三次函数的图像和性质以及在高考中的应用
三次函数的性质及在高考中的应用(附解答)
三次函数的性质及在高考中的应用一、三次函数的常用性质性质1：函数y ax bx cx d a =+++320()≠，若a >0，当∆≤0时，y ＝f(x)是增函数；当∆>0时，其单调递增区间是(][)-∞+∞，，x x 12，单调递增区间是[]x x 12，；若a <0，当∆≤0时，y f x =()是减函数；当∆>0时，其单调递减区间是(]-∞，x 2，[)x 1，+∞，单调递增区间是[]x x 21，。
推论：函数y ax bx cx d a =+++320()≠，当∆≤0时，不存在极大值和极小值；当∆>0时，有极大值f x ()1、极小值f x ()2。
根据a 和∆的不同情况，其图象特征分别为：性质2：函数y ax bx cx d a =+++320()≠是中心对称图形，其对称中心是（--b a f b a33，()）。
二、三次函数的性质在高考中的应用高考试题对三次函数主要考查：函数图象的切线方程，函数的单调性，函数的极值，函数的最值，证明不等式，函数零点的个数等。
1.(2004重庆卷)设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =--> (1)求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; (2)若不等式12()()0f x f x +≤恒成立，求a 的取值范围。
2. (2008福建卷)已知函数321()23f x x x =+-. (1)设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上； (2)求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值.3.（2006天津卷）已知函数()θθcos 163cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤． (1)当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；(2)要使函数()x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； (3)若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围．4.（2007全国二理）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．5. (2007湖南文）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （1）求24a b -的最大值；（2）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．6.（2009福建卷理）已知函数321()3f x x ax bx =++,且'(1)0f -= （1）试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ),12x m x <?，请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解答以下问题：（I ）若对任意的m ∈(t, x 2]，线段MP 与曲线f(x)均有异于M ，P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论； （II ）若存在点Q(n ，f(n)), 1x nm ?，使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）例题解答1．解：（I ）.)1(23)(2a x a x x f ++-=')(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x 代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.0)()(,2,)(212.0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥≥+-x f x f a a a a a2． (Ⅰ)证明：因为321()2,3f x x x =+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数y =f ′(x )的图象上,又0(N ),n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---= 所以2(1)32=22n n n S n n n -=+⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.(Ⅱ)解:2()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:注意到(1)12a a --=<,从而①当212,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值； ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当210a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.3．（2006年天津卷）无极值；311(,)(,)6226ππππ；(,0]-∞ 4．（2007全国二理 本小题满分12分）解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根； 当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根． 综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．5．（2007湖南文 本小题满分13分）解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=，且2104x x <-≤．于是04，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．6．(Ⅰ)依题意,得2'()2f x x ax b =++ 由'(1)12021f a b b a -=-+==-得.从而321()(21),'()(1)(21).3f x x ax a x f x x x a =++-=++-故令'()0,112.f x x x a ==-=-得或 ①当a>1时, 121a -<-当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。
2024年高考数学必考知识点总结(2篇)
2024年高考数学必考知识点总结一、函数与方程1. 一次函数与二次函数- 函数定义与函数图像- 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等- 一次函数的表示与性质- 二次函数的表示与性质：顶点坐标、对称轴等- 一次函数与二次函数的图像变换2. 指数与对数- 指数与对数的性质：乘法规则、除法规则、幂次规则、换底公式等- 指数函数与对数函数的图像与性质- 指数方程与对数方程的解法3. 三角函数- 常用角的定义：正弦、余弦、正切、余切等- 三角函数的周期性与对称性- 三角函数的图像变换- 三角函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等- 三角函数的主要公式与应用4. 线性方程组- 线性方程组的解的判定方法与解法- 线性方程组的应用问题二、平面几何1. 直线与曲线- 直线与平面的位置关系：平行、垂直等- 直线与曲线的交点问题- 直线方程与曲线方程的解法2. 三角形与四边形- 三角形的基本性质：内角和、外角和、中线定理、垂心、内心、外心、重心等- 三角形的判定方法- 三角形的相似与全等- 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等3. 圆与圆锥曲线- 圆的性质：弦长定理、弧长定理、切线定理等- 圆与直线、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质三、空间几何1. 空间几何基础- 点与向量的运算与性质- 平行四边形法则与向量共线性- 点、线、面的位置关系2. 空间直线与空间曲线- 空间直线的方程与性质- 空间曲线的参数方程与性质3. 空间几何体- 空间几何体的基本概念与性质：球、柱、锥、棱柱、棱锥等- 空间几何体的体积与表面积计算四、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念与性质- 概率的定义与性质：加法原理、乘法原理等- 事件的独立性与互斥性- 概率计算：古典概型、几何概型、条件概率等2. 统计与抽样- 数据的分布：频数分布与频率分布- 统计指标：平均数、中位数、众数等- 抽样与样本调查- 点估计与区间估计3. 随机变量与概率分布- 随机变量的基本概念与性质- 离散型随机变量与连续型随机变量- 常见概率分布：二项分布、正态分布等- 期望、方差、标准差的计算与应用以上是____年高考数学必考的知识点总结，希望可以帮助你更好地准备高考。
谈三次函数的分析性质在高考中的应用
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考题 在年年创新 考题既遵循 大纲 但 又 不 拘 泥于 大纲 其主
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导 思 想 是 在 知 识 交 汇 处 考 查 能力
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三 次 函数 的 分 析性 质 在 高 考 题 中频 繁 出 现
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高考数学中的函数与方程
高考数学中的函数与方程高考数学是每年高中生面临的一次重要考试，数学作为高考的一门重要科目，其涵盖面之广、难度之大，常常使得很多学生对此望而却步。
其中，函数与方程是数学必不可少的一部分，不仅在高中应用数学中占据重要地位，也是高考数学中最为基础、最为重要的部分之一。
本文将就高考数学中函数与方程的相关内容，从概念、公式、实例等方面进行阐述。
一、函数函数是数学中最基础的概念之一，其在高考数学中占据着非常重要的地位。
在高中阶段，我们对于函数的学习主要集中在初步的认识和使用上，主要包括函数的定义、性质、图像等方面。
在高考数学中，函数的重点则主要在函数的运用和特殊情况的分析上。
关于函数，常见的定义是：把一个自变量集合中的每一个元素和一个因变量集合中的一个元素对应起来的规则。
其表示方式可以是f(x) = x+1、y=x^2+3x-4等等。
在高考数学中，我们需要根据实际情况将问题转化成函数的形式，然后根据函数的特性进行分析和计算。
我们在高中数学中学习的一些常见函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，高考中都可能出现。
这些函数在应用中均具有重要意义，例如线性函数可以用于描述比例关系，二次函数可以用于描述抛物线运动，指数函数和对数函数可以用于处理利率、收益等问题。
二、方程在高考数学中，方程与函数密不可分。
函数和方程之间的关系在高中时就有所涉及，到了高考阶段则更为深入和难度更大。
方程的含义和定义大家都比较清楚，在此就不再赘述。
根据它的形式，方程可分为一元方程、多元方程、二元一次方程、二元二次方程等等。
而在实际问题中，方程的表达方式并不限于这些形式，一些特殊的方程如分式方程、绝对值方程等在高考数学中也有一定的应用。
方程的解题方法非常多，我们在初中阶段就应该掌握一些基本的解题技巧。
如一元方程可以使用逆运算、加减变形等方式进行求解，二元一次方程可以使用代入、消元等方式求解。
而在高考中，我们不仅需要掌握这些基本解题技巧，还需要善于运用不同的解题思路和方法来处理问题。
高考数学中的函数与极限的概念及应用
高考数学中的函数与极限的概念及应用作为高中数学的重要组成部分，函数与极限是每位学生都需要认真学习掌握的内容。
在高考中，函数与极限相关的考点占据了相当大的比重。
同时，函数与极限在生活中也有着广泛的应用。
因此，深入了解函数与极限的概念及应用至关重要。
1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，通常用y=f(x)表示。
其中，y称为函数值，x 称为自变量，f表示函数的具体规则。
函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有函数值的可能取值范围。
函数的图像是一条曲线，它反映了函数关系的特征和规律。
不同类型的函数图像也不同，如线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线等等。
函数可以用于描述各种现象和问题，如人口增长、温度变化、物理过程等。
同时，在计算中也有广泛的应用，如积分、微分、统计等。
因此，学好函数是数学学习的基础。
2. 极限的基本概念极限是函数中的一个重要概念，它可以描述函数在某个点附近的趋势和变化。
通常用lim f(x)=L表示。
其中，x→a表示x无限靠近a，L表示函数在该点的极限值。
极限可以分为左极限和右极限，分别表示x在a点左侧和右侧时的极限值。
如果左右极限相等，则称函数在该点连续。
否则，函数在该点不连续。
函数的极限可以用于求导、积分等计算中。
同时，在物理、工程、金融等领域中也有广泛的应用，如电路设计、结构分析、投资决策等。
3. 函数与极限的常见应用函数与极限在生活中也有很多应用。
以下是其中几个常见的例子：（1）电路设计电路是由各种电器元件组成的，它们之间的关系可以用函数表示。
例如，电流与电阻的关系可以表达为I=V/R，其中I表示电流，V表示电压，R表示电阻。
此外，电路的稳定性和效率等方面也与函数和极限有关。
（2）结构分析建筑、桥梁、机器等结构体的稳定性和安全性需要进行分析。
如果结构体在某个位置的压力过大，就会发生破坏。
此时，可以用函数和极限分析结构体的应力分布，找出破坏点，并改进结构以提高稳定性。
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
2024年高考数学考试大纲全解析
2024年高考数学考试大纲全解析高考，对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学作为其中的重要科目，其考试大纲的变化更是备受关注。
2024 年的高考数学考试大纲，在继承了以往的基础上，又有了一些新的调整和要求。
接下来，让我们一起深入剖析这份大纲，为广大考生和家长提供一个全面而清晰的解读。
首先，我们来看考试大纲中的知识范围。
2024 年高考数学依然涵盖了代数、几何、概率统计等主要板块。
代数部分，函数的性质、图像以及各种类型的函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）依旧是重点。
考生需要熟练掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，并能运用函数解决实际问题。
方程与不等式也是代数中的重要内容，包括一元二次方程的求解、不等式的解法和应用。
几何方面，平面几何中的三角形、四边形等基本图形的性质和定理需要牢记。
空间几何中，直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的表面积和体积计算是常考的知识点。
解析几何则侧重于直线与圆、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程和性质，要求考生能够通过建立坐标系，运用代数方法解决几何问题。
概率统计部分，概率的基本概念、常见概率分布（如二项分布、正态分布等）以及统计中的数据处理和分析方法都是考查的重点。
考生要能够理解随机事件的概率，运用概率知识解决实际问题，并能对数据进行收集、整理、分析和解释。
在能力要求方面，大纲强调了考生的数学思维能力、运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力以及应用数学知识解决实际问题的能力。
数学思维能力要求考生能够从数学的角度观察问题、分析问题，通过抽象、概括、归纳等方法找出问题的本质和规律。
运算能力不仅包括基本的四则运算，还包括代数式的化简、方程的求解、函数的运算等复杂运算。
空间想象能力主要体现在对空间几何体的结构和位置关系的理解和想象上。
逻辑推理能力则要求考生能够根据已知条件，进行合理的推理和论证，得出正确的结论。
而应用能力则是考查考生能否将数学知识与实际生活中的问题相结合，建立数学模型，解决实际问题。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
高考复习函数图象及其变换
高考复习函数图象及其变换．几种函数的图像基本初等函数及图象（大致图像）函数图像一次函数y=kxb二次函数y=axbxc指数函数y=ax对数函数y=logaxy ＝f(x＋h)y＝f(mx＋h)f(x)＋kf(ωx)Af(x)②上下平移：y＝eqo(――→,sup(k＞时上移k个单位),sdo(k＜时下移|k|个单位))f(x)y＝()对称变换①y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于对称②y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于对称③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于对称x轴y轴原点④y＝f(x)与y＝f－(x)的图象关于直线对称⑤y＝f(x)与y＝－f－(－x)的图象关于直线对称⑥y＝f(x)与y＝f(a－x)的图象关于直线对称．y＝xy ＝－xx＝a()翻折变换①作出y＝f(x)的图象将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方其余部分不变得到的图象②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象即得的图象．y＝|f(x)|y＝f(|x|)()伸缩变换①y＝Af(x)(A)的图象可将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标而得到②y＝f(ax)(a)的图象可将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标而得到A不变不变【答案】B【解析】．f(x)＝|x－|的图象为如下图所示中的()．为了得到函数y＝x－－的图象只需把函数y＝x的图象上所有的点()A．向右平移个单位长度再向下平移个单位长度B．向左平移个单位长度再向下平移个单位长度C．向右平移个单位长度再向上平移个单位长度D．向左平移个单位长度再向上平移个单位长度【解析】由y＝x得到y＝x－－需用x－换x用y＋换y即eqblc{rc(avsalco(x′＝x＋,y′＝y－))∴按平移向量(－)平移即向右平移个单位向下平移个单位．【答案】A．函数f(x)＝ax－b的图象如右图所示其中a、b 为常数则下列结论正确的是()A．abB．abC．abD．ab【解析】因图象是递减的故a又图象是将y ＝ax的图象向左平移了故b∴选D【答案】D设奇函数f(x)的定义域为,．若当x∈,时f(x)的图像如图所示则不等式f(x)的解集是【解析】由奇函数的图象关于原点对称画出x∈,的图象可知不等式f(x)的解集是(,)∪(,．【答案】(,)∪(,作出下列各个函数的图像：()y＝－x()y＝logeqf(,)(x＋)()y＝|logeqf(,)(－x)|()作函数y＝x的图象关于x轴对称的图象得到y＝－x的图象再将图象向上平移个单位可得y＝－x的图象．如图()因为y＝logeqf(,)(x＋)＝－log(x＋)＝－log(x＋)－所以可以先将函数y＝logx的图象向左平移个单位可得y＝log(x＋)的图象再作图象关于x轴对称的图象得y＝－log(x＋)的图象最后将图象向下平移个单位得y＝－log(x＋)－的图象即为y＝logeqf(,)(x＋)的图象．如图()作y＝logeqf(,)x的图象关于y轴对称的图象得y＝logeqf(,)(－x)的图象再把x轴下方的部分翻折到x轴上方可得到y＝|logeqf(,)(－x)|的图象．如图作函数图象的一般步骤为：()确定函数的定义域．()化简函数解析式．()讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如最值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．()选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．．采用图象变换法时变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点以显示图象的主要特征处理这类问题的关键是找出基本函数将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链然后依次进行单一变换最终得到所要的函数图象．作出下列函数的图像解作出的图象将的图象向右平移一个单位再向上平移个单位得的图象（）作出的图象保留图象中x≥的部分加上的图象中x的部分关于y轴的对称部分即得的图象其图象依次如下：（）若函数解析式中含绝对值可先通过讨论去绝对值再分段作图（）利用图象变换作图探究提高作出下列函数的大致图像：()y＝eqf(x,|x|)()y＝eqf(x＋,x－)()y ＝|logx－|()y＝|x－|【解析】()y＝eqblc{rc(avsalco(x(x＞),－x(x＜)))利用二次函数的图象作出其图象如图①()先作出y=logx的图象再将其图象向下平移一个单位保留x轴上及x轴上方的部分将x轴下方的图象翻折到x轴上方即得y=|logx|的图象如图③()先作出y=x的图象再将其图象在y轴左边的部分去掉并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象即得y=|x|的图象再将y=|x|的图象向右平移一个单位即得y=|x|的图象如图④eqx(由图象求解析式)如图所示函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成求函数解析式．【思路点拨】分段求函数解析式再合成分段函数形式本题分别设为一次函数和二次函数形式应抓住特殊点(,)(,)(,)(,)和(,)．设左侧射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤)∵点(,)(,)在此射线上．∴eqblc{rc(avsalco(k＋b＝,b＝))⇒eqblc{rc(avsalco(k＝－,b＝))∴左侧射线对应的解析式为y ＝－x＋(x≤)．同理当x≥时右侧射线对应的解析式为y＝x－(x≥)．设抛物线对应的解析式为y＝a(x－)＋(≤x≤a＜)．将点(,)代入得a＋＝∴a＝－∴抛物线对应的解析式为y＝－x＋x－(≤x≤)综上所述所求函数解析式为y＝eqblc{rc(avsalco(－x＋(x＜),－x＋x－(≤x≤),x －(x＞)))由函数图象求其解析式要注意观察各段函数所属的基本函数模型常用待定系数法抓住特殊点从而确定系数．．现有四个函数：()y＝x·sinx()y＝x·cosx()y＝x·|cosx|()y＝x·x的图象(部分)如下但顺序被打乱则图象()()()()对应的函数序号安排正确的一组是( )A．()()()()B．()()()()C．()()()()D．()()()()【解析】题图①对应的是偶函数图象对应()题图②对应的函数是非奇非偶函数对应()题图③对应的函数当x＞时存在函数值为负数对应()故选C【答案】C 例设ab,函数y=(xa)(xb)的图象可能是（）解析当xb时y,xb时y≤故选CC()函数y＝的图象大致为()A如图所示液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中开始时漏斗盛满液体经分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量H是圆锥形漏斗中液面下落的距离则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是()Bf(x)=|xx|a与x轴恰有三个交点则a=解析y=|xx|,y=a 则两函数图象恰有三个不同的交点如图所示当a=时满足条件已知函数f(x)＝|x－x＋|()求函数f(x)的单调区间并指出其增减性()求集合M ＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}．【思路点拨】()画出f(x)的图象根据图象写出单调区间．()画出两个函数的图象令两个图象有四个交点得m的范围得集合M【解析】f(x)＝eqblc{rc(avsalco((x－)－x∈(－∞∪＋∞),－(x－)＋x∈()))作出图象如图所示．()递增区间为,∞)递减区间为(∞,．()由图象可知y=f(x)与y=mx图象有四个不同的交点直线y=mx应介于x轴与切线l之间．函数的图象形象地显示了函数的性质为研究数量关系问题提供了“形”的直观性它是探求解题途径、获得问题结果、检验解答是否正确的重要工具也是运用数形结合思想解题的前提．从图象的左右分布分析函数的定义域从图象的上下分布分析函数的值域从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值从图象的对称性分析函数的奇偶性从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等．．已知x是方程xlgx＝的根x是方程xx＝的根则xx等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】(分)已知函数f(x)＝eqf(ax＋,bx ＋c)(a＞b＞c∈R)是奇函数当x＞时f(x)有最小值其中b∈N*且f()＜eqf(,)()试求函数f(x)的解析式()问函数f(x)图象上是否存在关于点(,)对称的两点？若存在求出点的坐标若不存在说明理由．【思路点拨】()根据下列条件：①f(x)为奇函数②当x＞时f(x)有最小值③b∈N*且f()＜eqf(,)可求abc的值从而可以确定函数f(x)的解析式．()可先假设存在然后根据对称性来解决．【规范解答】()∵f(x)是奇函数∴f(－)＝－f()∴eqf(a＋,－b＋c)＝－eqf(a＋,b＋c)∴c＝－c∴c＝此时f(x)＝eqf(ax＋,bx)显然是奇函数分∵a＞b＞x＞∴f(x)＝eqf(a,b)x＋eqf(,bx)≥eqr(f(a,b))当且仅当x＝eqr(f(,a))时等号成立．于是eqr(f(a,b))＝∴a ＝b分由f()＜eqf(,)得eqf(a＋,b)＜eqf(,)即eqf(b＋,b)＜eqf(,)∴b－b＋＜解得eqf(,)＜b＜又b∈N*∴b＝∴a＝∴f(x)＝x＋eqf(,x)分()设存在一点(xy)在y＝f(x)的图象上并且关于点(,)的对称点(－x－y)也在y＝f(x)的图象上．则eqf(xoal(,)＋,x)＝yeqf((－x)＋,－x)＝－y分消去y 得xeqoal(,)－x－＝∴x＝±eqr()∴y＝f(x)的图象上存在两点(＋eqr()eqr())(－eqr()－eqr())关于点(,)对称分函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性常会放置在一起综合考查．函数f(x)上的某点A(xy)关于点(ab)的对称点为A′(a－x,b－y)利用此关系可求点的坐标或证明函数关于某点的对称问题．．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．．掌握函数作图的两种基本方法：()描点法()图象变换法包括平移变换、对称变换、伸缩变换．理解对数的概念及其运算性质了解对数换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数了解对数的概念理解对数函数的性质会画对数函数的图象了解指数函数与对数函数互为反函数．．对数函数的图象与性质若aa≠xyn∈N则下列各式：①(logax)n＝nlogax②(logax)n＝logaxn③logax＝－logaeqf(,x)④eqr(n,logax)＝eqf(,n)logax⑤eqf(logax,n)＝logaeqr(n,x)⑥logaeqf(x－y,x＋y)＝－logaeqf(x＋y,x－y)其中正确的个数有()A．个B．个C．个D．个【解析】只有③⑤⑥正确故选B已知loga＝mloga＝n则am ＋n＝【解析】因为loga＝mloga＝n所以am＝an＝所以am＋n＝(am)·an ＝×＝计算：(lgeqf(,)－lg)÷－eqf(,)＝－【解析】原式＝－(lg ＋lg)×eqf(,)＝－lg×＝－×＝－若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a且a≠)的反函数且f()＝则f(x)＝logx【解析】因为y＝ax的反函数为y ＝f(x)＝logax又f()＝loga＝所以a＝所以f(x)＝logx已知函数f(x)＝eqf(,r(logf(,)x＋))则函数f(x)的定义域是()A．(－eqf(,))B．(－eqf(,)C．(－eqf(,)＋∞)D．(＋∞)【解析】由logeqf(,)(x＋)＝logeqf(,)得x＋所以－x所以－eqf(,)x所以f(x)的定义域为(－eqf(,))故选A一有关对数及对数函数的运算问题【例】()设函数f(x)＝eqblc{rc(avsalco(f(,)xx≥,f x＋x))则f(log)＝()设a＝b＝则eqf(,a)＋eqf(,b)＝()计算：lg(lg＋lg)＋(lgeqr())＋lgeqf(,)＋lg＋log【解析】()因为log所以f(log)＝f(＋log)＝f(＋log)＝f(＋log)＝(eqf(,))＋log＝(eqf(,))·(eqf(,))log＝eqf(,)×eqf(,)＝eqf(,)()由a＝b＝得a＝logb＝log 再根据换底公式得a＝log＝eqf(,log)b＝log＝eqf(,log)所以eqf(,a)＋eqf(,b)＝log＋log＝log(×)＝()原式＝lg(lg＋)＋(eqr()lg)＋lg(eqf(,)×eqf(,))＋log＝lg·lg＋lg＋lg－＋＝lg(lg＋lg)＋lg＋＝(lg＋lg)＋＝【点评】对数函数的真数与底数应满足的条件是求解有关对数问题时必须予以重视的另外研究对数函数时尽量化为同底．素材()计算：lg＋eqf(,)lg＋lg·lg＋(lg)＝()已知log＝a,b＝则lg＝eqf(a,b＋)(用ab表示)．【解析】()原式＝lg＋lg＋lg(lg＋lg)＋(lg)＝(lg＋lg)＋(lg)＋lg·lg＋(lg)＝lg＋(lg＋lg)＝＋＝【解析】()因为log＝a所以a＝eqf(lg,lg)lg＝eqf(,)alg又b＝所以b＝log＝eqf(lg,lg)＝eqf(－lg,lg)＝eqf(,lg)－lg＝eqf(,b＋)所以lg＝eqf(a,b＋)二对数函数的图象与性质问题【例】已知f(x－)＝logaeqf(x,－x)(a且a≠)．()求f(x)的解析式并判断f(x)的奇偶性()判断函数的单调性()解关于x的方程f(x)＝logaeqf(,x)【分析】先用换元法求解解析式用定义判断奇偶性证明单调性解不等式时注意函数的单调性．【解析】()令x－＝t则x＝t＋所以f(t)＝logaeqf(＋t,－t)又eqf(x,－x)所以x所以t＋即－t故f(x)＝logaeqf(＋x,－x)(－x)．而f(－x)＝logaeqf(－x,＋x)＝loga(eqf(＋x,－x))－＝－logaeqf(＋x,－x)＝－f(x)故f(x)是奇函数．()设－xx则－x－x所以eqf(,－x)eqf(,－x)eqf(＋x,－x)＝－＋eqf(,－x)eqf(＋x,－x)＝－＋eqf(,－x)(ⅰ)当a时logaeqf(＋x,－x)logaeqf(＋x,－x)即f(x)f(x)故f(x)在(－,)上是增函数(ⅱ)当a时logaeqf(＋x,－x)logaeqf(＋x,－x)即f(x)f(x)故f(x)在(－,)上是减函数．()由()可知logaeqf(＋x,－x)＝logaeqf(,x)所以eqblc{rc(avsalco(f(＋x,－x)＝f(,x),－x,x))⇒eqblc{rc(avsalco(x＋x－＝,x))解得x＝eqr()－【点评】解决与对数有关问题首先要看对数函数定义域复合函数y＝logaf(x)的单调区间也是y＝f(x)的单调区间．研究由对数函数与其他函数的复合函数要以这两点为解题的突破口．素材()已知logeqf(,)alogeqf(,)blogeqf(,)c则a,b,c三个数从小到大的排列是cba ()若函数f(x)＝loga(－ax)在(,上是减函数则a的取值范围是(,)【解析】()因为logeqf(,)alogeqf(,)blogeqf(,)c又y＝logeqf(,)x是减函数所以abc而y＝x为增函数所以abc()因为a且a≠所以t＝－ax在(,上为减函数且t所以－a即a又f(x)＝loga(－ax)在(,上是减函数所以y＝logat 是增函数所以a故a即a的取值范围是(,)．三有关对数函数的综合问题【例】(·长沙模拟)设f(x)＝logeqf(,)eqf(－ax,x－)为奇函数a为常数．()求a的值()若对于,上的每一个x的值不等式f(x)(eqf(,))x＋m 恒成立求实数m的取值范围．【解析】()因为f(x)是奇函数所以f(－x)＝－f(x)⇒logeqf(,)eqf(＋ax,－x－)＝－logeqf(,)eqf(－ax,x－)⇔eqf(＋ax,－x－)＝eqf(x－,－ax)⇔－ax＝－x⇒a＝±经检验a＝－(a＝舍去)．()对于,上的每一个x的值不等式f(x)(eqf(,))x＋m恒成立⇔f(x)－(eqf(,))xm恒成立．令g(x)＝f(x)－(eqf(,))x＝logeqf(,)(＋eqf(,x－))－(eqf(,))xg(x)在,上是单调递增函数所以mg()＝－eqf(,)即m的取值范围是(－∞－eqf(,))．素材已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝ax(a且a ≠)的图象关于直线y＝x对称又将y＝g(x)的图象向右平移个单位长度所得图象的解析式为y＝f(x)且y＝f(x)在＋∞)上总有f(x)()求f(x)的表达式()求实数a的取值范围．【解析】()由已知y＝g(x)与y＝ax 互为反函数所以g(x)＝logax(a且a≠)所以f(x)＝loga(x－)．()因为f(x)＝loga(x－)在＋∞)上总有f(x)即loga(x－)所以当a时ax－在＋∞)上恒成立所以a又若a则loga(x－)在＋∞)上不可能恒成立．综上可得a 的取值范围是(,)．备选例题已知x≤且logx≥eqf(,)求函数f(x)＝logeqf(x,)·logeqr()eqf(r(x),)的最大值和最小值．【解析】因为x≤＝所以x≤又logx≥eqf(,)所以x≥eqr()故x∈eqr()．因为f(x)＝logeqf(x,)·logeqr()eqf(r(x),)＝(logx－)(logx－)＝(logx)－logx＋令logx ＝t因为x∈eqr()所以t∈eqf(,)所以y＝t－t＋＝(t－eqf(,))－eqf(,)当t ＝eqf(,)时即logx＝eqf(,)x＝eqr()时f(x)min＝－eqf(,)当t＝即logx＝当x＝时f(x)max＝。
三次函数与四次函数
资源共享交流学习三次函数与 三次函数与四次函数大连市红旗高中 王金泽 wjz9589＠ 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接 触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与 x 轴交点个数”等类似问题。
三次函 数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。
2008 年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数 中的应用第一部分：三次函数的图象特征、以及与 x 轴的交点个数（根的个数） 、极值情况三次 函数图象说明可以根据极限的思想去分析 当 a＞0 时，在 x → +∞右向上 伸展， x → -∞左向下伸展。
伸展， x → -∞左向上伸展。
a 对图象 的影响当 a＜0 时，在 x → +∞右向下(可以联系二次函数 a 对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 若b2− 3ac > 0 ,且f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) < 0 ，既两个极与 x 轴有三 个交点值异号；图象与 x 轴有三个交点若b2− 3ac > 0 ,且f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，既有一与 x 轴有二 个交点个极值为 0，图象与 x 轴有两个 交点1。
存在极值时即 b2− 3ac > 0 ,且f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，既两个与 x 轴有一 个交点极值同号， 图象与 x 轴有一个交点。
2。
不存在极值，函数是单调函数 时图象也与 x 轴有一个交点。
更上一层楼QQ522286788资源共享交流学习1. f ( x) = 0 根的个数三次函数 f ( x) = ax + bx + cx + d3 2导函数为二次函数: f ( x) = 3ax + 2bx + c( a ≠ 0) ，/ 2 2 2 二次函数的判别式化简为：△= 4b − 12ac = 4(b − 3ac) ，(1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f ( x) = 0 恰有一个实根；2(2) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，则 f ( x) = 0 恰有一个实根；2(3) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，则 f ( x) = 0 有两个不相等的实根；2(4) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) < 0 ，则 f ( x) = 0 有三个不相等的实根.2即 （或 说明(1)(2) f ( x) = 0 含有一个实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴只相交一次， f (x) 在 R 上为单调函数 两极值同号） ，所以 b − 3ac ≤ 0 （或 b − 3ac > 0 ，且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ）.2 2(3) f ( x) = 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b 2 − 3ac > 0 ，且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 .(4) f ( x) = 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴有三个公共点，即 f (x) 有一个极大值，一 个极小值，且两极值异号.所以 b − 3ac > 0 且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) < 0 .22.极值情况：三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d （a＞0）, 导函数为二次函数 f / ( x) = 3ax 2 + 2bx + c( a > 0) ， 二次函数的判别式化简为：△= 4b 2 − 12ac = 4(b 2 − 3ac) ， (1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f (x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数；2(2) 若 b − 3ac > 0 ， 则 f (x) 在 ( −∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上 为 增 函 数 ， f (x) 在 ( x1 , x 2 ) 上 为 减 函 数 ， 其 中2x1 =− b − b 2 − 3ac − b + b 2 − 3ac , x2 = . 3a 3a△= 4b 2 − 12ac = 4(b 2 − 3ac) ，证明： f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c ,更上一层楼QQ522286788资源共享交流学习(1) 当 ∆ ≤ 0 (2) 当 ∆ > 0即 b − 3ac ≤ 0 时， f ' ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立， 即 f (x ) 在 (−∞,+∞) 为增函数.2即 b − 3ac > 0 时，解方程 f ' ( x ) = 0 ，得2x1 =− b − b 2 − 3ac − b + b 2 − 3ac , x2 = 3a 3a由 f ' ( x) > 0 得 x < x1 或 x > x 2 ， f (x ) 在 ( −∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上为增函数. 由 f ' ( x ) < 0 得 x1 < x < x 2 ， f (x ) 在 ( x1 , x 2 ) 上为减函数. 总结以上得到结论: 三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a > 0) , (1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f (x) 在 R 上无极值；2(2) 若 b − 3ac > 0 ，则 f (x) 在 R 上有两个极值；且 f (x) 在 x = x1 处取得极大值，在 x = x 2 处取得极小值.2由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。
三次函数的图像与性质
三次函数的图像与性质形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。
我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。
１三次函数的图像与性质设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。
当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。
结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）：当a>0时，f（x）的四种图象３推论设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。
方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1<x2，则函数f（x）在x=x1处取得极大值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极小值f（x2）。
类似可知a<0的情形（其余条件同前）：函数在x=x1处取得极小值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极大值f（x2）。
４例题例1.（湖南卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h==4.5-3x（m）（0<x<），故长方体的体积为V（x）=2x2（4.5-3x）＝９x2－６x３（m３）（0<x<），从而V’（x）=18x-18x2（4.5-3x）=18x（１－x）。
高中数学函数应用在高考中的地位
浅谈高中数学函数应用在高考中的地位摘要：通过对历年高考试题的分析，教师可以明显看出函数在高考中的重要地位。
函数本身就是一个很抽象的概念，在高中数学中包含了很多知识，是高中数学知识的一个重要部分，它犹如一根红线贯穿于高中数学当中，自然成为高考中的一个必考项目。
本文主要分析了近几年的高考试题中的函数分布情况和所占分值，以期让高中数学教师认识到函数的重要性，针对函数教学，地制定出系统的、有计划的、有条理的教学计划，促进教学质量的提高。
关键词：函数应用高考分值分布函数是通过建立变量之间的函数关系，来描述客观世界变化规律的重要数学模型。
在高考中对于函数的考察是不可缺少的一部分，如果教师在教学中能够以函数为纲，深入理解函数，帮助学生掌握函数，学生在高考中就会脱颖而出，获得很好的高考数学成绩。
所以高中数学教师在教学中要注意对函数的教学，让学生能够把数学函数知识进行融会贯通，提高学生的能力，促进学生成绩的提高。
下面结合函数在高考中的重要地位来谈一下本人的一些粗浅认识。
一、函数试题在高考中所占的分值通过比较和分析历年的高考试题，教师不难发现函数在高考中一般都会占到30分左右。
不论是全国卷还是其他各省市的试卷中函数都是一个重要的考察项目。
以10年的高考试题为例，全国卷ⅰ中的函数考察占到了26分；全国卷ⅱ中的函数占到了32分；辽宁卷最高，占到了43分，其次是江苏卷40分；其中最少的是湖北卷24分。
通过这些数据教师不难发现，函数在全国各地的高考中都占有很高的分值比率。
这些数据足以说明函数在高考中的重要地位。
二、函数试题在高考中的题型分布函数是高考中的必考题，也是所占分值比较高的试题，高考中的数学试题无非也就三种：选择题、填空题和解答题。
通过分析教师不难看出，在选择题、填空题中肯定会出现函数试题的考察，在解答题中的第18题往往都是专门用来考察函数知识的。
也就是说在各种题型中都会有对于函数知识的考察。
三、函数教学的有效方法1. 加深对函数概念的理解在函数教学中有很多的函数概念，这样学生感到纷繁复杂，教师要循序渐进地帮助学生去理解这些函数教学中的基本概念，让学生可以自然而然地接受这些概念。
高考函数考什么知识点
高考函数考什么知识点在高中数学学科中，函数是一个重要的概念和知识点，也是高考中的一道难题。
高考函数考察的内容包括函数的定义、性质、图像、变化规律以及解题技巧等等。
在这篇文章中，我将从不同角度探讨高考函数考察的知识点。
函数的定义是高考函数考察的基础。
根据教材中的定义，函数是一个将自变量（通常表示为x）映射到因变量（通常表示为y）的规则或关系。
在考试中通常会要求考生给出函数的定义或判断一个给定的关系是否为函数。
这需要考生对函数的定义有清晰的理解，能够准确地判断关系是否符合函数的定义。
函数的性质是高考函数考察的重点之一。
其中，函数的增减性是一个重要的性质。
考生需要掌握函数在定义域上的增减性，了解函数在不同区间的增减情况。
此外，函数的奇偶性也是考点之一。
如果一个函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
考生需要通过观察函数的表达式或图像，判断出函数的奇偶性。
函数的图像是高考函数考察的另一个重要方面。
考生需要能够根据函数的表达式，画出函数的图像。
同时，考生还需要通过观察函数的图像，掌握函数的特点和性质。
比如，当函数的图像在坐标系上是上升/下降的单调曲线时，可以判断函数是单调递增/递减的。
当函数的图像在坐标系上是对称的，可以判断函数的奇偶性等。
函数的变化规律也是高考函数考察的重要内容。
其中，函数的定义域和值域是考生需要注意的点。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域是函数的因变量的取值范围。
考生需要通过解方程或观察函数的图像，确定函数的定义域和值域。
此外，函数的极值和最值也是考试中经常出现的问题。
通过求导、解方程等方法，考生可以确定函数的极值和最值。
在解题过程中，考生需要掌握一些解题技巧。
比如，组合函数是一个常见的考点。
考生需要掌握如何确定函数的复合，以及如何求解复合函数的值。
另外，反函数也是一个常见的考点。
通过对函数进行逆运算，考生可以求解函数的反函数，并利用反函数属性解决问题。
超实用新高考理科数学重难点专题复习：专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 第六讲 函数的图像
2. 图像变换 （1）平移变换
（2）对称变换
y f (x) 关于x轴对称 y f (x) y f (x) 关于y轴对称 y f (x) y f (x) 关于直线x=a对称 y f (2a x) y f (x) 关于原点对称 y f (x)
（3）伸缩变换
01,横坐标伸长到原来的 1 倍
[解析]
由 f (x) 的图象可以看出，当 x 0 时，
函数 f (x) 有意义，排除 B；
f (x) 的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
由
f
(x)
x ex
为非奇非偶函数，排除
C；
由 f (x) 的图象可知， x 时， f (x) 0 ，
对于 D； f (x) xe|x| ，当 x 时， f (x) ，
常用的数学思想方法有：
（1）函数思想方法： 根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的思想如定
义域、值域、单调、奇偶、周期、最值、对称、范围和图像的交点个数等的研 究；
（2）方程思想方法： 通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程（组
高考函数与不等式知识点
高考函数与不等式知识点高考中的函数与不等式知识点高考是中国学生人生中关键的一场考试，考生们需要通过高考来决定自己的未来发展方向。
其中，数学科目是高考的重点考察内容之一，而函数与不等式是数学中的重要知识点之一。
本文将探讨高考中的函数与不等式知识点，并对其应用和解题要点进行分析。
一、函数知识点函数是数学中的重要概念之一，它描述了不同变量之间的关系。
在高考中，函数的定义、性质和图像是常见考点。
1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它以一组输入值（自变量）和相应的输出值（因变量）之间的对应关系来定义。
函数表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
函数的定义域是所有自变量可能取值的集合，值域是对应的因变量可能取值的集合。
1.2 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。
其中，奇偶性指的是函数关于原点的对称性，周期性指的是函数在一定区间内重复出现的性质，单调性指的是函数在定义域内的递增或递减的趋势。
1.3 函数的图像函数的图像是通过绘制函数在直角坐标系中的所有可能点得到的曲线或直线。
图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势。
二、不等式知识点不等式是数学中的另一个重要概念，它描述了变量之间的大小关系。
在高考中，不等式的解集、性质和应用是常见考点。
2.1 不等式的解集不等式的解集是满足不等式条件的所有可能解的集合。
解集可以是有限集合、无限集合或空集。
2.2 不等式的性质不等式的性质包括加减乘除法则、取绝对值法则和两边平方等。
这些性质可以帮助我们对不等式进行等价变换，从而得到更简洁的形式。
2.3 不等式的应用不等式的应用涉及到实际问题的建模和求解。
例如，利用不等式可以确定某个问题的最优解，或者评估一个系统的稳定性。
三、应用与解题要点高考中的函数与不等式不仅仅是理论知识，更需要学生掌握其应用和解题要点。
3.1 应用学生需要理解函数和不等式在实际问题中的应用，运用数学知识解决实际问题。
例如，可以通过分析函数图像来解释某个实际问题中的变化趋势。
高考常用六大函数知识点
高考常用六大函数知识点在我们的高中数学学习中，函数是一个重要的概念。
函数是一种映射关系，将一个自变量映射到一个因变量。
在高考中，有六大常用函数，它们分别是线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数。
下面，我们将逐个介绍这六大函数的知识点。
线性函数是最基本的函数之一，在数学领域具有广泛的应用。
线性函数的定义很简单，即y=kx+b，其中k是斜率，b是常数。
在坐标系中，线性函数的图像是一条直线。
计算线性函数的斜率可以用两点间的纵坐标差除以横坐标差。
在高考中，我们需要掌握线性函数的性质和相关计算方法。
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c都是常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一条抛物线。
高考中常涉及到二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向等性质，以及求二次函数的零点、最值等相关计算。
指数函数是以指数为自变量的函数，形如y=a^x，其中a是底数，x是指数，a大于0且不等于1。
指数函数的图像通常是一条逐渐增大或逐渐减小的曲线。
在高考中，我们需要了解指数函数的增减性、图像的特点以及指数函数与对数函数的互逆性。
对数函数是指对数为自变量的函数，形如y=logax，其中a是底数，a大于0且不等于1。
对数函数的图像通常是一条逐渐增大或逐渐减小的曲线。
在高考中，我们需要了解对数函数的增减性、图像的特点以及对数函数与指数函数的互逆性。
幂函数是指以幂为自变量的函数，形如y=x^a，其中a是指数，不一定是整数。
幂函数的图像的形状可以根据指数的奇偶性、正负性来确定。
在高考中，我们需要了解幂函数的增减性、图像的特点以及幂函数与开方函数的关系。
三角函数是以角度（或弧度）为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的图像在数学坐标系中呈现周期性的波动形态。
在高考中，我们需要了解三角函数的周期、图像的特点以及三角函数之间的关系。
这六大函数是高考中经常出现的知识点，理解和掌握它们对于顺利解题至关重要。
三次函数的图像和性质以及在高考中的应用
三次函数的性质以及在高考中的应用三次函数厂用+bF 七 +&（占0）已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。
2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。
单调性和对称性最能反映这个函数的特性。
下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。
函数厂卅4贰址沙验知）的导函数为八“+2卄。
我们不妨把方程2 I曲+称为原函数的导方程，其判别式色=4@一纸）。
若A >0，设其两根，则可得到以下性质:性质1：函数厂宀贰七+班尹）,若>0|,当A兰0时，y = f（x）是增函数；当|A >0|时，其单调递增区间是（-©无山［比+®）,单调递增区间是【冋，帀】；若口uD，当A < 0时，戸=/0）是减函数；当A >0时，其单调递减区间是（-□也］,［心！+侗），单调递增区间是［乃*心］。
（证明略）推论：函数厂用+用 F+辿#®,当怙£0|时，不存在极大值和极小值；当心时，有极大值41）、极小值•‘「。
根据a和「的不同情况，其图象特征分别为：图1性质2 :函数了何"F +M +滋+乳口尹5 ［耕*用］,若观E ［糾总］,且''■ ' 1 '，则：/何闷=msLX（f（m^ /（0）, /何）.（证明略）性质3 :函数’I .「一I是中心对称图形，其对称中心是证明：设函数7（工）=/亠曲4^+平知）的对称中心为（m, n）o—按向量住7-用、-冊将函数的图象平移，则所得函数》=/（兀+啊）一丹是奇函数，所以j（才+ wi） + 丁（一工+ - 2w = 0（纸诅+3）常-+a^ +助即+卍耕4£ 一理=0 上式对・L「恒成立，故化简得:3rna +占=0 ,得n - am1十占烧° +即耗+ d = /（------------ ）3aO__________________________ . 丄■ f （丄）所以，函数P =赤4” 5 T占°）的对称中心是（x 3a）o可见，y = f（x）图象的对称中心在导函数y ：I的对称轴上，且又是两个极值点的中点。
一元三次函数论文：探究一元三次函数f(x)=ax
一元三次函数论文：探究一元三次函数f(x)=ax ³+bx ²+cx+d(a≠0)的图象与X轴交点摘要：导数是学习高等数学的基础，作为解决数学问题的一种工具，它为高中数学注入了新的活力。
导数方法的基础工具性作用，凸现了它在整个教材和高考中的重要地位，导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这些年来也是高考的重点．基于导数在高考大纲多项式函数中一元三次函数的重要地位，本文着重于对一元三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数f(x)=ax³+bx ²+cx+d（a≠0）的图象性质而得到它的一些主要的性质特点和结论．关键词：一元三次函数图象性质极值极值点交点导数高考新课标首先来了解一下三次函数f(x)=ax ³+bx²+cx+d(a≠0)的图象定义1：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果fˊ(x) ＞0,则f(x)为增函数；如果fˊ(x) ＜ 0,则f(x)为减函数；如果fˊ(x) =0,则f(x)为常值函数。
定理1：若函数f在（a,b）内可导，则f在（a,b）内递增（减）的充要条件是f′(x) ≥0（f′(x) ≤0），x ∈（a,b）[1]定理2：设f为i上二阶可导函数，则f为i上凸函数的充要条件是在i 上f＂(x) ≥0；f为i上凹函数的充要条件是在i 上f＂(x) ≤0。
[2 ]定理3：若f在x0二阶可导，则（x0, f(x0)）为曲线y=f(x)拐点的必要条件是f＂(x) =0。
[3]定义2：设函数y=f(x)在x0附近有定义，如果对于x0附近的所有的点都有f(x) ＜f(x0)，则称f(x0)为y=f(x)的一个极大值，如果x0附近的所有的点都有f(x) ＞f(x0)，则称f(x0)为y=f(x)的一个极小值。
有关三次函数的五个考点
18
— ——河北秦皇岛市燕山大学里仁学院机械系 韩新宝
归纳
f ′（x）>0，函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函 数 f（x）没有极值点.当 a >0 时，由 f ′（x）=0，得 x=
± 姨 a .当 x∈（-∞，- 姨 a ）时，f ′（x）>0，函数 f（x）单
解 （Ⅰ）据题意有 f ′（x）=3x2-3a.
∵ 曲线 y ＝ f（x）在点（2， f（2））处与直线 y ＝ 8 相
∈ ∈ f ′（2）＝0，
3（4-a）＝0，
切，∴
整理有
解得 a ＝ 4，b＝24.
f（2）＝8.
8-6a+b＝8.
（Ⅱ）由已知有 f ′（x）=3（x2-a）（a≠0）.当 a <0 时，
y
y
y
y
x2
O
x
x1O
x
Ox
x2 O x1 x
a > 0，Δ ≤ 0 a > 0，Δ > 0 a < 0，Δ ≤ 0 a < 0，Δ > 0
性质 3：函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），x∈[m，
∈∈ ∈∈
n]，若 x0∈[m，n]，且 f ′（x0）＝0，则有 fmax（x）＝max{f（m）， f（x0 ），f（n）}，fmin（x）＝min{f（m），f（x0 ），f（n）}.
0 时，其单调递减区间是 （-∞，x2]和[x1，+∞），单调递
增区间是[x2，x1]. 性 质 2：函 数 y = ax3+bx2+cx+d（a≠0）， 当 Δ≤0
用导数研究三次函数
用导数研究三次函数一、知识点解析 1、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++¹的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数、三次函数的导函数为二次函数::)0(23)(2/¹++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=D （,叫做三次函数导函数的判别式。
叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性、单调性一般地，当032£-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
上有三个单调区间。
2、对称中心、对称中心三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(a b f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)f(x)图象的对称中心在导函数图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题、三次方程根的问题（1）当032£-=D ac b 时，由于不等式0)(³¢x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
程仅有一个实根。
（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(=¢x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -¥和),(2+¥x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
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三次函数的性质以及在高考中的应用
三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。
2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。
单调性和对称性最能反映这个函数的特性。
下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。
函数的导函数为。
我们不妨把方程称为原函数的导方程，其判别式。
若，设其两根为，则可得到以下性质：
性质1：函数，
若，当时，y＝f(x)是增函数；当时，其单调递增区间是，单调递增区间是；
若，当时，是减函数；当时，其单调递减区间是，
，单调递增区间是。
（证明略）
推论：函数，当时，不存在极大值和极小值；当
时，有极大值、极小值。
根据a和的不同情况，其图象特征分别为：
图1
性质2：函数若，且，则：
；。
（证明略）
性质3：函数是中心对称图形，其对称中心是（）。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以
化简得：
上式对恒成立，故
，得
，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点。
下面仅选一些2004年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。
例1. （浙江）设是函数f(x)的导函数，的图象如图2所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）
图2
图3
解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。
则的图象给出了如下信息：
①；
②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；
③在（0，2）上；在（－，0）或（2，）上。
由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。
例2. （江苏）函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）
A. 1，－1
B. 1，－17
C. 3，－17
D. 9，－19
解：函数的导方程是，两根为1和－1，由性质2得：
，。
故选C。
例3. （天津）已知函数在x＝±1处取得极值。
（I）讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（II）过点A（0，16）作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程。
解：（I）因为，所以导方程。
因为在x＝±1处取得极值，所以，是导方程的两根，
所以
解得a＝1，b＝0
所以
由推论得是f(x)的极大值；f(1)＝－2是f(x)的极小值。
（II）曲线方程为，点A（0，16）不在曲线上。
设切点为M
因为，故切线方程为
点A（0，16）在切线上，所以
解得，切点为M（－2，－2）
故所求切线方程为
例4. （湖北）已知，函数的图象与函数的图象相切。
（I）求b与c的关系式（用c表示b）；
（II）设函数在（）内有极值点，求c的取值范围。
解：（I）依题意，，得
，
所以
因为
所以
（II）因为
所以F（x）的导方程为：
依性质1的推论得：
所以，
所以或
解之得
故所求c的范围是（0，）（）。
纵观以上事例，只要我们掌握了函数的三条性质，在高考中无论是容易题、中档题还是难题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线方程等性质的研究，这也有助于提高对知识系统性的理解水平，拓宽解题思路。
以导数为工具对三次函数的单调性、极值、最值、对称性、根的性质等问题进行探索研究经过实验验证深刻挖掘三次函数的性质为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据为高考有关问题找到了有效的解决方法。
关键词三次函数图像性质三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体是应用二次函数图像和性质的好素材。
三次函数在近几年全国各地高考及模拟试题中频繁出现。
但教材和各种资料中往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
本文将利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性发现三次函数图像的对称性。
进一步理解函数的单调性、对称性、极值、最值利用图像来讨论三次方程实根的个数等问题。