信号和线性系统分析(吴大正第四版)第四章习题答案解析
信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)习题答案12264精编版
第一章 信号与系统（一）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fεt=(sin)(t（5）)trf=(sin)(t（7）)t(kf kε=)(2（10）)f kεk-=(k+(])1(1[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
信与线性系统分析吴大正第四版习题答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)rt f=)(t(sin（7）)(t f kε)(k2=（10）)(])1kf kε(k)(1[=-+1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
信与线性系统分析习题答案吴大正第四版高等教育出版社
第一章信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中r(t)t（t）】为斜升函数。
(2)f(t) et t（3）f(t)sin( t) (t)(4)f (t) (sint)（5）f(t)r(sin t)(7)f(t) 2k (k)（10f(k) [1 ( 1)k] (k)）解：各信号波形为（2）f（t） e N, t(3)f(t)sin( t)(t)(4)f(t)(s int)(5)f(t)r(si n t)(7)f(t)2k (k)(10)f(k)[1 (1)k] (k)1-2画出下列各信号的波形[式中r(t) t (t)为斜升函数]。
(1)f(t) 2 (t 1) 3 (t 1) (t 2) (2)f (t) r(t) 2r(t 1) r(t 2)(5)f (t) r(2t) (2 t) (8)f(k) k[ (k) (k 5)](11) f(k) ksin( )[ (k) (k 7)]6(12)f(k) 2k[ (3 k) ( k)]解:: 各信号波「形为(1) f(t) 2 (t 1) 3 (t 1) (t 2)(2) f(t) r(t) 2r(t 1) r(t2)(5) f(t)r(2t) (2 t)(8)f(k)k[ (k) (k 5)](11)f(k)ksin( § )[ (k) (k7)](12) f(k) 2k [ (3 k) ( k)]1-3写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
Q■(2) f 2(k) cos(- k ) cos(—k )(5) f 5(t)3cost 2sin( t)4 4 3 6解:1-6已知信号f(t)的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
(6)f(0.5t 2)(1) f(t 1) (t) (2) f(t 1) (t 1) (5) f (1 2t)df (t) t(7) K ( 8) f(X)dx解：各信号波形为(1)f(t 1) (t)(2)f(t 1) (t 1)(5)f(1 2t)(6) f (0.5t 2)df(t)(7)dtt(8) f (x)dx1-7已知序列f(k)的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
信号和线性系统分析(吴大正第四版)第四章习题答案解析
第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T解 ⑴角频率为Ω = IOO rad∕s,周期丁=盲=p÷ξ ⑵角频率为I fi=号■rad∕s,周期= 4 s(3) 角频率为Ω = 2 rad 倉，周期T = ~ = Tr S (4) 角频率为Q =兀rad∕ s,周期T=^ = 2 sΩ(5) 角频率为 Ω — rad∕s*周期 T=-^ = 8 s4 12⑹角频率为C =話rad∕s,周期T = -jy = 60 s4.7用直接计算傅里叶系数的方法， 求图4-15所示周期函数 的傅里叶系数（三角形式或指数形式）(1) e j100t(2) cos[,t - 3)](3) cos(2t) sin(4t) ⑷ cos(2 兀 t) +cos(3πt) +cos(5 兀 t)(5)π π cos( t) sin( t)2 4(6)JEJITEcos( t) cos( t) cos( t)2 35-2 -1 O 12 3 r(IJ)图4-15f>~ 十解 ⑴周期T = 4,1Ω = Y =亍r 则有H ,4⅛ - 1 ≤ r ≤ 4⅛+ 1/⑺=II∣07 4⅛ + 1 < r < 4⅛ + 3由此可得-Tu rt = ~∖ ' τ fit) cost nΩt)dt= -∣^∣ /(f)cos(^ψ^)df J- J —⅛ 乙-.：—2 I（2｝周期丁=2・0 =年=兀，则有由此可得1 + e -jrhr2π( I - √ )所含有的频率分量)dr =2 J -[2『亍=Wl f(t)sm(ττΩt)dt =1 J -T2——SInnπ （才），= om 小山（竽）出ISin(Jrt) 9fm=! 0,2⅛ ≤ r ≤ 2⅛ + 12⅛ + 1 < r < 2⅛ + 2F ri ]ft1 Γl=TJV Cf)^dr =⅛J r ∣/(r)e-7iβ,dr — -7- Sin(^f)e -dr -I ZJV4.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中扣 =O* ± 1 * + 2・・图 4-18解 (1)由旳⑺的波形可矩Λ<r) =√√-n =-∕l (f ⊂f)亠 IU Jr = f(t)cos( riΩt )df 则有丿 丁人 ,jj = 0.1,2,-[仇=0"[J =盘？=应丄=*" =QE=仇=仏=*八=0 则∕√r)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠 (2)由f 2(t)的波形可知则有— ■ ??f(t)s}n(tιΩt )d r ⅛ =A rz fl , J Tni JJO则f 2(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*(3)由 f 3(t)的波形可⅛l∕3<f) = f 3(~r)则有Γ⅛ = 0, n/(z)cos( fiΩt >d;(4)% 4召=亍即ΛG)的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波* 由/<(0的波形可知，人⑺为奇谐函数■即fdι) =一 fZ 土 £)b 2 = h A = b 6 =・*・=0则有 U即人")的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦披"4-11 求u(t)的三角形式傅里叶系数。
信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)习题答案
第一章 信号与系统1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （4）k j k f 34e )(π= （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-6所示，画出下列各函数的波形。
（5）)21(t f - （7）dtt df )( （8）dx x f t⎰∞-)(解：1-7 已知序列)(k f 的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
（1）)()2(k k f ε- （3）)]4()()[2(---k k k f εε1-10 计算下列各题。
（5）dt t tt )2()]4sin([2++⎰∞∞-δπ（6）dt t )2()2t (2δ⎰∞∞-+（7）dt t t t )1()12t 2('23-+-+⎰∞∞-δ1-23 设系统的初始状态为)0(x ，激励为)(⋅f ，各系统的全响应)(⋅y 与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。
（1）⎰+=-ttdx x xf x e t y 0)(sin )0()( （2）⎰+=tdx x f x t f t y 0)()0()()(1-23 设系统的初始状态为)0(x ，激励为)(⋅f ，各系统的全响应)(⋅y 与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。
（1）⎰+=-ttdx x xf x e t y 0)(sin )0()( （2）⎰+=tdx x f x t f t y 0)()0()()(1-27 某LTI 连续系统，其初始状态一定。
已知当激励为)t (1y 时，其全响应为0)cos()(1≥+-=t t t e t y π若初始状态不变，当激励为)(2t f 时，其全响应为0)cos(2)(2≥=t t t y π，若初始状态不变，当激励为)(3t f 时，求其全响应。
第二章2-1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。
信号与线性系统分析习题答案_(吴大正_第四版__高等教育出版社)之欧阳数创编
第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=解：各信号波形为（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
信号与线性系统分析吴大正第四版习题答案第四章修订版
信号与线性系统分析吴大正第四版习题答案第四章修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】第四章习题4.6 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。
（1）t j e 100 （2）)]3(2cos[-t π（3）)4sin()2cos(t t + （4）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++ （5）)4sin()2cos(t t ππ+ （6）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++ 4.7 用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
图4-154.10 利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。
图4-184-11 某1Ω电阻两端的电压)(t u 如图4-19所示，（1）求)(t u 的三角形式傅里叶系数。
（2）利用（1）的结果和1)21(=u ，求下列无穷级数之和（3）求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。
（4）利用（3）的结果求下列无穷级数之和图4-194.17 根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换（1）∞<<-∞--=t t t t f ,)2()]2(2sin[)(ππ（2）∞<<-∞+=t t t f ,2)(22αα（3）∞<<-∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t t f ,2)2sin()(2ππ4.18 求下列信号的傅里叶变换（1）)2()(-=-t e t f jt δ （2）)1(')()1(3-=--t e t f t δ（3）)9sgn()(2-=t t f （4）)1()(2+=-t e t f t ε（5）)12()(-=tt f ε4.19 试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。
图4-234.20 若已知)(j ])([ωF t f F =，试求下列函数的频谱：（1）)2(t tf （3）dt t df t )( （5）)-1(t)-(1t f（8）)2-3(t f e jt （9）t dt t df π1*)(4.21 求下列函数的傅里叶变换（1）⎩⎨⎧><=000,1,)(j ωωωωωF （3）)(3cos 2)(j ωω=F（5）ωωωω1)(2n -20sin 2)(j +=∑=j n e F4.23 试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）。
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第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析
一、选择题 1．图 4-1 所示系统由两个 LTI 子系统组成，已知子系统 H1 和 H2 的群时延分别为 τ1 和 τ2，则整个系统的群时延 τ 为（ ）。
图 4-1 A．τ1＋τ2 B．τ1－τ2 C．τ1·τ2 D．max（τ1,τ2） 【答案】A
9．如图 4-2 所示信号 f1（t）的傅里叶发换 F1（jω）已知，求信号 f2（t）的傅里叶发 换为（ ）。
图 4-2
【答案】A
【解析】由题意知， f2 (t) f1(t t0 ) 。由于 f2（t）＝f1（－（t＋t0）），根据傅里叶 发换的反转性质和时秱性质可知， F2 ( j) F1( j)e jt0 。
4．设 f（t）的频谱函数为 F（jω），则
的频谱函数等于（ ）。
【答案】D
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【解析】
可写为 f[－1/2（t－6）],根据傅里叶发换的尺度发换性质，
x（at）
|
1 a
|
[x(w
/
a）]，得
f[－1/2（t）]
A．x（t）＝－4Sa[2π（t－3）]
B．x（t）＝4Sa[2π（t＋3）]
C．x（t）＝－2Sa[2π（t－3）]
D．x（t）＝2Sa[2π（t＋3）]
【答案】A
【解析】常用的傅里叶发换对
Sa(ct)
c
G2c
()
令c 2 ，则有 4Sa(2t) 2G4 ()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
再由傅里叶发换的时秱性质，有
4Sa[2 (t 3)] 2G4 ()e j3
吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题考研真题详解
第 7 章 系统函数 7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 名校考研真题详解
第 8 章 系统的状态变量分析 8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 8.3 名校考研真题详解
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第 1 章 信号与系统 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 名校考研真题详解
第 2 章 连续系统的时域分析 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 名校考研真题详解
第 3 章 离散系统的时域分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 名校考研真题详解
第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解 4.3 名校考研真题详解
第 5 章 连续系统的 s 域分析 5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解 5.3 名校考研真题详解
信号与线性系统分析习题答案吴大正第四版高等教育出版社
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2-8 如图 2-4 所示的电路，若以 i S(t ) 为输入， uR (t ) 为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响
应。
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2-12 如图 2-6 所示的电路，以电容电压 uC (t ) 为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。
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3.13、求题 3.9 图所示各系统的阶跃响应。
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3.14、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。
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3.15、若 LTI 离散系统的阶跃响应 g( k)
k
0.5
k ，求其单位序列响应。
第一章 信号与系统（二）
1-1 画出下列各信号的波形【式中 r (t ) t (t) 】为斜升函数。
（ 2） f (t ) e t ,
t
（3） f (t ) sin( t) (t )
（ 4） f (t ) (sin t )
（ 5） f (t) r (sin t)
（ 7） f (t ) 2k ( k)
析各系统是否是线性的。
（1） y(t) e t x(0)
t
sin xf ( x)dx
0
t
（2） y(t)
f (t ) x(0)
f (x) dx
0
t
（3） y(t ) sin[ x(0)t]
f (x)dx
0
（4） y(k ) (0.5)k x(0) f (k) f (k 2)
k
（5） y(k) kx(0)
的两倍而得）。将 f (3 t ) 的波形反转而得到 f (t 3) 的波形，如图 1-12(b) 所示。再将 f (t 移 3 个单位，就得到了 f (t ) ，如图 1-12(c) 所示。 df (t) 的波形如图 1-12(d) 所示。
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第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)tf=r)(sin(t（7）)f kε=t)(2(k（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=kkkkfεεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
(完整版)信号与线性系统分析吴大正习题答案
专业课习题解析课程第2讲第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)tf=r(t(sin)（7）)f kε=t(k2)(（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
吴大正 信号与线性系统分析 第4章 傅里叶变换和系统的频域分析
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小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t
i 1
Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
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二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
吴大正《信号与线性系统分析》笔记及习题(傅里叶变换和系统的频域分析)【圣才出品】
第4章傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记一、信号在完备正交函数系中的表示定义在（t1，t2）区间的两个函数φ1（t）和φ2（t），若满足（两函数内积为0）则称φ1（t）和φ2（t）在（t1，t2）内正交。
1．正交函数集若n个函数φ1（t）和φ2（t），…，φn（t）构成一个函数集，当这些函数在区间（t1，t2）内满足则称此函数集为在区间（t1，t2）上的正交函数集。
2．完备正交函数集如果在正交函数集之外，不存在函数，满足等式则称此函数集为完备正交函数集。
3．复函数集的正交函数集若复函数集{φi（t）（i＝1，2，…，n）}在区间（t1，t2）满足则称此复函数集为正交函数集。
式中为函数φj（t）的共轭复函数。
4．信号在完备正交集中的表示设有n个函数φ1（t）和φ2（t），…，φn（t）在区间（t1，t2）构成一个正交函数空间，则在区间（t1，t2）内，任一函数f（t）可用这n个正交函数的线性组合来表示，即其中，。
帕塞瓦尔等式：二、周期信号的傅里叶级数1．三角形式设周期信号f（t），其周期为T，角频率，当满足狄里赫利条件时，它可分解为如下三角级数，称为f（t）的傅里叶级数。
系数a n，b n称为傅里叶系数上式也可以写成其中，。
2．指数形式其中3.周期信号的功率——帕塞瓦尔等式三、周期信号的频谱及特点1．信号频谱从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将A n～ω和n～ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。
因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|F n|～ω和n～ω的关系，称为双边谱。
若F n为实数，也可直接画F n。
2．周期信号频谱的特点（1）离散性：频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。
时域的周期性对应于频域的离散性。
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第四章习题
4.6 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。
（1）t j e 100 （2）)]3(2cos[-t π （3）)4sin()2cos(t t + （4）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++
（5）)4sin()2cos(t t ππ+ （6）)5
cos()3cos()2cos(t t t πππ++
4.7 用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
图4-15
4.10 利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。
图4-18
4-11 某1Ω电阻两端的电压)(t u 如图4-19所示，
（1）求)(t u 的三角形式傅里叶系数。
（2）利用（1）的结果和1)2
1(=u ，求下列无穷级数之和 (7)
151311+-+-=S （3）求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。
（4）利用（3）的结果求下列无穷级数之和
(71513112)
22++++=S
图4-19
4.17 根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换
（1）∞<<-∞--=t t t t f ,)
2()]2(2sin[)(ππ （2）
∞<<-∞+=t t t f ,2)(22αα （3）∞<<-∞⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=t t t t f ,2)2sin()(2ππ
4.18 求下列信号的傅里叶变换
（1）)2()(-=-t e t f jt δ （2）)1(')()1(3-=--t e t f t δ
（3）)9sgn()(2-=t t f （4）)1()(2+=-t e t f t ε
（5）)12()(-=t
t f ε
4.19 试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。
图4-23
4.20 若已知)(j ])([ωF t f F =，试求下列函数的频谱：
（1）)2(t tf （3）dt
t df t )( （5）)-1(t)-(1t f （8）)2-3(t f e jt （9）t
dt t df π1*)(
4.21 求下列函数的傅里叶变换 （1）⎩
⎨
⎧>
<=00
0,1,)(j ωωωωωF
（3）)(3cos 2)(j ωω=F （5）ωω
ωω1)(2n -20
sin 2)(j +=∑=j n e F
4.23 试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）。
（2）利用时域的积分定理。
（3）将)(t f 看作门函数)(2t g 与冲激函数)2(+t δ、)2(-t δ的卷积之和。
图4-25
4.25 试求图4-27示周期信号的频谱函数。
图（b ）中冲激函数的强度均为1。
图4-27
4.27 如图4-29所示信号)(t f 的频谱为)(ωj F ，求下列各值[不必求出)(ωj F ]
（1）0|)()0(==ωωj F F （2）ωωd j F ⎰∞
∞-)(
（3）ωωd j F 2
)
(⎰∞
∞-
图4-29
4.28 利用能量等式
ωωπ
d j F dt t f 2
2
)(21
)(⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-=
计算下列积分的值。
（1）dt t
t 2
])sin([⎰∞
∞-
（2）⎰∞
∞
-+2
2)1(x dx
4.29 一周期为T 的周期信号)(t f ，已知其指数形式的傅里叶系数为n F ，求下列周期信号的傅里叶系数 （1）)()(01t t f t f -=
（2）)()(2t f t f -=
（3）dt
t df t f )()(3= （4）0),()(4>=
a at f t f
4.31 求图4-30示电路中，输出电压电路中，输出电压)(2t u 对输入电流)(t i S 的频率响应)
()()(2ωωωj I j U j H S =，为了能无失真的传
输，试确定R 1、R 2的值。
图4-30
4.33 某LTI 系统，其输入为)(t f ，输出为
dx x f a
a
x s a t y )2()(1)(--=
⎰∞∞-
式中a 为常数，且已知)()(ωj S t s ↔，求该系统的频率响应
)(ωj H 。
4.34 某LTI 系统的频率响应ω
ωωj j j H +-=22)(，若系统输入
)2cos()(t t f =，求该系统的输出)(t y 。
4.35 一理想低通滤波器的频率响应
⎪⎩⎪⎨⎧>
<-=s rad s
rad j H /3,
0/3,3
1)(ωωω
ω
4.36 一个LTI 系统的频率响应
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<<<-=-其他,0/60,0/6,)(22
s rad e s rad e j H j j ωωωπ
π
若输入)5cos()3sin()(t t
t t f =，求该系统的输出)(t y 。
4.39 如图4-35的系统，其输出是输入的平方，即)
()(2t f t y =（设)(t f 为实函数）。
该系统是线性的吗？ （1）如t
t t f sin )(=，求)(t y 的频谱函数（或画出频谱图）。
（2）如)2cos(cos 2
1)1(t t f ++=，求)(t y 的频谱函数（或画出频谱
图）。
4.45 如图4-42(a)的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)所示，其相频特性0)(=ωϕ，若输入
)1000cos()(,2)
2sin()(t t s t
t t f ==
ππ 求输出信号)(t y 。
图4-42
4.48 有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率s f 。
（1）)3(t f （2）)(2t f （3）)2(*)(t f t f （4）)()(2t f t f
4.50 有限频带信号)4cos()2cos(25)(11t f t f t f ππ++=，其中kHz f 11=，求Hz f s 800=的冲激函数序列)(t T δ进行取样（请注意1f f s <）。
（1）画出)(t f 及取样信号)(t f s 在频率区间（-2kHz ，2kHz ）的频谱图。
（2）若将取样信号)(t f s 输入到截止频率Hz f c 500=，幅度为的理
想低通滤波器，即其频率响应
⎩⎨⎧><==Hz
f Hz
f T f j H j H s 500,0500,)2()(πω
画出滤波器的输出信号的频谱，并求出输出信号)(t y 。
图4-47
图4-48
图4-49
4.53 求下列离散周期信号的傅里叶系数。
（2）)4)(30()2
1()(=≤≤=N k k f k。