第一节 鸽巢原理教学内容

鸽巢原理及其他

第一节鸽巢原理

关于鸽巢原理的阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不够多的鸽巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。

一、鸽巢原理的简单形式

1、定理1：如果要把n+1个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。

证明：用反证法进行证明。如果这n个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n，这与有n+1个物体矛盾。所以某个盒子至少有两个物体。

2、定理1的说明：无论是鸽巢原理还是它的证明，都不能具体找出含有两个或更多物体的盒子。它只是证明这样的盒子存在，即如果人们检査每一个盒子.那么他们会发现有的盒子里面放有多个物体。另外，当只有n个（或更少）物体时，是无法保证鸽巢原理的结论的。这是因为可以在n个盒子的每一个里面放进一个物体。所以鸽巢原理成立的条件是至少为n+1个物体。

3、鸽巢原理的两个简单应用

应用1：在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。

应用2：设有n对己婚大妇。至少要从这2n个人中选出多少人才能保证能够选出一对夫妇？

为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n个房间，其中一个房间对应一对夫妇。如果选择n十1个人并把他们中的每一个人放到他们夫妻所对应的那个房间中去，那么就有一个房间含有两个人；也就是说，已经选择了一对已婚夫妇。选择n个人使他们当中一对夫妻也没有的两种方法是选择所有的丈夫和选择所有的妻子，因此，n+1是保

证能有一对夫妇被选中的最小的人数。

4、从应用2得出的两个推论

推论1：如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子恰好有一个物体。

说明：以应用2为例，选择n个人，如果其中有一对夫妻，那么必然有一个房间是空的，为了保证没有空房间，则必须从每对夫妻中选一个人，即恰好从每对夫妻中选一个人。

推论2:如果将n个物体放入n个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里恰好有一个物体。

说明：以应用2为例，选择n个人，每个房间只能是夫妻中的一个人，2n个人，恰好每个从每对夫妻当中选择一个人。

5、例题

例1：给定m个整数a1，a2，……，a m，存在满足0≤k≤l≤m的整数k和l，使得a k+1+ a k+2+ ……+ a l能够被m整除。

分析：题目通俗化，即给定m个整数的序列，其中连续几个的和能被m整除。所以考虑序列中连续和的情况。如果其中任何一个能被m整除，那么结论就成立了。对此，只能先假设连续和不能被整除，即有余数。

解：找出鸽子：m个正整数连续和，即a1，a1+a2，a1+a2+a3，……，a l+a2+a3+……+ a m共m个和

构造鸽巢：连续和不能被整除，那么余数必然为1,2，……，m-1共m-1个。如果余数为0或m，则已经整除结论成立，所以只能是m-1个。

鸽巢原理：m个和，m-1个余数，那么必然有两个余数是相同的。因此存在整数k和l，0≤k≤l≤m，使得a l+a2+a3+……+ a k及

a l+a2+a3+……+ a l除以m有相同的余数，不妨设

a l+a2+a3+……+ a k=cm+r……………①

a l+a2+a3+……+ a l=dm+r……………②，其中c，d，r为正整数。

②-①可得

a k+1+ a k+2+ ……+ a l=(d-c)m

从而可得a k+1+ a k+2+ ……+ a l能够被m整除。

特例如下

设m=7,且整数为2, 4, 6, 3, 5, 5, 6。计算上面的和得到2, 6, 12，15, 20, 25, 31，这些整数被7除时余数分别为2, 6, 5，1，6, 4, 3。有两个等于 6的余数，这意味着结论：6 + 3 + 5 = 14可被7 整除。

例2：一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，但为了不使自己过于疲劳他还决定每周不能下超过12盘棋。证明存在连续若干天，期间这位大师恰好下了 21盘棋。分析：问题通俗化即连续若干个正整数的和恰好为21。实际问题转化为数学模型，即构造一个用来表示若干天下棋总盘数的数列。然后用鸽巢原理证明。

证明：找出鸽子：设a1是在第一天所下的盘数，a2是在第一天和第二天所下的总盘数，a3是在第一天、第二天和第三天所下的总盘数，11周总共77天，以此类推，a77表示77天下的总盘数。因为每天至少要下一盘棋，故a1≥1，,因为在任意一周最多下12盘棋，所以

a77<12x11=132，则有序列1≤a l＜a2＜a3＜……＜a77 =132，为一个严格递增序列。根据若+干个正整数的和为21这一提示，构造数序列a l+21＜a2+21＜a3+21＜……＜a77+21，此序列也是严格递增序列，由此可得a l，a2，a3，……，a77，a l+21，a2+21，a3+21，……，

a77+21共77+77=154个数。

构造鸽巢：由1≤a l＜a2＜a3＜……＜a77=132，则有，1+21≤a l+21 ＜a2+21＜a3+21＜……＜a77+21=132+21=153。由此可得a l，a2，a3，……，a77，a l+21，a2+21，a3+21，……，a77+21是从1到153的正整数。

鸽巢原理：a l，a2，a3，……，a77，a l+21，a2+21，a3+21，……，a77+21共154个数，而这些数是从1到153的正整数，从而可知其中必然存在两个数是相等的。而a l，a2，a3，……，a77严格递增，各不相等。a l+21，a2+21，a3+21，……，a77+21也严格递增且各不相等，那么必然有如下相等的情况

存在一个正整数i和一个正整数j，使得a i=a j+21。a i为大师在前i 天所下的盘数之和，a j为大师在前j天所下的盘数之和，a i-a j=21

即为大师从第j+1天，第j+2天到第i天，下了21盘棋。

例3：从整数1, 2,…，200中选出101个整数。证明：在所选的这些整数之间存在两个这样的整数，其中一个可被另一个整除。

证明之前，先介绍一种正整数的表示方法。正整数有奇数有偶数，而任何一个偶数，都可以通过提取因数2，变为奇数与若干个2乘积的形式，例如8=1x2x2x2,24=3x2x2x2，写成一般形式即奇数x2n（其中n=1,2,3……），而这个奇数绝不会超过这个偶数的一半。下面来证明例3。

证明：找出鸽子：1到200中任意选出的101个整数。

构造鸽巢：用奇数x2n的形式，把1到200的整数全部列出，

1，1x21，1x22， (1x27)

3，3x21，3x22， (3x26)

5，5x21，5x22， (5x25)