高等数学定积分在几何上的应用(课堂PPT)

面积微元:
dA [ ( y) ( y)]dy
曲边梯形的面积:
d
A c [( y) ( y)]dy
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
y1 (d ) x(t )dy(t )
y 1 (c )
y 1 (d )
x(t) y(t ) dt.
y 1 (c )
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第五章 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算 第二节 定积分在几何上的应用 第三节 定积分在物理上的应用
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容:
一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
二.定积分求平面图形的面积
(一)直角坐标系下平面图形面积的计算
1.由曲线y=f(x) 和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形
y y f (x)
面积微元: dA f ( x)dx 曲边梯形的面积
o a x x dxb x
b
A a f ( x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例2 求由 y2=2x, y=x-4 所围成的图形的面积
两曲线的交点
y2 2x y x4
(2,2), (8,4).
选 y 为积分变量 y [2, 4]
y2 2x y x4
A
4
2
y
4
y2 2
dy
18.
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参数方程情形:
设曲边梯形的曲边参数方程为
x
y
x(t) y(t )
,
其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积
公式经过定积分的换元法得到:
A
b
ydx
a
x 1 (b)
y(t )dx(t )
x 1 (a )
x 1 (b)
y(t ) x(t ) dt;
x 1 (a )
d
A xdy c
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x
y
cos
x
(
,
4
2 )
2
A1
A2
A A1 A2
曲边梯形的面积
A
b
a
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
设函数 y = f(x) 在[a,b]上连续,
(1) 在区间[a,b]上任取小区间[x, x+dx],
相应地小区间上面积的近似值为: y
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
4
(sin x cos x)
4 ( cos x sin x)
0
4
2 2
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元:
dA ( x x2 )dx
x y2
A
1
(
x x2 )dx
0
23 x2
1 x3
1 1.
3 0 30 3
y x2
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第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f ( x)dx
a
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曲边梯形的面积
b
A a [ f ( x) g( x)]dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
3. 求由两条曲线x=(y),x=(y),( (y) (y)) 及直线
y=c,y=d所围成平面
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
2.求由两条曲线 y=f(x) , y=g(x) ( f(x) g(x) ) 及直线 x=a, x=b 所围成平面
面积微元: dA [ f ( x) g( x)]dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
S S1 S2
2
[
2x (
2x )]dx
0
8
[
2x ( x 4)]dx
2
S2 S1
24 –2
–4
2
2
2xdx
8
(
2x x 4)dx
0
2
2
2
2
x
3 2
3
2 0
2
2
3
x2
3
8 2
1 2
x2
8 2
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第五章 定积分及其应用
一.定积分的微元法
设曲边梯形由连续曲线 y
第二节 定积分在几何上的应用
以及两直线
所围成 , 解决步骤:
o a b 1x1 2 xi1ixi xn1
x
1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
y f (x)
记作dA
o a x x dxb x
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
A lim f ( x)dx
b
f ( x)dx
b
dA
a
a
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第五章 定积分及其应用