四年级奥数第二讲 图形的计数问题含答案
四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练：第2讲：图形计数(教师版)
第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。
二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。
例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
四年级奥数专题组合图形的计数 (2)
十一、组合图形的计数（A）年级_班姓名得分一、填空题 :1.右图一共有 ()个长方形 ?2.右图一共有 ()个长方形 ?3.右图一共有 ()个长方形？4.右图一共有 ()个正方形？5.右图一共有 ()个长方形？(6)(7)6.右图一共有7.右图一共有8.右图一共有((()个平行四边形 ?)个梯形？)个正方形？9.右图一共有 ()个正方形 ?10.右图一共有 ()个正方形 ?二、解答题 :11.以下图共有几个正方形 ?12.以下图共有几个正方形 ?13.在一个图案中有个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中最少有多少个平行四边形?14.三个相同的正方形框架 ,摆放在合适的地点 ,最多能够数出多少个正方形来?十一、组合图形的计数（B）年级_班姓名得分一、填空题 :1.右图有 ()个长方形 .2.右图共有 ()个长方形 .3.以下图共有 ()个长方形 .4.图中一共有多少个长方形?(含正方形 ).5.数一数图中三角形的个数.6.以下图共有 ()个三角形 .7.以下图一共有 ()个三角形 .8. 图ABC 中 , BC 4cm , BC 边被分红四均分 ,BC 边上的高 AH 2cm ,则图中全部三角形面积的和为多少 ?(认为边的三 AH 角形不计算在内.9. 以下图共有()个平行四边形.10.右图一共有 ()个梯形 .二、解答题 :1.数一数 ,右图中有多少个正方形 ?2.如右图 ,数一数图中一共有多少个三角形 ?3.以下图共有几个长方形 ?4.以下图共有多少个长方形 ?———————————————答案——————————————————————一、填空题 :1. 一共有 1 个.解 : ①上横大长方形内有长方形:(8+7+6+5+4+3+2+1) (1+2)=108(个 );②下横大长方形内有长方形:(7 6 2) (3 2 2)=63(个);③竖大长方形内有长方形 :(5 4 2) (7 6 2)=210(个);④中间重复的长方形共有 :(5 4 2) (3 2 2) 2=60(个 ).⑤图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个).2.一共有个.3. 一共有7 个.解: (1+2+3+4) (1+2+3)=60(个 );(1+2+3)(1+2+3)=36(个 );1+2=3(个);(1+2) 4+2=14(个);图中共有长方形:60+36-3+14=107(个 ).4.一共有个.解:分三类计算 ,边长是 1 的正方形有 +4=13(个 ),边长为 2 的正方形有 (个),边长为 3 的正方形有 1 个 .所以 ,图中共有正方形 13+4+1=18(个).5.一共有个.解: 在大长方形中共有长方形 :(3+2+1) (3+2+1)=36(个).在小长方形中共有长方形: (3+2+1) (3+2+1)=36(个).在两个长方形中增添的长方形有 :8(个).在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为 1 个 .所以 ,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).6.右图一共有 (150)个平行四边形.(5 4 2) (6 52)=150(个 ).点金术 :与算平行四边形的方法相同.7.一共有(90)个.(6 5 2) (4 3 2)=90(个).8.一共有(55)个.解:分类进行统计,得边长为 1 的正方形有5=25(个);边长为 2 的正方形有4=16(个);边长为 3 的正方形有3=9(个 );边长为 4 的正方形有2=4(个 );边长为 5 的正方形有1=1(个 ).图中共有正方形 : 25+16+9+4+1=55(个 ).9. 一共有个.解:分类进行统计,得边长为 1 的正方形有7=28(个);边长为 2 的正方形有6=18(个);边长为 3 的正方形有5=10(个);边长为 4 的正方形有4=4(个 ).图中共有正方形 : 4 7+3 6+2 5+1 4=60(个 ).10.右图一共有 (110)个正方形 .解: 图中是一个 ABCD 410 方格,此中正方形的个数是 :4 10+3 9+2 8+17=90(个 );图中是一个 CEPN 4 6 方格 ,此中正方形的个数是 :4 6+3 5+2 4+1 3=50(个);在上边的两项统计中 , CDMN 内的正方形被重复计算了一次 ,应当扣除 .因是 44 方 CDMN 格,此中正方形的个数是 :4 4+3 3+2 2+11=30(个 ).所以 ,图中正方形的个数是 : 90+50-30=110(个).二、解答题 :11.一共有个.解 : ①中间部分的正方形有 :52+42+32+22+12=55(个);②上、下部分的正方形有 :(4+2+1)2=14(个 );③左、右部分的正方形有 :(9+2+2) 2=26(个).共有正方形 : 55+14+26=95(个 ).12.共有 46 个.解: ①正摆着的正方形有 :4 3+3 2+2 1=20(个);②斜摆着的正方形有 :a .最小的正方形有17个;b .由 4 个小正方形构成的正方形有个,c .由9个小正方形构成的正方形有个.③图中共有正方形: 20+17+8+1=46(个).13. 最罕有0 个 .解 : 由于矩形、菱形、正方形都是平行四边形 ,且正方形既是矩形也是菱形,所以 , 最罕有平行四边形 : 100+100-40=160(个).14.最多有 7 个.解: 最多有 7 个正方形.摆法如右图 .———————————————答案——————————————————————1.58 个2.25 个3.29 个4.1980 个图中线段OA100×11÷2=55(条),OB8边上共有线段8×9÷2=36(条),所以 ,图中共有长方形 55×36=1980(个).5.27 个这样的图形只好分类数 ,能够采纳类似数正方形的方法 ,从边长为一条基本线段的最小三角形开始 .Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形 : ①尖向上的三角形共有四层,它们的总数为:W①上 =1+2+3+4=10(个 ).②尖朝下的三角形共有三层 ,它们的总数为: W①下 =1+2+3=6(个 ).Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形 : ①尖向上的三角形共有三层 ,它们的总数为:②尖朝下的三角形只有一个 ,记为 W②下 =1(个).Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形 : ①尖向上的三角形共有二层 ,它们的总数为:②尖朝下的三角形零个 ,记为 W③下 =0(个).Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形 ,只有一个 ,记为 W④上 =1(个).所以三角形的总数是 0+6+6+1+3+1=27(个).我们还能够按另一种分类状况计算三角形的个数 ,即按尖向上与朝下的三角形的两种分类状况计算三角形个数.Ⅰ.尖向上的三角形共有四种:W①上 =1+2+3+4=10W②上 =1+2+3=6W③上 =1+2=3W④上 =1所以尖向上的三角形共有:10+6+3+1=20(个)Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种:W①下 =1+2+3=6W②下 =1W③下 =0W④下 =0则尖朝下的三角形共有 6+1+0+0=7(个)所以 ,尖向上与尖朝下的三角形一共有 :20+7=27(个)尖向上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1 开始的连续自然数的和 ,此中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分红的基本线段的条数 ,挨次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数 ,直到 1 为止 .尖朝下的三角形的个数也是从 1 开始的连续自然数的和 ,它的第一个正是尖向上的第二个和 ,挨次各个和都比上一个和少最大的两个加数 ,以此类推直到零为止 .6.126 个Ⅰ.尖向上的三角形有五种 :(1)W①上 =8+7+6+5+4=30(2)W②上 =7+6+5+4=22(3)W③上 =6+5+4=15(4)W④上 =5+4=9(5)W⑤上 =4∴尖向上的三角形共有 :30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种 :(1) W①下 =3+4+5+6+7=25(2)W②下 =2+3+4+5=14(3)W③下 =1+2+3=6(4)W④下 =1尖朝下的三角形共有5+14+6+1=46(个)∴80+46=126 个.7.35 个Ⅰ.与相同的三Ⅱ.与相同的三Ⅲ.与相同的三Ⅳ.与相同的三Ⅴ.与相同的三Ⅵ.与相同的三ABE 角形共有个; ABP 角形共有0 个; ABF 角形共有个; AFP 角形共有个; ACD 角形共有个; AGD 角形共有个.所以图中共有三角形为 5+10+5+5+5+5+5=35(个 ).8.20 平方厘米底边为m 的三角形面积和为 :1 2 2 4 4(cm2 ) ;底边为m 的三角形面积和为 : 2 2 2 3 6(cm2 ) ;底边为m 的三角形面积和为 : 3 2 2 2 6(cm2 ) ;底边为m 的三角形面积和为 : 4 2 2 1 4(cm2 ) ;图中全部三角形面积和为: 4 6 6 4 20(cm 2 ) .9.315 个(7 6 2) (6 5 2) 21 15 315 (个)10.45 个最好的方法是先数出长方形和梯形的总数 ,再减去长方形的个数 .长方形和梯形的总数为 :(1+2+3+4+5+6) ×(1+2)=63(个 )长方形的个数为 :(1+2+3) ×(1+2)=18(个 )梯形的总数为:63-18=45(个)二、解答题11.有 124 个.①基本的三角形有:4×9=36(个).②由两个基本的三角形组成的三角形有 :4×9=36(个).③由四个基本的三角形组成的三角形 :4×3×2=24(个).④由九个基本的三角形组成的三角形 :4×2=8(个 ).⑤由八个基本的三角形组成的三角形 :4×4=16(个).⑥由十八个基本的三角形构成的三角形 :4(个).共有三角形 :36+36+24+8+16+4=124(个).12.有100个.这是个对称图形 ,我们可按如下三步次序来数 :第一步 :大矩形 CD 可分为四个相同的小矩形 :AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每个小矩形内所包括的三角形个数是相同的 .第二步 :每两个小矩形组合成的图形共有四个 ,如:ABFH、EBCG、HFCD 、AEGD,每一个这样的图形中所包括的三角形个数是相同的.第三步 :每三个小矩形占有的部分图形共有四个:如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC,每一个这样的图形中所包括的三角形个数是相同的 .最后把每一步中每个图形所包括三角形个数求出相加再乘以 4 就是整个图形中所包括的三角形的个数 .Ⅰ.在小矩形 EOH 中 :①由一个三角形构成的个 . ②由两个三角形构成的三角形有 5 个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有 5 个.这样在一个小矩形内7 个三角形 .Ⅱ .在由两个小矩形组合成的图形中 ,如矩形GD,共有 5 个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占有的部分图形中 ,如△ABC,共有 2 个三角形.所以整个图形共有三角形个数是 :(8+5+5+5+2) ×4=25×4=100(个).13.有270个.①除掉周围凸出部分 ,中间大长方形内共有长方形:(7 ×6÷2) ×(4 ×3÷2)=126(个);②左、右凸出部分共有长方形 :(3 ×2÷2) ×(7+6)+(5 ×4÷2)×(5+4)=39+90=129(个); ③上、下凸出部分共有长方形 :1×(8+7)=15(个 ). ④图中共有长方形:126+129+15=270(个).14.有 133个①在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1) ×(3+2+1)=60(个);②在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1) ×(3+2+1)=60(个);③在①与②中重复的长方形有 :1+2=3(个);④两个长方形共同构成的长方形有 :(1+2) ×(2+2)+1 ×(2+2)=16(个 ).⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).。
数数图形二四年级奥数举一反三编辑版.ppt
练习1： 数一数，下面各图中分别有几个长方形？
【例题2】 数一数，下图中有多少个正方形？（每个小
方格是边长为1的正方形）
图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个， 边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个， 边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。 所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
分析发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几 列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋ 2×2＋…＋n×n。
练习2： 数一数下列各图中分别有多少个正方形？ （每个小方格为边长是1的小正方形）
【例题3】 数一数下图中有多少个正方形？（其中每
个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个 边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个 所以，图中正方形的总数为：6+2=8个
知识要点
在解决数图形问题时，首先要认 真分析图形的组成规律，根据图形特 点选择适当的方法，既可以逐个计数， 也可以把图形分成若干个部分，先对 每部分按照各自构成的规律数出图形 的个数，再把他们的个数合起来。
பைடு நூலகம்
【例题1】 数一数下图中有多少个长方形？
图中的AB边上有线段1+2+3=6条 把AB边上的每一条线段作为长 AD边上的每一条线段作为宽 每一个长配一个宽，就组成一个长方形， 所以，图中共有6×3=18个长方形。
=52厘米
从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站， 铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？ 这些车票中有多少种不同的票价？
练习4： 1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航
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第二讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右中共有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），所以∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：中共有10 个角。
一：数一数右中共有多少个角？答案 :共有角：10+9+8+⋯ +4+3+2+1=55（个）例（ 2）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段3 条基本线段，再看 BC、 MN、GH 这AB、AD、 AE、AF、 AC、上各有3 条线段上各有 3 个分点，各分红2 个分点，各分红4 条基本线段 .所以图中总合有线段是：（3+2+1）× 5+（ 4+3+2+1）× 3=30+30=60（条） .②要数有多少个三角形，先看在△ AGH中，在 GH上有 3 个分点，分红基本小三角形有 4 个. 所以在△ AGH中共有三角形 4+3+2+1=10（个） . 在△ AMN与△ ABC中，三角形有相同的个数，所以在△ ABC中三角形个数总合：（4+3+2+1）× 3=10× 3=30（个）解：：①在△ ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）× 3=10× 3=30（个）答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案34几何计数(二)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题几何计数（二）我们在学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形、正方形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法。
在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把它们的个数加起来。
例1 数一数下图中有多少个长方形。
分析与解：图中的AB边上有线段1＋2＋3＝6（条），AD边上有线段1＋2＝3（条），把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3＝18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段数×短边上的线段数＝长方形的个数。
例2 数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1个长度单位的正方形）分析与解：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3＝9（个），边长为2个长度单位的正方形有2×2＝4（个），边长为3个长度单位的正方形有1×1＝1（个）。
所以图中的正方形总数为：1＋4＋9＝14（个）。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n（个）。
例 3 数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）。
分析与解：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形。
①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5＝30（个）。
②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4＝20（个）。
③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3＝12（个）。
④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2＝6（个）。
小学思维数学讲义：几何计数(二)-含答案解析
几何计数（二）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数【例 1】 如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得教学目标例题精讲知识要点到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
四秋 第2讲 图形计数
图形计数
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几何图形计数往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，因此要准确计数就需要一些智慧了。
实际上，我们可以采用一种简单原始的计数方法—枚举法。
具体而言，它是指把所计数问题，要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和。
正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。
重要思想的运用
分类讨论思想（★）
数形结合思想
转化思想
例1、请数出下图中的线段的总条数。
练一练
1、请数出下图中的线段的总条数。
例2、请数出下图中角的总个数。
练一练
1、请数出下图中角的总个数。
例3、请数出下图中三角形的总个数。
练一练
1、请数出下图中三角形的总个数。
2、请数出下图中长方形的总个数。
例4、如下图，各包含多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形）
练一练
下图中，有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形）
例5、下图中，有多少个正方形？
练一练
1、下图中，有多少个正方形？
例6、看看下图中一共有多少三角形？
练一练
1、看看下图中一共有多少三角形？
课后测试题
1★下列图形各有几条线段。
（）条（）条（）条2★如图，一共有多少个长方形？
3★如图，一共有多少个三角形？
4★★如图，一共有多少条线段？
5★★如图，一共有多少个正方形？
6★★如图，一共有多少个长方形?
7★★★如图，一共有（）个三角形。
8★★★如图，一共有多少个长方形？。
人教版小学四年级数学第2讲：图形计数(教师版)
第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。
二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。
例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
四年级奥数题：图形的计数(B)
九图形的计数（B）年级班姓名得分一、填空题1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.2. 下图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.3. 下图中共出现了_____个长方形.4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.5. 图形中有_____个三角形.6．如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.7. 右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.8. 下图中共有_____个正方形.9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。
把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.10. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格.二、解答题11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形?13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?———————————————答案——————————————————————利用例1和例4公式可直接计算:(5+4+3+2+1)×(3+2+1)=15×6=90(个)[注]注意,由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然.故求长方形个数时,不必把正方形分开考虑.2. 3个正方形; 18个三角形; 6个平行四边形; 8个梯形.3. 18根据这个图形的特点,我们先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1)×(2+1)=9个；然后在图(1)的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1)×(2+1)=9个.至此已将图(1)还原为题图,同时题图中的长方形已全部数完.因此,原图中共有长方形.(2+1)×(2+1)+ (2+1)×(2+1)=18(个).(1) (2)4. 16具体分法如下图所示.基中小三角形有8个,由两个小三角形组成的三角形有4个,由四个小三角形组成的三角形有4个,所以共有三角形8+4+4=16(个).5. 72把图中最小三角形作为基数,然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.含一个基数的三角形,共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四个基数的三角形，共有20个；含八个基数的三角形，共有8个；含十六个基数的三角形，共有4个.因此,整个图形中共有16+24+20+8+4=72(个)三角形.6. 6图中的三角形可分成两种,一种是尖头向上的,一种是尖头向下的.从图上可以看出,每种三角形必须涂成同一颜色.为了使涂红色的三角形比涂蓝色的三角形多,尖头向上的三角形要涂红色.每一横排,尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个,共有6排,因此,涂红色的比涂蓝色的三角形多6个.7. 38将原立体图形从左至右分类计算,共有16+9+5+7+1=38个.单独的一个4×4的方格中有12+22+32+42=30个正方形,两个4×4的方格如原图重叠后,重叠部分有5个正方形.所以原图中一共有30×4-5×3=105个正方形.9. 6根据标有相同数码的纸片不许靠在一起的条件，当M位置上放标有数码“3”的纸片时，其余两个标有数码“3”的纸片，只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下图所示.这样圆圈绕M圆紧接着M的六个圈旋转一周,回到初始状态,可知共有六种不同的放置方法.10. 19如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11个交点,与竖边至多9个交点,共20个交点.如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生10个交点,与竖边至多产生10个交点,共20个交点.20个交点,将直线分成21部分,其中在大正方形有内有19部分,故至多穿过19个方格.[注]穿过一个方格,在直线上截出一条线段,线段由直线上的交点决定,关键是求交点个数.对小学生来说,通常总是从简单情况入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情况,归纳出一般的规律,从而得出10×10方格的结果.请同学们用归纳法试一试!11. 最大边为7时,另两边之和为8,可构成4个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大边为6时，另两边之和为9，可构成2个（3+6，4+5）不同的三角形;最大边为5时,可构成1个(5+5)不同的三角形.所以一共可组成7个不同的三角形.12. 由三角形的一边为11厘米,及其他边长必为1,2,.…，11厘米，根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知两边之和应介于12厘米和22厘米之间（包含12厘米和22厘米）.这样,共可围成36个不同的三角形.12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；17:(6,11),(7,10),(8,9)；18:(7,11),(8,10),(9,9)；19:(8,11),(9,10)；20:(9,11),(10,10)；21:(10,11)；22:(11,11)所以，一共可以围成36个不同的三角形.13. 为方便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是21×2×3=3.所求的三角形可分两种情形: (1)三角形的一边长为2,这边上的高是3.这时,长为2的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有2×4×4=32(个)；(2)三角形的一边长为3,这边上的高是2.这时长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.其中与(1)重复的三角形不再算入,这样的三角形有8×2=16(个).因此,所求的三角形共32+16=48(个)(包括图中开始给的三角形.)14. 最多可以穿透7个小立方体.提示:仿题10.。
奥数知识点 图形计数
巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段;分析与解：对于基础图形,用最小线段为单位,按序递增;单拼：3段,双拼：2段,三拼：1段通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决;最小线段基础线段的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6段或者,线段个数=基础线段数×端点÷2高阶基础线段要求：手拉手,肩并肩对于相交的线段,分别计算各个方向,然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数;分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决;最小线段的数量为火车头;或者,角的个数=最小角个数×最小角个数+1÷2又,角的个数=射线的个数×射线个数-1÷2例3、下列各图形中,三角形的个数各是多少分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决,最小线段的数量为火车头;所以,三角形个数=底边线段个数每个底边基础线段构成一个基础三角形或者,三角形的个数=最小三角形个数×最小三角形个数+1÷2高阶以上的内容基本是单层规整图形：数线段数角,数三角形,解决方法：开小火车对于多层规整的图形,应该以单层规整图形为基础,运用技术,算出多层规整图形的数量;例4、下列图形中各有多少个三角形分析与解：方法1使用分层计数法：方法2公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形小TIPS：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形例7、右图中有多少个三角形分析与解：对于不规则的图形,数之前,先将每个图形编号,编好后,先数单拼三角形1、4、3号,共3个;再数两个图形合成的双拼三角形,1+2号,2+3号,3+4号,4+1号,按顺序两个两个合并,共4个三角形;最后数由1+2+3+4号组成的四拼大三角形,有1个;所以3+4+1=8,共8个三角形;例8、下列各图形中,长方形的个数各是多少分析与解：对于单层基础图形,可以使用开小火车的方式解决;每个长方形相当于最小线段;所以数单层的基础长方形,就是数基础线段数;对于多层的长方形的个数=单层长方形的数量×层数个单层长方形的数量=长边上的线段数个,层数=宽边上线段的个数层例9、下列图形中,长方形的个数是多少个分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决;单层长方形的数量=长边线段数=4+3+2+1=10个,层数=宽边线段数=3+2+1=6层总数=4+3+2+1×3+2+1=60个例10、下列图形中,长方形的个数是多少个分析,先将<格1>与<格2>隐去,剩下的格3,就是一个多层规整长方形=10×6=60个格1带来的长方形=4个吹泡泡法格2带来的长方形=5个总数=60+4+5=69个例11、下列图形中,长方形的个数是多少个分析与解：了解正方形的构成特点：四边相等;方法1数格子：一格,四格,九格,十六格……方法2开小火车法：最小正方形的个数为“火车头”,后面的“车厢”中的每个乘数都减-1,直至出现1为止0乘任何数都等于0解：3×3+2×2+1×1=14个例12、下列图形中,正方形的个数是多少个分析与解：利用开小火车法：火车头为最小9正方形数量：6×5正方形个数=6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70个例13、数下列图形中共有21个三角形,一共需要多少个小棒：例10、在下图中,包含“”号的长方形和正方形共有多少个分析与解：对于不规整的图形,进行分类讨论;左图中,应先进行分类：正正方形与斜正方形正正方形=5+5=10个斜正方形= 5个总数=10+5=15个例11、如下图是由小立方体构成的塔,数一数有多少个小立方体分析与解：数立方体时,先从顶层数起;公式：本层可见数+上层数本题：1+3+1+5+4+7+9=30个例12、数一数,下列图形中有多少个长方形方法1：小讨厌法：不包含小讨厌的多层规整图形：10×6=60个小讨厌错误!+错误!+错误!：4+4+4=12,共：60+12=72个方法2：重叠法三年级：横：10×6=60个,竖：3×10=30个中重叠：3×6=18个,共：60+30-18=72个例13、数一数,第10个图形应该有多少圆圈组成通过观察可以发现如下的规律：1 2 3 (10)2 2+4+2 2+4+6+4+2 ……2+4+…+20…+4+22 8 18 (200)例13、数一数,第10个图形应该有多少条线段通过观察可以发现如下的规律：1 2 3 4 (10)1×2+2 3×2+3 6×2+4 10×2+5 55×2+1122=4 32=9 42=16 52=25 112=121 例14、数一数,下列图形中包含★长方形有多少个方法1勾对角线法：将★的左上角的点和右下角的点相连：通过加标字母A、B和a、b、c、d、e、f,帮助我们数图形：Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、方法2公式法：经过★划十字线,左侧、右侧、上面、下面焦点数相乘：2×2×1×3=12个例15、数一数,下列图形中有多少条线段有多少个三角形1数线段：分方向：共：6×5+5=35条2数三角形：分方向中间五角星不用①③③④⑤：共10个三角形;仅使用①③③④⑤中一条：每一条有4个三角形,共4×5=20条使用①③③④⑤中的两条：共4个三角形;共：10+20+5=35个。
小学奥数教程：几何计数(二)全国通用(含答案)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数教学目标例题精讲知识要点7-8-2.几何计数（二）【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
图形计数(及答案)
图形计数姓名：日期：【专项训练】NO1.下图中一共有多少个长方形NO2.数一数下图共有多少个正方形NO3.下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少NO4. 图中共有多少条线段N MFEDCBAO1350NO5.如图所示，图中共有个三角形。
NO6.把一个长方体分割如下图。
这图中有多少个长方体（包括正方体）多少个正方体NO7.用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小方块．NO8. 下图中共有____个正方形。
主视图左视图俯视图NO9. 由20个边长为1的小正方形拼成一个45长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是。
NO10. 图中共有多少个三角形【实战训练】1、计算：55555×666667＋44445×666666－155555＝________。
2、计算：☆3、甲、乙两队学生参加郊外夏令营，只有一辆车接送，坐不下。
甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生并直接开到营地，结果是两队学生同时到达。
已知学生步行速度为4千米／小时，汽车载学生时的速度为40千米／小时，空车速度为50千米／小时，那么甲队学生步行路程与全程的比是。
4、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。
又规定“任何数都可以被它相同的数吃掉”。
比如，241被342“吃掉”，123被123“吃掉”，但是240和223互相都不能被“吃掉”。
现请你设计出6个三位数，它们中的任何一个都不能被另外5个“吃掉”，并且它们的百位数字只允许取1，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4，那么这6个三位数之和是。
图形计数（答案）【专项训练】NO1. 下图中一共有多少个长方形解：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60个NO2. 数一数下图共有多少个正方形解：4×7+3×6+2×5+1×4=60个NO3. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少解：梯形：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60个 三角形：（4+3+2+1）×4 =40个 相差：20个NO4. 图中共有多少条线段解：49+48+47+……+1=1225条NO5.如图所示，图中共有 个三角形。
四年级奥数举一反三第十八周 数数图形(二)-精华版
第十八周数数图形（二）专题简析：在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
例1：数一数下图中有多少个长方形？C D BA分析与解答：图中的AB 边上有线段1+2+3=6条，把AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数练习一：数一数，下面各图中分别有几个长方形？(1)(2)(3)的正方形）分析与解答：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习二：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）(1)(2)(3)为1个长度单位的正方形）分析与解答：边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。
所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n ＋1)n练习三1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
(1)(2)2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？(3)例4：从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析与解答：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。
2022-2023学年小学四年级奥数测试卷(全国通用)04《图形的计数》(解析版)
【四年级奥数举一反三—全国通用】测评卷04《图形的计数》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________ 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）（2017•奥林匹克）以色列国旗如图所示，图中共有()个三角形。
A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：根据分析可得，+=（个）628答：图中共有8个三角形。
故选：C。
2．（2分）（2015•创新杯）图中，有()个三角形．A．13 B．15 C．14 D．16 【解答】解：由题意，由一个小三角形构成的，有6个；由两个小三角形构成的，有3个；由三个小三角形构成的，有6个；大三角形1个，所以三角形的个数为636116+++=个，故选：D。
3．（2分）（2014•迎春杯）这个图形最少是由()个正方体整齐堆放而成的．A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：观察如果俯视图是下面图形时（小正方形上的数字是上面立方体的个数），所放的立方体最少．所以所放的最少的立方体的个数为122412113++++++=个，故选：B。
4．（2分）（2018•其他杯赛）在88⨯网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个88⨯网格中共有()枚黑色棋子．A．42 B．32 C．22 D．12【解答】解：由分析得0123567832+++++++=（枚）⨯-=（枚）883232故选：B。
5．（2分）（2018•华罗庚金杯）小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；⋯摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片()张．A．571 B．572 C．573 D．574【解答】解：根据分析可得，第20次摆放后，该图形共用：++++⋯+⨯-13693(201)=++++⋯+136957=+⨯-÷+(357)(201)21=+5701=（个）571答：第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片571张．故选：A。
小学奥数：7-8-2 几何计数(二).学生版
7-8-2.几何计数（二）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．E DCB A数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点>图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．11⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；22以11⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。
学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。
过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。
在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。
情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。
在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。
教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。
难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。
再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。
下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。
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第二讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．二、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。
练一练：数一数右图中总共有多少个角？答案: 总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
练一练：共有多少个三角形？答案: 18例（3）数一数图中长方形的个数分析： AB 边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC 边上分成的线段有： 3+2+1=6.解： 共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（个）答：共有长方形90个。
练一练： 数一数图中长方形的个数答案: 90例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析： 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4=20（个）.CD A B③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）.解：正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）答：练一练：下图共有几个正方形?a答案: 10例（5）数一数图中三角形的个数分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W①上=1+2+3+4=10（个）.②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W①下=1+2+3=6（个）.Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W②上=1+2+3=6（个）.②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W③上=1+2=3（个）.②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W④上=1（个）.解：所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。
练一练：数一数图中三角形的个数答案： 24 例（6）数一数图中一共有多少个三角形？分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：：Ⅰ.在小矩形AEOH中：①由一个三角形构成的有8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内有17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）答：图中一共有100个三角形。
练一练：数一数图中一共有多答案：35 个模拟测试（ 2 ）一、填空题 （每小题5分）1、.下列图形各有几条线段( )条 ( )条 ( )条2、一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.3、数一数下图共有( )条线段.( )条. ( )条.4、下图中各有（ ）个三角形.5、数一数下图有（ ）个长方形.6、右图一共有( )个长方形?BA CD7、右图一共有( )个正方形？8、下图共有( )个平行四边形.9、一共有( )个梯形.10、下图共有( )个三角形.二、简答题(每小题10分)1、右图的图形中一共有多少个三角形?2、下图共有几个正方形?3、下图共有多少个长方形?4、下图中一共有多少个三角形?5、下图共有几个三角形?.模拟测试（ 2 ）解答一、填空题1、a有10条, b有15条, c有21条.2、50⨯49÷2=1225(条).3、36; 27.4. 33;5、30个.图中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段: 2+1=3(条),把AB 上的每一条线段作为长, BC边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图中共有长方形为:(4+3+2+1)⨯(2+1)=10⨯3=30(个).6、一共有64个.7、一共有18个.解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个.因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).8、315个÷=⨯7(=⨯⨯(个)÷⨯563152115)26()29、45个最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(个)长方形的个数为:(1+2+3)×(1+2)=18(个)梯形的总数为:63-18=45(个)10、 126个Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:=8+7+6+5+4=30(1)W①上=7+6+5+4=22(2)W②上(3)W=6+5+4=15③上=5+4=9(4)W④上=4(5)W⑤上∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:=3+4+5+6+7=25(1) W①下=2+3+4+5=14(2)W②下(3)W=1+2+3=6③下=1(4)W④下尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)∴80+46=126个.二、简答题1、解：①单个三角形有6个.②两个图形组成的有4个.③三个图形组成的有1个.④四个图形组成的有2个.⑤八个图形组成的有1个.答：一共有: 6+4+1+2+1=14个.2、解：一共有正方形52+42+32+22+12=25+16+9+4+1=55(个).答：一共有正方形55个。
3、解：①在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);②在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);③在①与②中重复的长方形有:1+2=3(个);④两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).答：共有长方形有133个。
4、解：①基本的三角形有:4×9=36(个②由两个基本的三角形组成的三角形有:4×9=36(个).:4×3×2=24(个④由九个基本的三角形组成的三角形:4×2=8(个⑤由八个基本的三角形组成的三角形:4×4=16(个⑥由十八个基本的三角形组成的三角形:4(个).答：共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).5、解：①一个三角形构成的有12个.②两个三角形构成的有12个.③三个三角形构成的有6个.④四个三角形构成的有6个.⑤六个三角形构成的有1个.答：一共有: 12+12+6+6+1=37(个).。