最新12-3一般项级数
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12-3一般项级数
§3 一般项级数
(一) 教学目的：
掌握交错级数的莱布尼茨判别法，一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．(二) 教学内容：
交错级数；莱布尼茨判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法；条件收敛；绝对
收敛．
基本要求：
(1) 理解收敛级数,绝对收敛级数与条件收敛级数的关系,性质及证明方法.掌握交错
级数的莱布尼茨判别法．
(2) 掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的性
质．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收
敛和绝对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论．总结判别一般项级数的
敛散性的各种方法．
(2) 本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要
求较好学生掌握绝对收敛级数的性质．
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一交错级数
定理9 （莱布尼兹（Leibniz）判别法）有交错级数«Skip Record If...»，若 i）«Skip Record If...» ii）«Skip Record If...»则级数«Skip Record If...»收敛，并有«Skip Record If...».
证 ( 证明部分和序列«Skip Record If...»的两个子列«Skip Record If...»和«Skip Record If...»收敛于同一极限 . 为此先证明«Skip Record If...»递增有界. )
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...», «Skip Record If...»«Skip Record If...»↗;
又«Skip Record If...», 即数列«Skip Record If...»有界.
由单调有界原理, 数列«Skip Record If...»收敛 . 设«Skip Record If...».
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».
由证明数列«Skip Record If...»有界性可见 , «Skip Record If...». 余
和«Skip Record If...»亦交错级数«Skip Record If...»余和«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同号, 且«Skip Record If...».
例1 判别级数«Skip Record If...»的敛散性.
解«Skip Record If...»时 , 由Leibniz判别法, «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛;
«Skip Record If...»时, 通项«Skip Record If...», «Skip Record If...»发散.
二. 绝对收敛级数及其性质:
1.绝对收敛和条件收敛:
以Leibniz级数为例, 先说明收敛«Skip Record If...»绝对收敛.
定理12。2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) «Skip Record If...»收敛«Skip R ecord If...»«Skip Record If...»收敛.
证 ( 用Cauchy准则 ).
一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.
例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性.
2. 绝对收敛级数可重排性 :
对级数«Skip Record If...»，令
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
则有 i) «Skip Record If...»和«Skip Record If...»均为正项级数 , 且有«Skip Record If...»和«Skip Record If...»;
ii) «Skip Record If...» , «Skip Record If...» .
定理 3 i) 若«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...» .
ii) 若«Skip Record If...»条件收敛 , 则«Skip Record If...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»«Skip Record If...» .
证 i) 由«Skip Record If...»和«Skip Record If...», ⅰ> 成立 . ii) 反设不真 , 即«Skip Record If...»和«Skip Record If...»中至少有一个收敛 , 不妨设«Skip Record If...»«Skip Record If...» .由«Skip Record If...»= «Skip Record If...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»以及«Skip Record If...»«Skip Record If...»和 n u收敛 , «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».
而«Skip Record If...» , «Skip Record If...»«Skip Record
If...»«Skip Record If...», 与«Skip Record If...»条件收敛矛盾.
⑶绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念.
定理4 设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的一个更序 . 若«Skip Record If...»«Skip Record If...», 则«Skip Record If...»«Skip Record If...», 且«Skip Record If...»=«Skip Record If...».