随机过程课程设计

《随机过程》

课程设计（论文）

题目: 连续马尔科夫过程的转移

概率及应用

学院：理学院

专业：数学与应用数学

班级：数学09-2班

学生姓名：姜德月

学生学号： 2009026249

指导教师：蔡吉花

2011 年 12 月 20 日

目录

课程设计任务书 -------------------------------------------------------------------------------------------------- I 摘要 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I I 第1章绪论----------------------------------------------------------------------------------------------------- - 1 - 第2章连续时间马尔可夫链基本理论 ------------------------------------------------------------------ - 2 -

2.1定义............................................................ - 2 -

2.2转移概率........................................................ - 2 -第3章柯尔莫哥洛夫微分方程 --------------------------------------------------------------------------- - 3 -

3.1跳跃强度........................................................ - 3 -

3.2 Q矩阵......................................................... - 3 -

3.3柯尔莫哥洛夫向后方程............................................ - 4 -

3.4柯尔莫哥洛夫向前方程............................................ - 4 -第4章马尔可夫过程研究的问题的分析--------------------------------------------------------------- - 5 -

4.1连续参数随机游动问题............................................ - 5 -第5章计算结果及程序------------------------------------------------------------------------------------- - 6 - 第6章结论和展望 ----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 参考文献 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 评阅书 ------------------------------------------------------------------------------------------------- - 12 -

随机过程课程设计任务书

摘 要

马尔可夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设()X t 是一随机过程，当过程在时刻0t 所处的状态为已知时，时刻0()t t t 所处的状态与过程在0t 时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。

本文主要阐述连续马尔科夫过程的转移概率定义、性质及其应用，以及科尔莫哥洛夫向前、向后方程，Q 矩阵。主要研究机器维修，排队，以及随机游动等实际问题，根据实际问题来求解微分方程。并用MATLAB ，对其结果进行了合理性的分析，使得我们能更好的理解和应用连续马尔可夫过程，并能用柯尔莫哥洛夫向前向后方程，Q 矩阵，MATLAB 求解实际问题。

关键字 马尔科夫过程 转移概率 柯尔莫哥洛夫 微分方程数值求解 随机游动

连续马尔科夫过程的转移概率及其应用

第1章 绪论

1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后， W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。

类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用012,,......x x x 分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{},0n x n ≥ 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。

关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与 位势的关系。目前，流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。