湖南省师大附中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）给出下列两个推理：

①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．

②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．

对于上述两个推理，下列判断正确的是（）

A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理

C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理

（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，2．

则l∥α”，下列判断正确的是（）

A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假

C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假

3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）

A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒

5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）

A．充分不必要B．必要不充分

C．充分且必要D．既不充分也不必要

6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）

A．24种B．36种C．42种D．48种

7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：

最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8

用电量y（度）20 44 56 80

据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）

A．32度B．34度C．36度D．38度

8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）

A．B．C．D．

9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）

A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=．

11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是．

12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=．

13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是．

14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是．

15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相

互独立，且每人各次射击互不影响．

（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；

（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．

17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1

的中点．

（Ⅰ）用基向量，，表示向量；

（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．

18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．

（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；

（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．

19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．

（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？

喜欢数学课程不喜欢数学课程总计

男

女

总计40

（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X

的分布列和数学期望．

参考公式：K2=．

临界值附表：

P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01

k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.635

20．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．

（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；

（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与

的大小．

湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）给出下列两个推理：

①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．

②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．

对于上述两个推理，下列判断正确的是（）

A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理

C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理

考点：类比推理．

专题：推理和证明．

分析：根据类比推理，演绎推理的定义，对两个推理进行判断即可得出正确选项．

解答：解：平面结论推广到空间是类比推理，三段论是演绎推理，

故选B．

点评：考查类比推理，演绎推理的定义，理解定义，运用定义，套准定义是解题的关键．