之前(1)题目(2)作者(3)数学系?级?专业?班(4) 指导教师名字空一行(5)摘要(中文)200字以内;(6)关键词3—5个空一行第二部分：正文(1)引言;(2)主要结论和必要的论证。

(可分成若干节讨论)第三部分：参考文献：应依引用次序编号，注意书写的规范性。

例1：[1]陈世明.一类半线性双调和方程的整体解，应用数学[J],1994,7(1):85—92说明：其中，[1]是文献出现的序号，陈世明是作者名，“一类半线性双调和方程的整体解”是论文的题目，“应用数学”是杂志的名称，[J]表示杂志，“1994，7：85—92”表示发表的年份，卷、期、页(起止)码。

例2：[3]华罗庚.数论导引[M]. 北京：科学出版社，1985说明：其中，[3]是文献出现的序号，华罗庚是作者名，“数论导引“书的题目，其后加[M]表示这是一本书，“北京：科学出版社”表示出版地点和出版社，“1985”表示出版的年份。

第四部分：英文部分(1)英文题目(2)作者姓名(拼音字母)(3)数学系?级?专业?班(4)指导教师名字(3)英文摘要;(4)英文关键词。

二、文字字体要求：用A4纸打印，其中(1)题目用2号宋体(粗);(2)小标题用4号黑体;(3)其他用5号宋体(中文)(英文用5号Times New Roman);(4)其他未说明的问题(如脚码、脚注等)按一般科技论文格式要求三、其他论文一律采用Word文档或Latex文档形式打印编排(尤其是符号、字母要用数学形态);要用统一的封面;在左侧装订。

数学科学学院本科毕业论文撰写样本

数学科学学院本科毕业论文撰写样本1、论文需要有首页的英文翻译，请大家参照统一的翻译2、论文顺序请依照后面所给样本排序、打印。

3、论文格式按学校的规范进行。

论文的文档格式（1）论文题目：三号黑体；（2）目录：三号黑体；一、( 章的标题)XXXX (1)(一)、( 条的标题) XXXX (2)1、( 款的标题) XXXX (3)或1 ( 章的标题) XXXX (1)1. 1 ( 条的标题)XXXX (2)1.1.1 ( 款的标题) XXXX (3)（3）中文摘要：小三号黑体，摘要内容：小四号宋体，行距20磅；英文摘要：小三号，摘要内容：四号，Times New Roman 字体，单倍行距；（4）关键词：四号黑体，关键词内容：小四号宋体；（5）正文标题：均加粗，段前后均0.5 行。

一级标题：三号黑体，二级标题：小三号黑体，三级标题：四号黑体；（6）正文：小四号宋体，行距20 磅；（7）参考文献：五号宋体，行距16 磅。

5. 论文原则上用WORD97以上版本打印输出。

纸张一律用 A4(210 mm ×297 mm) 大小的白纸双面打印并装订（左装订）成册。

打印时，要求纸的四周留足空白边缘，以便装订、复制和读者批注。

每一页面的上边距和左边距侧（订口）分别留边30 mm ，下边距和右边距（切口）应分别留边25 mm 。

二、各部分规范的具体要求毕业论文应包括论文封面、目录、论文题目、中英文摘要、引言、论文正文、结论、参考文献等主要组成部分，具体要求如下：1. 论文封面一律采用教务处统一的专用封面。

封面内容均须打印，论文题目、姓名、院（系）、专业、学号、指导教师等为四号宋体加粗，日期为小四号宋体。

2. 题目题目是反映论文内容的最恰当、最简明的词语组合。

题目语意未尽可用副标题补充说明论文中的特定内容。

要求如下：（1）题目准确得体并能准确表达论文的中心内容，恰当反映研究的范围和深度，不能使用笼统的、泛指性很强的词语和华丽不实的词藻。

数学论文的格式论文

数学论文的格式 - 论文引言数学作为一门基础性学科，在数学教育和研究领域，论文是不可或缺的载体。

正确的论文格式不仅有助于展示研究成果的严谨性和完整性，也能够让读者快速找到感兴趣的信息，增加论文的可读性和大众性。

本文将介绍数学论文的格式及其相关内容。

标题论文标题应该简明扼要，并且能够准确地表达文中的主题和观点。

这一要求尤为重要，因为论文标题通常是最先被读者了解的部分，一个好的标题能够吸引读者的注意力，并帮助他们快速了解论文的主旨。

论文标题通常应该包括以下要素：•研究领域或问题•研究方法或技术•研究结果或结论例如，以下是数学论文标题的一些示例：•应用深度学习模型预测财务风险•Hamilton-Jacobi-Bellman方程组的全局解•基于模拟分析的股票期权定价方法值得指出的是，标题应该在句子中使用大写字母（除了代词和短词），并且不应该使用缩写词。

摘要论文摘要是论文的重要组成部分，它通常是读者最先接触到的部分。

摘要应该简介明了，准确地反映论文的主题、方法和主要结论。

摘要的提纲必须使得读者能够完全理解论文的主题并且能够让读者确定是否必须读完整篇论文。

因此，一个好的摘要应该遵循以下原则：•内容简明扼要，2-3段即可•突出研究的重点和研究结果或结论•遵循论文的呈现顺序例如：本文提出了一种新的线性回归算法，该算法采用基于Lasso正则化和交叉验证的方法进行模型选择，预测效果接近或超过了传统的基于BIC和AIC的模型选择方法。

本文的实例分析表明，该算法可以在不牺牲预测精度的情况下减少模型中不必要的变量，从而提高模型的可解释性。

正文章节结构论文正文的章节结构通常应该包括以下内容：•引言：研究背景、问题陈述、目标和意义•相关工作：对前人工作的综述和分析•方法：研究方法、理论框架、数据处理等•实验和分析：实验设计、数据收集、实验结果、分析及讨论•结论与展望：本文研究的主要结论和未来工作方向需要注意的是，论文的组成结构应该严谨并且逻辑性强，避免冗余和流于表面。

数学专业标准毕业论文格式范本

空一行空一行摘空一行首先，通过普通函数方程(即方程中仅由未知函数和其他相关数字，字母构成的方程，不含未知函数的导数，微分等形式）定义了某些基本初等函数，例如：齐线性函数,幂函数,指数函数,对数函数,正余弦函数.其次,在用上述方法定义完基本初等函数后，……空一行关键词：函数方程；基本初等函数；微分方程；等价;初等解5个；关键词宋体小四号，用分号隔开.）除了数学公式和图形等可以采用1。

5倍行距外！论文的行距一律采用固定值20磅；具体操作:格式 \ 段落 \ 缩进与间距 \ 间距：行距（设置“固定值或1。

5倍行距”）和设置值（设置“20磅"）。

中文摘要、英文摘要、目录和引言(或序，即正文开始）之间插入“分页符”，具体做法如下：先按几个“ENTER ”，再“插入\分隔符：分隔符类型”，选“分页符”。

黑体小二，行距固定值20磅1号标题，黑体三号；行距固定值20磅。

摘要正文宋体小四号，行距固定值20磅；一般情况下不要分段。

黑体加粗小四号；顶格。

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有--------------第 2 页共 9 页ON ORDINARY FUNCTION EQUATIONAND DIFFERENTIAL EQUATIONABSTRACT空一行First of all，through the general functional equation （the equation only by the unknown function and other relevant numbers，letters constitute the equation，doesnot contain derivatives of unknown functions，differential forms) the definition of some basic elementary functions，such as：homogeneous linear function ，power，logarithmic function，cosine function 。

数学论文写作格式模板

数学论文写作格式模板论文常用来指进行各个学术领域的研究和描述学术研究成果的文章，它既是探讨问题进行学术研究的一种手段，又是描述学术研究成果进行学术交流的一种工具。

它包括学年论文、毕业论文、学位论文、科技论文、成果论文等。

以下是店铺今天为大家精心准备的：数学论文相关写作格式模板。

内容仅供参考，欢迎阅读!数学论文写作格式模板如下：数学论文分两种,一种称为纯数学论文,另一种为数学教学论文。

很多从事数学教育工作者很难拥有大量时间从事纯数学研究,而职称聘任制又需要公开发表论文,这样一来很多人将自己工作经验加以总结转而写一些数学教研论文。

数学教研论文是对课程论,教学法,教育思想,教材及教育对象心理加以研究。

但无论哪一种数学论文都要遵从论文格式及写作规律。

1 撰写数学论文应具有原则1.1 创新性作为发表研究结果的一种文体,应反映作者本人所提供的新的事实,新的方法,新的见解。

论文选题不新颖,实验没有值的报道的成果,即使有高超写作技巧,也不可能妙笔生花,硬写出新东西来。

基础性研究最忌低水平重复,如受试对象,处理因素,观测指标,结果与前人雷同,毫无新意,这样论文不值得发表。

1.2 科学性科技论文的生命在于它的科学性。

没有科学性论文毫无价值,而且可能把别人引入歧途,造成有害结果。

撰写论文应具备:(1)反映事实的真实性;(2)选题材料的客观性;(3)分析判定的合理性;(4)语言表达的准确性。

1.3 规范性规范性是论文在表现形式上的重要特点。

科技论文已形成一种相对固定的论文格式,大体上由文题,一般不超过20字;摘要(应用的方法,得到的结果,具有意义等);索引关键词;引言;研究方法,讨论,结果等部分组成。

这种规范化的程序是无数科学家经验总结。

它的优越性在于:(1)符合认识规律;(2)简洁明快,较少篇幅容纳较多信息;(3)方便读者阅读。

2 撰写数学论文忌讳2.1 大题小作论文不是书,如论文题目选的过大,那么泛论,浅论就在所难免。

数学类论文格式模板

本科学年论文论文题目学院：数学科学学院专业：年级：姓名：学号：指导教师：2012年月日摘要摘要内容标点用中文下的半角格式,行距1.5倍. 关键词关键词列出,用逗点隔开正文开始定义1假设()n n N K ∈是度量空间X 的集列,我们称()sup :|m in ,0n n n n Lim K x X Li fd x K →∞→∞⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭为序列n K 的上极限.称(){}min :|lim ,0n n n n Li f K x X d x K →∞→∞=∈=为其下极限.集合K 被称为序列n K 的极限,如果min sup :n n n n nK Li f K Lim K Lim K →∞→∞===.例1 集合的上下极限.图1 集合的上下极限命题1 如果()n n N K ∈是度量空间中一个子序列,m in n n Li f K →∞是序列n n x K ∈ 的极限点的集合,sup n n Lim K →∞是这个序列的聚点,也就是子序列n n x K ∈的极限.则上极限就等于这个近似序列的子集的聚点,即()()()0,,,n N N n N x B k εεεε∈∀>∃∀>使得.定理1 设K 是度量空间X 中的一个集合,满足下列条件:对于任意K 的邻域U ,存在N ,使得对于任意的n N >,n K 包含于U ,成立sup n n Lim K K →∞⊂.反之,如果X 是紧集,那么上极限sup n n Lim K →∞就具有上面的性质.参考文献[1]Hirose.Saving the greater number without combining claims. Analysis, 2001,61(4): 341–342.[2]袁亚湘,孙文瑜.最优化理论与方法.北京:科学出版社,1996.。

数学系优秀毕业论文（通用12篇）

数学系优秀毕业论文（通用12篇）数学系优秀毕业论文（通用12篇）难忘的大学生活将要结束，同学们毕业前都要通过最后的毕业论文，毕业论文是一种有计划的检验学生学习成果的形式，那么问题来了，毕业论文应该怎么写？下面是小编精心整理的数学系优秀毕业论文（通用12篇），欢迎大家分享。

数学系优秀毕业论文篇1摘要：《数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。

因此，教师要以学生的生活和现实问题为载体和背景，以学生的直接体验和生活信息为主要内容，把教科书中的数学知识巧妙而灵动地转化为数学活动。

关键词：应用数学；走进生活；数学活动《义务教育数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。

引领学生通过自主探究、合作交流等实践活动，发现、理解、掌握数学知识，并在运用所学知识解决实际问题的过程中形成技能，提升能力。

下面结合自己的教学实践，谈几点粗浅做法与思考。

一、走进生活，应用有价值的数学知识数学来源于生活，离开了生活，数学将是一片死海，没有生活的数学是没有魅力的。

同样，生活离开了数学，那将是一个无法想象的世界。

因此，在教学中，应从学生的生活经验和已有知识出发，巧妙创设真实的生活场境，提供大量的数学信息。

这样，既让学生感受到了数学与生活的密切联系，又彰显了数学鲜活的生命力，促使学生萌生主动运用数学解决实际问题的意识。

（一）课前调查，萌发应用意识教师要善于把日常生活中遇到的问题呈现在学生面前，引领学生用数学的眼光观察生活，为数学知识的学习收集素材，让学生在生活的每个角落都感受到数学的存在，切实体会到数学渗透在我们生活的方方面面，促使学生自觉地将数学与生活联系起来，萌发应用意识。

数学学术论文格式

数学学术论文格式数学源自于古希腊语的μθημα(máthēma)，其有学习、学问、科学之意.古希腊学者视其为哲学之起点，店铺整理了数学学术论文格式，有兴趣的亲可以来阅读一下!数学学术论文格式1.页面设置：页边距上2.8cm，下2.5cm，左3.0cm(装订线0.5cm)，右2.5cm,，页脚1.5cm。

2.封面格式设置：字体：四号宋体，居中，指导教师签名必须手写。

3.题目：中文，三号黑体加粗居中;英文，三号Time New Roman 字体, 加粗居中。

题目和摘要之间空一行(小四号)。

4.摘要：(1)中文摘要和关键词(行间距单倍) 摘要(黑体五号加粗，左起空两格)： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX(五号楷体) 关键词(黑体五号加粗，左起空两格)：XXXX，XXXXX，XXXXX，XXXX(五号楷体)(2)英文摘要和关键词(行间距单倍)(置于参考文献后。

参考文献与英文摘要之间空一行，小四号)Abstract(Time New Roman字体，五号，加粗，顶格)：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX(Time New Roman字体，五号) Keywords(Time New Roman字体，五号，加粗，顶格)：XXXX，XXXXX，XXXXX，XXXX(Time New Roman字体，五号) 5.正文层次格式(关键词和正文之间空一行，小四号) 1.(四号黑体加粗，左起空两格)正文左起空两格，使用小四号宋体(行间距1.5倍)1.1 XXXX (小四号宋体加粗，左起空两格，行间距1.5倍) 正文左起空两格，使用小四号宋体(行间距1.5倍) 第三级标题与第二级标题相同6.致谢(正文和致谢之间空一行，小四号)致谢(居中，黑体，加粗，小四号)*************************************************************** *********************(中文小四号宋体，英文小四号Time New Roman字体，行间距单倍)7.参考文献(致谢和参考文献之间空一行，小四号)：参考文献(居中，黑体，加粗，小四号)[1]*****************(中文五号宋体，英文五号Time New Roman字体，行间距单倍) 参考文献格式设置：期刊：[序号]作者.题名[J].期刊名称,出版年份,卷号(期号):起止页码.书籍：[序号]著者.书名[M].版次.出版地:出版社,出版年份:起止页码.论文集：[序号]著者.题名[C].编者.论文集名.出版地学位论文：[序号]作者.题名[D].保存地:保存单位,年份. 专利文献：[序号]专利所有者.专利题名[P].专利国别:专利号,发布日期.国家、国际标准：[序号]标准代号,标准名称[S].出版地:出版者,出版年份.电子文献：[序号]作者.电子文献题名[EB/OL].电子文献的出版或可获得地址,发表或更新日期/引用日期(任选) 8.页码规范：位于页面底端右侧 9.图片格式设置：字体：黑体，五号行间距1.5倍10.表格格式设置：表格内容格式设置：字体：五号，宋体行间距1.5倍表头格式设置：字体：黑体，五号行间距1.5倍11.引文标注：(作者姓名,年份),多个姓名中间用分号分隔。

大学本科数学专业毕业论文写作格式 (1)

大学数学专业本科毕业生，论文格式本科毕业论文格式要求：1、论文格式（页边距、字体、空行、段落格式等）严格套用所提供模板格式；2、封面论文提交时间格式严格按照“二OO五年五月”（楷体四号，中间零为大写字母“O”，手写封面用正楷字体工整书写，禁用草书等）；3、正文：（1）模板中红色字迹表示所在空行格式（2）总题目黑体三号加粗，副标题四号宋体（3）姓名小四号楷体（4）作者有关信息（括号内具体单位等）内容小四号宋体（5）摘要小四号黑体加粗，中间空一字；摘要具体内容小四号楷体，1.5倍行距（6）关键词小四号黑体加粗，具体内容小四号楷体（7）英文题目及摘要等用Times New Roman字体，其他同中文（8）正文中数字序号全部用阿拉伯数字，如：1 1.1 1.1.1……等（9）论文一级标题：四号黑体加粗；二级以下标题类全部小四号黑体加粗；文中有定理等类似的全部用小四号黑体加粗，定理等内容具体部分全部小四号宋体，除此以外正文其他内容全部用小四号宋体，行距1.5倍（10）文中出现的所有数学字母、符号全部在word自带的公式编辑器里编写，避免软件不兼容造成的错误；非数学字母的英文字母用Times New Roman字体（11）参考文献用项目编号编写，格式参考模板（12）致谢另起一页，置于论文最后；“致谢”两字四号黑体加粗，居中间隔二字；内容小四号楷体；行距1.5倍（13）页码下方居中；页边距上下各2.5，左3.5，右2.5（14）其他未尽事宜请与办公室联系解决。

数学与信息科学学院2009-3-2分类号O15陕西师范大学学士学位论文nm矩阵的广义迹作者单位数学与信息科学学院指导老师曹怀信作者姓名王秀英专业、班级数学与应用数学专业02级1班提交时间二OO六年五月(空一行,小四)m⨯矩阵的广义迹n(空一行,小四)王秀英(数学与信息科学学院2002级1班)指导教师曹怀信教授(空一行,小四)摘要: 本文首先讨论了nn⨯矩阵迹的若干重要性质，包括:可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等,并且证明了矩阵迹的唯一性．然后,利用分块矩阵的思想及辗转相除法(带余除法),引入了一般nm⨯矩阵的广义迹的概念, 它是方阵迹的一个自然推广,研究了这种广义迹的一系列重要性质．最后,给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法,并对各条性质给予了验证．关键词: 矩阵; 广义迹; 分块矩阵; 带余除法(空一行,小四)m⨯matricesGeneralized traces of nWANG Xiu-ying(Class 1, Grade 2002, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Professor CAO Huai-xin(空一行,小四)Abstract: In this paper, a series of important properties of the usual trace ofn⨯matrices are given, including: additivity, homogeneousness, ntranspose-invariance, commutative invariance, and the uniqueness of them⨯usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an n matrix and the division algorithm, the concept of generalized trace of amatrix is introduced．Some important properties of this generalized trace are given. Finally, some examples are given in order to illustrate the concept, computation and properties of the generalized trace.Key words : matrix; generalized trace; block-matrix; division algorithm(空一行,小四)矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是n 阶矩阵的一个重要的数量特征．在普通高校的高等代数教科书中,只是给出了一个n 行n 列的矩阵算子迹(方阵对角线元素之和∑==ni ii a A 1)(tr ,其中)(F M A n n ⨯∈,ii a 为方阵A 对角线上的元素)的定义及其某些重要的性质，参见文献[1-3],文献[10,11,13]．文献[4]得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形．文献[5-7]中,研究了Hilbert 空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质．特别地,文献[5]给出了迹类算子的若干不等式,并证明了Hilbert 空间中的Bellman 不等式k k k AB B A )(tr )tr(≥对n k 2=及任二正的迹类算子A 与B 成立．同时还证明了当n k 2=时,对任一迹类算子A ,不等式k k k AA A A )(tr )tr(**≥也成立．文献[6]将Jan R.Magnus 关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert 空间上算子迹的相应命题,由此得到一个证明算子迹的Hölder 不等式的方法,同时得到关于算子迹的Hölder 不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的Minkowski 不等式的一个证明．文献[8,9]中，定义了在C*-代数)(A M n 上的矩阵迹是一个满足以下条件的正线性映射A A M n →)(:τ：)()*(A Au u ττ=()))((),(A M U u A M A n n ∈∀∈∀, 22))(()(A A ττ≤)0(≥∀A , 给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了:如果A 是可交换的C*-代数，则映射τ是)(A M n 上的矩阵迹当且仅当A 中存在一个元素λ（20λλ≤≤）使得)(tr )(A A λτ=))(][(A M a A n ij ∈=∀,其中∑==ni ii a A 1)(tr ．本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地n m ⨯矩阵上，给出一般矩阵广义算子迹的概念,并证明矩阵广义迹的一系列重要性质．(空一行,小四)1．预备知识1.1 矩阵的迹及其性质在本文中，假定)(F M n m ⨯为数域F 上全体n m ⨯矩阵之集（特别的)(F M n n ⨯为数域F 上全体n 阶矩阵之集）,则关于矩阵的运算, )(F M n m ⨯为数域F 上向量空间，N 表示所有自然数之集，))((F M A A n m ⨯∈'表示矩阵A 的转置矩阵．定义1.1.1[]1 设)()(F M a A n n ij ⨯∈=,则称A 的所有主对角线元素之和为A 的迹,记为A tr ，即∑==ni ii a A 1tr ．矩阵迹有下列基本性质(其中A ,B 为n 阶矩阵): 定理1.1.1 设)(,F M B A n n ⨯∈, 则(1) ∑∑====ni i ni ii a A 11tr λ,其中i λ为A 的特征值;(2) B A B A tr tr )(tr +=+; (3) A k kA tr )(tr =，N k ∈; (4) A A tr tr ='; (5) )tr()(tr BA AB =;(6) 若A 和B 为两个相似的方阵,则B A tr tr =,即相似矩阵有相同的迹．证明 (1) 设⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 则按照[2]中的定理知: A 的特征方程是0=-A I λ. 在nn n nnn n n a a a a a a a a A I ----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-λλλλ 111111111001的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积()()()nn a a a ---λλλ 2211．展开式中其余各项,至多包含2-n 个主对角线上的元素,它对λ的次数最多是2-n ．因此,特征多项式中含λ的n 次与1-n 次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是()12211=+++-=-n nn n a a a A E λλλ ．在特征多项式中令0=λ,即得常数项:A A n )1(-=-．因此,如果只写出特征多项式得前两项与常数项,就有()()A a a a A E n n nn n 112211-+++++-=-- λλλ．由根与系数的关系可知,A 的全体特征值的和)tr(11A a ni ii ni i ==∑∑===λ．(2) 设⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=nn n n n n b b bb b bb b b B212222111211，假定)(),(,ij n m c C F M C B A C =∈+=⨯,则B A b a b a cC B A ni ii n i ii n i ii ii n i ii tr tr )(tr )(tr 1111+=+=+===+∑∑∑∑====．(3) 设⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，则有A k a k ka kA ni ii ni ii tr )(tr 11===∑∑==．(4) 设⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211,则⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫='nn nnn n a a a a a a a a a A 212221212111．因此有A a A ni ii tr tr 1=='∑=．(5) 设)(,,,F M D C B A n n ⨯∈,⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211; ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=nn n n n n b b b b b b b b b B212222111211, 假定)(),(,,ij ij d D C C BA D AB C ====,则∑∑∑=====n i nk ki ik n i ii b a C AB 111)(tr ,∑∑∑=====ni nk ki ik ni ii a b D BA 111)(tr ．由求和的交换性即可证得:)(tr )(tr BA AB =．(6) 由于相似矩阵有相同的特征多项式[]2,特征多项式相同则特征值相同,则矩阵的各个多项式的和(重根按重数记)相同．因此根据性质1),矩阵的迹等于它的各个特征值的和,则这两个矩阵的迹相同(即B A tr tr =)．证毕.下面的定理将以上的性质(5)推广到非方阵的情况.定理1.1.2 设A 和B 分别为m n ⨯,n m ⨯矩阵,则)(tr )(tr BA AB =．证明令m n ij a A ⨯=)(为m n ⨯矩阵,n m ij b B ⨯=)(为n m ⨯矩阵, 设n n ij c AB C ⨯==)(，m m ij d BA D ⨯==)(,其中),2,1,(1n j i b a c mk kj ik ij ==∑=,),,2,1,(1m j i a b d nk kj ik ij ==∑=.所以∑∑∑∑∑======⎪⎭⎫ ⎝⎛==n i mk ki ik ni m k ki ik n i ii b a b a c AB 11111)tr(,∑∑∑∑∑∑∑=========⎪⎭⎫ ⎝⎛==n i m k ki ik n k mi ik ki mi n k ki ik mi ii b a b a a b d BA 1111111)tr(,从而 )(tr )(tr BA AB =．通过以上的讨论,我们可知若定义数域F 上n 阶矩阵集合到F 的一个迹映射f ,则具有以上的诸多性质．定理1.1.3 那么若定义F F M f n →)(:是一个映射,而且满足下列条件: (1) 对任意的n 阶矩阵A ,B ,)()()(B f A f B A f +=+; (2) 对任意的n 阶矩阵A ,和F 中数k ,)()(A kf kA f =; (3) 对任意的n 阶矩阵A ,B ,)()(BA f AB f =; (4) n I f n =)(,则)(tr )(A A f =对一切F 上的n 阶矩阵A 成立.证明设ij E 为n 阶基础矩阵,因为n I f n =)(,所以由条件1)和条件4)知:n E f E f E f E E E f I f nn nn n =+++=+++=)()()()()(22112211 ．又由条件3)知:)()()()(jj ij ji ji ij ii E f E E f E E f E f ===，所以 1)(=ii E f ．另一方面,若j i ≠,j i ij E E E 11=,则0)0()()()(1111====f E E f E E f E f j i j i ij ,得0)(=n I f ,与条件4)矛盾．若)(ij a A =,则由上知)(tr )()()(1,,A a E f a E a f A f ni ii ij nji ij nji ij ij ====∑∑∑=．1.2 广义矩阵的分块用(矩阵行与行之间的)横线及(列与列之间的)竖线将一个矩阵分成若干块，这样得到的矩阵就称为分块矩阵[]3．一个矩阵可以有各种各样的分块方法，究竟怎样分比较好，要根据具体情况及具体需要而定．1.2.1 矩阵分块的原则① 必须使分块后的矩阵的运算可行． ② 必须使分块后的矩阵的运算较不分块简便. 例1.2.1 考虑矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110000005400000200000010000001 A ．根据它自身的特点,我们可以将A 如虚线所示的那样分块,若记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10011A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=54022A ,()113=A , 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321000000A A A A ．矩阵A 除了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，这种分块成对角形状的矩阵，称为分块对角阵．设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b B为了进行运算B A +，我们对B 的分块必须与A 的分块完全一致，即如图中虚线所示．使A 与B 的各对应子块都是同型的．设()46⨯=ij c C ，为使AC 的运算可行，C 的分块必须参照A 的分块来进行，即A 的列分与C 的行分一致，而C 的列分，则可视C 的具体情况来定，不受A 的分法的影响．如下所示：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=646362615453525144434241343332312423222114131211c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C． 1.2.2 分块矩阵的运算视分块矩阵中的每一子块为一个元素，则分块矩阵的运算法则与普通矩阵的运算法则完全相同．分块矩阵的转置:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''='⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛rs sr r rs r r s A A A A A A A A A A A A 12121112111211．例1.2.2 设34200300110201⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 53000120003000003⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= B , 将A ,B 适当分块,并求AB ．解根据A ,B 的特点及乘法运算的要求,可将A ,B 如虚线所示分块．记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322A OA I A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯3113223O B O I B , 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=233A ,()121=B ,则AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯⨯311322322223O B O I A O A I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⨯321332123O B A O B A I , 123B A I +()12123003⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=422712243003, 13B A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=24361223．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00024000360004200027AB ．(空一行,小四)2. 广义矩阵的迹2.1 矩阵广义迹的定义引理2.1.1(辗转相除法,欧几里得Euclid 除法[]11) 对N n m ∈,,其中n m <,反复作带余除法,有,11r mq n +=m r <<10, (1) ,221r q r m +=120r r <<, (2) ,3321r q r r +=230r r <<, (3)…………………,12n n n n r q r r +=--10-<<n n r r , (n) ,111++-+=n n n n r q r r 01=+n r ． (n+1)由于每进行一次带余除法,余数至少减少1,而m 是有限的,所以至多进行m 次带余除法,就可以得到一个余数为零的等式．定义2.1.1 设N n m ∈<,)(,F M A n m ∈,n m ij a A ⨯=)(, 则由引理2.1.1知对n m ,反复作带余除法可以得到一个余数为零的等式,定义矩阵A 的迹等于矩阵A 的所有分块方阵的迹的和．由(1)式可把矩阵A 分成11+q 块,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++-++-++-n m m q m m q m m q m m m m n m q mq m q m n m q m q m q m a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ,1,,1)1(,,1,,21,2,21)1(,2,21,2,11,1,11)1(,1,11,1111111111;记()1111+=q q A A A A ;在矩阵A 的分块矩阵1111,,,+q q A A A 中,最多只有矩阵11+q A 不是方阵．若11+q A 为方阵,则矩阵A 的迹可以求得;若11+q A 不是方阵,则由2)式可把矩阵11+q A 分成12+q 块,记为()111121111212111++++++=q q q qq q q A A A A A ; 在矩阵11+q A 的分块矩阵1111211121211,,,+++++q q q q q q A A A A中,最多只有矩阵1112++q q A 不是方阵．若1112++q q A 为方阵,则矩阵A 的迹可以求得;若不是,则由3)式可把矩阵1112++q q A 分成13+q 块．如此继续,最终,可把矩阵111++-n n q q A 分成1+n q 块．根据引理2.1.1可知广义矩阵A 一定可以被分成k 个方阵(,121++++=n q q q k ,1,0=n ),其中若方阵只包含一个数字它的迹即为那个数．因此∑∑∑+=+=+=+++=121111111tr tr tr tr n n q i q i q i q iq i i A AA A ． (2.1)2.2 矩阵的广义迹的性质对广义矩阵先研究比较特殊的,即矩阵的行数与列数满足N l lm n ∈=,的情形,在此条件下根据(2.1)式有)(tr tr 1)1(,,1∑∑=+-+=+++==mi i m l i i m i ii li i a a a A A ．定理2.2.1 )(,F M B A n m ⨯∈∀,B A B A tr tr )tr(+=+．证明设⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ,⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=mn m m n n b b b b b b b b b B212222111211,则有矩阵)(F M C n m ⨯∈．mn ij ij mn ij b a c C )()(+==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222221211112121111 为矩阵A 和矩阵B 的和．因此可得C B A tr )tr(=+,又由于N l lm n ∈=,,则C tr ∑=+-++++=mi i m l i i m i i i c c c 1)1(,,,)(∑=+-+-++++++++=mi i m l i i m l i i m i i m i i i i i b a b a b a 1)1(,)1(,,,,,)(∑∑=+-+=+-++++++++=mi i m l i i m i i i m i i m l i i m i i i b b b a a a 1)1(,,,1)1(,,,)()(B A tr tr +=．由此我们得出了与方阵算子迹的基本性质(2)相同,即B A B A tr tr )tr(+=+．定理2.2.2 )(F M A n m ⨯∈∀,F k ∈,A k kA tr )tr(=．证明依据矩阵()mnija A =与数k 的数量乘积的定义]2[:用数k 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k ．因此可得.tr )()()tr()1(,,1,)1(,,1,A k a a a k ka ka ka kA i m l i i m i mi i i i m l i i m i mi i i =+++=+++=+-+=+-+=∑∑得证．定理2.2.3 )(F M A n m ⨯∈∀,A A tr tr ='．证明依据矩阵()mnija A =的转置的定义]2[: 设⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,所谓矩阵A 的转置就是指矩阵⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫='mn nnm m a a a a a a a a a A 212221212111．根据我们对矩阵分块的方法,也可以把矩阵A '分成l 个方阵,同时可以得到A a a a A mi i m l i i m i i i tr )(tr 1)1(,,,=+++='∑=+-+得证．定理2.2.4 )(,F M B A n m ⨯∈∀,)tr()tr(A B B A '='．证明令m n ij a A ⨯=)(,m n ij b B ⨯=)(为m n ⨯矩阵,则n m ji b B ⨯=')(为n m ⨯矩阵, 设n n ij c B A C ⨯='=)(，m m ij d A B D ⨯='=)(,其中),2,1,(1n j i b a c m k jk ik ij ==∑=,),2,1,(1m j i a b d nk kj ki ij ==∑=．所以∑∑∑∑∑======⎪⎭⎫ ⎝⎛=='n i mk ik ik ni m k ik ik n i ii b a b a c B A 11111)tr(,∑∑∑∑∑∑∑=========⎪⎭⎫ ⎝⎛=='n i mk ik ik n k mi ki ki mi n k ki ki mi ii b a b a a b d A B 1111111)tr(,从而 )(tr )(tr A B B A '='．定理2.2.5 )(,F M B A n m ⨯∈∀,B A B A tr tr )tr(+=+．证明给定矩阵()mn ij a A =和矩阵()mn ij b B =,由矩阵加法的定义[]2可以得知,mn ij ij mn ij b a c C )()(+==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222221211112121111 为矩阵A 和矩阵B 的和．对矩阵C 作与定义2.1.1相同的分块．又由于矩阵A 和矩阵B 有相同的分块,则矩阵A ,矩阵B 和矩阵C 也有相同的分块,且对应分块方阵上的对角线元素的位置没有改变,因此可得C B A tr )tr(=+．又有)tr tr ( )tr tr ()tr tr ( tr tr tr tr 112121111211111111111111111∑∑∑∑∑∑∑∑∑+++=+=+=+=+===+=+=++++++=+++=n n n n n n q i q i q i q iq i q i q i q iq i i q i i q i q i q i q iq i i B AB AB AC CC C)tr tr tr ( )tr tr tr ( 121112111111111111∑∑∑∑∑∑++=+=+==+=+=+++++++=n n n n q i q i q i q i q i i q i q i q i q iq i i B B B A AAB A tr tr +=．由此得证B A B A tr tr )tr(+=+．定理2.2.6 )(F M A n m ⨯∈∀,F k ∈,A k kA tr )tr(=．证明由定义知.tr tr tr tr )tr tr tr )tr(121112111111111111A k A AA k kA kAkA kA n n n n q i q i q i q iq i i q i q i q i q iq i i =+++=+++=∑∑∑∑∑∑++=+=+==+=+=定理2.2.7 )(F M A n m ⨯∈∀,tr tr A A '=．证明依据矩阵()mnija A =的转置的定义]2[: 设⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,则⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫='mn nnm m a a a a a a a a a A 212221212111．根据对矩阵分块的方法,可以把矩阵A '分成k 个(121++++=n q q q k , ,1,0=n )方阵,同时可以得到．A A AA A A A A n n n n q i q i q i q iq i i q i q i q i q i q i i tr tr tr tr tr tr tr tr 121112111111111111=+++='++'+'='∑∑∑∑∑∑++=+=+==+=+=定理2.2.8 )(,F M B A n m ⨯∈∀,tr()tr()AB B A ''=．证明令m n ij a A ⨯=)(,m n ij b B ⨯=)(为m n ⨯矩阵,则n m ji b B ⨯=')(为n m ⨯矩阵, 设n n ij c B A C ⨯='=)(，m m ij d A B D ⨯='=)(,其中),2,1,(1n j i b a c mk jk ik ij ==∑=,),2,1,(1m j i a b d nk kj ki ij ==∑=．所以∑∑∑∑∑======⎪⎭⎫ ⎝⎛=='n i mk ik ik ni m k ik ik n i ii b a b a c B A 11111)tr(,∑∑∑∑∑∑∑=========⎪⎭⎫ ⎝⎛=='n i mk ik ik n k mi ki ki mi n k ki ki mi ii b a b a a b d A B 1111111)tr(,从而 )(tr )(tr A B B A '='． 2.3 矩阵的广义迹的求解例2.3.1 考虑例1.2.2所给的矩阵A ,B34200300110201⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A , 34000000130203⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B ;(1) 求矩阵A ,B 的广义迹; (2) 验证各个定理．解 (1) 根据A ,B 的特点及矩阵广义迹的求法,可得:()()()()．32-tr 0tr 0tr 5 200tr 300110201tr tr =+++=-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ()()()()．60tr 0tr 0tr 6 000tr 000130203tr tr =+++=+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B (2) 验证定理2.2.5()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+200300240404tr 000000130203200300110201tr tr B A()BA tr tr 9 200tr 300240404tr +==-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 验证定理2.2.6 F k ∈∀,有()()()()．A k k k k k k k k k k k k k kk k kA tr 3 2tr 0tr 0tr 5 200tr 300020tr 200300020tr tr ==-+++=-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= 同理可证对矩阵B 有B k kB tr tr =．验证定理2.2.7()()()．A A tr 3 2tr 0tr 0tr 5 200tr 312010001tr 231200100001tr tr ==-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 同理可证对矩阵B 有B B tr tr ='．验证定理2.2.8()110024003600420027tr 001200300003200300110201tr tr =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='B A , ()11512330603tr 200300110201001200300003tr tr =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='A B ,则有A B B A '='tr tr ．(空一行,小四)参考文献(用项目编号)[1]姚幕生．高等代数[M]．上海: 复旦大学出版社,1980．[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京: 高等教育出版社,1988．[3]凌明娟，方能文等．高等数学(二)学习辅导［M］．北京: 高等教育出版社,1998．[4]王仙桃，旷良友．关于矩阵迹不等式的几个充要条件[J]．株洲工学院学报（自然科学版）, 2005, 19(1): 8-10.[5]曹怀信．Hilbert空间中的Bellman问题[J]．陕西师大学报（自然科学版）, 1993,21(1): 6-9．[6]周其生．关于算子迹的Hölder不等式的等价命题[J]．安庆师范学院学报（自然科学版）, 2004, 10(4): 68-70.[7]CHANG D W. A matrix trace inequality for products of Hermitian matrices [J].Mathematical Analysis and Applications, 1999, 237: 721-725．[8]CAO Huai-xin, XU Zong-ben, ZHANG Jian-hua, LI Wei-hua Li．Matrix-trace onC*-algebra Mn(A) [J]. Linear Algebra and Its Applications, 2002，345(1-3): 255-260．[9]王列，曹怀信. 交换C*-代数上矩阵的谱[J]. 宝鸡文理学院学报（自然科学版），2003，23(2): 94-96．[10]邱双月．矩阵的迹[J]．邯郸学院学报（自然科学版）, 2005, 15(3): 18-27．[11]钟镇权．对矩阵的迹的性质的研究[J]．柳州师专学报（自然科学版）, 1997,12(3) : 54-60．[12]余元希，田万海，毛宏德．初等代数研究(上册) [M]．北京: 高等教育出版社, 1988．[13]唐鹏程．矩阵的迹及其应用[J]．孝感学院学报（自然科学版）, 2000, 20(4):11-13．(另页，空一行,小四)致谢(空一行,小四)在大学四年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师曹怀信教授，他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！02级1班王秀英2006年5月。

数学论文格式规范（范本）

数学论文格式规范数‎学论文格式规范‎‎1撰写数学论文‎应具‎有原则‎ 1‎.1 创新性‎作为‎发表研究结‎果的一种文‎体,应反‎映作者本人所‎提供的‎新的事实,新的‎方法‎,新的见解。

论文‎选‎题不新颖,实验没有‎值的报道的成果,即使‎有高超写作技巧,也‎不‎可能妙笔生花,硬‎写出‎新东西来。

基础‎性研究‎最忌低水平重‎复,如受‎试对象,处‎理因素,观‎测指标,‎结果与前人雷‎同,毫‎无新意,这样论‎文不‎值得发表。

‎‎ 1.2 科学性‎科技论文的生命在‎于它的科学性。

没有‎科‎学性论文毫无价值‎,而‎且可能把别人引‎入歧途‎,造成有害结‎果。

撰写‎论文应具备‎:反映事实‎的真实性‎;选题材料的‎客观性‎;分析判定的合‎理性‎;语言表达的准确‎性‎。

1.‎3规范性规范性‎是论文在表现形式上‎的‎重要特点。

科技论‎文已‎形成一种相对固‎定的论‎文格式,大体‎上由文题‎,一般不超‎过20字;‎摘要;索‎引关键词;引‎言;研‎究方法,讨论,‎结果‎等部分组成。

这种‎规‎范化的程序是无数科‎学家经验总结。

它的优‎越性在于:符合认识‎规‎律;简洁明快,较‎少篇‎幅容纳较多信息‎;方便‎读者阅读。

‎2 撰‎写数学论文‎忌讳‎ 1‎大题小作‎论文‎不是书,如论文‎题目‎选的过大,那么泛‎论‎,浅论就在所难免。

‎数学教育论文基本特征‎:有数学内容,讲数‎学‎教育问题,具有论‎文形‎态,不贪大,不‎求空,‎具有新见解。

‎这样作者‎应将课题选‎的小一些,‎写出特色‎。

‎2 ‎关门写稿一‎本学‎术杂志中的论文,‎单‎独拿出来看自然是独‎立完整的。

就杂志的整‎个体系来看就会有一‎些‎联系,它们或是构‎成一‎个小专题或是使‎讨论不‎断深入。

这样‎作者就要‎对你准备投‎稿刊物有所‎了解,以‎免无的放矢。

‎不能缺‎乏事实凭空捏造‎,夸‎大结论。

首先应该‎知‎道别人做了些什么,‎写了些什么,避免在自‎己的论文中重复。

‎同‎时可以借鉴别人成‎果,‎在他人研究成果‎基础上‎进一步研究,‎避免做无‎用功。

数学系毕业(学年)论文撰写规范

数学系本科生毕业(学年)论文撰写规范及要求(修订稿)一毕业(学年)论文的基本结构1、题目(3号宋体加粗居中).题目要求恰当、简明的反映论文的中心内容，字数要适当，不宜超过20个字.2、署名(×××□□□□指导教师:×××. 小4号仿宋-GB2312居中).3、单位(包括工作单位和邮政编码, 五号仿宋-GB2312居中).规范单位的格式为:(河西学院数学与应用数学专业2009届班号,□甘肃张掖□734000)4、摘□要(5号宋体加粗左顶格)□(内容5号宋体)只能用第三人称写，要求简短精练，一般要求50—300个字.摘要的内容应包括研究的目的、方法和结论，而重点是结果和结论.5、关键词(5号宋体加粗左顶格)□(内容5号宋体,每个关键词之间用“；”分开) .列出3~5个关键词，一词在6个字之内，它们应能反映论文的主题内容，符合学科分类、专业术语的通用性，并注意与国际惯例一致.6、中图分类号(5号宋体加粗左顶格)□××××应查阅《中国图书馆分类号》（可在图书馆资料室，学报编辑部或数学系主任办公室查或网上查找）.7、英文题目、英文摘要、英文关键词：英文署名（单位）、英文摘要、英文关键词和中文的相应部分格式一致. 英文题目为4号Times New Roman字体, 英文署名（单位）、英文摘要、英文关键词为5号Times New Roman字体. 且“摘要”二字为Times New Roman加黑字体, “关键词”三字同摘要的要求相同.英文摘要要求明确、简练，一般不宜超过250个实词.注中英文摘要、关键词、分类号行前行后缩进2个汉字.8、正文(小4号宋体)正文是论文的核心部分，内容包括：问题的提出、问题的解决思路和方法、得出的结论以及应用等.1) 正文小标题标号：一级标号采用1, 2, 3, 等, 二级标号采用1.1, 1.2, 1.3, 2.1.2.2, 2.3, 等,具体格式为:一级标号: (左顶格小4号宋体加粗)1□关于序列的不等式二级标号: (□□小4号宋体)2.1□收敛性与稳定性2) 重要的或文章后面要用的数学式子要居中, 且按前后顺序标出标号，标号采用(1),(2),(3),等,并要求标在右顶格. 如:12()()().k k k f x xf x f x --=-(1)3) 数学式子的等号或不等号尽量上下对齐,同一行中的数学推导式子一般要求只用一个等号或不等号(当然不要生搬硬套). 如:()232132114331ϑϑϑϑϑϑϑϑS S S S S S S A++⎪⎭⎫ ⎝⎛≤'+'+'()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑA A A S S S S S S S S S 3213214331 ()ϑϑϑϑϑϑ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-A A A S S S S S S S S S 3211321314331()1231.4S S S ϑϑϑϑ=++ 4) 数学式子与数学式子之间, 数学式子与文字之间要有标点符号, 标点符号的确定要根据文章前后的意思来定. 论文中的句号一律采用实点“.”. 9、致谢格式：□□致谢(小4号宋体加粗)□致谢内容（5号宋体字）.10、参考文献：应列入主要的参考文献10篇以上，其它外文文献在2篇以上.参考文献以文献在整个论文中出现的次序左顶格用[1]、[2]、[3]、……形式排序、依次列出.参考文献的表示格式为：参□考□文□献(小4号宋体加粗居中)(顶格)[1](5号宋体，注意参考文献格式中的标点符号)1) 专著、论文集、学位论文、报告：[序号]主要责任者. 文献题名[文献类型标识]. 版次(第一版不写). 出版地：出版者,出版年.引用部分起止页. 如:[1]盛骤,谢式千,潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社,2001.21-38.[2]杨世明. 中国初等数学研究文集(1980-1991)[C]. 郑州: 河南教育出版社, 1992. 57-81.[3]何斌吾. 凸体几何中一些几何不等式的稳定性研究[D]. 上海: 上海大学数学系,2003.[4]教育部高等教育司,全国高等学校教学研究中心.工科数学系列课程教学改革研究报告[R].北京: 高等教育出版社, 2002.2) 期刊文章：[序号]作者. 译者. 文章题目[J]. 期刊名, 年份,卷号(期号)：引用部分起止页. 如:[5]陈志华,刘远成. 一类广义Hartogs三角形之间逆紧映射的分类[J],数学年刊(A),2003, 24(4):415-420.3) 会议论文集中的析出文献：[序号]作者. 文章名[A]. 编者. 文集名[C].会址,开会年.出版地:出版社,出版时间. 引用部分起止页. 如:[6]萧振纲,张志华. N个正数的Stolarsky平均与Heron平均[A]. 杨学枝. 全国第三届初等数学学术交流会论文集[C]. 福州,1996. 福州: 福建教育出版社,1997. 260-273.4)报纸文章:[序号]作者. 文献题名[N]. 报纸名, 出版日期(版次). 如:[7]谢希德. 创造性学习的新思路[N]. 人民日报,1998-12-25(10).5) 电子文献:[序号]主要责任者.电子文献题名[电子文献及载体类型标识].电子文献的出处或可获得地址,发表或更新日期/引用日期(任选). 如:[8]王明亮.关于中国学术期刊标准化数据库系统工程的进展[EB/OL]. .Cn/pub/winl.tex/980810-2. html, 1998-08-16/1998-10-04.二毕业(学年)论文的打印、排版和装订要求1、打印规范毕业论文一律用word编辑，用A4（210mm×297mm）标准大小的白纸打印，要求纸的四周留足空白边缘，以便装订.每一面的上边距和左边距侧（订口）应分别留边25mm,下边距和右边距(切口)应分别留边20mm. 行距一律为1倍.2、字数论文的篇幅一般要求不少于6000字.论文写作的汉字必须使用国家公布的规范字.3、具体格式本文推广;. (正文(□引言(河西学院数学系毕业(学年)论文领导小组2006年4月20日制定，2009年5月29日修订 .。

数学论文模板

数学论文模板数学论文模板第一篇一、妍究的背景及问题教材在教师教学和学生学习中所起的作用,已得到国际培育界的广泛任可.近年来的跨国妍究一至表明,亚洲学生的数学成就明显高于其他地区的同龄人.妍究人员认为教材在教学和学习的过程中发挥了重要的作用.因此,以教材为中心的妍究显得尤为重要.问题是教材间区别的主要来原之一,对于学生,解题的难度由不同类型问提出现的频率诀定,所以妍究者关注更多的是所碰到问题的类型.文[1]的妍究问题主要包括:（1）比较妍究中国和美国数学教材中的问题是如何呈现的;（2）教材中问题呈现形式的相仿性和差异性,并解释产生这些现像的也许源因.二、妍究方法妍究方法包括了教材的选择,概念框架及其界定,问题编码.1.教材的选择关于用于妍究教材的选择,文[1]选择的是两国使用较为广泛的初中数学教材,中国是培育出版社出版的数学教材（PEP）,美国为芝加哥数学计划开发的系列教材（UCSMP）.表1是7本教材的具体信息:选定的数学教材用于中国的初中一年级和初二年级,相当于美国七年级和八年级,学生年领约13～14岁.之所以把要点放在这个特舒的年级,主要因为初中时期是发展学生问题解决能力最重要的时期,并且问题解决的教学在初中年级比其他年级（小学和中学后）更有用.2.概念框架文[1]从教材观点下的问题定义开始,建立了一个"问题类型"的概念框架.尽管"问题"在数学课堂中久居核心地位,但因妍究者或妍究目的不同,在使用时所对应的概念也不同.文[1]将妍究中的核心概念"问题"定义为——需要做出诀定或答案,不管解决方案是现成的还是不存在的.根剧上述定义,将教材中的全部符合定义的问题分成了七类（见表2）.关于这7类问题的具体界定,文[1]给出了如下祥细的说明:（1）常规问题和非常规问题非常规问题是如此一种情境,问题解决者不能单单应用容易获得的标准算法、公式或程序就能解决问题.相比之下,常规问题是:只需要按照一定的已知算法、公式或程序,就可得到解答的问题.更具体些,常规问题它在被给出之前,课文中已经出现了可以解决这个问题的特定方法.（2）传统问题和非传统问题在这项妍究中,非传统问题包括4个问题子类.第一个子类是提问式问题,需要学生使用给定的信息来创造问题.第二子类是技巧型问题,需要学生去参与能提昇创造力的数学.第三子类是项目问题,它是包括下列一个或者多个的任务或任务系列:收集数据,观察,查阅资料,识别,测量,,确定模式或关系,绘图及交流,此类问题通常需要大量的时间去完成.结果一类是写作问题,它要求学生捅过写作来表达自己的想法等.捅过学生的写作,教师可得到关于学生学习和自身教学的少许有效信息.表3给出了非传统问题4个分类的样例.与非传统问题相对的正是传统问题.（3）开放问题和封闭问题开放问题是有多个或非常多个正确答案的问题.相对的封闭问题就仅有一个答案,不管求得答案的方式有多少种.它镪调了问题结果答案的开放性,而不是求解的方式.（4）应用问题和非应用问题非应用问题是指不与平常生活和现实全天下有关的一种情境,相反地,应用问题是在现实生活情境之下或与之有关的问题,值得注意的是,此处的现实生活情境不只局限于学生的平常生活,而是指更少许意义上的生活情境.文[1]对应用问题又划分了2个子类,一类是虚构的应用问题（FAP）,其条件和数据是由教科书虚构的;另一类是正棕的应用问题（AAP）,它的条件和数据是学生自己从他们的平常生活中收集得到.FAP例子:三个铃分别每8分钟、15分钟和24分钟响一次,如果在下午3点钟的时候它们同时响起,那么它们下一个同时响的时间是?AAP例子:你能将报纸页面折叠多少次?解释得到你答案的源因.（5）单步问题和多步问题如果一个问题,只需要直接一步运算就可以解决,那么被定义为单步问题.否则,就称之为多步问题.（6）足够的数据问题,多余的数据问题和数据不足的问题如果一个问题包含足够多解决问题的信息或条件,那么它被编码为一个多余数据的问题;如果问题提供的信息根本不够来得到答案,并且问题解决者既不能期望也不只怕去补充缺少的信息,那么如此的问题被认为是数据不足的问题;其余的问题中,里面的信息刚好足够问题解决者解决这个问题,如此的问题被认为是足够的数据问题.（7）纯数学形式的问题、口头形式的问题、可视化的问题、搭配形式的问题这种分类是基于如此一种问题表征形式,可以同时描述问题情境的设置和数据表现.如果问题的题干仅有数学表达式,那么问题就被归类为"以纯数学形式呈现的问题".如果题干完全是口头文字形式,即只有书面语,那么问题将被归为"口头形式的问题".如果题干由数字、图片、图表、表格、图表（示意图）、地图等简单组成,这一类问题归为"可视化的问题".其余的正是"搭配形式的问题",它由上述2种或以上形式搭配出现.利用上述概念框架,文[1]对中美教材中的每个问题都做了归类和编码.为了保证编码的整体凿凿性,文[1]先独处选择2个章节,再和其他学者分别对其编码,然后对两组编码做可靠性俭验,即计算两者的组内有关系数（ICC）,最后显示它们的信度范围在0.8～1.00之间,平均值为0.94.由此可见,文[1]的编码最终是相当可靠的.三、最后文[1]按照建立的概念框架,祥细和比较了两国教材中的问题后,得到一般重要的结论.整体上:（1）在习题总共上,美国比中国多很多（中国 6 850,美国13 286）;（2）美国教材中例题与练习题之比高于中国（中国7∶1,美国10∶1）.中美教材都提供一个很好的学习环境,让学生有机会去经历解决他们自身周围的问题.七类问题比较最终:（1）常规问题和传统问题占绝大部分.对非传统问题,相比中国,美国不仅数量大,而且种类更多,在分布上也更均衡,见表4.（2）中美教材中的问题主要都是封闭式的（中国98.1%,美国93.4%）.中美学生在面对开放性问题时的表现几乎一至,绝大多数学生只好给出一个答案,并且都集中在同一个答案上（中国58%,美国86%）.（3）大多数的问题与现实全天下情型没有连系.在中国教材中这点更加明显,真正应用问题所占的百分比仅为1%（总额是6 850）,美国教材中则有7.7%.范良火（Fan,1999）认为,这与两国的文化差异相关,美国人的价值观相比中国更实际和功利,因此教材中的问题多有切实背景.（4）中国教材中的问题比美国的更有挑站性.因为美国教材的问题有63%以上仅需一步,远大于中国的52%.许多美国学生对这类问题,都只会尝试将题中的数字简单做一次运算.（5）中美教材中大多数问题都提供了刚好足够的信息.中国教材的6 850个问题里,15个问题的信息有多余,1个问题信息不足.而美国教材的13 286个问题中,对应的问题数为264和4.这就要求我们在解决问题时,需要判断涉及的数据是否是必需的.（6）两国问题的呈现形式多样,但绝大多数是符号（中国86.5%,美国67.5%）.表5列出了两国教材系列问题的不同呈现形式分布.包括可视化信息的全部问题（既包含只有可视化信息的问题,又包含搭配形式中含可视化信息的问题）,美国的教材中这种类型为31.2%,中国为13.5%.美国的学生更喜欢与视觉有关的模式.另外,美国教材中问题的呈现形式分布更均衡,见表6.四、启示我国学生的基本功很扎实,记忆能力很强,数学水泙也相当高,如上海学生在20xx年PISA测试中数学素养排名第一.但是在这些"尤势"的背后,我们也要看到,中国学生往往书苯知识掌握得很好,但是沟通和实践能力还比较缺伐[2],学生萍时的学习正是做大量的习题.诚然,做题对基础知识的掌握有一定的作用,但是一味镪调做题的数量,似乎并没有太大意义.按照文[1]的框架,全部的问题都可以做多种归类,也正是说很多问题是同类的.那么如此归类之后,我们是不是可以对习题做精简,做相同多类型的题目,但是数量却少很多呢?我们相信,无论对教师还是学生,都可减轻很多任务.其次,对教材本身来说,笔者认为:中国的教材需要有更新颖和非传统的问题类型以及更切实的应用问题.相比之下,美国教材中需要多步骤求解,和信息多余或不足的问题类型很多.美国的数学教材比较注重数学与生活的连系,这点我们可以借鉴:在教材中加入更多的综和性问题.学生在探嗦这些综和问题的过程中,可以不断发展自己解决问题的能力等.由于问题的心性会因教师课堂中使用方式的不同而变化,因而课堂中实际实施的与教材所预期的课程之间会存在差距.因此对教材的,不只有益于学生的学习,而且对教师合理使用教材也是很有意义的.文[1]的妍究对象是中美初中阶段,但它所提供的问题分类框架很有价值,对于大规模的教材比较,我们也能借用这个框架,选择其中的一类或几类问题,捅过比例或茵素来进行比较妍究.至于问题的分类是否还可以括充,比如与大学数学的连系等,还有待于深入妍究.数学论文模板第二篇在数学中,我们学过曲綫和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根剧自己多年的经验,题出了少许关于曲綫与曲面积分的运算方法,稀望能购起到抛砖引玉的效果.一、曲面积分的运算(一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算第二类曲面积分也有相像于重积分的轮换对称性.这儿的轮换是指:1.被积表达式満足轮换对称性,即将补积表达式中的全部字母按轮换次序x→y→z→x代换后,积分不变;2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域一样,且配给的符号也一样.若満足上述轮换对称性,则上述轮换对称性通俗的说正是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变.例1:计算其中σ是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的全盘边界面的外侧.解:因变量按次序x→y→z→x轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域一样,配给的符号也一样,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性.,其中σ=σ1+σ2+σ3+σ4因σ2,σ3垂直于面xoy,故又因在σ1上有z=0,于是从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低可见,用轮换对称性来计算某些満足该条件的第二类曲面积分,是一种真实可行的计算方法.(二)高斯公式法定理(高斯公式):设空间区域v由分片光滑的双侧封闭曲綫s围成,若函数p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)在v上链续,且有一阶链续偏导数,则:(1)其中s取外侧.(1)式成为高斯公式.高斯公式也可以表示成:(2)其中(cosα,cosβ,cosγ)是s外法线的单位向量.应用高斯公式时,应注意条件:①s必须是封闭曲面,若所讨仑的曲面不是封闭曲面,应当适当补上某块曲面,使它成为封闭曲面;②p、q、r在v上链续且偏导数也链续,若它们及其偏导数在某点不链续,应当利用"挖去奇点"的技巧,在余下的区域内应用高斯公式.例2:计算曲面积分 ,其中σ是驱面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧.解:取σ1为xoy平面上上文库被圆x2+y2=0所围部分的下侧,记ω为由σ与σ1围成的空间闭区域,则由高斯公式知:2л,而,故.i=2л-3л=-л二、曲綫积分的运算利用green公式求解定理(green公式),设闭区域d由分段光滑的曲綫l围成,函数p(x,y)及q(x,y)在d上具有一阶链续偏导数,则:,其中l是d的取正向的边界曲綫.利用green公式可以把曲綫积分转化为二重积分.例3:已知平面区域d={(x,y)|0≤x≤п,0≤y≤л},l为d的正向边界.试证:(1)(2)解:(1)根剧格林公式,得:因为d具有轮换对称性,所以:,故:(2)由(1)知:(利用轮换对称性)=转贴于上文库数学论文模板第三篇应用题一直是小学数学教学的要点,也是难点,怎样突出这个要点,突破难点呢?我在多年的小学数学教学中,总结了应用题教学的以下"五步":?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />一、读正确、流利、完整地读题是解答应用题的前奏.读题,根剧不同的时间、环境可朗读,亦可寞读.但一定要流利地、有感情地读出来,一遍不行,可读两遍、三遍.遇见较复杂的应用题,可先示饭读.忌学生齐读,以免学生为"读题"而读,影响了学生对应用题的理解.二、述要求学生用自己的话复述题目,找关键词,关键句,数量关系,说解题思路,试着口算,看能否得出正确答案.三、画根剧已知条件和问题,画出示意图,能用线段图表示的,尽量用线段图表示.四、算在理解题意和找到解题思路的基础上,列式解答.五、验解答完毕,验算应用题做得对不对,可以根剧题意一步一步地检察,看每一步做得对不对.也可以把求得的最后当作已知条件,按照题意倒着一步一步地计算,看最后是不是符合原来的一个已知条件.教师在教学中坚持让学生用"五步"解应用题的方法,学生的能力将得到题高,教学效果会更加明显.经过一段时间采用此方法的训练,学生在解应用题时就知道如何理清思路,正确解答应用题.刻服了学身死搬硬套例题的解题方法.让学生令活掌握解应用题的方法,达到事半功倍的效果.数学论文模板第四篇一、符号意识的含义符号是初中课程内容中代数的主要部分,它所涉及的不单单是简单的符号运算,学生还需要理解符号所代表的意义、了解支配符号运算的结构和原理以及如何令活地行使符号表达观点和洞察情境.国外学者将"符号意识"视为一项能力,并对这些能力进行具体分化.Fey 认为符号意识包含如此几部分能力[1]:认识与鉴别能力,估算能力,检察、预测能力以及选择能力.Abraham在Fey的妍究基础上,给出了进一步的阐释.他认为符号意识主要包括以下6个成分[2]:（1）符号有关性.它主要包括对符号的理解和审美能力.知道怎么样用、什么时候用符号表示掩藏的关系与证明条件等.（2）在解决代数问题时,要能读懂符号表达式所蕴含的意思并能熟练地进行运算.（3）要有效符号关系表达言论和图像中信息的意识和顺力地设计符号表达式的能力.（4）具有选择最适当的符号表征问题的能力.（5）在解决问题的某一个步骤或者俭验最后时要有检察符号含义的意识,关于预期最后中符号的多种含义能依剧自己的直觉做出比较.（6）令会在不同青境下符号所起的不同作用,并发展对符号的直觉感.数学论文模板第五篇第 11 页共 11 页。

数学毕业论文(精选3篇)

数学毕业论文(精选3篇)数学是所有理工科学科的基础，大学生中数学专业的人也很多，读书是学习，摘抄是整理，写作是创造，这里是小编给家人们分享的数学毕业论文【精选3篇】，仅供借鉴。

大学数学研究论文篇一【摘要】本研究以高职院校单招班级为调查对象，通过问卷调查法研究高职单招学生对高等数学课程分层教学的看法，采用有效的分层次教学形式，培养学生的学习能力、激发学生学习的内动力，进而为分层教学的具体实施提供参考。

【关键词】高等数学；分层次教学；教学改革高职单招的生源较为复杂，其中一类对象是中职生，其特点是在进入高等职业教育前具有相应专业课的理论知识，并具备一定的职业技能素养，但在公共文化课程方面与统招生相比，存在一定的差距。

目前来看，部分高职院校将高考统招生源和单招生源放在同一个班级上课，造成学生接收程度不一、教学效果不佳等问题。

本文将根据高职部分单招生源在高中时期数学基础薄弱的事实，对其教学方法及课程设置进行合理的分层教学探索[1]。

1分层教学改革的原因高职生源与本科生源在高等数学课程教学上的区别高等数学课程具有较强的工具性和实用性，是学生提高自身能力和素质的载体。

从教学内容来看，高职版虽然基本上是本科版的压缩，但是高职高等数学的教材和课堂结构、教学模式和教学方法应与本科高校不同，须改变传统的以教师讲授为主的满堂灌，改变课堂教学模式的单一性，寻找优质的适合高职生源的课程资源、教材及教学方法以满足学生的学习需求及毕业后的岗位需求。

用教学改革的办法推进高职单招班高等数学分层教学的课堂教学结构战略性调整，增强应对不同生源学生需求的适应性和灵活性，提高课堂教学的效率，改变满堂灌的课堂教学模式。

高职不同生源学生在学习高等数学时的基础差异高职院校主要招生形式是高考统招和对口单招。

生源结构的复杂性和生源素质的差异性对高职院校的教育教学工作带来了极大的考验和挑战。

不同生源的同层教学会让高职单招生源中原本基础不好的学生跟不上进度，进而造成部分学生缺乏独立学习能力和探索精神。

数学系论文规范

信息学院数学系应数专业毕业论文格式规范一、毕业论文封面的填写封面：一律用统一封面。

下划线左右对齐，每个下划线中的内容居中，内容用四号宋体；完成日期（如200X年X月X日）居中出现且与开题报告中的论文完成日期一致；封面上严禁出现页码。

二、中、英文摘要的规范中文摘要一般要300字左右，字体为宋体，中、英文摘要如果可以一页写完，就放在一页编排，如果不能在一页写完，中、英文摘要均单独一页，英文摘要的翻译必须与中文摘要一致，格式与中文的一样，字体为Times New Roman。

三、目录的规范目录要单独一页，字体为宋体。

四、正文的规范1．正文中不要再出现论文题目，为使论文层次分明，可用引言、主要结论和致谢等小标题，将论文分成若干层次。

正文的小标题应位于A4纸左边开始，不得居中和空格。

2．正文的字体一律用宋体，小标题用四号加粗；正文用小四号。

3．小标题编号的层次一般不应超过三个，第一层次编号：一、二、三…等,第二层编号：(一)、（二）、（三）…等，第三层编号：1、2、3、…等。

正文中不能出现错别字。

4．正文要求6000字左右。

五、参考文献的规范1．“参考文献：”应位于A4纸左边开始,五号黑体,，前面不能加标号；2．参考文献一般不少于8篇，且必须有近几年的成果；3．参考文献目录表可参照如下格式撰写：[1] 陈首，王镇. 证券组合有效边界的研究[J]. 湖南大学学报，1998，22（2）：15-20.[2] 宋逢明. 金融工程[M]. 版次（初版不写）. 北京：清华大学出版社，2000，123-125.论文集：作者.文章标题：编者，文集名.出版地：出版者，出版年. 起-止页码.互联网资料：作者. 文章标题，完整网址，年代.4．参考文献用五号字宋体打印。

5．参考文献目录表中的文献必须在正文中出现。

文献被引用的标准格式如下：(1)定理[4]：假定…(2)近几年来，许多学者在这一方向做出了许多的努力。

（[2]-[6]）(3)张三在文献[2]中指出…六、其他事项学生在答辩时提交2份纸质论文，用文件夹夹好，答辩后根据答辩专家提出的问题再次修改。

数学论文模板

数学论文模板数学是一门严谨而又深刻的学科，数学论文的写作也需要一定的技巧和规范。

本文将为大家介绍一份数学论文的模板，希望能够对大家的论文写作有所帮助。

一、引言。

在引言部分，作者需要简要介绍研究的背景和意义，阐明研究的目的和意图，概述研究的方法和主要结论。

引言要简洁明了，不要过多赘述，突出研究的重点和创新之处。

二、问题描述。

在问题描述部分，作者需要清晰地提出研究的问题，并对问题进行详细的描述和分析。

要指出问题的重要性和难点所在，引出研究的动机和意义。

同时，要对已有的研究成果进行评述，指出其不足之处，为本文的研究提供理论依据。

三、理论模型。

在理论模型部分，作者需要建立数学模型，对问题进行形式化描述，提出相应的假设和条件。

要对模型进行严格的数学推导和分析，说明模型的合理性和适用性。

同时，要对模型的解的存在性和唯一性进行讨论，为后续的数值实验和验证提供理论依据。

四、数值实验。

在数值实验部分，作者需要利用计算机工具对模型进行数值求解，得到相应的数值结果。

要对数值结果进行详细的分析和讨论，验证模型的有效性和精确性。

同时，要对数值结果的误差和稳定性进行评估，指出数值实验的局限性和改进之处。

五、结论。

在结论部分，作者需要对全文进行总结和归纳，概述研究的主要成果和贡献。

要指出研究的不足之处和展望未来的研究方向，为相关研究者提供参考和借鉴。

结论要简明扼要，突出研究的创新之处和意义。

六、参考文献。

在参考文献部分，作者需要列出本文中所引用的相关文献和资料，按照一定的格式和规范进行排版和标注。

要注意引用文献的准确性和完整性，避免出现遗漏和错误。

以上就是一份数学论文的模板，希望能够对大家的论文写作有所帮助。

在实际写作中，作者还需要根据具体的研究内容和要求进行适当的调整和补充，以确保论文的完整性和严谨性。

希望大家在数学研究中能够取得更多的成果，为数学学科的发展做出更大的贡献。

大学数学论文格式

大学数学论文格式第一篇：大学数学论文格式大学论文一般格式1、论文题目：要求准确、简练、醒目、新颖。

论文题目下附署名，在一行中要与标题对应而居中。

题目用黑体三号字，加黑居中。

2、目录目录是论文中主要段落的简表，采用目录索引方式。

页码从一级标题宋体四号字，二、三级标题宋体小四号字。

3、内容摘要：它是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。

字数少可几十字，多不超过三百字为宜。

仿宋小四号字，1.5倍行距；―摘要‖四号宋体。

4、关键词或主题词关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。

关键词是用作计算机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。

每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在―摘要‖的左下方。

仿宋小四号字，1.5倍行距；―关键词‖四号宋体。

主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题分析，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。

（参见《汉语主题词表》和《世界汉语主题词表》）5、论文正文：1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。

引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义,并指出论文写作的范围。

引言要短小精悍、紧扣主题。

〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、论证过程和结论。

主体部分包括以下内容：a.提出问题-论点；b.分析问题-论据和论证；c.解决问题-论证方法与步骤；d.结论。

正文一级标题：宋体四号字加黑居左；正文二级标题：宋体小四号字加黑居左缩两格；正文三级标题：宋体小四号字居左缩两格；正文其余文字小四号，统一采用1.5倍行间距编排。

图：毕业设计中的每幅图都应有图题，图题由图号和图名组成，用五号宋体。

图号按部分编排，如―图2-3‖表示第2部分第3张插图，图号与图名之间空一格排写，图题居中置于图下。

表：每个表格应有自已的表题和表序，表题应写在表格上方正中，用五号宋体，表序写在表题左方不加标点，空一格接写表题，表题末尾不加标点。

毕业论文格式(通用)

毕业论文格式（通用）摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学。

在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

直观与推理是"图形与几何"学习中的两个重要方面，提高学生的观察能力、抽象成数学模型能力和空间想象能力对学生"图形与几何"的学习具有重要作用。

关键词：浅谈；发展；学生；几何直观新课程标准指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。

在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。

几何直观不仅在"图形与几何"的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中。

纵观整个小学数学的教材（人教版实验教材），从一年级到六年级，每一册教材都用了一个单元进行几何初步知识的学习，关于发展学生的几何直观的内容占了很大比例。

这表明小学阶段正是发展学生形成对几何图形和几何问题的初步的直观判断能力的有利时期。

有了理念的支撑，那么我们在教学中怎样培养学生的几何直观呢？这些年来我进行了实践，现谈谈我的一做法：新课标强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生理解数学，并在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

儿童生活在一个充满几何图形和几何体的现实世界中，他们在日常生活中积累的对图形的直观感知和表象心像以及思考猜想构成了丰富的几何经验和知识背景，成为他们发展几何直观学习空间与图形的重要事实基础，因此，我们在几何教学中就要贴近生活，研究儿童心中的几何问题。

通过学生自己动手收集不同形状的物品，学生认识到这些物体都是实际生活中的，从而使学生感受到数学源于生活，生活中处处有数学。