高二数学竞赛班二试平面几何讲义.第十讲几何不等式doc3.doc
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高二数学竞赛班二试平面几何讲义
第十讲
几何不等式
班级
姓名
一、知识要点：
1．Ptolemy （托勒密）不等式
若 ABCD 为四边形，则 AB ×CD+AD ×BC ≥AC ×BD 。等号成立时 四点共圆
A,B,C,D
2．Erdos － Mordell （埃尔多斯 — 莫德尔）不等式
设 P 是 ΔABC 内任意一点， P 到 ΔABC 三边 BC,CA,AB 的距离分别为 PD=p,PE=q,PF=r ，记 PA=x,PB=y,PC=z 。则 x+y+z ≥2*(p+q+r)
PC=z ≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3) 。 由 (1)+(2)+(3) 得 : x+y+z ≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+si nB/sinA) ≥2*(p+q+r) 。命题成立。
证明：因为 P,E,A,F 四点共圆， PA 为直径，则有 :EF=PA*sinA 。 在 ΔPEF 中，据余弦定理得 : EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos( π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C) =(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2 ≥(q*sinC+r*sinB)^2 ， 所以 PA*sinA ≥q*sinC+r*sinB ，即 PA=x ≥q*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1) 。 同理可得 : PB=y ≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2) ，
Q
PR
r O
l
A
B C
d
Mm
例 3. 如图，在 △ABC 中， P、 Q、R 将其周长三等分，且 P、Q 在 AB 边上，
求证：
S S
PAQBCR>29．
A
P
H
N
Q
R
B
C
2
三、精选习题：
1．如图，在△ABC 中，P 为边 BC 上任意一点， PE∥BA，PF∥CA，若 S△ABC= 1， 4
证明： S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于 9 (SXY…Z 表示多边形 XY…Z 的
3 sin C ) ， a2 b2 2absin(C ) ，成立。 6
4．Euler （欧拉）不等式
设 ABC 外接圆与内切圆的半径分别为 R 、r ，则 R≥2r ，当且仅当 ABC
为正三角形时取等号。
5．等周定理（等周不等式）
①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中， 圆的周长最小。 ②周长一定的所有 n 边形中，正 n 边形的面积最大；面积 一定的所有 n 边形中，正 n 边形的周长最小。
C E
A
B MP D
O
QN
F
3
四、拓展提高：
4．设一凸四边形 ABCD，它的内角中仅有 D 是钝角， 用一些直线段将该凸四边 形分割成 n 个钝角三角形，但除去 A、B、C、 D 外，在该四边形的周界上， 不含分割出的钝角三角形顶点．试证 n 应满足的充分必要条件是 n≥４．
D
A
E
C
F
B
5．已知边长为 4 的正三角形 ABC． D、E、F 分别是 BC、 CA、 AB 上的点，且 |AE|=|BF |=|CD|=1，连结 AD、BE、CF，交成 △ RQS．点 P 在△ RQS内及边上 移动，点 P 到△ ABC 三边的距离分别记作 x、y、z． (1)求证当点 P 在△ RQS的顶点位置时乘积 xyz 有极小值； (2)求上述乘积 xyz 的极小值．
6．Fermat （费马）问题
到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。 对于一个顶角不 超过 120 的三角形，费尔马点是对各边的张角都是 120 的点。 对于一个顶角超 过 120 的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。
1
二、例题精析：
例 1. 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I，∠ B=60 ,∠ A<∠ C，∠A 的外角平分线交圆 O 于 E． 证明： (1) IO=AE ； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R．
A
E S
zy
lG
H
F
P
x
R
Q
B
C
D
4
高二数学竞赛班二试平面几何讲义
第十讲
几何不等式
例 1. 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I ，∠ B=60 ,∠ A<∠ C,∠A
的外角平分线交圆 O 于 E．
证明 :(1) IO=AE ； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R．
证明：∵∠ B=60°，∴∠ AOC=∠ AIC= 120°．
EA
O
I
B
C
例 2. 水平直线 m 通过圆 O 的中心，直线 l m，l 与 m 相交于 M，点 M 在圆心的 右侧，直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外，且位于直线 m 上方， A 点离 M 点 最远， C 点离 M 点最近， AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线， P,Q,R 为切点． 试证： (1)l 与圆 O 相切时， AB CR+BC AP=AC BQ；(2)l 与圆 O 相交时， AB CR+BC AP＜AC BQ；(3)l 与圆 O 相离时，AB CR+BC AP＞AC BQ.
面积 )．
A E
F
B PM N
C
A
F
E
B
MP N
C
2．设凸四边形 ABCD 的面积为 1，求证：在它的边上 (包括顶点 )或内部可以找出
四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于
14．
D
Aபைடு நூலகம்
E
B
C
3．在圆 O 内，弦 CD 平行于弦 EF，且与直径 AB 交成 45°角，若 CD 与 EF 分别 交直径 AB 于 P 和 Q，且圆 O 的半径为 1，求证： PC?QE+PD?QF 2．
∴A，O， I，C 四点共圆．圆心为弧 AC 的中点 F，半径为 R．
∴O 为⊙ F 的弧 AC 中点，设 OF 延长线交⊙ F 于 H，AI 延长线交弧 BC 于 D．
3．Weitzenberk （外森比克）不等式：
若 a, b, c 为三角形三边长，
S 是三角形面积 , 则： a2
2
2
b c 4 3 S 。等
号成立当且仅当 ABC 为等边三角形。
证明：只需证明 a2 b2 a2 b2 2ab cosC 4 3 1 ab sin C ， 2
只需证明 a2 b2 ab(cos C
第十讲
几何不等式
班级
姓名
一、知识要点：
1．Ptolemy （托勒密）不等式
若 ABCD 为四边形，则 AB ×CD+AD ×BC ≥AC ×BD 。等号成立时 四点共圆
A,B,C,D
2．Erdos － Mordell （埃尔多斯 — 莫德尔）不等式
设 P 是 ΔABC 内任意一点， P 到 ΔABC 三边 BC,CA,AB 的距离分别为 PD=p,PE=q,PF=r ，记 PA=x,PB=y,PC=z 。则 x+y+z ≥2*(p+q+r)
PC=z ≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3) 。 由 (1)+(2)+(3) 得 : x+y+z ≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+si nB/sinA) ≥2*(p+q+r) 。命题成立。
证明：因为 P,E,A,F 四点共圆， PA 为直径，则有 :EF=PA*sinA 。 在 ΔPEF 中，据余弦定理得 : EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos( π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C) =(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2 ≥(q*sinC+r*sinB)^2 ， 所以 PA*sinA ≥q*sinC+r*sinB ，即 PA=x ≥q*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1) 。 同理可得 : PB=y ≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2) ，
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例 3. 如图，在 △ABC 中， P、 Q、R 将其周长三等分，且 P、Q 在 AB 边上，
求证：
S S
PAQBCR>29．
A
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三、精选习题：
1．如图，在△ABC 中，P 为边 BC 上任意一点， PE∥BA，PF∥CA，若 S△ABC= 1， 4
证明： S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于 9 (SXY…Z 表示多边形 XY…Z 的
3 sin C ) ， a2 b2 2absin(C ) ，成立。 6
4．Euler （欧拉）不等式
设 ABC 外接圆与内切圆的半径分别为 R 、r ，则 R≥2r ，当且仅当 ABC
为正三角形时取等号。
5．等周定理（等周不等式）
①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中， 圆的周长最小。 ②周长一定的所有 n 边形中，正 n 边形的面积最大；面积 一定的所有 n 边形中，正 n 边形的周长最小。
C E
A
B MP D
O
QN
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四、拓展提高：
4．设一凸四边形 ABCD，它的内角中仅有 D 是钝角， 用一些直线段将该凸四边 形分割成 n 个钝角三角形，但除去 A、B、C、 D 外，在该四边形的周界上， 不含分割出的钝角三角形顶点．试证 n 应满足的充分必要条件是 n≥４．
D
A
E
C
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B
5．已知边长为 4 的正三角形 ABC． D、E、F 分别是 BC、 CA、 AB 上的点，且 |AE|=|BF |=|CD|=1，连结 AD、BE、CF，交成 △ RQS．点 P 在△ RQS内及边上 移动，点 P 到△ ABC 三边的距离分别记作 x、y、z． (1)求证当点 P 在△ RQS的顶点位置时乘积 xyz 有极小值； (2)求上述乘积 xyz 的极小值．
6．Fermat （费马）问题
到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。 对于一个顶角不 超过 120 的三角形，费尔马点是对各边的张角都是 120 的点。 对于一个顶角超 过 120 的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。
1
二、例题精析：
例 1. 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I，∠ B=60 ,∠ A<∠ C，∠A 的外角平分线交圆 O 于 E． 证明： (1) IO=AE ； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R．
A
E S
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高二数学竞赛班二试平面几何讲义
第十讲
几何不等式
例 1. 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I ，∠ B=60 ,∠ A<∠ C,∠A
的外角平分线交圆 O 于 E．
证明 :(1) IO=AE ； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R．
证明：∵∠ B=60°，∴∠ AOC=∠ AIC= 120°．
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例 2. 水平直线 m 通过圆 O 的中心，直线 l m，l 与 m 相交于 M，点 M 在圆心的 右侧，直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外，且位于直线 m 上方， A 点离 M 点 最远， C 点离 M 点最近， AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线， P,Q,R 为切点． 试证： (1)l 与圆 O 相切时， AB CR+BC AP=AC BQ；(2)l 与圆 O 相交时， AB CR+BC AP＜AC BQ；(3)l 与圆 O 相离时，AB CR+BC AP＞AC BQ.
面积 )．
A E
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B PM N
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2．设凸四边形 ABCD 的面积为 1，求证：在它的边上 (包括顶点 )或内部可以找出
四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于
14．
D
Aபைடு நூலகம்
E
B
C
3．在圆 O 内，弦 CD 平行于弦 EF，且与直径 AB 交成 45°角，若 CD 与 EF 分别 交直径 AB 于 P 和 Q，且圆 O 的半径为 1，求证： PC?QE+PD?QF 2．
∴A，O， I，C 四点共圆．圆心为弧 AC 的中点 F，半径为 R．
∴O 为⊙ F 的弧 AC 中点，设 OF 延长线交⊙ F 于 H，AI 延长线交弧 BC 于 D．
3．Weitzenberk （外森比克）不等式：
若 a, b, c 为三角形三边长，
S 是三角形面积 , 则： a2
2
2
b c 4 3 S 。等
号成立当且仅当 ABC 为等边三角形。
证明：只需证明 a2 b2 a2 b2 2ab cosC 4 3 1 ab sin C ， 2
只需证明 a2 b2 ab(cos C