高中数学关于圆锥曲线的中点弦问题的探讨

x 2 4 y 2 16
，
( 4 x) 2 4( 2 y) 2 16
两式相减得 x 2y 4 0 ，
由于过 A、B 的直线只有一条，
故所求直线方程为 x 2 y 4 0。
二、求弦中点的轨迹方程问题
例 2、过椭圆 x 2 y 2 1上一点 P（ -8 ，0）作直线交椭圆于 Q点，求 PQ中点的轨迹方 64 36
y1 y2 ∵ 2Cy0 E 0 ∴ x1 x2 ∴ x1 x2
2Ax 0 2Cy 0
D
k AB
E即
2 Ax 0 D 2Cy 0 E 。（说
明：当 A
B 时，上面的结论就是过二次曲线
C 上的点 P(x0, y0) 的切线斜率公式，即
k
2 Ax 0 D
2Cy 0 E ）
推论 1 设圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的弦 AB 的中点为 P( x0, y0 ) （ y0 0) ，则
k AB
∴
b2 a2
x1 y1
∵ l ⊥ AB
kl
∴
a2 y1 b2 x1
y
∴ l 的方程为：
y1
a2 b2
y1 ( x x1
x1)
0
令 y=0 得
y1
a2 b2
y1 x1
(
x0
x1 )
x1
∴
a2 a 2 b2 x0
∵ | x1 | a
a2 b 2
a2 b2
x0
∴
a
a
例 3、已知抛物线 C： y 2 x ，直线
8( 2k 2 k)
x1 x 2
4k 2
，
1
又 M为 AB的中点，所以 x1 x 2 2
2
4(2k k) 4k 2 1
2，
解得 k
1
，
2
故所求直线方程为 x 2 y 4 0。
解法二：设直线与椭圆的交点为 A( x1, y1 ) ， B（ x2 , y2 ）， M（ 2， 1）为 AB的中点，
所以 x1 x2 4 ， y1 y2 2 ， 又 A、 B 两点在椭圆上，则 x12 4 y12 两式相减得 (x12 x22 ) 4( y12 y2 2 )
p y0 。（假设
k p)
点 P 在抛物线上，则过点 P 的切线斜率为
y0
我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。
x2 y2 1
例 1、求椭圆 25 16 斜率为 3 的弦的中点轨迹方程。
3
解：设 P（x，y）是所求轨迹上的任一点， 则有
16 x 25 y ，故所示的轨迹方程为 16x+75y=0
2
P( x0, y0 ) ，由题意得
y1
2
4 x1 ，两式相减得
2
y2
2
y1
4( x2
x1 ) ，
y2 4x2
所以 ( y2 y1)( y2 y1 ) 4 ， x2 x1
所以 y1 y2 4 ，即 y0 2 ， x0 y0 1 3 ，即中点坐标为 (3,2) 。
上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看
一个结论
引理 设 A、B 是二次曲线 C： Ax2 Cy2 Dx Ey F 0上的两点， P( x0, y0) 为弦
AB的中点，则
k AB
2 Ax 0 2Cy 0
D E ( 2Cy 0
E
0)
。
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设
A( x1 , y1 ) 、 B( x2 ,
y2 )
则
2
Ax1
2
Cy1
Dx1
Ey1
F
0 ……（ 1）
Ax2 2
1
∴
k 2
k( x0
1) 1,
11
11 1
x0
∴
2k
P( ∴2
, k) k2
1k2 1 1
∵P 在抛物线内 ，∴ 4
2k
k3 2k 4 0,
∴ 4k
(k 2)(k 2 2k 2)
0,
∴
4k
∴ 2 k 0.
k AB
2 x0 D
k
2 x0 D
2 y0 E 。（假设点 P 在圆上时，则过点 P 的切线斜率
2 y 0 E 为）
x2 推论 2 设椭圆 a2
y2 b2
1
的弦 AB的中点为
P( x0, y0 )（ y0
0) ，则 kAB
b2 a2
k
（注：对 a≤ b 也成立。假设点 P 在椭圆上，则过点 P 的切线斜率为
2
y1 1 ， 36
即 4( x 4) 2 4 y2 1 ，
64
36
(x 4)2
所以 PQ中点 M的轨迹方程为
16
y2 1 （ x 9
8 ）。
三、弦中点的坐标问题
例 3、求直线 y x 1 被抛物线 y2 4 x 截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线 y x 1 与抛物线 y2
y x1
P( x0, y0 ) ，由题意得
程。
解法一：设弦 PQ中点 M（ x, y ），弦端点 P（ x1, y1 ）， Q（ x2, y2 ），
2
则有 9 x1 2 9 x2
2
16 y1
2
16 y2
576 ， 576
两式相减得
9(
2
x1
x22 )
16(
2
y1
y22 )
0，
又因为 x1 x2 2 x， y1 y2 2 y ，所以 9 2x(x1 x2 ) 16 2 y( y1 y2 ) 0 ，
b2 x0 a 2 y0 ）
x2 推论 3 设双曲线 a 2
y2 b2
1
的弦 AB的中点为
P(x0, y0)（ y0
0) 则 k AB
b2 a2
k
（假设点 P 在双曲线上，则过 P 点的切线斜率为
b2 a2
x0 y0 ）
x0 y0 。
x0 y0 。
推论 4 设抛物线 y2 2 px 的弦 AB 的中点为 P( x0, y0 ) （ y0 0) 则 kAB
一、求中点弦所在直线方程问题
2
2
例 1、过椭圆 x y 1 内一点 M（ 2，1）引一条弦，使弦被点 M平分，求这条弦所在
16 4
的直线方程。
解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2) ，代入椭圆方程并整理得：
(4k 2 1)x 2 8(2k 2 k )x 4(2k 1) 2 16 0
又设直线与椭圆的交点为 A( x1, y1 ) ， B（ x2 , y2 ），则 x1 , x2是方程的两个根，于是
a2
|
∴
a2
b2
x0 | a
l : y k( x 1) 1, 要使抛物线 C 上存
在关于 l 对称的两点， k 的取值范围是什么？
解：设 C 上两点 A、 B 两点关于 l 对称， AB的
中点为 P(x0, y0 ) （ y0 0)
1
k AB
p
2
∴
y0 y0
1
k
y0
∴
1 2 k ∵ P∈ l ∴ y0 k( x0 1) 1,
所以 y1 y2 9x ， x1 x2 16y
而 k PQ
y 0 ，故 9x
y。
x ( 8) 16y x 8
化简可得 9x 2 72x 16y 2 0 （ x 8 ）。
解法二：设弦中点 M（ x, y ）， Q（ x1 , y1 ），
由x
x1
8 ，y
y1 可得 x1
2x 8 ， y1
2y ，
2
2
2
又因为 Q在椭圆上，所以 x1 64
关于圆锥曲线的中点弦问题的探讨
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个
热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （ 1）求中点弦所在直线方程问题； （ 2）求弦中点
的轨迹方程问题； （ 3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、
待定系数法及中心对称变换法等。
16 ， x2 2 0，
4 y22
16 ，
所以 y1 y2
x1 x2
1
1
，即 k AB
，
x1 x2
4( y1 y2 )
2
2
故所求直线方程为 x 2 y 4 0。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为
A( x , y ) ，由于中点为 M（ 2， 1），
则另一个交点为 B(4- x ,2 y ) ，
因为 A、 B 两点在椭圆上，所以有
75
(
x
241
75 )
241
x2 y2
2 2 1( a b 0),
例 2、 已知椭圆 a b
A、 B 是椭圆上两点，线段 AB的垂直平分线 l 与
x 轴相交于 P(x0,0) ，求证：
a2 b2 a
x0
a2 b2 a。
证明：设 AB 的中点为 T( x1, y1 ) ，由题设可知 AB 与 x 轴不垂直，∴ y1 0 ，
Cy
2 2
Dx2
Ey2
F
0 ……（ 2）
(1) (2) 得 A( x1 x2 )( x1 x2) C( y1 y2)( y1 y2 ) D ( x1 x2 ) E( y1 y2) 0
∴ 2 Ax0 ( x1 x2 ) 2Cy0 ( y1 y2 ) D( x1 x2 ) E( y1 y2 ) 0
∴ ( 2Ax0 D)( x1 x2) (2Cy0 E)( y1 y2 ) 0
y2
，
4x
4x 交于 A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，其中点
消去 y 得 ( x 1)2
4x ，即
2
x
6x 1 0 ，
所以 x 0
x1 x 2 2
3 ， y0
x0 1 2 ，即中点坐标为 (3,2) 。
解法二：设直线 y x 1与抛物线 y 2 4x 交于 A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) ，其中点