概率论 第三讲 频率与概率
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三 频率与概率
• 称 现的频率，其中nA表示事件A在n次重复试 验中出现的次数，即频数。 • 人们经过长期的实践发现，虽然一个随机 事件在一次试验中可能发生也可能不发生， 但是在大量重复试验中这个事件发生的频 率却具有稳定性。频率的稳定性在理论上 已经被证明。
fn A nA n 为事件A在n次重复试验中出
例1，袋中有红、黄、白色球各一个，每次 任取一个，有放回地抽三次，求“取到的 三球中没有红球或没有黄球”的概率。 解：设Ａ：取到的三球中没有红球； Ｂ：取到的三球中没有黄球． P(A∪B)=p(A)+p(B)-p(AB)＝
（２／３）３＋（２／３）３－（１／３）３ ＝5/9
• 例2，已知P（A）=0.4，P（B）=0.6，事件B 包含A，求：
英文字母频率的统计表
字母 E T A O I N S R H 频率 0.1268 0.0978 0.0788 0.0776 0.0707 0.0706 0.0634 0.0594 0.0573 字母 L D U C F M W Y G 频率 0.0394 0.0389 0.0280 0.0268 0.0256 0.0244 0.0214 0.0202 0.0187 字母 P B V K X J Q Z 频率 0.0186 0.0156 0.0102 0.0060 0.0016 0.0010 0.0009 0.0006
抛一枚均匀硬币n次的试验（蒲丰问题）
试验者 试验次数 正面出现的 正面出现的 频数nA 频率fn(A) 2048 6019 12012 0.5069 0.5016 0.5005
蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
4040 12000 24000
随着n的增大， fn(A)总在0.5附近波动，
且逐渐稳定于0.5。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
在不变的条件下，重复进行n次试验，事 件A发生的频率稳定地在某一常数附近摆动， 而且随着试验次数的增加，摆动的幅度越 来越小，则称这个常数为事件A的概率,这是 概率的统计定义。 • 按概率的统计定义来求出概率是不现实 的。在实际应用中,往往就把频率当作概率 来使用。
•
频率的稳定性是概率的试验基础，但并 不是说概率决定于试验。一个事件发生的 概率完全取决于事件本身的内在性质，是 先于试验而客观存在的。概率的统计定义 正是指明了这一点。
P A , P A B , P A B
P BA , P AB , P AB
Ｂ Ａ
例3，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=0.1， 求事件A、B、C全不发生的概率. 解：Ａ，Ｂ，Ｃ至少有一发生的概率= P(A∪B ∪ C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)p(BC)+p(ABC) =3*0.25-2*0.1=0.55 注意这里 p(ABC)=0 A,B,C全不发生的概率= 1- P(A∪B ∪ C)= 1-0.55=0.45
四 概率的公理化定义
•
古典概率还是几何概率或者频率都具有下列 三条基本性质: • （1）非负性 p(A) ≥0； • （2）规范性 P（Ω）=1； • （3）可加性。当A与B互不相容时， • P A B P A P B
• 在上述性质的基础上，采用抽象化方法给 出概率的公理化定义：给定一个随机试验， Ω是它的样本空间，对于任意一个事件A， 规定一个实数，记作P（A）。如果P（· ） 满足下列三条公理，那么就称P（A）为事 件A的概率。
（５）对任一事件Ａ，p（Ａ）≤１； （６）p（Ｂ－Ａ） ＝p（Ｂ）－p（ＡＢ）； （７）加法公式 P（Ａ∪Ｂ） ＝p（Ａ）＋p（Ｂ）－p（ＡＢ）
加法公式可推广到更多的事件上，如三 个事件的加法有 P(A∪B ∪ C) =p(A)+p(B)+p(C) -p(AB)-p(AC)- p(BC)+p(ABC）
续
• 公理1 非负性：对于任意一个事件A， P（A）≥0； • 公理2 规范性：P（Ω）=1； • 公理3 可列可加性： 当可列无限个事件A1，A2，…两两互不相容 时，有下列等式： P（A1∪A2∪…）=P（A1）+P（A2）+…
由公理可以推导概率的一些性质
（1）P（φ）=0 （2）有限可加性 Ａ１，Ａ２，┅，Ａn两两互不相容，则 P(A1∪Ａ2∪ ┅∪Ａn)= p(A1)+p(A2)+ ┅p(An) （３）对任一事件Ａ，P(Ā)=１－P（Ａ） （4）当事件Ａ是Ｂ的子集时 P（Ｂ－Ａ）=P（Ｂ）－P（Ａ） P（Ａ） ≤P（Ｂ）
• 称 现的频率，其中nA表示事件A在n次重复试 验中出现的次数，即频数。 • 人们经过长期的实践发现，虽然一个随机 事件在一次试验中可能发生也可能不发生， 但是在大量重复试验中这个事件发生的频 率却具有稳定性。频率的稳定性在理论上 已经被证明。
fn A nA n 为事件A在n次重复试验中出
例1，袋中有红、黄、白色球各一个，每次 任取一个，有放回地抽三次，求“取到的 三球中没有红球或没有黄球”的概率。 解：设Ａ：取到的三球中没有红球； Ｂ：取到的三球中没有黄球． P(A∪B)=p(A)+p(B)-p(AB)＝
（２／３）３＋（２／３）３－（１／３）３ ＝5/9
• 例2，已知P（A）=0.4，P（B）=0.6，事件B 包含A，求：
英文字母频率的统计表
字母 E T A O I N S R H 频率 0.1268 0.0978 0.0788 0.0776 0.0707 0.0706 0.0634 0.0594 0.0573 字母 L D U C F M W Y G 频率 0.0394 0.0389 0.0280 0.0268 0.0256 0.0244 0.0214 0.0202 0.0187 字母 P B V K X J Q Z 频率 0.0186 0.0156 0.0102 0.0060 0.0016 0.0010 0.0009 0.0006
抛一枚均匀硬币n次的试验（蒲丰问题）
试验者 试验次数 正面出现的 正面出现的 频数nA 频率fn(A) 2048 6019 12012 0.5069 0.5016 0.5005
蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
4040 12000 24000
随着n的增大， fn(A)总在0.5附近波动，
且逐渐稳定于0.5。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
在不变的条件下，重复进行n次试验，事 件A发生的频率稳定地在某一常数附近摆动， 而且随着试验次数的增加，摆动的幅度越 来越小，则称这个常数为事件A的概率,这是 概率的统计定义。 • 按概率的统计定义来求出概率是不现实 的。在实际应用中,往往就把频率当作概率 来使用。
•
频率的稳定性是概率的试验基础，但并 不是说概率决定于试验。一个事件发生的 概率完全取决于事件本身的内在性质，是 先于试验而客观存在的。概率的统计定义 正是指明了这一点。
P A , P A B , P A B
P BA , P AB , P AB
Ｂ Ａ
例3，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=0.1， 求事件A、B、C全不发生的概率. 解：Ａ，Ｂ，Ｃ至少有一发生的概率= P(A∪B ∪ C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)p(BC)+p(ABC) =3*0.25-2*0.1=0.55 注意这里 p(ABC)=0 A,B,C全不发生的概率= 1- P(A∪B ∪ C)= 1-0.55=0.45
四 概率的公理化定义
•
古典概率还是几何概率或者频率都具有下列 三条基本性质: • （1）非负性 p(A) ≥0； • （2）规范性 P（Ω）=1； • （3）可加性。当A与B互不相容时， • P A B P A P B
• 在上述性质的基础上，采用抽象化方法给 出概率的公理化定义：给定一个随机试验， Ω是它的样本空间，对于任意一个事件A， 规定一个实数，记作P（A）。如果P（· ） 满足下列三条公理，那么就称P（A）为事 件A的概率。
（５）对任一事件Ａ，p（Ａ）≤１； （６）p（Ｂ－Ａ） ＝p（Ｂ）－p（ＡＢ）； （７）加法公式 P（Ａ∪Ｂ） ＝p（Ａ）＋p（Ｂ）－p（ＡＢ）
加法公式可推广到更多的事件上，如三 个事件的加法有 P(A∪B ∪ C) =p(A)+p(B)+p(C) -p(AB)-p(AC)- p(BC)+p(ABC）
续
• 公理1 非负性：对于任意一个事件A， P（A）≥0； • 公理2 规范性：P（Ω）=1； • 公理3 可列可加性： 当可列无限个事件A1，A2，…两两互不相容 时，有下列等式： P（A1∪A2∪…）=P（A1）+P（A2）+…
由公理可以推导概率的一些性质
（1）P（φ）=0 （2）有限可加性 Ａ１，Ａ２，┅，Ａn两两互不相容，则 P(A1∪Ａ2∪ ┅∪Ａn)= p(A1)+p(A2)+ ┅p(An) （３）对任一事件Ａ，P(Ā)=１－P（Ａ） （4）当事件Ａ是Ｂ的子集时 P（Ｂ－Ａ）=P（Ｂ）－P（Ａ） P（Ａ） ≤P（Ｂ）