解析几何中的切线问题
求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程
题目：求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程【内容】1. 求曲线在指定点处的切线方程是解析几何中常见的问题，它涉及到对曲线的切线的性质和方程的推导。
2. 具体而言，当我们要求曲线在某一点处的切线方程时，首先需要求出该点的切线斜率，然后根据切线的一般方程或者斜截式方程来构建切线方程。
3. 不仅如此，对于曲面而言，我们也可以求出曲面在指定点处的法平面方程。
法平面是与曲面在某一点的法向量垂直，并通过该点的平面，求解法平面方程同样需要根据指定点的法向量和点法式方程来进行推导。
4. 将求切线方程和法平面方程的具体数学步骤和公式应用到解析几何的实际问题中，可以帮助我们更深入地理解曲线和曲面的性质，同时也为求解相关问题提供了可靠的数学工具。
5. 在解析几何学习中，我们经常会遇到各种曲线和曲面在指定点处的切线方程和法平面方程的求解问题，下面我们将结合具体的示例来演示求解的过程和技巧。
【结构】1. 概述：讨论求曲线在指定点处的切线方程和曲面法平面方程的重要性和意义。
2. 切线方程的推导：介绍求解曲线在指定点处的切线方程的一般步骤和方法。
3. 切线方程的应用实例：通过具体的例子演示求解切线方程的过程和技巧。
4. 法平面方程的推导：介绍求解曲面在指定点处的法平面方程的一般步骤和方法。
5. 法平面方程的应用实例：通过具体的例子演示求解法平面方程的过程和技巧。
6. 结论：总结本文涉及的内容，强调求解曲线和曲面方程的重要性和应用价值。
7. 参考文献：列出本文涉及的参考文献和相关资料来源。
【概述】求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要问题。
切线方程和法平面方程的求解不仅涉及基本的数学原理和公式，同时也需要灵活运用数学推理和几何思维。
下面将介绍切线方程和法平面方程的求解方法，并结合具体例子加以说明。
【切线方程的推导】1. 切线方程的一般形式：y = kx + b2. 求曲线在指定点处的切线斜率：k = f'(x0)3. 利用切线的一般方程或斜截式方程构建切线方程：y - y0 = k(x - x0) 或 y = k(x - x0) + y0【切线方程的应用实例】示例1：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
《切线的判定》课件
切线与过切点的半径所在的直 线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切 线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是 否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的 性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判 断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直 线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需 要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画 出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接 已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质 ，证明割线与圆只有一 个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理， 如果一条割线满足上述 性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的 运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用 切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定 定理来判断流体是否沿着流线流动。
高中数学期末备考：解析几何02圆的双切线模型及应用含解析
2.圆的双切线模型及应用圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用.尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.如图1，从圆外任一点),(00y x P 向圆引两条切线，圆心C ，两切点B A ,，我们把线段PB P A ，的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则四边形P ABC 具有如下的性质：1.P AC PBC ；PB P A .2.切线长的计算：22r PC PB P A,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.3.C B A P AP CA BP BC ,,,, 四点共圆180 ACB APB ，C B A P ,,,的外接圆以PC 为直径 PC AB AP BC PB AC （托勒密定理）.4.PC 平分ACB APB ，.5.222r PC r PB BC S S PBC P ABC ，当半径给定，四边形P ABC 最小等价于PC 最小.6.假设 2 APC BPC 且PCrPC BCsin .由基本的三角恒等关系可知：22(21sin 212cos PCr ，故可得：2cos ||||P A PB PB P A 224222232](21[)(r PC r PC PC r r PC .对2PC 使用均值不等式可得 PB P A 最小值.图17.假设),(00y x P ，圆C 的方程为022 F Ey Dx y x （0422 F E D ）则切点弦AB 的方程为：0220000 F yy E x x Dy y x x .可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为PC 的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.例1.若P 是直线l ：3490x y 上一动点，过P 作圆C ：2240x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）B．D．解析：考察性质5.因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ，且PAC PBC ≌所以四边形PACB 面积12222PAC S S AC PA PA ，又PA，所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y 的距离，所以min 3PC，所以min PA 所以四边形PACB面积的最小值2S PA ，故选：B例2.（2020全国1卷）已知⊙M：222220x y x y ，直线l ：220x y ，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．210x y B．210x y C．210x y D．210x y 解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为 22114x y ，点M 到直线l的距离为2d，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ，所以14442PAM PM AB S PA AM PA，而PA，当直线MP l时，min MP ，min 1PA ，此时PM AB 最小．∴ 1:112MP y x 即1122y x ，由1122220y x x y解得，10x y．所以以MP 为直径的圆的方程为 1110x x y y ，即2210x y y ，两圆的方程相减可得：210x y ，即为直线AB 的方程．我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.练习题.1．已知圆C ： 22111x y ，P 是直线10x y 的一点，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，则PC AB 的最小值为（）B．C．2．设P 为圆224x y 外一点，过P 引圆的切线，两切点分别为A 和B ，若4PA PB，则cos APB （）A．21C．2D．23．过椭圆2213627x y 上一点P 分别向圆 221:34C x y 和圆 222:31C x y 作切线，切点分别为M 、N ，则222PM PN 的最小值为（）A．90B．102C．107D．1654．已知点P 是直线:260l x y 上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r (0)r 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN 的最大值为60 ，则r 的值为（）A．2B．1C．D5．已知圆C ：224210x y x y ，点P 是直线4y 上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（）6．已知圆22:(2)(6)4 C x y ，点M 为直线:80l x y 上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（）A．22(7)(1)4 x y B．22(1)(7)4 x y C．22(7)(1)2x y D．22(1)(7)2x y7．已知 3,4P ，过点P 作圆 22:11C x a y a （a 为参数，且a R ）的两条切线分别切圆C 于点A 、B ，则sin APB 的最大值为（）A．1B．128．已知圆22:20C x y x ，直线:10l x y ，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．0x y B．0x y C．2210x y D．2210x y5.解析：圆C ：224210x y x y 化为标准方程： 22214 x y ，其圆心 2,1C ,半径2r .过点P 引圆C 的两条切线,切点分别为点A、B ,如图：在△PAC 中,有11||||||||222PAC AB S CA AP CP，即||||||4AB AP CP ，变形可得：4||||||AP AB CP.设||CP x ，则44||AB x 所以当||CP 的值即x 最小时，24x 的值最大，此时||AB 最小.而||CP 的最小值为点C 到直线4y 的距离，即min ||3CP ，所以min ||AB .故选：B6.解析：圆22:(2)(6)4 C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r ，点C 到直线l 的距离dCA AM ，四边形CAMB 周长2||2||44CA AM 48 ，当且仅当CM l 时取“=”，此时直线:80CM x y ，由8080x y x y得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)22(1)(7)2 x y .故选：D7.解析：圆心 ,1C a a ，半径为1，圆心C 在直线1y x 上运动，设APC ，则2APB ，由圆的几何性质可知1tan AC PA PA，所以，2222sin cos 2tan 22sin sin 211sin cos tan 1tan tan APB PA PA，当直线PC 与直线1y x 垂直时，PC取最小值，则PA 且min2PC，则min PAPA ，由双勾函数的单调性可知，函数1yx x在上为增函数，且10y x x，故函数21f xx x在上为减函数，故当PAsin APB取得最大值42.故选：C.8.解析：圆C 的标准方程为 2211x y ，圆心为 1,0，半径为1r .依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA△，而PA当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB 最小.结合图象可知，此时切点为 0,0,1,1 ，所以直线AB 的方程为y x ，即0x y .故选：A。
函数中切线的概念及性质
函数中切线的概念及性质切线是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在某一点处的局部特性。
切线与曲线的切点处相切，并且在该点附近近似代表曲线的变化情况。
在数学中，切线经常应用于函数的求导和微分等问题中。
下面我将详细介绍切线的定义、性质以及一些具体的应用。
1. 切线的定义：对于一条曲线C，取其上一点P(x0, y0)。
如果存在一个直线L，使得曲线C与直线L在点P处相切，并且曲线C与直线L在点P处的切线方向与曲线在该点处的切线方向相同，那么直线L就称为曲线C在点P处的切线。
2. 切线的性质：（1）切线与曲线在切点处相切；（2）切线是通过曲线上的一点的一次线性逼近；（3）切线与曲线在切点上切线方向相同。
3. 切线的求法：对于给定的函数y=f(x)，我们要求其在点P(x0, y0)处的切线。
有以下步骤：（1）计算函数在点P处的斜率，即求导数f'(x0)；（2）使用点斜式方程(y-y0) = f'(x0)(x-x0)得到切线的方程。
4. 切线的几何意义：切线可以近似地描述曲线在某一点的变化情况，即切线的斜率可以表示曲线在该点处的变化速率。
切线还可以与曲线的图像相切，便于我们研究曲线的局部性质。
5. 切线与导数的关系：函数在某一点的导数恰好是函数在该点处的切线的斜率。
因此，求导数的过程实质上是求曲线在各个点处的切线的斜率。
6. 切线的应用：（1）求曲线的近似值：由于切线可以近似替代曲线，所以我们可以通过求解切线的问题来近似地求解曲线的问题。
（2）求函数的变化率：函数在某一点的切线的斜率可以表示函数在该点处的变化率，从而可以帮助我们研究函数的增减性、极值、趋势等问题。
（3）求最优解：对于一些优化问题，我们可以通过研究曲线的切线来找到函数极值的位置，从而得到函数的最优解。
总之，切线是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在某一点处的局部特性。
切线的定义、性质以及与导数的关系有助于我们深入理解曲线变化的情况，并在数学、物理等领域中有广泛的应用。
切线的知识点总结
切线的知识点总结一、基本概念1. 切线的定义在平面解析几何中，给定曲线上一点P(x0, y0)，若曲线经过该点的一条直线与曲线在该点处有且仅有一个公共点，则该直线被称为曲线在该点处的切线。
2. 切线方程设曲线的方程为F(x, y) = 0，点P(x0, y0)为曲线上的点，当曲线在点P处有切线时，切线方程可表示为F’(x0, y0)(x - x0) + F’’(x0, y0)(y - y0) = 0，其中F’和F’’分别表示对x和y的偏导数。
3. 切线的性质（1）切线与曲线的关系：切线与曲线在切点处相切。
（2）切线方向：切线在切点处与曲线的切线方向相同。
二、求解切线的方法1. 隐式求导法经典方法是先求出曲线的导数函数，再利用导数的定义求得曲线在给定点处的斜率，进而得出切线方程。
例如，对于曲线y = x^3 - 2x^2 + 3x - 1，点P(1, 1)处的切线方程的求解过程可用隐式求导法进行。
2. 参数方程法对于一些曲线如抛物线、双曲线等，可以用参数方程表示其方程，从而通过参数方程法求得切线方程。
3. 极坐标下的切线方程对于极坐标系下的曲线，通过导数和极坐标系的极坐标变换，可以求得曲线在给定点处的切线方程。
4. 三角函数和指数函数的切线方程对于三角函数和指数函数等特殊函数，可通过函数导数的求解和切线方程的一般形式得出切线方程的具体形式。
三、切线的应用1. 几何意义切线是研究曲线的一个基本工具，它可以描述曲线在某点的切线方向，从而揭示曲线的局部性质。
例如，切线可以用来描述曲线在某点的陡峭程度，曲线的凸凹情况等。
2. 物理应用在物理学中，切线常被用来描述曲线运动的速度、加速度等物理量。
在物体做曲线运动时，可以利用切线的方向和斜率表示速度方向和大小，从而分析物体的运动状态。
3. 工程应用在工程领域，切线的概念常被应用在工程设计、建筑设计等领域。
利用切线概念，可以分析曲线的局部形态，辅助工程设计过程。
平面解析几何基础知识曲线的切线与法线方程
平面解析几何基础知识曲线的切线与法线方程在平面解析几何中，曲线的切线与法线方程是重要的基础知识。
切线与法线是通过曲线上的某一点与该点处的曲线切线（或法线）相切而得到的直线。
1. 曲线的切线方程曲线的切线是通过曲线上的某一点与该点处的曲线相切得到的一条直线。
为了确定曲线的切线方程，我们需要知道曲线上的某一点以及该点处切线的斜率。
设曲线的方程为y = f(x)，其中f为可导函数。
曲线上的某一点P(x0, y0)处的切线斜率可以通过函数的导数来表示：k = f'(x0)切线方程的斜截式方程形式为：y - y0 = k(x - x0)这就是曲线在点P(x0, y0)处的切线方程。
2. 曲线的法线方程曲线的法线是通过曲线上的某一点与该点处的曲线垂直相交得到的一条直线。
为了确定曲线的法线方程，我们需要知道曲线上的某一点以及该点处法线的斜率。
曲线上的某一点P(x0, y0)处的法线斜率可以通过函数导数的倒数来表示：k = -1/f'(x0)法线方程的斜截式方程形式为：y - y0 = k(x - x0)这就是曲线在点P(x0, y0)处的法线方程。
需要注意的是，在使用切线和法线方程时，我们需要确定曲线上的某一点以及该点处的切线斜率或法线斜率。
这些信息可以通过已知条件、函数的导数、点的坐标等方式来获取。
总结：平面解析几何中，曲线的切线与法线方程是基础的知识点。
切线方程可以通过曲线上的某一点和该点处的切线斜率来确定，而法线方程可以通过曲线上的某一点和该点处的法线斜率来确定。
在应用切线和法线方程时，我们需要明确曲线上的某一点和该点处的斜率信息。
这些信息可以通过函数的导数或已知条件来获取。
掌握了曲线的切线与法线方程，可以更好地理解和分析曲线的性质与特点，进一步深入学习解析几何的相关知识。
字数：407字。
导数概念
导数的概念起源于几何中切线问题及力学中的速度问题，
现在就从这两个问题说起.
y y f (x)
1、切线问题
从解析几何中知道，曲线 在其上一点P的切线，是割线 PQ，当Q沿曲线无限地接近于 点P时的极限位置。
P(x0, y0)
o x0
切线T
x
这种无限地接近于某点时的极限位
置，数学上用取极限表示，即 lim x x0
f
(x)
四、应用举例
例1、求f (x) x2 的导数.
分析：f '(x)
lim y lim
x Δx0
Δx0
f (x x) x
f (x)
解： Δy f (x Δx) f (x) (x Δx)2 x2
x2 2x Δx Δx2 x2
为此，可取一邻近于t0时刻t,并求出落
体由t0到t一段时间内的平均速度
v
s s0 t t0
1 2
gt2 1 2
t t0
gt02
g 2
(t
t0)
此平均速度近似地反映了落体在时
刻t0的快慢速度。
若t越接近t0则反映越准确。
s0
1 2
gt02
s 1 gt2 2
∴s0的瞬间速度为
Δx0 x(x Δx)x
lim
Δx0
1 x(x Δx)
1 x2
f
'(2)
1 22
1 4
f (x) f (x0 ) y
x x0
x
lim y
x x0 x
切线的性质
切线的性质切线是解析几何中的一个重要概念，它在曲线与直线相交的点处切断曲线。
切线有许多重要的性质，它们对于研究曲线的性质和求解问题非常有帮助。
在本文中，我们将介绍切线的性质及其应用。
切线的定义在解析几何中，切线是指与曲线相切于一点并且在该点处与曲线仅有一个公共点的直线。
切线处的点被称为切点。
切线的性质切线具有以下几个重要的性质：1. 切线垂直于半径在圆中，半径与切线相交时，切线与半径的交点处的切线垂直于半径。
2. 切线与切线垂直两条切线在曲线的切点处相交时，它们的交点处的切线互相垂直。
3. 切线切割曲线切线与曲线相切于一点时，它将曲线分成两个部分。
其中一个部分在切线上方，另一个部分在切线下方。
切线上方的部分与切线下方的部分互不相交。
4. 切线的斜率切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。
换句话说，切线的斜率是曲线在该点处的瞬时变化率。
5. 曲率曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
切线与曲线相切于该点时，曲率是切线和曲线之间的夹角的倒数。
6. 切线方程切线方程可以用来描述切线的位置和性质。
切线方程的一般形式为y = mx + c，其中m是切线的斜率，c是切线与y轴的交点。
切线的应用切线的性质在数学和物理学中有广泛的应用。
下面是一些切线的应用实例：1. 最速下降法最速下降法是一种优化算法，它使用切线的性质来求解最小化问题。
该方法在每一步选择沿着当前位置的梯度最大下降的方向，即沿着切线方向前进。
2. 牛顿法牛顿法是一种用来求解实数根的数值方法。
它利用切线的性质，通过计算切线与x轴的交点来逼近函数的零点。
3. 曲线拟合在数据分析和曲线拟合中，切线的性质用于拟合数据点并找到最佳拟合曲线。
通过选择使得切线与数据点最接近的曲线，可以找到最佳拟合曲线。
4. 函数导数的计算在微积分中，切线的斜率等于函数在该点处的导数值。
因此，切线的性质可以用来计算函数在给定点处的导数。
5. 函数的极值点在求解函数的极值点时，切线的性质可以用来确定函数的局部极值点。
圆的切线与切点的求解
圆的切线与切点的求解在数学中，圆的切线是指与圆相切且仅与圆有一个公共点的直线。
而切点则是切线与圆的交点。
在本文中，我们将详细讨论如何求解圆的切线和切点。
一、切点与切线的定义和性质在准确求解圆的切线和切点之前，我们首先需要了解切点和切线的定义和性质。
1. 切点：切点是指圆与切线的交点，也就是切线上离圆最近的点。
2. 切线：切线是与圆相切且仅与圆有一个公共点的直线。
性质1：切线与半径的垂直性切线与半径的相交点处形成的角是直角（90度）。
性质2：切线的切点一条切线与圆有且仅有一个切点。
二、求解圆的切线与切点的方法下面将介绍两种求解圆的切线与切点的常用方法。
1. 切线的求解方法一：几何法几何法是一种通过画图的方式求解切线和切点的方法。
具体步骤如下：步骤1：在纸上画一个圆，并标记圆心O和半径r。
步骤2：选择一个点P在圆外，并以P为圆心画一个与圆相交于A 和B的弧。
步骤3：连接点P和圆心O，得到直线PO。
步骤4：以点A为圆心，长度为半径r的线段，画一个与圆相交于C和D的弧。
步骤5：连接点P和C，得到直线PC。
步骤6：直线PC即为圆的切线，并与圆相切于点C。
2. 切线的求解方法二：解析几何法解析几何法是一种通过数学计算的方式求解切线和切点的方法。
具体步骤如下：步骤1：设圆的方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
步骤2：设切点为(x0, y0)，切线的斜率为k。
步骤3：由于切线与圆相切，所以切点坐标(x0, y0)必满足方程：(x0-a)^2 + (y0-b)^2 = r^2。
步骤4：由于切线的斜率等于切点到圆心的直线的斜率，所以切线的斜率k可以表示为：k = (y0-b)/(x0-a)。
步骤5：将切线的斜率k代入切点坐标的方程，解得切点坐标(x0, y0)。
三、实例演示为了更好地理解如何求解圆的切线与切点，我们将进行一个实例演示。
例：已知圆心坐标为O(2, 3)，半径为4，求解圆的切线和切点。
切线与割线定理
切线与割线定理在解析几何中，切线与割线定理是指与圆相切或相交的直线与圆的性质。
它们是几何学中重要的基础概念，可以应用在许多数学问题的解决中。
本文将以切线与割线定理为主题，详细介绍其基本原理和应用。
一、切线定理对于一个圆及其上的一点，以该点为切点的直线称为切线。
切线与半径垂直，并且只有一个切点。
切线定理是指：如果一条直线与圆相切于某一点，则该直线与半径的连线在切点处垂直。
证明：设直线与圆相切于点P，连接圆心O与切点P，并延长与圆的直径AA'相交于点M。
根据圆的性质可得，弧PA与切线OP垂直，弧PA'与切线OP'垂直。
又因为圆心角AOA'为直角，所以POM是直角三角形。
利用三角形垂直定理可得，直线MM'垂直于OP，并且由于M是AA'的中点，所以OP也垂直于AA'。
因此，直线与圆相切于某一点时，该直线与半径的连线在切点处垂直。
二、割线定理在切线定理的基础上，延长相交于圆且不与圆相切的直线称为割线。
割线可以与圆有两个交点。
割线定理是指：如果一条直线与圆相交于两个点，则两条半径的和等于直线与圆心的距离。
证明：设直线与圆的交点为A和B，连接OA和OB，并延长直线AB至直线OA'的交点为C。
根据切线定理可得，直线与圆相交于A点，则AO垂直于AB；直线与圆相交于B点，则BO垂直于AB。
所以，AOCA'和BOCB'都是矩形。
根据矩形的性质可得，AO=AC，BO=BC。
又因为AO是圆的半径，AC是直线AB与圆心O的距离。
所以，两条半径的和等于直线与圆心的距离。
三、应用举例切线与割线定理在解决数学问题时起到了关键的作用。
下面通过两个具体例子来说明它们的应用。
例1：求切线与割线定理在解决实际问题中的应用已知一个半径为6cm的圆，圆心到某点的距离为8cm。
求与该圆相切的切线的长度。
解：根据切线定理可知，切线与半径的连线在切点处垂直。
设切点为P，连接圆心O与切点P。
切线定理的证明与应用解析
切线定理的证明与应用解析切线定理，又称为切角定理，是解析几何中的一个重要定理，用于描述平面上一条曲线与其切线的关系。
本文将对切线定理的证明及其应用进行详细的解析。
一、切线定理的证明为了证明切线定理，我们首先需要了解什么是切线以及切线的性质。
在平面几何中，给定一条曲线和曲线上的一点P，过点P且与曲线仅有一个公共点的直线称为曲线在点P处的切线。
证明切线定理的关键是利用导数的概念和性质。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。
取曲线上一点P(x0,y0)，并选取一条过P的切线L。
切线L的斜率可以表示为dy/dx。
由于切线仅与曲线在点P处相切，因此曲线上的其他点(x,y)也必须满足曲线方程g(x)-y=0与切线方程dy/dx(x-x0)-y+y0=0的联立条件。
通过解联立方程，我们可以得到一个关于dx和dy的方程。
对该方程进行一阶泰勒展开，可以得到一般形式的切线方程：dy/dx = [dy/dt] / [dx/dt] = g'(t) / f'(t)这个方程给出了曲线在任意一点处切线的斜率。
切线定理则是该定理的特殊情况，即当t=t0时的情况。
在切线上，有t=t0，因此切线方程简化为：dy/dx = g'(t0) / f'(t0)这个结果就是切线定理。
二、切线定理的应用切线定理在解析几何中有着广泛的应用。
下面我们将介绍切线定理在求曲线的切线、判定曲线凹凸性以及估算近似值等方面的应用。
1. 求曲线的切线通过切线定理，我们可以根据给定曲线的函数表达式，求出曲线在任意点处的切线方程。
我们只需要求出函数的导数，然后在给定点处代入即可得到切线的斜率。
再根据切线的斜率和经过给定点的条件，可以得到切线的方程。
2. 判定曲线的凹凸性对于曲线上的某一点P(x0,y0)，切线定理可以用来判定该点所在的曲线的凹凸性。
如果切线的斜率dy/dx大于零，则该点位于曲线的上凸部分；若切线的斜率小于零，则该点位于曲线的下凸部分。
2021新高考1卷数学解析几何的切割线定理做法
2021新高考1卷数学解析几何的切割线定理做法
1、熟悉切割线定理：（利用圆的切线）
①圆的切线的条数＝圆的顶点数＞已知直线的条数；
②在同一直线上的圆的切点，在另一直线上的切点，其渐近线相等；
③两个圆的切线必定两两相交。
2、按定理，将给出的几何问题转化为数学问题，给出判定条件：
已知圆O（a,b）和直线l：ax+by+c=0，若两条直线l，k平行于O的切线，则其渐近线相等，即：
平行于k的直线：ax+by+ck=0,其渐近线相等
3、根据判定条件，求解问题：
若要求出k,满足上式，则应求解：
a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0，
其中 a1=a, b1=b, c1=c
a2=αa, b2=αb, c2=αck
是α（取值范围：0≤α≤∞）
令a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0相等，
可得α=(-c1/c2)=(b1c2-b2c1)/(b2a1-a2b1)
令α=(-c1/c2)=(b1c2-b2c1)/(b2a1-a2b1)，表示k的方程为ax+by+ck=(-b2c1+b1c2)/(b2a1-a2b1)=0
即解得k：ax+by+ck=0。
解析几何中的同构——方程思想、共点切线问题、抛物线与圆
解析几何中的同构——方程思想、共点切线问题、抛物线与圆1、如图所示，抛物线)0(2:2>=p px y C 上点()m T ，3到焦点F 的距离为4，A 是抛物线C 上的动点，过点A 的切线l 交x 轴于G 点，以F 为圆心的圆与直线l 及直线AM 分别相切于B 、M 两点，且直线AM 与x 轴的正半轴交于H 点．（1）求证：AF GF =；（2）求FH 的最小值．解析：（1）略2、已知抛物线22C y x =：上一点(2,2)P ，圆()(222402M x y r r -+=<≤：，过点(2,2)P 引圆M 的两条切线PA ，PB 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，与圆M 的切点分别为E ，F .（1）当2r =,E F 所在直线的方程；（2）记线段AB 的中点的横坐标为t ，求t 的取值范围.解：（1）略（2）由题意知切线PA 、PB 的斜率存在，分别设12,k k ，于是切线PA 、PB 的方程分别为12(2)y k x -=-，22(2)y k x -=-。
设1122(,),(,)A x y B x y ,则点M(4,0)到切线PA 121221k r k +=+，两边平方整理得：22211(4)840r k k r -++-=，同理可得22222(4)840r k k r -++-=，.........................................................7分于是可知12,k k 是方程222(4)840r k k r -++-=的两个实根，则121228, 1.4k k k k r +==-又0r <≤所以[)124,2.k k +∈--，联立122(2),2,y k x y x -=-⎧⎨=⎩消x ，整理得2112440k y y k -+-=，显然10k ≠，韦达定理可知111442,k y k -=所以1121122222 2.k y k k k -==-=-同理：212 2.y k =-于是.......................................................................................................10分22121224x x y y t ++==2212122()2k k k k =+-++(]212(1)18,24k k =+--∈t 的取值范围(]8,24............................................................................................................12分3、在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：()220x py p =>，P 为直线2y x =-上的动点，过点Р作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当Р在y 轴上时，OA OB ⊥.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求点O 到直线AB距离的最大值.4、(2021年全国乙卷理科）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，PA ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．解析：（1）略式子结构特征相同（同构式）、方程思想5、（2018年浙江高考题第21题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014(422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB △的面积32212001||||(4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△．因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是4．。
曲线切线求法
曲线切线求法1. 引言在数学中，曲线切线是指曲线上一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似。
求解曲线切线是解析几何中常见的问题之一，对于理解曲线的性质和研究其变化趋势具有重要意义。
本文将介绍常见的曲线切线求法，包括直角坐标系下的求法和参数方程下的求法。
2. 直角坐标系下的曲线切线求法2.1 曲线方程与斜率首先，我们需要确定曲线的方程，并计算出该点处的斜率。
以一元函数为例，在直角坐标系下，函数可以表示为y=f(x)，其中f(x)为给定函数。
对于给定点P(x0,y0)，我们可以通过计算导数f’(x)来得到该点处的斜率k。
2.2 切点坐标确定接下来，我们需要确定切点坐标。
由于切点在曲线上，所以它满足曲线方程y=f(x)。
将x0代入方程中可以得到相应的y值。
2.3 构建切线方程已知切点坐标和斜率，我们可以使用直线的点斜式来构建切线方程。
切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为斜率。
2.4 示例假设我们要求解曲线y=x2在点P(2,4)处的切线。
首先，我们计算出函数f(x)=x2的导数f’(x)=2x。
然后，将x=2代入函数得到y=4。
接下来，我们使用切线方程的点斜式构建切线方程y-4=4(x-2)。
3. 参数方程下的曲线切线求法3.1 曲线参数化对于参数方程表示的曲线，我们需要将其参数化，以便计算切线。
假设曲线由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出。
3.2 切点坐标确定与直角坐标系下类似，我们需要确定切点坐标。
将给定参数t代入参数方程中得到相应的x和y值。
3.3 斜率计算在参数化后的表达中，我们可以通过计算导数dy/dx来得到斜率k。
3.4 构建切线方程已知切点坐标和斜率，我们可以使用直线的点斜式来构建切线方程。
与直角坐标系下类似，切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为斜率。
3.5 示例假设我们要求解参数方程x=cos(t)，y=sin(t)表示的单位圆在点P(√3/2, 1/2)处的切线。
切线分析及应用
切线分析及应用切线是数学中一个重要的概念，它在解析几何、微积分以及物理学等领域都有广泛的应用。
切线分析可以帮助我们更好地理解曲线的性质和行为，并且可以在实际问题中提供有用的信息和解决途径。
本文将围绕切线的定义、性质、应用以及解决实际问题的方法进行探讨。
首先，我们来回顾一下切线的定义。
给定一个函数f(x)，如果存在一点(x0, f(x0))，使得函数图像在该点处的切线通过该点且与函数图像在该点处的斜率相同，那么这条通过点(x0, f(x0))的直线就是函数f(x)在该点处的切线。
切线的斜率等于函数在该点处的导数。
切线的性质也是我们学习切线分析的基础。
首先，切线与函数图像相切于该点，意味着切线与函数曲线在该点处有且仅有一个公共点。
其次，切线在该点处与函数曲线的切点以及切线的斜率都能够提供关于函数在该点的信息。
通过切线的斜率，我们可以判断函数在该点的增减性以及函数的导数值。
通过切线与函数曲线的切点的坐标，我们可以得到函数在该点的函数值。
因此，切线不仅提供了函数在某点的局部行为的信息，还能够提供关于函数图像的整体信息。
接下来，我们来看一下切线的应用。
在几何学中，切线可以用于求解曲线与曲线之间的位置关系。
例如，给定两条曲线的方程，我们可以通过求解两条曲线的切线方程，来判断两条曲线在某点是否相切、相交或者相离。
在物理学中，切线被广泛地应用于描述物体运动的速度和加速度。
例如，在直角坐标系中，如果一个物体的位置随时间变化可以由一个函数f(x)描述，那么物体的速度可以通过求导数f'(x)得到。
物体在某时刻的瞬时速度可以通过绘制曲线f(x)在该点的切线，求解切线斜率来获得。
同样地，物体在某时刻的加速度可以通过二阶导数f''(x)求解。
利用切线的性质，我们可以得到物体在不同时刻的速度和加速度的变化规律。
切线的应用还可以延伸到其他领域。
在工程学中，我们可以利用切线来分析物体的结构强度和刚度。
通过绘制载荷-变形曲线，并求解曲线上某点的切线斜率，我们可以得到物体在该点的应力和应变。
曲线切线求法
曲线切线求法曲线切线是解析几何中一个重要的概念，它可以帮助我们研究曲线的性质、求解曲线上某一点的切线方程等问题。
在这篇文章中，我将介绍曲线切线的定义、求解方法和一些应用。
我们来定义曲线的切线。
对于一个连续可导函数f(x)，如果存在一个实数a，使得曲线上的点(x, f(x))在点(a, f(a))处有一条直线通过，并且当点(x, f(x))无限接近点(a, f(a))时，这条直线的斜率无限接近于曲线在点(a, f(a))处的斜率，那么我们称这条直线为曲线在点(a, f(a))处的切线。
接下来，我们来讨论曲线切线的求解方法。
要求解曲线在点(a, f(a))处的切线，我们需要先求出曲线在点(a, f(a))处的斜率，然后再根据该斜率和点(a, f(a))来确定切线的方程。
为了求解斜率，我们可以使用导数的概念。
对于一个函数f(x)，它的导数f'(x)表示函数在某一点x处的切线的斜率。
因此，我们可以先求出函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x=a代入得到导数值f'(a)，从而得到曲线在点(a, f(a))处的斜率。
在得到切线斜率之后，我们可以使用点斜式来确定曲线在点(a,f(a))处的切线方程。
点斜式的一般形式为y-y1=m(x-x1)，其中m为切线的斜率，(x1, y1)为切线上的一点。
将切线在点(a, f(a))处的切线斜率m和点(a, f(a))代入点斜式，即可得到曲线在点(a, f(a))处的切线方程。
除了点斜式外，我们还可以使用斜截式和一般式等形式来表示切线方程。
斜截式的一般形式为y=mx+n，其中m为切线的斜率，n为切线与y轴的交点的纵坐标。
一般式的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，代表切线的方程系数。
将切线斜率m和切线上的一点(a, f(a))代入斜截式或一般式，即可得到曲线在点(a, f(a))处的切线方程。
在应用方面，曲线切线有许多重要的应用。
高考解析几何综合(2)(关于切线问题)
解析几何综合（2）-求切线相关问题一、课前热身例1．斜率为1的直线l 与椭圆1422=+y x 相切，求直线l 的方程。
例2．已知抛物线C y x 4:2=的准线与y 轴交于点P ，过点P 作直线l 与C 相切，求直线l 的方程。
变式1：已知抛物线C y x 4:2=的准线与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与C 有且仅有一个公共点，求直线l 的方程。
变式2：已知抛物线C x y 4:2=的准线与x 轴交于点P ，过点P 作直线l 与C 相切，求直线l 的方程。
变式3：已知抛物线C x y 4:2=的准线与x 轴交于点P ，过点P 的直线l 与C 有且仅有一个公共点，求直线l 的方程。
例4．过点()10,10A 作圆422=+y x 的切线l ，求直线l 的方程。
变式1：过点()2,2-A 作圆422=+y x 的切线l ，求直线l 的方程。
变式2：过点()t A ,4R t ∈作圆422=+y x 的两条切线，切点分别为点D C ,，求证直线CD 过定点。
二、类型讲解类型一：几何法例1.已知抛物线:C 2)1(+=x y 与圆:M ()222)21(1r y x =-+-有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l 。
（1）求r ；（2）设n m ,是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，n m ,的交点为D ，求D 到l 的距离。
例2. 已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M 。
（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.类型二：方程组法例1.(2012广东文20)在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1（-1,0），且点P （0,1）在C 1上.（1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：2y =4x 相切，求直线l 的方程.例2.(2012安徽20)如图，12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q ；（1）若点Q 的坐标为(4,4)；求椭圆C 的方程； （2）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点。
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解析几何中的切线问题解析几何中的切线问题解决这类问题的通常做法是用两个待定系数表示出切线的方程，再通过与圆锥曲线的方程联立得到一个一元二次方程以及判别式等于零这一条件得到两个待定系数的关系。
最后通过其他条件达到解题的目的。
对于圆的切线问题，可以通过圆心到切线的距离等于半径这一条件来求解。
对于有多条切线的问题，我们还可以用切线系方程来解题。
本文将着重介绍运用切线系方程解决切线问题的方法。
首先，我们以2015年湖北卷第21题为例。
【2015高考湖北，理21】一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DN ON==，3MN=．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20l x y-=和2:20l x y+=或4x =-，都有14482OPQS∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164mk =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k-++.由原点O到直线PQ的距离为21d k =+和2||1|P Q PQ k x x +-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.②将①代入②得，222241281441OPQk m Sk k ∆+==--. 当214k>时，2224128()8(1)84141OPQk S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQk S k k ∆+==-+--.因2104k≤<，则20141k<-≤，22214k≥-，所以228(1)814OPQSk ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQS ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.下面我们用切线系方程来求解该题第（Ⅱ）题.84040),(.1621281621).0,16(.2416241622.164:),,(00002021000020010000取得最小值时，或所以当在椭圆上，所以由于点的面积为则△轴的交点为与切线和交点的纵坐标分别为和与切线则椭圆的切线系方程为设切点为S x x y x x y y x S OPQ x x l x y y x y y y x y x l y y x x l y x =≤≤-=-⨯⨯=-=+=-===+此题运用切线系方程计算量较小，且不用讨论切线l 斜率不存在的情况，大大节省了解题的时间。
像这样在椭圆的切线问题中运用切线系方程解题的例子还有：.),(21.35),0,5()0(1:202014002222的轨迹方程求点的两条切线相互垂直，到椭圆为椭圆外一点，且点）若动点（的标准方程；）求椭圆（离心率为的一个焦点为】已知椭圆广东，理【P C P y x P C b a by a x C >>=+ 149.2,3,35,5122=+=====yx b a a c e c 则椭圆的标准方程为所以）由题意可知【解析】（13P )2,3(),2,3(,13194,1,042)9(0)49](4)[(36)()18(00]4)[(9)(18)49()(23234P 220202020202021200022022002002200002200=+±±-=+-=---==-+--=+----=∆=--+-++-=-±±-y x y x x y k k y k y x k x k kx y kx y k kx y x kx y k x k x x k y y y x 的轨迹方程为所以点这四点也满足上述方程显然所以即所以因为两切线相互垂直，即，依题意，代入椭圆方程得：轴，设切线方程为若两切线不垂直于坐标），），（，（个，它们的坐标分别为有轴，则这样的点轴，则另一切线垂直于）若一切线垂直于（下面我们用椭圆的切线系方程来求解该题第（2）题13,194,168194)9(16,94)4(81036324162)9481(03614432)4916(36943694,36943694,3694),(),,(),,(202022021212202021202020212020022020202002202000020201012211221100=+-=---=+-=+-==-+-+=-+-+=+=+=+=+=+y x x y y y x x y x x y y y x y x x x x y y x y y x y x x y x AB y y x x AB y y x x y y x x P y y x x y y x x y x B y x A y x P 即所以由题意得：：方程代入椭圆的方程得将的方程为所以直线以满足上述两个方程，所点则两条切线分别为：设两切点的坐标分别为设此题运用切线方程，可以避免因为漏掉特殊点而失分，且计算量相对较小，计算过程也很简单，不涉及太复杂的技巧。
ba l P l l O P kb a k l P P l b a by a x C ->>=+的距离最大值为到直线垂直，证明：点与的直线若过原点的坐标；表示点用的斜率为已知直线在第一象限且点，与椭圆只有一个公共点动直线】设椭圆浙江卷，理【112222)2(,,,)1(.)0(1:212014),(P P ),(,00,02)(:1),0()1(222222222222222222222222222222222ka b b ka b k a P k a b m b k a b km a P P k a m b P C l k a m a kmx a x k a b y b y ax mkx y k m kx y l ++-++-=+-=∆=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=<+=的坐标为在第一象限，故点又因为点点的坐标为解得，即故只有一个公共点与椭圆由于直线得消去由的方程为方法一：设直线【解析】 ),('''),(',,1,1,'''),1,11('1'11'1''''),0(''''')'(':')0)(()','('),(1'':')0(1C ,''22222222222222'''2220202200000000222222bk a b b k a k a P b y y ax x bk a bb k a ak P akbm b ak m k k l P O mmm P m m y m x y x mx y m mx y P O C x ax k y by l k x x k y y l y x P y x P y x C b a b y a x y by x axl P O ++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++--=-=⋅-=⋅⊥++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧=+=>=-=-<-=-=+>>=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==代入即得：利用逆变换代入得即得所以由于即解得由的方程为中设直线在圆变为：，切线变为点切点变为圆：则椭圆方法二：作变换..2,21,0O )2(12222222222222222222222222222222222111b a l P abk ba aba b ba kb k a a b b a d ab k b k a k b k a a b b a d kk a b k b ka b k a d l P ky x l l l -=-=++-≤+++-=≥++++-=++++-==+的距离的最大值为到直线所以点时等号成立当且仅当所以因为整理得：的距离到直线所以点的方程为垂直，故直线且与直线过原点由于直线下面我们用椭圆的切线系方程来解这道题.),(,,1,,,1),0,0)(,()1(2222222222220222202202222002200020220200000b k a b b k a k a P b k a b y b k a k a x b y a x b k a y x P b k a y x y a x b k y b y x a x l y x y x P ++-+=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-==+>>所以解得：在椭圆上，所以联立因为点即则的方程为则切线的坐标为设点 .2110:)2(12222222222222222222222011b a l P ba b a ab b a b a k b k a b a d k b k a k b bk a k a kky x d l P ky x l --=++-≤+++-=++++-=++==+的最大距离为到直线所以点整理得：的距离到直线点设直线.11,0,,,,)2()3(),0,(,)2()1(.123,,)0(1:22201321212121211212222值为定值，并求出这个定试证明若的斜率分别为设直线有且只有一个公共点。
与椭圆使得的直线作斜率为的条件下，过点在的取值范围；求的长轴于点交的角平分线。
设点，连接上除长轴端点外的任一是椭圆点的方程；求椭圆截得的线段长为轴的直线被椭圆且垂直于过，离心率为的左、右焦点分别是】椭圆山东卷，理【kk kk k k k PF PF C l l k P m m M C PM PF F PF PF C P C C x F F F b a b y ax C +≠∠>>=+.2323.43.23232233,22,33)223(3)223(3,14,)3(3)3(3.03)3(:,03)3(:,).0,3(),0,3().0)(,()2(14.1,2,23.2,12,,1,)1(000020202020202000202000000000212100022222222222221<<-=--=++<<-<<---=++=+-+-=+++=---=++--≠=+======±==+-=-=m x m x m x m x m x m x m y x P x y y my x y y my y y x x y l y y x x y l PF PF F F y y x P y x C b a a c e b a a b ab y b y a xc x b a c PF PF 因此所以可得因为所以在椭圆上，所以由于点由题意知的方程分别为：所以直线又解法一：设的方程为椭圆所以又即由题意知得代入椭圆方程将由于【解析】.434333,)43()43()3()3(,3,314,1111)3()3(,1313),3(),3(,0.433),21,3(.433,33,373.0334),21,3().21,3()21,3(320),,(002020*********0202221222222211121210120000-+=-+-+=-+-=+==+++=-+++=++-=+=≠=-=<<--=+=+--=<≤x x m m x x m m x y k x y k y x k k m m k k mk k k mk x k y x k y PF PF x m P m m m m y x PF P P PF x x y x P 即所以并且因为所以由题意知的方程分别为时，设直线②当同理可得若所以因为由题意得的方程为则直线若或的斜率不存在，易知时，直线①当时，当解法二：设 ).23,23(.02302.230.433230,43.343433320,3300000-<<-<<-<≤≠<≤=-+=-+≠<≤<<-的取值范围是综上所述，时，同理可得当综合①②可得：且故整理得：所以且因为m m x m m m x m x x m m x x m.811.82)4()11(111,23311,3,3)2(4,0816,14012)4(00)12(4)(8)41()(14),(),0)(,()3(2100002121000002100200100200022020202000220202002002022002200000-+-=⨯-=+=+=-++=+-=+=-==++=+=-++-=∆=-+-+-++⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=-≠为定值，这个定值为因此则所以可知由故所以又因为，即由题意联立的方程为则直线设kk kk y x x y k k k kk kk y x y x y x k k x y k x y k y x k x k y x k y y x y k y x k x x k y kx y x x k ky x k x x k y y y x x x k y y l y y x P在用切线系方程解第（3）题之前，我向大家介绍一种快速解第（2）题的方法。