理论力学(第7版)第七章 点的合成运动PPT课件
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理论力学第7章
理论力学第7章
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点，
动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点，
动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点，
摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
r
r
y x si n y co r s 1 co v s tsi ω n rt sivn c tω ost
理论力学r 第 7章
r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
z
O x
绝对运动
M'
M2 v a
相对运动vrFra bibliotekveM1
M
y
牵连点的运动
理论力学第7章
点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
第七章点的合成运动71相对运动牵连运动绝对运动72点的速度合成定理73牵连运动是平移时点的加速度合成定理74牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理科氏加速度理解相对运动绝对运动和牵连运动及相应三种速度和三种加速度的定义恰当选择动点动系熟练应用点的速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理
1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。 否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动；
2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。
（1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点，
动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点，
动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点，
摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
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理论力学r 第 7章
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§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
z
O x
绝对运动
M'
M2 v a
相对运动vrFra bibliotekveM1
M
y
牵连点的运动
理论力学第7章
点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
第七章点的合成运动71相对运动牵连运动绝对运动72点的速度合成定理73牵连运动是平移时点的加速度合成定理74牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理科氏加速度理解相对运动绝对运动和牵连运动及相应三种速度和三种加速度的定义恰当选择动点动系熟练应用点的速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理
1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。 否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动；
2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。
（1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。
理论力学第7章ppt课件
.
解：
1.运动分析： 动点：AB杆上A ； 动系:与凸轮固连； 绝对运动：AB的直线运动； 相对运动：以凸轮中心C为圆心的圆周运动； 牵连运动：凸轮绕O轴的定轴转动。
2.速度分析
va vevr
大小：？ ωOA ？
方向：√ √ √
vaveco tOO A e. A e
例7-6
已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图 所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
arctvvaer)na( rct 速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
相对运动：M沿管子的直线运动；
牵连运动：管子的定轴转动。
.
牵连运动：管子的定轴转动。
牵连速度：
ve OMω
牵连加速度：
y
αet OMα
y'
αenOMω2
α et v e
x'
M
αe αe2t αe2n
O
φ α en
x
OM α2 ω4
θ arctanωα2
.
绝对、相对和牵连运动之间的关系
动点：M 动系：O ' x ' y '
⑵ 熟练应用点的速度合成定理、牵连运动为平动 时点的加速度合成定理、牵连运动为转动时点的加 速度合成定理。
重点与难点
重点：速度、加速度合成定理的应用。 难点：动点、动系的选取；三种运动分析；牵 连点、牵连速度分析。
解：
1.运动分析： 动点：AB杆上A ； 动系:与凸轮固连； 绝对运动：AB的直线运动； 相对运动：以凸轮中心C为圆心的圆周运动； 牵连运动：凸轮绕O轴的定轴转动。
2.速度分析
va vevr
大小：？ ωOA ？
方向：√ √ √
vaveco tOO A e. A e
例7-6
已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图 所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
arctvvaer)na( rct 速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
相对运动：M沿管子的直线运动；
牵连运动：管子的定轴转动。
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牵连运动：管子的定轴转动。
牵连速度：
ve OMω
牵连加速度：
y
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y'
αenOMω2
α et v e
x'
M
αe αe2t αe2n
O
φ α en
x
OM α2 ω4
θ arctanωα2
.
绝对、相对和牵连运动之间的关系
动点：M 动系：O ' x ' y '
⑵ 熟练应用点的速度合成定理、牵连运动为平动 时点的加速度合成定理、牵连运动为转动时点的加 速度合成定理。
重点与难点
重点：速度、加速度合成定理的应用。 难点：动点、动系的选取；三种运动分析；牵 连点、牵连速度分析。
理论力学课件—点的合成运动-2
ω
O
ae φ aa
A
ar B
E flash
C
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（DE） 牵连运动：平移（BC）
2.加速度
aBC
aa ae ar 2 aa cos r cost
例7-9 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角 速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE， 且BD=CE=l。
相对速度 v r ——动点相对于动系运动的速度
（牵连点）相对于定系运动的速度
解题步骤：
（1）选动点、动系， 注意动点和动系不能选在同一物体上；
（2）分析三种运动，要有四个已知要素；
（3）写公式，画图（画在动点上） 速度平行四边形，注意va是对角线； （4）求解。
点作圆周运动时
t a
（1）切线方向加速度， 与半径垂直，与 同向
r ' xi ' yj ' z k '
~ ~ dr ' dr ' dr ' ( x'i ' y'j ' z'k ' ) r' dt dt dt
~ dr ' dr ' r' dt dt
牵连加速度 a e
牵连点：在动参考系上与动点相重合的点 牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度 和牵连加速度。
牵连速度 v e
点的速度合成定理：
va ve vr
速度平行四边形
vr
va ve
绝对速度 va ——动点相对于定系运动的速度
牵连速度 v e ——动系上与动点相重合的那一点
O
ae φ aa
A
ar B
E flash
C
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（DE） 牵连运动：平移（BC）
2.加速度
aBC
aa ae ar 2 aa cos r cost
例7-9 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角 速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE， 且BD=CE=l。
相对速度 v r ——动点相对于动系运动的速度
（牵连点）相对于定系运动的速度
解题步骤：
（1）选动点、动系， 注意动点和动系不能选在同一物体上；
（2）分析三种运动，要有四个已知要素；
（3）写公式，画图（画在动点上） 速度平行四边形，注意va是对角线； （4）求解。
点作圆周运动时
t a
（1）切线方向加速度， 与半径垂直，与 同向
r ' xi ' yj ' z k '
~ ~ dr ' dr ' dr ' ( x'i ' y'j ' z'k ' ) r' dt dt dt
~ dr ' dr ' r' dt dt
牵连加速度 a e
牵连点：在动参考系上与动点相重合的点 牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度 和牵连加速度。
牵连速度 v e
点的速度合成定理：
va ve vr
速度平行四边形
vr
va ve
绝对速度 va ——动点相对于定系运动的速度
牵连速度 v e ——动系上与动点相重合的那一点
理论力学 7.点的合成运动
绝对速度va = r 方向 OA 相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出 速度平行四边形 如图示。
r r 2 sin ,ve va sin r 2 l 2 r 2 l 2 ve 1 r 2 r 2 又ve O1 A1 ,1 2 l 2 （ 2 2 O1 A r 2 2 r l r l
做出速度平行四边形,如图示。
vr
ve v0 2 v0 o sin sin60 3
因牵连运动为平动，故有
aa ae a r ar
n 2
n
2
n
4v 2 其中 ar vr / R ( v0 ) 2 / R 0 3R 3
作加速度矢量图如图示， 将上式投影到法线上，得
动点的绝对速度
drM d y x O xi i y j z k va (rO r ) r j z k dt dt
动点的相对速度
~ dr d i y j z k vr ( xi y j z k ) x dt dt
va = ve + vr
由几何关系
ve va sin a sin
连杆的速度大小
v a sin
例2 曲柄摆杆机构。已知：OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1，求：摆杆O1B 角速度1
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动 系，基座为静系。 绝对速度va = r 方向 OA 相对速度vr = ? 方向//O1B
由速度合成定理
va ve vr
dx ' dy ' dz ' va vO i j k dt dt dt
理论力学第7章(点的合成运动)
（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
Lllx7点的合成运动(Hong))---华南理工大学理论力学课件
a 牵连加速度-牵连点相对定系的加速度。记作： e .
• 例 绕定轴转动 喷水管中水滴 的速度、加速 度分析。
12
车刀的运动分析
动点：车刀刀尖 动系：工件 定系：固连地面 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴运动 相对运动：螺旋运动 车刀运动
13
动系与定系的坐标变换关系
动点M的绝对运动方程
x = x(t ), y = y (t )
本章难点
动点、动系的选择，相对轨迹的判断； 牵连速度、牵连加速度、科氏 加速度的概念和计算。
7
点的合成运动的基本概念
-分析运动中某一瞬时点的速度合成和加速度合成的规律。
动点 相对运动
动系上与动点重合的点
牵连点
绝对运动
vr , a r
动系
va , a a
定系
ve , ae
牵连运动
点的合成运动的全景图
O
x
rO′
rM = rO′ + r ′
y
drM & & & & & & = rO′ + x′i ′ + y′&′ + z ′k ′ + x ′i ′ + y′j ′ + z ′k ′ j va = dt
va = ve + v r
-点的速度合成定理
21
•点的速度合成定理
-动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速 度与相对速度的矢量和。
5
本章基本要求
理解运动合成与分解，以及运动相对性的概念 掌握三种运动、三种速度和三种加速度的定义 恰当选取动点、动系和定系，熟练地进行运动分析， 以及速度、加速度的分析和计算； 掌握牵连速度、牵连加速度和科氏加速度的概念和 计算。
第七章 点的合成运动ppt课件
a d v a d 2 r d 2 x i d 2 y j d 2 zk a dtd 2 td 2 t d 2 t d 2 t
7.1
运相 动对
运 动
牵 连 运 动
绝 对
五、相对运动 的速度与加速度
动点在动系的运动中的轨
迹、速度和加速度称为相对轨
z z M
迹、相对速度和相对加速度。
用 vr和 ar 分别表示相对速度和 x
定 注意：（1）速度关系式是平面矢量方程；
理
（2）绝对速度是对角线； （3）牵连速度为任何形式的运动时，
速度关系式都成立。
7.2
在应用速度合成定理来解决具体问题时，应
点
的 注意：（1）动点及动坐标系的选取；（2）对于
速 三种运动及三种速度的分析；（3）根据速度合
度 成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量 合
lim lim lim lim 理
t0
MM t
va
t0
MM
M tM 2 vr
7.2 于是可得：
B
M2
M B
点 的
vavevr
vr
va ve
M
A
M1
A
速
t t t
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该
度
瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就 合
成 是点的速度合成定理。
在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（
运相 动对
运
瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该
瞬时的牵连速度和牵连加速度。用
ve和
ae分别表示
动 牵连速度和牵连加速度。
牵 连 运
A
t
t t u
《点的合成运动》PPT课件
ve va tan
3v 3
又ve
OC
r
sin
2r
,
ve 1 3 v 3v
（）
2r 2r 3 6r
27
6.3 加速度合成定理
一、牵连运动为平动
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运 动, 而曲线AB同时又随同动系O‘x’y‘z’ 相对定系Oxyz平动。
对t求导：
ve R, ae 2R
相对运动为匀速圆周运动，
有vr 常数,
ar vr 2 R
由速度合成定理可得出
ae ar
va ve vr R vr 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以
aa
va 2 R
(R vr )2
R
R 2
vr 2 R
2vr
方向指向圆心Ｏ点 36
6.3 加速度合成定理
aa va2 (R vr )2 R2 vr2 2vr
四．动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个参考系都有运动 的点。 五．动系的选择原则：
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者 能直接看出的。
动点： AB杆上A点 动系：固结于凸轮Ｏ'上
定系：固结在地面上
9
6.1 绝对运动、相对运动和牵连运动
绝对运动： 直线 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
vr
ve
s in
v0 s in60o
2 3
v0
31
6.3 加速度合成定理
因牵连运动为平动，故有
aa ae art arn
作加速度矢量图如图示，将上式 投影到法线上，得
理论力学课件 点的合成运动2
对加速度与科氏加速度的矢量和。
当vr： ac = 2vr 其方向：由vr按 转向转90o即可。
当vr： ac = 0
23
例题. 半径为r偏心距为e的凸轮,以匀角速度绕O轴转 动,AB杆长l , A端置于凸轮上, B端用铰链支承.在图示瞬 时AB杆处于水平位置. 试求该瞬时AB杆的角加速度 AB .
牵连运动—动系随AB杆的A端作曲线平动.
牵连点—动系上被凸轮O上的C点盖住的C´点.
va= ve + vr
va = e ve = l AB
解得:
AB
e l
vr = 0
27
A
arn r x´
l B
y´ AB
aa = ae+ ar
(2)
aa = aan+ aa
(C´)C
aen
O aan y
沿y轴投影
aa sin 30 aet cos 30 aen sin 30
aet
aa aen sin 30 cos 30
3O2r(l r)
3l
BD
aet BD
3O2 r(l r)
3l 2
19
总结
牵连运动为平动时点的加速度合成定理
aa = ae+ ar
aan
l
2 AB
e2 l
2
aa = l AB
y´ ar = arn+ ar
arn=vr2 /r=r2
x ae = aen+ ae aen= r2sin ae = 0
ac = 2r2 把(1)式向AC方向投影得:
- aancos - aasin = aensin + arn - ac
7点的合成运动
解题步骤
1、选取动点、动系和定系。
所选的参考系应能将动点的运动分解成相对运动和牵连运动。 动点、动系须指明，动系可不画出，定系可不用指明也不必画出。 2、分析三种运动和三种速度。 明确动点的绝对运动和相对运动、动系的牵连运动。 3、运用速度合成定理，作出速度平行四边形。 确保绝对运动速度为平行四边形的对角线。 4、运用速度平行四边形中的几何关系求解未知数。
⑴ 选取动点、动系和定系 注意:①动点和动坐标系不能在同一刚体上。 ②动点对动系的相对轨迹要简单、清晰。 ③通常选择固定接触点为动点； ⑵分析三种运动、三种速度和三种加速度 分析相对运动时.设想观察者站在动坐标系上,所观察到 的运动即为点的相对运动 分析牵连运动时:把动点固结在动坐标系上,分析此瞬 时该点的速度. ⑶根据点的速度、加速度合成定律求解未知量.
ห้องสมุดไป่ตู้
可得：
ar aa
an r cos
vr2 an r R
§ 7.3 点的加速度合成定理
二、牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
由于动坐标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响 而产生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科 氏加速度，用 ac表示。于是动点的加速度为：
aa ae ar ac
牵连运动为转动时的加速度合成定理： 当牵连运动为转动时， 动点的绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度与科氏加 速度的矢量和。
其中
ac 2e vr
大小：ac
2evr sin
方向：由右手法则确定。
加速度合成定理的应用举例
例1 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用
Ve Va
根据：
Va Ve Vr
理论力学---第七章 点的合成运动
相对运动运动方程 x x t y y t
由坐标变换关系有
x xO x cos y sin y yO x sin y cos
例 点M相对于动系 Oxy沿半径为r的圆周 以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Oxy相 对于定系 Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如 图所示。初始时 Oxy与 Oxy 重合，点M与O重合。
a v / R 1.6m/ s
n r 2 r
2
将上式向 Ay 轴投影
ae
n r
a
A
τ r n r
aa cos60 ae cos30 a
aa
2
a
aBC ae 2.771m/s
已知：OA＝r；=const
D
求：CD 杆的速度和加速度
解：取CD杆C点为动点 三角板ABC为动系
ve vA
例 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定 轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B 绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离 OO1=l。 求：曲柄在水平 位置时摇杆的角 速度 1 。
解: 1、动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B 2、运动分析： 绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。
O
aA
A
ae
O1
B
其中 ae a A r
2
60°
aCD
3 2 aa ae tan 30 r 3
如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE，且 BD=CE=l。 求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
理论力学——第七章 点的合成运动
vt sin t r vt cos t r
例7-2 已知：用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M 沿 水平轴 x 作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标 系，刀尖的运动方程为 x b sin t 。工件以等角 速度 逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
解： 动点：M 动系：工件 Oxy 相对运动方程
n 2 ( a a )sin 30 3 t a e O r (l r ) ae cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的 加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为ω
di ' dj ' e i ' e j ' dt dt dk ' e k ' dt 从而有
求：矿砂相对于传送带B的速度。
解： 1.动点：矿砂M 动系：传送带B
2.绝对运动：直线运动（ v ） 1 牵连运动：平移（v 2 ）
相对运动：未知
3.
va ve vr
大小 v1 v2 ？ 方向 √ √ ？
vr va2 ve2 2va ve cos 60 3.6 m s
例：小球在金属丝上的运动
z x z y x O M M2
绝对运动
y
M'
相对运动
M1
牵连点的运动
速度之间的关系
z x M2 M’
y
r
r1
r’
M1
r r 'r1
M
r r r1 lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
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动点 M ， ： 动系 Oxy： ,定系：oxy
动点M的绝对 运动方程：
x xt
y
y t
动点M的相对 x xt
运动方程：
y
yt
动系O’x’y’相对 x o ' x o ' t
定系的牵连运动
y
o'
yo't
方程：
(t)
角 是 从 x轴 到x'轴 的 转 角 ， 逆 时。 针 为 正
rO xiyjzk
M’为动系上的点，其在 动系上的坐标为常数。
v a d d r M t r O x i y j z k x i y j z k
点的运动
例如：人在行驶的汽车里走动。
３．牵连运动：动系相对于定系的运动 刚体的运动
例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
4
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
三、三种速度与加速度
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 v a 与绝对加速度 a a
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 v r 与相对加速度 a r
16
解: 动点：M点
动系： Oxy
相对运动方程
xOO1O1Mcos yO1Msin
代入 vt r
绝对运动方程
x
r 1
cos
vt r
y
r sin
vt r
xxcosysi nr1covrstcotsrsin vrst i nt
yxsi nyc
osr1covstsi ntrsin vct
11
[例2]分析动点、动系改变，对运动分析的影响。
动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面
绝对运动：直线
相对运动：圆周
牵连运动：定轴转动
A（在偏心轮上） AB杆 地面
圆周（红色虚线）
曲线（未知）
平动
[注] 1、必须要指明动点在哪个 物体上，注意不能选在动系上。
选动点、动系时，一定要使
相对轨迹简单清晰。
三种运动
12
[例2]分析以轮心C为动点时，三种运动及其速度。
动点：轮心C 动系：与OA杆固结
绝对运动：直线运动 相对运动：与杆OA平行的直线
牵连运动：杆OA的转动 [注1]此时为动点与动参 考体不重合的情况，须将 动系扩大到参考体之外。 [注2]特殊问题：特点是相接触两个物体的接触点位置都随 时间而变化.此时, 这两个物体的接触点不宜选为动 点，应选择满足选择原则的非接触点为动点。
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
13
恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。
动点、动系的选择原则：
1）选动点、动系时，一定应使相对轨迹清晰。 2）动点一般选择主、从动件的连接点，它是对两 个坐标系都有运动的点。（但应以相对轨迹清晰为前
提）
3）动点、动系不能选在同一个物体上，即一定 要动点与动系间有相对运动。
14
四、坐标变换：
x y x yO O x xscion s yycsio ns
——动、定系之间 的坐标变换关1系5
例7-1 已知：点M相对于动系 Ox沿y半径为r的圆周以速度v 作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Ox相y对于定 系 Ox以y 匀角速度ω 绕点O 作定轴转动，如图所示。 初始时 与Oxy 重Ox合y，点M与O重合。 求：点M的绝对运动方程。
第7章 点的合成运动
1
车刀刀尖的运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运 动的组合而成－合成运动。
2
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
一、两个坐标系
1.定参考系：把固结于地面上的坐标系称为定参考系,
简称定系。以oxyz坐标系表示。
2.动参考系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，
18
二、速度合成定理的推导:
定系:Ｏxyz，动系：Oxyz，动点:Ｍ
动系上与动点重合的点(牵连点):M’
rMrM rxiyjzk
rMrO r ro'xiyjzk
vrd ~ drtx iy jzk
v
r
是动点相对动系的速度，故求导 时将动系的3个单位矢量视为常量。导数上加“～”表示相对导数。
ve
drM dt
牵连加速度：a e
10
[例1]分析动点、动系改变，对运动分析的影响。
动点：A（在圆盘上) 动系：O'A摆杆
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘
绝对运动：曲线（圆周） 相对运动：直线
绝对运动：曲线(圆弧,弧长O’A1) 相对运动：曲线(绿线）
牵连运动：定轴转动(绕O’点） 牵连运动：定轴转动（绕O点）
定系：固结在地面上
7
绝对运动：动点对定系的运动 沿AB的直线运动
相对运动：动点对动系的运动 曲线（圆弧）
牵连运动：动系相对于定系的运动 直线平动
8
绝对速度 ：v a ——绝对运动中,动点的速度 相对速度 ：v r ——相对运动中,动点的速度
牵连速度 ：v e ——牵连运动中,牵连点的速度
9
绝对加速度：a a 相对加速度：a r
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 v 与e 牵连加速度 a e
牵连点：在任意瞬时，动系中与动点相重合的点，即 设想将该动点固结在动坐标系上，随着动坐 标系一起运动,该点即牵连点。
5
说明： 1）牵连点随时间t而变化，但它一定在动系上。
2）牵连点一定在动系上与动
点相重合。一般当动点与动参
考体重合时，可选择其重合点
为牵连点。若二者不重合，动
系应扩大到参考体之外。此时
桥式吊车
，牵连点就不是动参考体上的 动点: 物块A
相对运动: 直线
点，而是动系上的点。
动系: 固结于小车 牵连运动: 平动
牵连点:A’
绝对运动:
6
曲线
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动 [例1] 确定三种运动、速度与加速度
动点：AB杆上A点 动系：固结于凸轮Ｏ'上
r
r
ots17
7-2 点的速度合成定理
一、点的速度合成定理
va vevr 速度合成
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。
说明： 1、定理适用于牵连运动是任何运动的情况。 2、点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大
小，方向六个元素，已知任意四个元素，就 能求出其他两个。