高中数学一元二次不等式根的分布

一元二次不等式根的分布

讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置

例1.若一元二次方程2

(1)30mx m x -++=的两个不同实根都大于－1，求m 的取值范围。例2.方程2210mx mx ++=有一根大于1，另一根小于1，则实数m 的取值范围是。例 3.已知函数2()(3)2f x ax a x a =--+-的两个不同零点都小于1，则实数a 的取值范围为。

一元二次方程实根分布之函数思想

)x (x x ,x 0)

0(a c bx ax 0)

c(a bx ax f(x)212122<>=++>++=的两根为一元二次方程设为常数）212211k ,(k k x x (4)k <<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<>∆0

)f(k 0)f(k k 2a b -k 02121为常数）

212211k ,(k x k k (5)x <<<⎩⎨⎧<<0)f(k 0)f(k 21为常数）或212

21211k ,(k k x k k x (6)k <<<<或其它 0

))f(k f(k 21<为常数）

q p,n,(m, q x p n x (7)m 21<<<<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>0

f(q)0

f(p)0f(n)0f(m)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>∆0

f(k)k 2a b -0为常数）方程两根都小于k(k (1)为常数）

方程两根都大于k(k (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>∆0

f(k)k 2a

b -0为常数）(k x k (3)x 21<<0f(k)<

例4.若函数2

()(2)(21)f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间(1,0),(1,2)-内，求m 的取值范围.例5.已知方程2

(1)40x a x a ++++=的两个实根为12,x x ，且1201x x <<<，则实数a 的取值范围为

.答案：

例1.令2()(1)3f x mx m x =-++，则方程2

()(1)30f x mx m x =-++=有两个不同实根且都大于2(1)120112(1)0

m m b m a

m mf ⎧∆=+->⎪+⎪-⇔-=>-⎨⎪->⎪⎩，

解得5m >+或2m <-

或05m <<-，故实数m 的取值范围

为(,2)(0,5(5)-∞-⋃-⋃++∞。

例2.令2()21f x mx mx =++，方程2

210mx mx ++=有一根大于1，另一根小于1(1)0mf ⇔<，解得103m -<<，故填1(,0)3

-。例 3.函数2()(3)2f x ax a x a =--+-的两个不同零点都小于1032(1)0

b a a a af ∆>⎧⎪-⎪⇔-=<⎨⎪>⎪⎩，解得905a a ><或，故填9(,0)(,)5

-∞+∞ .例4.因为函数2

()(2)(21)f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间(1,0),(1,2)-内，所以202(1)(0)0(21)(21)0(1)(2)0(41)(87)0m m f f m m f f m m -≠≠⎧⎧⎪⎪-<⇒-+<⎨⎨⎪⎪<--<⎩⎩解得1142m <<，故m 的取值范围为11(,42.例 5.令a x a x x f ++++=4)1()(2

，则图像开口向上，方程0)(=x f 的两实根{0)0(0)1(21),1(),1,0(><⇔+∞∈∈f f x x ，解得34-<<-a ，故填)3,4(--。

练习题：

1.已知一元二次方程03)2(2

=+++x m x 两根都大于1，求实数m 的取值范围。2.已知一元二次方程0122

=++px x 一根大于1，一根小于1，求实数p 的取值范围。3.已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求实数m 的取值范围．

4.已知方程()2

222120x a x a --++=的两个根在-3与3之间，求实数a 的取值范围．5.已知2

2(3)2140x m x m ++++=有两实根，且都在[1,3]外，求实数m 的取值范围6.已知一元二次方程02)13(72

2=-+++-k k x k x 两根分别为1x 和2x ，且满足21021＜＜＜＜x x ，求实数k 的取值范围。7.已知一元二次方程0242

=+-n mx x 两根分别为1x 和2x ，且满足12-101x x ＜＜＜＜

，若m 、n 都为整数，求m 、n 的值。9.若方程()2

110x a x +-+=有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a 的取值范围．10.已知一元二次方程0122

2=-+-t tx x 两根分别为1x 和2x ，且满足12-24x x ≤≤＜，求实数t 的取值范围。11.若2

(2)50x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的取值范围是（）。

A.2a <-

B.52a -<<-

C.54a -<≤-

D.44a a ><-或

答案：

1.

2.

11.令2()(2)5f x x a x a =--+-，方程2

(2)50x a x a --+-=的两根都大于2等价于2(2)4(5)024(2)0a a b a a f ⎧∆=---≥⎪⎪⇔-=->⎨⎪>⎪⎩，解得54a -<≤-，故选C.