风险资产的违约概率和违约相关

违约风险是现代经济生活中极其重要的一种金融风险形式，违约概率是其中的核心 内容．但是近年来，随着信用衍生工具的产生和信用衍生品市场的迅猛发展，只知道单 个资产的违约概率已经不能满足人们的需要．违约相关和联合违约概率在信誉风险管理 中扮演着越来越重要的角色．本文首先针对单个资产的情形，介绍了信用风险中传统的 结构模型计算违约概率的方法．之后对该模型进行改进，假设资产价值服从一个自西衄 模型代替原来的几何布朗运动假设，并推导了在这种情况下的违约概率．然后介绍了违 约相关的概念和如何通过Ｃｏｐｌｌｌａ函数的方法计算联合违约概率，其后说明如何通过蒙 特卡洛模拟来拟和损失分布．本文的最后一部分选取了十家上市公司做实证分析，分别 计算了它们的违约概率、联合违约概率、违约相关系数，并模拟了损失分布．
该模型在连续时间Ｂｌａｃｋ－ｓｃｈｏｋｓ型无摩擦市场上加上了许多限制性条件，主要有： ·交易连续发生； ·所有可交易资产均无限可分； ·可以相同的利率无限制的借贷资金； ·可无限制的卖空可交易证券； ·不考虑交易费用和税； ·忽略违约时破产或重组的费用．
对于这样的市场，我们用概率空闯（ｎ，，，Ｐ）来表示．它具有过滤Ｆ＝（五）ｃ，ｏ，对 于每个ｔ三０，五表示直到时问￡的全部市场信息．
５
任意两个变量￡（ｍ）和工（ｎ）（不妨设ｍ≥ｎ）的协方差是
＂１一ｌ
ｎ—Ｉ
ｅＤｕ（￡（ｒｎ），￡（ｎ）） ＝ ｅｏ”（∑扩ｅ（ｎ—ｉ），∑扩ｅ∞
定义随机变量
ｘ－讪（器）
屁＝ｌｎ（器）
ｘⅣ＝，ｎｃ高等，
那么．‰＝（∥一｛盯２）ｆ＋口（ｗ％一ｌＫ。一Ｉ）ｆ）
所以ｘ¨一，ｘⅣ是期望为（肛一｛口２）２、方差为一ｌ的独立正态随机变量．如果我们 令
￡协）＝ｌｎ（１’（ｎ）） 那么几何布朗运动模型就意味着
￡（ｎ）＝。＋Ｌ（ｎ一１）＋ｅ（ｎ）
其中ｅ（ｎ），ｎ兰ｌ，是一个独立同分布的随机变量序列，它们服从均值为０，方差为
在前面的Ｍｅｒｔｏｎ模型中假设公司的资产是服从几何布朗运动，做这个假设有一个 重要前提，就是该公司未来的资产价值与历史价值变动情况无关．许多投资者都承认这 个前提，认为这是有效市场假说的推论．该假说断言，一个公司当前的资产价值情况包 含了现在所有可能得到的信息，而这些信息中也就包括了历史价值．然而。反对者则认 为不同的投资者对新信息的接纳速度是不一样的，因此过去的变动情况反映了那些尚未 被普遍知晓但还会影响未来的信息．通过考察实际数据已经证实，资产的价值过程与几 何布朗运动的假设是不一致的．下面我们将给出一种在直观上可行的新模型．
Ⅳ（＋）是一元标准正态分布函数．
§１．１．２首触时模型
在这种模型中，我们假定违约可能发生在到期日Ｔ之前的任何时刻．为此，首先要 定义一个边界过程（Ｄｃ，ｔ≥ｏ｝，且ｏ＜Ｄｏ＜Ｋ，这时的违约时间定义为。
ｒ＝ｉＩｌｆ｛ｔ＞ｏ：Ｋ≤Ｄｔ｝
通常我们假定边界过程｛Ｄｔ，ｔ≥ｏ）在同—个概率空间中也是服从一个几何布朗运动，这 里为了简化讨论，假定边界过程为～常数Ｄ，Ｄ也可以取违约点ＤＰｒ．此时的违约 概率为；
Ｑ２Ｐ—ｓＴ）＝Ｐ（票净Ｋ＜Ｄ）
＝Ｐ（啤％ｅ‘“一§４２’。”肌＜Ｄ）
＝Ｐ（Ａ红ｓｌｎ（芳））
Ｑ＝Ｐ（ｒ≤ｒ）＝Ⅳ似一｛盯２）占＋矿Ｈ‘），服从ｉｎｖｅｒｓｅ Ｇａｌｌｓｓｉａｎ分布，因此，
其中ｍ＝ｐ一；矿，Ⅳ（＋）是一元标准正态分布函数．
§１．２ 非几何布朗运动假设一自回归模型
Ｋ＝％ｅ（ｐ一｛ａ２）ｆ＋ａ眦
（２）
§１．１．１ Ｍｅｒｔｏｎ期权方法
在Ｍｅｒｔｏｎ期权方法中约定违约仅可能发生在债务到期日丁．如果在ｒ时刻公司价 值¨低于某个事先给定的值Ｆ，我们就称公司违约．通常Ｆ的取值为公司的债务总值， 本文使用ＫＭＶ的方法，Ｆ取违约点的值．定义违约点（ＤＰＴ）等于公司短期债务总 值（ＳＴＤ）加上长期债务总值（工ｒＤ）的一半，即；
Ｙ ８０五６７８
高恐犬淫’
硕士研究生毕业（学位）论文
姓 名：王硕玉 年 级：二零零二级 专 业：应用数学 研究方向： 金融数学与金融工程 论文题目： 风险资产的违约概率和违约相关 完成日期：二零零五年五月 导 师： 陈典发教授
南开大学数学科学学院 二零零五年五月
床经作者、暑啊露帮
纫蠢｜泛蠢ｉ。
摘要
在几何布朗运动的假设下，
ｄＫ＝Ｈ（川赶＋口ｄＩＫ）
（４）
有Ｋ＝％ｅ（ｐ一；一）¨一ｍ 下面考虑考虑离散时问下的情形．假设时问的单位是一年，到期日为Ｔ个单位时问
后．每一个小时闯段的长度为ｆ，可以是一天，一周，一个月，一年等等．通常ｆ取一天， 一年大概有２５２个交易日。那么此时ｃ＝ｌ／２５２．令Ⅳ＝ｒ／ｃ，ｙ（ｎ）表示第ｎ个小时 间段结束时的资产价值，ｎ＝Ｏ，ｌ，２，…，Ⅳ．则
由于相互独立的正态随机变量的和仍然是一个正态随机变量，所以∑留６‘ｅ（ｎ—ｆ）
也是一个正态随机变量，它的期望是
¨∑：ｉ ¨∑：ｉ ｇ
酣ｖ ｅ 盯 一 ０ ＝
酣 ｇ 陋 ｎ — Ｏ ｜｜ Ｏ
如果在０时刻的对数价值是Ｌ（ｏ）＝ｇ，那么工（ｎ）是一个正态随机变量，它的均值记为
ｍ（ｎ），等于
Ｅ陋（ｎ）】＝ｍ（ｎ）＝！等＿三三＿等２＋６“９
在简约模型中，违约不再由公司的资产和负债来建模．而完全是外在给定的不可料 的随机变量．违约过程的随机结构一般由一个风险过程来直接刻画．由于违约的不可预 料性，它的性质就与实际观察比较吻合了．
不完全信息模型则是上面两种模型的有机结合，它既有结构模型在经济意义上的直 观性。又具有简约模型与实际观察较为接近的优点．
盯２ｆ的正态分布，且ｏ＝∞一｛口２）ｆ．很自然地，我们会考虑为￡（ｎ）配置一个更一般的
方程，即下面的线性回归方程
Ｌｍ）＝ｎ＋６上（ｎ一１）＋ｅ（ｎ）
其中６是另一个常数，它的值有待估计．亦即，代替取６＝ｌ，而利用历史数据决定６。 从而获得一个改进模型．式（５）是一个经典的自回归模型，参数ｎ和ｂ可以用历史数据 由统计软件计算得到．
结构模型从经济意义上很有吸引力，因而目前应用也最为广泛．它对公司资产的动 态结构、资本结构、债务和股票持有量均有明确的假设，并且设定当公司资产不足以支 付到期债务时公司违约．由于公司是可以在债券到期前发生违约的，因此我们可相应的 假设当公司资产的全部价值下降到某一个水平时公司破产．它的缺点是假设投资者可以 预期违约的发生，因此某些性质不符合实际观察．
由于简约模型和不完全信息模型需要利用大量的历史数据，而在我国这方面的数据 还很少，所以本文将介绍和使用结构模型的方法来计算违约概率，并用非几何布朗运动 的假设对传统方法进行改进．
§１．１ 传统的Ｍｅｒｔｏｎ结构模型
结构模型最基本的思想是由Ｍｅｒｔｏｎ在１９７４年提出的．它将公司债务看作公司资产 的未定权益．
ＫＥｙＷＤＲＤＳ：ｄｅｆａｕｌｔ ｐｒｏｂａｂｉＵｔｙＩ ａｕｔｏｒｅｇｒ皤ｓｉｖｅ ｍｏｄｅＩ，ｄｅｆａｕ王ｔ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏⅡ，ｃｏｐｕＩａ ｆｕｎｃ￡ｉｏｎ．１０ｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏⅡ
§１单个资产的违约概率
信用风险就是在一项金融协定中由于对方的信誉等级发生不可预期的变化而导致的 损失情况．在现代经济生活中，它是及其重要的一种金融风险形式．信用风险分析的关 键是违约风险．无力偿还到期债务、破产、拒付债务及延期偿付债务，统称为违约．我们 通常使用违约概率来量化违约，它反映了一个公司或者债务人能够到期偿还它所有债务 的可能性的大小．目前，除了实证的方法，主要有三种数量模型来计算违约概率，就是 所谓的结构模型．简约模型和不完全信息模型．
如此继续下去，对于任意的ｋ＜ｎ，有
。∑Ⅻ 。∑！ｌ 己 ｎ ｜｜
磅 ６ ｅ ｎ 一
＋口
０ ６ ＋ ６ ｂ ＋ 己
一七一
在上面的等式中取≈＝ｎ一１得到
“∑：ｌ “∑：ｉ 三伽） ＝
订 矗 ｅ 地 一
＋ｄ
６ ＋ ６ｎＥ Ｄ
州∑｛ｉ ＝
“ｕ ｅ ｎ
｛）＋芈半＂坤）
注意到６‘ｅ∞一ｆ）是均值为Ｏ，方差为铲口２￡的正态随机变量．
§１．３非几何布朗运动假设下的违约概率 假设每天的资产价值服从式（５），而且已经估计出来参数ａ，６和口．要计算公可的
违约概率，必须首先确定Ｌ（１），Ｌ（２），…，Ｌ（Ⅳ）的概率分布．现在，连续利用等式（５）， 我们得到
Ｌ（ｎ）＝ｅ（ｎ）＋口＋６工（ｎ—１） ＝ｅ（ｎ）＋口＋６［ｅ（ｎ～１）＋ｎ十ｂＬ（ｎ一２）】 ＝ｅ（ｎ）＋６ｅ（托一１）十ｎ＋０６＋６２Ｌ（ｎ一２） ＝ｅ（ｎ）＋６ｅ（ｎ—１）＋ｎ＋Ⅱ６＋６２｛ｅ（ｎ一２）＋ｏ＋６Ｌ（ｎ一３）】 ＝ｅ（ｎ）＋６ｅ∞一１）＋６２ｅ（ｎ一２）＋ｎ＋曲＋ａ６２＋５３Ｌ（ｎ一３）
并且记： ％：公司资产的当前价值； Ｋ：ｔ时刻公司资产的全部价值； Ｔ：债务到期日； ｒ：无风险利率；
设公司资产的价值过程ｙ服从几何布朗运动：
ｄＫ＝Ｋ（肛ｄｔ＋口ｄｌ仉）
（１）
其中，灿、∥是常数．弘称为价值过程ｙ的漂移参数 关于过滤Ｆ下的一维标准布朗运动．
求解上面的随机微分方程，容易得到：
口称为波动系数．过程Ｗ是
ＤＰＴ＝ＳＴＤ＋０ ５ＬＴＤ
ｆ３１
因此，随机违约时问ｒ由下式表示：
ｒ ２｛二苌ｉ篇
即：
ｒ＝Ｔ１｛’’＜ＤＰ丁）＋∞ｌ¨三ＤＰＴ）
那么违约概率Ｑ为：
Ｑ＝Ｐ（丁≤ｒ）＝Ｐ（嵋＜ＤＰ丁）
＝Ｐ（％ｅ｛ｐ一；矿１７＋，。叶＜ＤＰ丁）
：ＪＰ（盼＜一坐坐竽蛙塑）
＝Ａ７（一ｄ２（Ｋ．Ｔ））
２
其中
ｄ２（％，Ｔ）：蜓型２些二圭塑）
关键字：违约概率，自回归模型，违约相关， ｃｏｐｌｌｌａ函数，损失分布．
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｄ出ｕｌｔ ｒｉｓｋｉｓ ａｎ贰ｒｅｍｅｌｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｏ嗽ｏｆ丘ｎａｎｃｉａｌ ｒ斌ｗｈｉＩｅ ｄｅｆａｕＩｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｉｓ
ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｃｏｎｔｅｎｔ．Ｂｕｔ ｏｖｅｒ ｒｅｃｅｎｔ ｙｅ＆ｒｓ，ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｒｅａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｒｅｄｉｔ ｄｅｒｉｖｉｎｇ ｔ００ｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｐｌｏｓｉｖｅ ｉⅡｃｒｅａｓｅ ｏｆ ｃｒｅｄｉｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｍａｒｋｅｔ，ｏｎｌｙ ｋｎｏ叫ｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆａｕｌｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ ａｓｓｅｔ ｃａｎ ｎｏ七８ａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｄｅｍａ丑ｄｓ ｎｏｗ．Ｄｅｆａｕｌｔ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｊｏｉｎｔ ｄｅｆａｕｌｔ ｐｒｏｂ＿ ８ｂｉｌｉｔｙ ａｒｅ ｐＩａ卵ｎｇ ｍ。ｒｅ毫工１ｄ ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅｓ ｉｎ世电口ｅｄｉｔ ｒｉｓｋ ｍ８ｎａｇｅｍｅｎ￡．Ｆｉｒｓｔｌｙ＇ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｔｕ８ｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ ８ｉｎｇｌｅ ａ８ｓｅｔ，ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｆａｄ谢ｏｎ８ｌ ｓｔｆｕｃｔｕｒｅ ｍｏｄｅｌ幻ｃａｌｃｕ】ａｔｅ ｔｈｅ ｄｅ如ｕｌｔ ｐｒｏｂａｂｊｍ弘Ｔｈｅｎ ｔｈｅ拙ｅｓｊｓ ｊｍｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｌｌｓｉｎｇ ｔｈｅ ａｕｔｏｒｅｇｒ嚣ｓｉｖｅ ｍｏｄｅｌｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｂｒｏｗｎｉａｎ ｍｏｔｉｏｎ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ， Ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｐａｒｔ，ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｉｎｔｍｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｄｅｆａｕｌｔ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏⅡ ａｎｄ ｈｏｗ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｊｏｉｎｔ ｐｒｏｂａｂｉＵｔｙ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ Ｃｏｐｕｌａ ｆｕｎｃｔｉｏｌｌｓ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ １０ｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｂｙ Ｍｏｎ乞ｅ Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ Ｆｉｎａｌｌ弘ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｃｈｏｏｓｅｓ ｔｅｎ ｃｏｒＤｏｒａｔｅ ｔｏ ｄｏ ｎｕＩｎｅｒｉｃ出ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ．’陀ｈａｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｉｒ ｄｅｆｈｕｌｔ ｐｒｏｂａｂｌｌｉｔｉｅｓ ｒｅｓｐｅｃｔｌｖｅｌｙ，ｔｈｅｌｒ ｊｏＩｎｔ ｄｅｆａｕｌｃ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓ，妇ｅｌｒ ｄｅｆａｕｌｔ ｃｏｒｒｅｌａｔｌｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｌｏｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉＯｎｓ