16布尔表达式

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引理6-4.2 设<A,∨,∧,- >是一个有限布尔代数,若 b是A中 任意非零元素， a1, a2, … , ak是A中满足aj≤b 的所有原子（j=1,2,…,k） ,则
证明：(1)先证 a1∨a2∨…∨ak ≤ b 记a1∨a2∨…∨ak =c,因为aj ≤ b,所以c
(2)再证 b ≤ a1∨a2∨…∨ak
3
定义6-4.3 具有有限个元素的布尔代数称为有限布
尔代数。
定义6-4.4 设<A,∨,∧,- >和<B,∨,∧,- >是两个
布尔代数,如果存在着A到B的双射f,对于任意的a,b 都有
A,
f(a∨b)=f(a)∨f(b) f(a∧b)=f(a)∧f(b) f(a)=f(a) 则称<A,∨,∧,- >和<B,∨,∧,- >同构。 可以证明,对于每一正整数n,必存在着2n个元素的布 尔代数;反之,任一有限布尔代数,它的元素个数必为2的幂
第(2)部分证明：<A,∨,∧,- >和<(S),∪,∩,~>同构 第2部分同构性格证明： . 设 f(a∧b)=S3,若xS3,则x必是满足xa∧b的原 子，因为a∧ba和a∧bb，所以xa且xb，推得xS1 = f(a)且xS2 = f(b) ，即xS1∩S2 ，这就证得 S3 S1∩S2 。 反之,若xS1∩S2,则xS1且xS2,所以x必是满足xa 和xb的原子,推得x必是满足xa∧b的原子,所以xS3,这 就证明了 S1∩S2 S3 。 综上所述，就有S3 = S1∩S2 ，即 f(a∧b)= f(a)∩f(b)
例1 设<(S),
1
2
定理6-4.1 在一个有界分配格中，对于布尔代数中的 任意两个元素a，b，必定有
( a )=a a∨b= a∧b a∧b= a∨b 证明：只证第(2)个等式
先证互补的两个式子相并等于全上界“1”。
(a∨b)∨(a∧b)= ((a∨b)∨a)∧((a∨b)∨b) =(b∨(a∨a))∧(a∨(b∨b)) =(b∨1)∧(a∨1) =1 再证互补的两个式子相交等于全下界“0”。 (a∨b)∧(a∧b)= 0
.最后证明同构性的f(a)= f(a)式： 将S看作全集,另f(a)=S1,则f(a)=S-S1=S-f(a),可以证 明xf(a)当且仅当xa,这是因为,若xf(a),必有xa,则 由引理6-4.4可知必有 xa,反之,若原子x满足xa,则必 有xa,所以xf(a) 。 还可以证明,对于原子x,xa当且仅当xf(a),这是 因为,若xa而xf(a),将导致xa的矛盾,所以xf(a),反 之,若xf(a)而xa,也将导致xf(a)的矛盾,所以xa 。 另外还可以证明, xf(a)当且仅当xf(a),所以,对于 原子x, xf(a)当且仅当xf(a),因此, f(a)=f(a) 第2部分同构性证明完毕。 (3)总结概括结论:<A,∨,∧,- >和<(S),∪,∩,~>同构。 推论6-4.1 有限布尔格的元素个数必定等于2n，其中n 是该布尔格中所有原子的个数。 推论6-4.2 任何一个具有2n个元素的有限布尔代数都 14 是同构的。
b = a1∨a2∨…∨ak
≤
b。
由引理6-4.1知,要证b≤c若是原子,只需证b∧c=0, 反设b∧c≠0,于是必有一个原子a,使得a≤b∧c。 又因b∧c≤b,和 b∧c≤c, 所以 a≤b 和 a≤c , 因为a是原子,且a≤b,所以a必是a1, a2, …, ak中的一
个,因此 a≤c,已有a≤c,得a≤c∧c,即a≤0, 与a是原子矛盾。
次。
4
> 是一个格，且具有全下界0， 如果有元素a盖住0，则称元素a为原子。
原子：与0相邻且比0“大”
定义6-4.5 设<A, ≤
> 是一个具有全下界0的有限格， 则对于任何一个非零元素b（即不等于全下界0的元素） 至少存在一个原子a ，使得a ≤ b 。 证明：若b是原子，则有b ≤ b ，若b不是原子，则必 有b1存在，使得0b1b 若b1是原子，则定理得证，否则，必存在b2使得 0b2b1b 由于<A, ≤ >是一个有下界的有限格，所以通过有限不骤 总可以找到一个原子bi ，使得0bi... b2b1b
定理6-5.1 对于两个元素的布尔代数<{0,1},∨,∧, ->, 任何一个从{0,1}n到{0,1}的函数,都是布尔函数。
证明：n元布尔表达式若有x1’∧x2’∧„∧xn’形式(其 中xi’是xi或xi中的任一个),则称它为小项,若一个布尔表 达式能表示成小项的并,则称它为析取范式。对于一个从 {0,1}n到{0,1}的函数,先用那些使函数值为1的有序n元组 分别构造小项，其中 xi 若n元组中第i个分量为1 ’= xi xi 若n元组中第i个分量为0 由这些小项构成的析取范式就是原函数对应的布尔表达式。
6-4 布尔代数 定义6-4.1 一个有补分配格称为布尔格。
求一个元素的补元素可以看作一元运算，称为补运算。 定义6-4.2 设<A,∨,∧，- > 是由布尔格<A, ≤
>
是所诱导的代数系统。称这个代数系统为布尔代数。
∪,∩，~>是由布尔格<(S),> 是所诱导的代数系统。这个代数系统为布尔代数。 当S={a,b}时的运算表如表6-4.1所示。P-253页
b∧c≠0假设不成立 。综合(1)和(2)定理得证。
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引理6-4.3 设<A,∨,∧,- >是一个有限布尔代数,若b 是A中 任意非零元素， a1, a2, … ,ak是A中满足aj ≤b的 所有原子（j=1,2,…,k） ,则b = a1∨a2∨…∨ak是将b表示 为原子之并的唯一形式。
证明:设有另一种表示形式为b=aj1∨aj1∨…∨ajt
其中aj1,aj1,…,ajt是原子。因为b是aj1,aj1,…,ajt的最小上 界,所以必有aj1 ≤ b, aj2 ≤ b,..., ajt ≤ b。而a1, a2, … , ak是A 中所有满足ai ≤ b （i=1,2,…,k）的不同原子。 所以必有 t≤k 反设tk,那么在a1, a2, … , ak中必有aj0且aj0≠ajl 于是,由aj0∧(aj1∨aj1∨…∨ajt)= aj0∧(a1∨a2∨…∨ak) 即 (aj0∧aj1)∨ (aj0∧aj2)∨ … ∨ (aj0∧ ajt) = (aj0∧a1)∨ (aj0∧a2)∨ … ∨ (aj0∧ ak) 导致的0= aj0矛盾。tk假设不成立 。 T=k定理得证。 8
(e1),(e1∨e2) ,(e1∧e2) 也是布尔表达式。 （4）除有限次使用条款（2），（3）生成的表达式 是布尔表达式外，没有别的是布尔表达式。 例1 给出了两个布尔函数的例子பைடு நூலகம்见表6-5.1和6-5.2。 15 例2 给出了布尔表达式的例子,见P-262页。
定义6-5.2
一个含有n个相异变元的布尔表达式，
尔表达式为E1(x1,x2,„,xn)和E2(x1,x2,„,xn), 如果对于n个变元的任意赋值xi=xi’,xi’A时均有
则称这两个布尔表达式是等价的。
E1(x1’,x2’,„,xn’)=E2(x1’,x2’,„,xn’)
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例4 布尔代数<{0,1},∨,∧,->上两个3元的布尔表达 式为 E1(x1,x2,x3)=(x1∧x2)∨(x1∧x3) 和 E2(x1,x2,x3)=x1∧(x2∨x3) 验证这两个布尔表达式是等价的。 E1(0,1,1)=(0∧1)∨(0∧0)=0 E2(0,1,1)=0∧(1∨0)=0 E1(1,1,1)=(1∧1)∨(1∧0)=1 E2(1,1,1)=1∧(1∨0)=1 E1(0,0,0)=(0∧0)∨(0∧1)=0 E2(0,0,0)=0∧(0∨1)=0 等等(全部赋值状况共8种需要验证。)。 结论：一个n元布尔表达式确定一个从An到A的函数。 定义6-5.5 设<A,∨,∧,->为布尔代数,一个从An到A 的函数，如果它能够用<A,∨,∧,->上的一个n元布尔表达 式E(x1,x2,„,xn)来表示，那么，称此函数为布尔函数。 17
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. 设 f(a∨b)=S3,若xS3,则x是满足xa∨b的原 子，所以必有xa或xb，这是因为： 若xa且xb,则由引理6-4.4可知必有 xa且xb,所 以xa∧b= a∨b 。再由条件xa∨b,便得 x (a∨b)∧(a∨b)=0 这与x是原子相矛盾。 因此，若xa则xS1或者若xb则xS2 ，所以 x S1∪S2 这就证明了S3 S1∪S2 。 反之,若xS1∪S2, 则xS1或xS2,若xS1，则 xa a∨b 所以xS3,同理，若xS2，则 xb a∨b 所以xS3,这就证明了 S1∪S2 S3 。 综上所述，就有S3 = S1∪S2 ，即 13 f(a∨b)= f(a)∪f(b)
>中,对A中 任意一 个原子a和另一个非零元素b，ab 和ab两式中有且
引理6-4.4 在一个布尔格<A, 仅有一式成立。 证明：(1)先证ab 和ab两式不可能同时成立 反设ab 和ab同时成立，就有ab∧b=0，这 与a是原子相矛盾，即ab 和ab不同时成立。
(2)再证ab 和ab两式中必有一式成立
有限布尔格<A,
(1)构造一个映射，并证明它是双射（既是入射又是满 射）； (2)描述代数系统<A,∨,∧,- >和<(S), ∪,∩,~> 同构并证明之； (3)总结概括结论。
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第(1)部分证明：对于任意非0aA,必有的唯一表示： a=a1∨a2∨„∨ ak （引理6-4.2a的原子表示） 其中aia （i=1,2,…,k）,作映射 f(a)=S1 = {a1,a2 ,…, ak} 那么，这个映射是 一个从A到(S)的一个双射。 第1部分双射证明： . 对于全下界0A，规定 f(0)= 。 .如果 S1 ={a1,a2 ,…, ak}(S)，而有a,bA,使得 f(a)= f(a)=S1 ，则a=a1∨a2∨„∨ ak = b， 所以 f是一个从A到(S)的一个入射。 .对于任一个S1(S)，若S1 ={a1,a2 ,…, ak}，则由 于运算∨的封闭性，所以 a1∨a2∨„∨ak = aA 这就说明(S)中任一元素，必是A中某个元素的象，所以 是一个从A到(S)的一个满射。 11 第1部分双射证明完毕。
6-5 布尔表达式 定义6-5.1 设<A,∨,∧,->为布尔代数,如下递归 地定义A上布尔表达式(Boolean （1）布尔常元(取值于A的常元)是布尔表达式,布尔
expressions)：
常元常用a,b，c等符号表示。
（2）布尔变元(取值于A的变元)是布尔表达式，布尔 变元常用x，y，z等符号表示。 （3）如果e1,e2为布尔表达式，那么
因为a∧ba, a是原子,所以只能是
a∧b=0 或 a∧b=a 若a∧b=0，则 a∧(b) =0 ，由引理6-4.1得 ab； 若a∧b=a,由引理6-1.6得ab。
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定理6-4.3(Stone 表示定理) 设<A,∨,∧,- > 是由
>所诱导的一个有限布尔代数， S是布 尔格中的所有原子的集合，则<A,∨,∧,- >和<(S), ∪,∩,~>同构。 证明：本定理的证明过程分三部分
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定理6-4.2 设<A, ≤
引理6-4.1 设在一个布尔格中,b∧c=0当且仅当b ≤c。
证明：(1)先证 b∧c=0 b ≤ c 若 b∧c=0， 因为 0∨c=c ， 则 (b∧c)∨c=c
根据分配性，就有
(b∨c) ∧ (c∨c) =c 即 (b∨c) ∧1 =c 所以 b∨c =c 又因为 b ≤ b∨c 所以 b≤c (2)再证 b ≤ c b∧c=0 若b≤c,则b∧cc∧c,即b∧c0，所以b∧c=0
称为含有n元的布尔表达式，记为E(x1,x2,„,xn)，
其中x1,x2,„,xn为变元。
定义6-5.3
布尔代数<A,∨,∧,->上的一个含有n
元的布尔表达式E(x1,x2,„,xn)的值是指：将A中的 元素作为变元xi(i=1,2,„,n)的值来代替表达式中 相应的变元（即对变元赋值）,从而计算出表达式的值。 定义6-5.4 布尔代数<A,∨,∧,->上两个n元的布