数值分析综合训练

）
(C) i ；
(D) 1 。 ）
10、设矩阵 A ∈ R
，下列说法正确的是（
(A) 反幂法是计算矩阵的模最大的特征值和相应特征向量的方法； (B) 计算矩阵 A 的特征值的 QR 迭代方法产生的矩阵序列具有正交相似关系； (C) 若矩阵 A 的谱半径 ρ ( A) < 1 ，则求解方程组 Ax = b 的 Jacobi 方法收敛； (D) 若矩阵 A 的谱半径 ρ ( A) < 1 ，则求解方程组 Ax = b 的 Gauss-Seidel 方法收敛。 二、填空题（每小题 3 分，共计 18 分） 1、若迭代法 xk +1 = axk +
2b 收敛于 2 ，且要求收敛阶尽量高，则 a = 2 xk
，b =
。
⎡ 2 1 2⎤ ⎢ ⎥ 2、设矩阵 A = 4 5 4 的 Doolittle 分解为 A = LU ，则 U = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 6 3 5 − ⎣ ⎦
。
1
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+
6、 若求积公式
∫
b
a
f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) 为高斯 （Gauss） 型， 下列说法错误的是 （
k =0
5
）
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1 1 π sin x = 0 在 [ , ] 内存在唯一根，（1）试建立一种收敛于方 2 2 2
程根的迭代方法，并说明收敛的理由； （2）写出相应的 Steffenson 迭代格式，并以 x0 = 1.5 为初值迭代一步。
2
2、（10 分）取 5 个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 近似值。
，且 Q Q = E ，则下列关系式不成立的是（
T
）
A 2 = AQ 2 ；(B) QA
F
= A F ；(C) Qx 2 = x 2 ，其中 x ∈ R n ；
cond ∞ ( A) = cond ∞ ( AQ ) 。
⎡1⎤ ⎡ 3 −1 4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 8、设矩阵 A = −1 2 −2 ， x = −1 ，则 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1⎦ ⎥ ⎢ ⎣ 2 −3 −2 ⎥ ⎦ ⎣
(A)该求积公式始终是稳定的；(B)
∑A
k=0
5
k
= b − a ；(C) 该求积公式的代数精度为 9 ；
5
(D)
∫
b a
( x 4 + 3 x )ω ( x )dx = 0 ，其中 ω ( x ) = ∏ ( x − xk ) 。
k =0 n× n
7、设矩阵 A ∈ R (A) (D)
，Q∈ R
n× n
。
。
5、已知求积公式
∫
3
1
1 f ( x )dx ≈ [ f (1) + 4 f ( 2) + f (3)] ，则其代数精度为 3
-1 1 0 0
2
6、已知下列数据：
xi
yi
1 1
2 0 ，b = 。
利用最小二乘法确定经验公式 y = ax + bx 中的参数 a 和 b ，则 a = 三、计算题（5 道小题，共计 54 分） 1、（10 分）已知方程 1 − x +
⎡1 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ 3、设 A = 3 −1 −1 ，求正交矩阵 P = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 4 5 − ⎣ ⎦
4、设向量函数 F ( x , y ) = ⎢
，使得 PA 为上 Hessenberg 矩阵。
⎡ x3 − 2 y 2 ⎤ ，则其导函数在点 (1, 2) 值 F ′(1, 2) = 2 2⎥ ⎣ x + xy ⎦
m× n
）
( m ≥ n) 为不相容方程组，则下列说法正确的是（
）
(A) 该方程组不一定存在最小二乘解； (B) 该方程组的最小二乘解是方程组 A Ax = A b 的解；
T T
(C) 若 rank ( A) = n ，则其唯一的最小二乘解为 x = ( AA ) A b ；
T
T −1
(D) 若 rank ( A) < n ，则其唯一的最小二乘解为 x = A b 。
5、（12 分）取步长 h = 0.1 ，分别利用 Euler 预报—校正方法和经典的四阶龙格—库塔法，
⎧ dy ⎪ = x+ y 在 y(0.1) 的近似值。 求解初值问题 ⎨ dx ⎪ ⎩ y(0) = 1
⎡ 3 10 1 ⎤ ⎡ 14 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ 3 ⎥ ，b = ⎢ 四、（8 分）已知方程组 Ax = b ，其中 A = −10 2 ⎢ ⎢ −5⎥ ， ⎢ 3 ⎥ ⎢ 14 ⎦ ⎥ 1 10 ⎦ ⎣ ⎣
∫
1
−1
e − x dx 的
3、（10 分）已知求解一阶常微分方程初值问题 ⎨
⎧ y′ = f ( x , y ) 的下列二步方法： ⎩ y ( x 0 ) = y0
yn + 2 = yn+1 + h[af n +1 + bf n ] ，其中 f n = f ( xn , yn ) ，问：当参数 a , b 取何值时，才使该方法
−3
3、求 5 的 Newton 迭代格式为（ (A) xk +1 =
xk x x x 5 2 5 5 − ； (B) xk +1 = k + ； (C) xk +1 = k + ； (D) xk +1 = k + 。 2 2 xk 2 5 xk 5 2 xk 2 2 xk
4、已知求方程 f ( x ) = 0 在区间 [a , b] 上的根的不动点迭代为 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1, 2,L ，对 于其产生的数列 { xk } ，下列说法正确的是（ (A) 若数列 { xk } 收敛，则迭代函数 ϕ ( x ) 唯一； (B) 若对 ∀x ∈ [a , b], ϕ ′( x ) < 1 ，则 { xk } 收敛； (C) 若 ∀x ∈ [a , b], ϕ ′( x ) ≤ L < 1 ，则 { xk } 收敛； (D) 若 ∀x ∈ [a , b], ϕ ′( x ) > 1 ，则 { xk } 收敛。 5、设方程组 Ax = b, A ∈ R
∗
）
(A)
1 × 10−2 ； 2
3
(B)
2
1 × 10−3 ； 2
(C)
1 × 10−4 ； 2
(D)
1 × 10−5 。 2
）
2、已知方程 x − x − 1 = 0 在区间 [1, 2]ຫໍສະໝຸດ Baidu有唯一根，若用二分法计算，至少迭代（ 次可以保证误差不超过 10 。 (A)11； (B)9； (C)8； (D)7。 ）
的阶数尽可能地高？并说明该方法是几阶的。
3
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4、（12 分）已知 f ( x ) 的函数表为
xi
yi
0 0
1 1
4 2
(A) 8 , 8 ； (B) 8 , 7 ；
9
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
(C) 8 , 6 ；
(D) 7 , 7 。
9、设 l k ( x ) 是以 { xk = k}k =0 为节点的 Lagrange 插值基函数，则 (A) x ； (B) k ；
n× n
∑ kl
k =0
9
k
( x) = （
（1）构造求解该方程组的一种收敛的迭代格式，并说明理由； （2）写出（1）中迭代方法的迭代矩阵。
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综合训练
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 2 分，共计 20 分) 1、设 π 的近似数 π 有 3 位有效数字，则其相对误差限为（
（1）试求 f ( x ) 在 [0, 4] 上的 Hermite 插值多项式 H ( x ) ，使之满足下列条件
H ( xk ) = f ( xk ), k = 0,1, 2; H ′( x1 ) =
1 ； 2
（2）写出余项 R( x ) = f ( x ) − H ( x ) 的表达式。
4
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