2017离心率及范围专题
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求解离心率范围六法
在圆锥曲线的诸多性质中,离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据,在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围,综合性强,是解析几何复习的一个难点。六种求解这类问题的通法。
一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围,构造关于a,b,c 的不等式
例1 若椭圆()0122
22φφb a b
y a x =+上存在一点P ,使︒=∠900PA ,其
中0为原点,A 为椭圆的右顶点,求椭圆离心率e 的取值范围。
解:设()00,y x P 为椭圆上一点,则
12
2
22
0=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ,所以以OA 为直径的圆经过点P ,所以
02
002
0=+-y ax x . ②
联立①、②消去0y 并整理得
0)()(2
022202
=-+--x a a
b a x x
当a x =0时,P 与A 重合,不合题意,舍去。
所以222
0b
a a
b x -=
又a x ππ00,所以a b
a a
b ππ222
0-,
即 ()22222c a b a -=φ
得21
22φa
c ,即223e φ
又10ππe ,故e 的取值范围是⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系,构造关于a,b,c 不等式
例2 已知双曲线()0,01x 22
22φφb a b
y a =-左、右焦点分别为F 1、F 2,
左准线为p ,ι是双曲线左支上一点,并且22
1PF PF d =,由双曲线第二
定义得ed =1PF ,
所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得
a PF 2PF 12=- ②
由①-②得
.1
2,12PF 21-=-=
e ea
PF e a 在21PF F ∆中,
,2PF 21211c F F PF =≥+
所以 c e ea
e a 21
212≥-+- , 即
e e e ≥-+1
1
. 又1φe ,从而解得e 的取值范围是(]21,1+。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式
例3 设椭圆()0122
22φφb a b
y a x =+的两焦点为F 1、F 2,问当离心率
E 在什么范围内取值时,椭圆上存在点P ,使21P
F F ∆=120°.
解:设椭圆的焦距为2c ,由椭圆的定义知
a PF PF 221=+.
在21PF F ∆中,由余弦定理得
=2
2
1F F 21212
221cos 2PF F PF PF PF PF ∠-+
=212
22
1PF PF PF PF ++ =(21221)PF PF PF PF -+
所以22
21212
2244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤=- 所以2
3,4322≥
≤a c
c a 得. 又10ππe ,故e 的取值范围是⎪
⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义,结合完全平方数(式)非负的属性构造关于a,b,c 的不等式
例4 如图1,已知椭圆长轴长为4,以y 轴为准线,且左顶点在抛物线1y 2-=x 上,求椭圆离心率e 的取值范围。
解:设椭圆的中心为A 10,并延长交y 轴于N ,则
A 10=.x NA 2,a 0==
因为01y 002≥-=x ,所以1x 0≥。 所以322202c
a a e 012
≤+===
x N 。 所以椭圆离心率e 的取值范围为⎥⎦
⎤ ⎝⎛320,。
五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c 的不等式
例5 如图2,已知椭圆()0122
22φφb a b
y a x =+的两焦点为F 1、F 2,
斜率为K 的直线ι过右焦点F 2,与椭圆交于A 、B ,与Y 轴交于C ,B 为CF 2的中点,若5
5
2≤
k ,求椭圆离心率e 的取值范围。 y
(),:c x k y -=ι则())2
,2(,,0ck
c
B ck c -
-,代入椭圆又,2
2
2
c a b -=所以1)
(44222
222=-+c a k c a c ,
所以1)
1(44122
22=-+e k e e ,
解得 2
22
454e e e k +-=
因为552≤
k ,所以5
4
2≤k 解,54452
24≤+-e e e 得15
42πe ≤, 所以
15
5
2πe ≤ 六、利用圆锥曲线参数方程设点,结合正余弦函数的有界性,构造关于a,b,c 的不等式
例6 若椭圆122
22=+b
y
a x ()0φφ
b a 上存在一点P ,使︒=∠900PA ,其
中O 为原点,A 为椭圆的右顶点,求椭圆离心率e 的取值范围。
解:设P (θθsin ,cos b a ),由︒=∠900PA ,