2020年全国高考数学理科卷III第12题的变式及其推广

2020年全国数学高考理科卷III
第12题的变式及其推广
学海拾贝
目的：1.本文可作为高三理科综合复习应用作商比较法(或作差比较法)、对数运算、对数函数的性质、均值不等式等基本知识和基本方法的资料；
2.愿与教育同仁、高三学子共同分享。

一. 原题解析
12.已知55<84, 134<85, 设a=log53, b=log85,c=log138, 则( ).
A.a<b<c.
B. b<a<c.
C.b<c<a.
D. c<a<b.
解：由55<84,得5log85<4, b<4
5
, 由134<85,得
4<5log138, c>4
5
, b<c.
比较a、b大小法一：
已知启示: 由34<53,得4log53<3, a<3
4
. 由54>83,
得4log85>3, b>3
4
,所以,a<b, 因此,a<b<c,选A.
比较a、b大小法二(作差比较法)：
a−b=log53−log85=lg3
lg5−lg5
lg8
=lg3lg8−(lg5)2
lg5lg8
.
因为lg3,lg5,lg8>0, 所以，lg3lg8<(lg3+lg8
2
)2=(lg√24)2 <(lg√25)2=(lg5)2, lg3lg8−(lg5)2<0, a<b.
比较a、b大小法三(作商比较法)：
因为a、b、c>0, 所以，a
b =log53
log85
=lg3
lg5
∙lg8
lg5
.
由法二，得lg3lg8<(lg5)2，所以，a
b
<1, 即a<b.
小结: 本法综合应用了作差比较法或作商比较法、均值不等式、对数运算公式、对数函数的性质等知识.
注: 应用作商比较法或作差比较法比较b、c的大小，
本人无法进行.
因为b
c =log85
log138
=lg5
lg8
∙lg13
lg8
,lg5lg13<(lg5+lg13
2
)
2
=(lg√65)2，
又(lg√65)2>(lg√64)2=(lg8)2，所以，无法比较，原请教高手.
观察原题里a=log53, b=log85, c=log138中的真数与底数: 3, 5, 8, 13, …, 这是一个数列{a n}: a1=3,a2=5, a n+2=a n+1+a n, a n>1(n∈N∗),不是等差数列.
二. 变式
已知a=log74, b=log107, c=log1310,则( ).
A.a<b<c.
B. b<a<c.
C.b<c<a.
D. c<a<b.
解：a
b =log74
log107
=lg4
lg7
∙lg10
lg7
. lg4lg10<(lg4+lg10
2
)2=(lg√40)2
<(lg7)2，所以，a
b
<1, 即a<b. 同理, b<c, 所以, a<b<c, 选A.
观察:数列{a n}:4,7,10,13,…是首项为4,公差d为3的等差数列, 通项公式为a n=4+3(n−1)=3n+1, a n>1(n∈N∗).
三. 推广
已知a=log(3n+4)(3n+1),b=log(3n+7)(3n+4),
c=log(3n+10)(3n+7)(n∈N∗),则( ).
A.a <b <c.
B.b <a <c.
C.b <c <a.
D.c <a <b. 猜想: a<b<c ?
解:a
b
=
log (3n+4)(3n+1)log (3n+7)(3n+4)
=lg (3n+1)lg (3n+4)∙lg (3n+7)
lg (3n+4).
因为lg (3n +1)lg (3n +7)<[
lg (3n+1)+lg (3n+7)2
]2
=(lg √9n 2+24n +7)2<(lg √9n 2+24n +16)2=[lg (3n +4)]2, 所以，a
b <1, 即a<b . 同理, b<
c , 所以, a<b<c , 选A .
注:变式是与等差数列{a n }: 4,7,10,13,⋯前4项有关的对数大小比较; 推广则是与等差数列{a n }: 4,7,10,13,⋯连续4项有关的对数大小比较.
再推广:若数列{a n }是公差为d 的等差数列,a n >1,(n ∈N ∗),且
a =log (dn+a 1)(dn+a 1−d ),
b =log (dn+a 1+d )(dn+a 1),
c =log (dn+a 1+2
d )(dn+a 1+d )(n ∈N ∗),则( ). A.a <b <c. B.b <a <c. C.b <c <a. D.c <a <b. 解: a
b =
log (dn+a 1
)(dn+a 1−d )log (dn+a 1
+d )(dn+a 1)
=
lg (dn+a 1−d)lg (dn+a 1)
∙
lg (dn+a 1+d)lg (dn+a 1)
.
因为lg (dn+a 1−d )∙lg (dn+a 1+d )< [
lg (dn+a 1−d )+lg (dn+a 1+d )2
]2
=(lg √d 2n 2+2a 1dn +a 12−d 2)2
<(lg √d 2n 2+2a 1dn +a 12)2
=[lg (dn+a 1)]2, 所以，a
b <1, 即a<b , 同理, b<
c , 所以, a<b<c , 选A .
注: 再推广是与任意项都大于1且公差为d 的等差数列{a n }连续4项有关的对数大小比较.
四. 总结：
1.原题解析、变式及其推广，综合应用了对数运算、对数函数性质、作商比较法(也可用作差比较法)、均值不等式等知识.
2. 本文是由与非等差数列有关对数大小的比较变式并推广为与等差数列有关对数大小的比较.。