(学生版)立体几何专题三：垂直证明题型及方法
立体几何线面垂直-题型全归纳(解析版)
立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。
证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。
变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。
变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。
高一立体几何垂直证明
(1)证明：因为 为棱 的中点，且 ，
所以 ，
因为 是直三棱柱，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以平面 .
(2)取 的中点 ，连接 和 ，
因为 为棱 的中点，
所以 ，且 ，
因为 是棱柱，
所以 ，
因为 为棱 的中点，
所以 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以 是平行四边形，
所以 ，
10．(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ，结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
（2）由题意结合几何体的空间结构特征可证得 平面 ，结合线面垂直的判定定理可得平面 面 .
【详解】
（1）因为四边形矩形 是矩形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）矩形 所在平面与底面 垂直，且交线为 ， ，
（3）求点A到平面PMB的距离．
12．如图，正三棱柱ABC − A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面B1BC C1；
（2）求证：A1B//平面ADC ；
13求三棱锥C1− ADB1的体积．13．如图在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 底面 ，且 ，设 、 分别为 、 的中点.
平面PBD， ，
， 面BDE．
【点睛】
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
6．(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF；
立体几何线线垂直专题(史上最全)
立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．AEDBC例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SACBC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：AE ⊥平面PBC .证明：∵PA ⊥O 所在平面，BC 是O 的弦，∴BC PA ⊥.又∵AB 是O 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴BC AC ⊥.∵,PA AC A PA =⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ⊂平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PCBC C =,PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC .∴AE ⊥平面PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，SDCBAACBPEO图2所以BD ⊥平面AED .例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点． 求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D证明：连结ACB D AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A C A C BC A C BC D11111同理可证平面练习；1、 如图在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.证明：AP ⊥BC ；AC2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .证明：DC 1⊥BC 。
立体几何线面与面面垂直的证明
那么另一条也垂直于这个平 a 的无数条直线”是“ I 丄a B.必要不充分条件线面垂直与面面垂直专题复习【知识点】一.线面垂直(1) 直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面a 的 __________________ 一条直线都垂直，我们就说直线 I 与平面a 垂直,记作 _____________ .重要性质： ____________________________________________________________________________(2) 直线与平面垂直的判定方法：①判定定理：一条直线与一个平面的两条 ___________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于这 个平面.用符号表示为：②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 面.用符号可表示为：(3)直线与平面垂直的性质：① 由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的 ________ 直线.② 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为： 二、面面垂直(1) 平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是 _____________________ ，就说这两个平面互相垂直.(2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 _____________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为：(3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 用符号可表示为：【题型总结】 题型一小题：判断正误1. “直线I 垂直于平面 A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知如图，六棱锥 P — ABCDE 的底面是正六边形， 下列结论不正确的是( ).A.CD// 平面 PAFB. DF 丄平面 PAFC. CF//平面 PAB 2.设m n, I 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，判断命题正误:理科数学复习专题立体几何①m,m ,则//⑥m n, m// ,则n②m,// ,则m⑦m n,n 1,则m//l③m,m//n,则n⑧, ,则〃④m,n ,则m//n⑨m n,n//I,则m 1⑤m,m n,则n//⑩,//，则题型「二证明线面垂直P归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_________________________________________②找垂线（线线垂直）的方法一：______________________________________________ 2.四棱锥P ABCD中，底面ABCD的边长PD PB 4, BAD 600, E 为PA 中点•1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/ DAB = 60° AB= 2AD, PD 丄底面ABCD .（1）证明：BD丄面PAD （2）证明：PA丄BD;求证：BD 平面PAC ；4的菱形,归纳：找垂线（线线垂直）的方法找垂线（线线垂直）的方法三：3、如图，AB是圆0的直径，C是圆0上不同于A, B的一点，PA 平面ABC , E是PC 的中点，AB 3 , PA AC 1.求证：AE PB•Z归纳：找垂线（线线垂直）的方法四：____________________________________4.如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC, BCA 900,AP=AC,点D , E分别为棱PB、PC的中点，且BC〃平面ADE求证：DE丄平面PAC ;归纳：_____________________________________________________________________________________ 题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直）1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD 的交点，SA 平面ABCD.求证：平面SAC 平面SBD ;2. （2016理数）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中面ABEF 为正方形,AF=2FD, AFD 90：,证明：平面ABEF 平面EFDC ;题型四面面垂直的性质（注意：交线）1、如图所示，平面EAD 平面ABCD , ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点, 求证：EG 平面ABCD ；2、如图，平行四边形ABCD中，CD 1, BCD 600, BD CD，正方形ADEF，且面ADEF 面ABCD •求证：BD 平面ECD ;综合运用如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °求证：面BMN丄平面PCD.【练习】1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:金a〃b a M a M a//M① b M ②a//b ③b/ M ④b± Ma Mb M a b a b其中正确的命题是( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.给出以下四个命题：CD如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
2019年高考数学 专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板
2019年高考数学 专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一 几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步 找到关键的直线或平面；第三步 得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥P ABC -中， ,44CBA AB π∠===，,D E 分别为线段,AB BC 的中点， ,PD AC PE BC ⊥⊥.（1）求证： CD ⊥平面PAB ；（2）若F 为PA 上的点，且2,3C PEF PF FA V -==P 平面ABC 的距离.又∵,PD AC BC AC C ⊥⋂=，∴PD ⊥面ABC ，∵CD ⊂面ABC ∴PD CD ⊥在ABC ∆中D 是AB 的中点， AC BC =，∴CD AB ⊥∵PD AB D ⋂=， ,PD AB ⊂面PAB ，∴CD ⊥平面PAB（2）由（1）知P 到面ABC 的距离为PD由等体积知： 2233C PEF F PEC A PEC P AEC V V V V ----===∵3C PEF V -=2P AEC V -=∴123AEC PD S ∆⨯⨯⨯=∵122AEC S AC AE ∆=⨯⨯=， 1223PD ⨯⨯⨯=， ∴98PD =. 例2、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．证明：平面EBD ⊥平面PAC ；【答案】详见解析线线垂直PA BD ⊥.试题解析：因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为,AC BD PA AC A ⊥=，所以BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ．考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练1】如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP . 设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。
二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。
三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。
二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。
2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。
3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。
4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。
立体几何中垂直的证明
高。 （1）证明：； （2）若求三棱锥的体积；
（3）证明：.
同步练习二 如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形底面ABCD, E为PC的中点,
PA＝AD。
证明: ;
利用等腰三角形底边上的中线的性质 例3、在三棱锥 中， ， ， 。
（1）三棱锥的体积
如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形。 底面 ，证明：
A C B P
（Ⅰ）求证： ；
同步练习三
（1）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 cm3． （2）已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线和的距离。
利用勾股定理
例4、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，
_ D _ C _ B _ A _ P
求证:平面
同步练习四
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC。
如图1，在直角梯形中，，，且． 现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂 直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面 （2）求证：平面
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
典型例题剖析
通过“平移”证明垂直根据若 例1、在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC， AB∥CD，AB=DC，.求证：AE⊥平面PDC.
P E D C B A
同步练习一 （1）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角 的大小是____________。
2017年__高二年级立体几何垂直证明题常见模型和方法
立体几何垂直证明题常见模型及方法垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）○1 等腰（等边）三角形中的中线○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。
例：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO OE ⊥（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥；类型二：线面垂直证明BE 'ADFG方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO BDE ⊥平面变式1：在正方体1111ABCD A BC D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =，6BC =C○2 利用面面垂直的性质定理 例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。
立体几何线面垂直的证明
立体几何证明【知识梳理】1.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）2.．直线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（线面垂直线线垂直）性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.三。
平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行.1. 平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直线面垂直）知识点一【例题精讲】3.在棱长为2 的正方体A BCD A1B C D 中，E、F 分别为DD1 、DB的中点。
1 1 1（1）求证：EF// 平面ABC1 D1 ；（2）求证：平面B D1C1 B1C EF B1C ；（3）求三棱锥 B EFC1 的体积V.4.如图所示, 四棱锥P ABCD底面是直角梯形,BA AD, CD AD, CD 2AB, PA 底面A B C D, E为PC的中点, PA＝AD＝AB＝1.（1）证明: EB // 平面PAD ;（2）证明: BE 平面PDC ;（3）求三棱锥 B PDC的体积V.3、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD ，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明：（1）AE⊥CD（2）PD⊥平面ABE．4、.如图，三棱柱ABC ﹣A1B1C1 中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°（Ⅰ）证明：AB ⊥A1C；练习1、如图，菱形ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直，AD=2 ，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB 的高．5.如图1-4 所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，6.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G 分别为AC，DC，AD 的中点．求证：EF⊥平面BCG；7.如图1-1 所示，三棱柱ABC - A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影 D 在AC8.上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B；4、如图，在三棱台ABC ﹣DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1 ，BC=2，AC=3 ．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．35、三棱锥P﹣ABC 中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2 ，（1）求证：面PBC⊥面ABC9.已知四棱锥P-ABCD中, 底面四边形为正方形, 侧面PDC为正三角形, 且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1) 求证:PA∥平面EDB;(2) 求证: 平面EDB⊥平面PBC;7、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；3.求证BE 垂直平面PAC8、将如图一的矩形ABMD 沿CD 翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD 中有MA= ．（1）求证：AC⊥MD ；（2）求四棱锥M ﹣ABCD 的体积．作业1、如图1，菱形ABCD 的边长为12，∠BAD=60°，AC 交BD 于点O．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N 分别是棱BC，AD 的中点，且DM=6 ．（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；2、如图，在斜三棱柱ABC ﹣A1B1C1 中，O 是AC 的中点，A 1O⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC ．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；3、如图所示，四棱锥P﹣ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=6°0的菱形，M 为PC 的中点，PC= ．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；4、如图，四棱锥P-ABCD 中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=F 分别为线段AD，PC 的中点．12AD，E，（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．5、如图，四棱锥S﹣ABCD 中，AB ∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形．AB=BC=2 ，CD=1，SD= ．（1）证明：CD⊥SD；10.如图，四棱锥S﹣ABCD 中，△ABD 是正三角形，CB=CD ，SC⊥BD ．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=12°0，M 为棱SA 的中点，求证：DM ∥平面SBC．7、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点 F 为边CD 的中点，2AB AE AD 4,现将ABE 沿BE 边折至PBE 位置，且平面PBE 平面3BCDE .PEADEDFB C B C（1）求证：平面PBE 平面PEF ；8、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且∠DAB=60 ，PA PD 2 ,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AD 平面DEF;9、在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，AB / /CD ，DAB 90 ，四边形ADEF 为等腰梯形，EF / / AD ，已知AE EC ，AB AF EF 2，AD CD 4．（Ⅰ）求证：平面ABCD 平面ADEF11.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，AB AC ，PA 平面12. ABCD ，且PA AB ，点E 是PD 的中点.（Ⅱ）求证：PB // 平面AEC ；。
立体几何线面垂直-题型全归纳(解析版)
立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。
证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。
变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。
变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。
（学生版）立体几何专题三：垂直证明题型及方法
（学⽣版）⽴体⼏何专题三：垂直证明题型及⽅法⽴体⼏何专题三：垂直证明题型及⽅法基础知识梳理⼀个关系：线线垂直线⾯垂直⾯⾯垂直；三类证法(1)证明线线垂直的⽅法①定义：两条直线所成的⾓为90°；②平⾯⼏何中证明线线垂直的⽅法；③线⾯垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ；④线⾯垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b . (2)证明线⾯垂直的⽅法①线⾯垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α；②判定定理1：m 、n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α；③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α；④⾯⾯平⾏的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；⑤⾯⾯垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β. (3)证明⾯⾯垂直的⽅法①利⽤定义：两个平⾯相交，所成的⼆⾯⾓是直⼆⾯⾓；②判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β.类型⼀：线线垂直证明（共⾯垂直、异⾯垂直）1.共⾯垂直：实际上是平⾯内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下⼏种模型）（1）等腰（等边）三⾓形中的中线（2）菱形（正⽅形）的对⾓线互相垂直（3）勾股定理中的三⾓形（4）利⽤相似或全等证明直⾓。
2.异⾯垂直（利⽤线⾯垂直来证明，⾼考中的意图）例 1.如图，在四棱锥ABCD P -中，底⾯A B C D 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式1：如图，在边长为2的正⽅形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A . 求证:'A D EF ⊥；变式2：如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三⾓形，∠PAC =∠PBC =90 o证明：AB ⊥PC类型⼆：线⾯垂直证明⽅法○1 利⽤线⾯垂直的判断定理例2.在正⽅体1111ABCD A BC D -中，O 为底⾯ABCD 的中⼼，E 为1CC ,求证：1AO BDE ⊥平⾯变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平⾯A 1ABB 1；变式2 如图，在底⾯为直⾓梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平⾯ABCD ．3PA =，2AD =，AB =6BC =BE'ADFG○2 利⽤⾯⾯垂直的性质定理⽅法点拨：此种情形，条件中含有⾯⾯垂直。
2021版高三数学解题万能解题模板33空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法(解析版)
专题 33 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂 直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.方法一 几何法万能模板内容使用场景 转化的直线或平面比较容易找到解题模板 第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步 找到关键的直线或平面；第三步 得出结论.例 1、【广东省湛江市 2021 届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱是边长为 的等边三角形，侧面 的中点．为菱形，且平面平面，中，底面 ， 为棱（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）设 的中点为 ， 与 的交点为 ，连接 ， ， ，根据线面垂直的判定定理，可1 / 45得平面；再证明，得到平面，推出，可得线面垂直；，从而（2）先由（1）可得， ， ， 两两相互垂直，以 为坐标原点，以 的方向为 轴正方向，分别以 ， 为 轴和 轴的正方向，建立空间直角坐标系 法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.，分别求出平面和的【详解】（1）证明：设 的中点为 ， 与 的交点为 ，连接 ， ， ，如图所示．由 为 的中点可得平面．，又平面平面，平面平面，故又 为 的中点．所以且．又且，所以且，因此四边形为平行四边形，所以且，所以平面，故，又四边形为菱形，所以，又，平面，平面，所以平面；2 / 45（2）由（1）可知 ， ， 两两相互垂直，以 为坐标原点，以 的方向为 轴正方向，分别以 ， 为 轴和 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，设为平面的一个法向量，则即可取，由（1）可知， 为平面的一个法向量，所以．所以二面角的余弦值为 ．例 2、【河南省焦作市 2020—2021 学年高三年级第一次模拟考试数学（文）】如图，在三棱锥，， ， 分别为 ， 的中点.中，3 / 45（1）求证：平面平面 ；（2）若，是面积为 的等边三角形，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）利用等腰三角形三线合一、勾股定理可证得，，由线面垂直判定可证得平面，由面面垂直判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得平面 ，即为所求四棱锥的高，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）， 为 的中点，，.，，又，，.，平面，平面，平面 ， 平面平面 .（2），，又平面平面，平面平面，平面 .是面积为 的等边三角形，，可得：.【点睛】.4 / 45思路点睛：证明面面垂直或线面垂直的关键是找到线线垂直关系，证明线线垂直的常用方法有：（1）线面 垂直的性质定理；（2）等腰三角形三线合一性质；（3）勾股定理证垂直；（4）菱形、正方形等图形中的特 殊垂直关系.【变式演练 1】【河南省焦作市 2020—2021 学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点 在 上，.（1）证明：平面 ；（2）若 与平面所成角为 60°，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）由平面平面，得平面，得.再由已知.得，从而可证得线面垂直；（2）由线面角的定义得，设，则，.连接 ，以 和 的交点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.用空间向量法求得二面角余弦．【详解】（1）因为，，所以.因为平面平面，，平面平面，所以平面，所以.又因为，所以平面 .5 / 45（2）由（1）知平面，所以为 与平面所成的角，所以，.由平面 ，知.设，则，.连接 ，以 和 的交点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，.所以 设，，为平面 的一个法向量，则,可取.由（1）可知为平面 的一个法向量.所以，6 / 45结合图可知二面角的余弦值为 .【变式演练 2】【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，四边形与均为菱形，，且.（1）求证：平面（2）求直线 与平面； 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】 （1）设 与 相交于点 O，连接 ，说明 （2）连接 ，建立如图所示的空间直角坐标系 【详解】 （1）设 与 相交于点 O，连接 ，和即可证明；，利用向量法求解即可.7 / 45∵四边形为菱形，∵，且 O 为 中点，∵，∵，又，∵平面（2）连接 ，∵四边形为菱形，且，∵为等边三角形，∵O 为 中点，∵，又，∵平面.∵ ， ， 两两垂直，∵建立空间直角坐标系，如图所示，设， 四边形为菱形，，8 / 45∵，.∵为等边三角形，∵，，，∵，∵，，.设平面的法向量为，则，取 ，得.设直线 与平面所成角为 θ，则.方法二 空间向量法万能模板内容使用场景 转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出解题模板 第一步 建立适当的空间直角坐标系；第二步 分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；第三步 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.例 3【、云南师范大学附属中学 2020 届高三适应性月考】如图，四边形为正方形， 平面，，.9 / 45（1）证明：平面平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）以 为坐标原点，线段 的长为单位长，射线 为 轴的正半轴，射线 为 轴的正半轴，射线 为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算，得线线垂直，从而有线面垂直；（2）求出平面和平面的法向量，由法向量夹角余弦得二面角余弦（注意正负）．【详解】（1）证明：如图，以 为坐标原点，线段 的长为单位长，射线为 轴的正半轴，射线 ，为 轴的正半轴，射线为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系依题意有，10 / 45则，所以，即故平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）有设是平面的法向量，， ，则即，取 ，则，.设平面的法向量为，则即，取，则，，所以，故平面和平面所成锐二面角的余弦值为 .【变式演练 3】【天津市第四中学 2020-2021 学年高三上学期学情调查】如图，在三棱柱平面，点 D，E 分别在棱 和棱 上，且，M 为棱 的中点.中，11 / 45（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求直线 与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .【分析】 首先根据题意建立适当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标. （1）利用直线的方向向量的数量积为零即可证明； （2）先求得两平面的一组法向量的坐标，利用两平面的法向量所成的角的余弦值公式求得，注意平面与平 面所成的角的概念，得到两平面所成的角的余弦值； （3）利用直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦的绝对值即为线面所成角的正弦值求得． 【详解】解：依题意，以 为原点，分别以的方向为轴，建系如图，12 / 45得，，，，，，，，．（1）证明：依题意，，，从而，所以．（2）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，取．因此有，13 / 45所求平面与平面的夹角余弦值为 ．（3）解：依题意，．由（２）知为平面的一个法向量，于是．所以， 与平面所成角的正弦值为 ．【变式演练 4】【广西名校 2021 届高三上学期第一次高考模拟】如图 1，矩形 ABCD 中，2AB=BC，将矩形 ABCD 折起，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF.连接 AF、CE，以 AF 和 EF 为折痕，将四边形 ABFE 折起， 使点 B 落在线段 FC 上，将△CDE 向上折起，使平面 DEC△平面 FEC，如图 2.（1）证明：平面 ABE△平面 EFC; （2）连接 BE、BD，求锐二面角 A-BE-D 的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）设 AB=a，则 BC=2a，设 BF=x，在中，由，解得 x，再根据点 B 落在线段FC 上，得到 的长度，然后以 为 x 轴，以 为原点，建立空间直角坐标系，设，由求得 A 坐标，易知 B 的坐标，从而得到向量 的坐标即可.14 / 45（2）根据平面 DEC∵平面 FEC，先求得 D 的坐标，再分别求得平面 ABE 的一个法向量：，平面 BDE 的一个法向量：，由求解.【详解】 （1）在平面 ABCD 中，AF=FC，BF+FC=2AB， 设 AB=a，则 BC=2a，设 BF=x，在中，，解得，则，因为点 B 落在线段 FC 上，所以，以 为 x 轴，以 为原点，作 y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，15 / 45设，则，解得，所以 AB 平面 EFC，又 AB 平面 AEB 中， 所以平面 ABE∵平面 EFC;（2）由（1）知：，在中，D 到 EC 的距离为，因为平面 DEC∵平面 FEC，所以，则，所以设平面 ABE 的一个法向量为：则解得，所以，设平面 BDE 的一个法向量为：， ，，16 / 45则，所以 所以， ，所以.【高考再现】1. 【2017 课标 3，文 10】在正方体中，E 为棱 CD 的中点，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若么，成立，反过来，显然不成立，故选 C. 【考点】线线位置关系时，也能推出,所以 C 成立，D.若【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 2．（2019 北京理 12）已知 l，m 是平面 a 外的两条不同直线．给出下列三个论断：， ，那 ，则17 / 45∵；∵；∵以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ______．【答案】 若，则或，则．【解析】由 l，m 是平面 α 外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得： 若，则．由线面平行、垂直的性质定理得，则．3．（2018•新课标∵，文 18）如图，在平行四边形中，，折起，使点 到达点 的位置，且．（1）证明：平面平面 ；，以 为折痕将（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且，求三棱锥的体积．【解析】（1）证明： 在平行 四边形又．且，中，，，面，面，平面平面 ；（2），，，，由（1）得，又，面，18 / 45三棱锥的体积．4．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数 19】如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，正三角形， 为 上一点，．是底面的内接（1）证明：平面∵平面；（2）设，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2） ．【思路导引】（1）根据已知可得，进而有，可得，即，从而证得平面 ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线 和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出 ，在中，求出 ，即可求出结论．【解析】（1） 为圆锥顶点， 为底面圆心，平面，在 上，，是圆内接正三角形，，，，即，19 / 45平面平面， 平面（2）设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，圆锥的侧面积为平面；，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为．【专家解读】本题的特点是注重空间线、面位置关系的判断，空间基本计算，本题考查了面面垂直的证明， 考查锥体的体积公式，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确进行空间垂直间 的相互转化．5．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数 19】如图，在长方体且．证明：中，点分别在棱上，（1）当时，；20 / 45（2）证明：点 在平面内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【思路导引】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得即得结果；（2）只需证明 证明即可．即可，在 上取点 使得【解析】，进而可证平面，，再通过平行四边形性质进行（1）因为长方体，所以平面，因为长方体，所以四边形为正方形，因为平面，因此平面，因为平面，所以．21 / 45（2）在 上取点 使得，连，因为，因为在平面内．，所以 所以四边形所以四边形 为平行四边形，为平行四边形， ，因此【专家解读】本题的特点是注重空间线、面位置关系的判断，空间基本计算，本题考查了线线垂直的证明， 考查点与平面位置关系的证明，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是灵活掌握线 面垂直判定定理、线线平行判定定理等．6．【2020 年高考江苏卷 15】在三棱柱 的中点．中，，平面， 分别是 ，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】见解析【解析】（1）∵ 分别是 ， 的中点，∵，∵平面，平面，∵平面．（2）∵平面，面，∵，22 / 45又∵，，面，面，∵面，∵面，∵平面平面．【专家解读】本题的特点是注重空间线、面位置关系的判断，本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考 查直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是空间线线、线面、面面平行（垂直）的相互转化．【反馈练习】1．【2021 届四川省双流中学高三高考热身训练】已知点 是正方体 给出以下结论：的棱 的中点，△；△；△；△平面其中正确命题的序号是（ ）A．△B．△【答案】C【分析】C．△D．△23 / 45建立空间直角坐标系,根据空间中两个向量垂直则数量积为 0 逐个判定即可. 【详解】设正方体边长为 2,建立如图空间直角坐标系.则.对∵,,因为,故∵错误.对∵,,因为,故∵错误.对∵,,因为,故∵正确.对∵,由∵有不成立,故平面不成立.故∵错误.故选：C2．【内蒙古赤峰市 2020 届高三（5 月份）高考数学（理科）模拟】如图，一张纸的长、宽分别为，，四条边的中点分别是 ， ， ， ，现将其沿图中虚线折起，使得 ， ， ， 四点重合为 一点 ，从而得到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论：△该多面体是六面体；△点 到棱 的距离为；△平面；24 / 45△该多面体外接球的直径为，其中所有正确结论的序号是（ ）A．△△B．△△C．△△D．△△△【答案】D【分析】利用图形翻折，结合勾股定理，确定该多面体是以 ， ， ， 为顶点的三棱锥，利用线面垂直，判定 面面垂直，即可得出结论.【详解】解：结论∵中，长、宽分别为， ， ， ， ， 分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，，， ， ， 四点重合为一点 ，从而得到一个多面体， 如图，以 ， ， ， 为顶点的三棱锥，25 / 45故∵错误； 结论∵中，，，三角形是等腰直角三角形，所以点 到棱 的距离为，故∵正确；结论∵中，，，，所以平面，故∵正确；结论∵中，三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的外接球直径是长方体的体对角线.设长方体的三边为： ， ， ，可得，相加可得，该多面体外接球的直径为 所有正确结论的序号是：∵∵∵.，故∵正确.26 / 45故选：D.3．（多选）【海南省 2021 届高三年级第一次模拟考试】如图所示，在三棱锥 ， 为线段 的中点.则（ ）中，，且A． 与 垂直B． 与 平行C．点 到点 ， ， ， 的距离相等D． 与平面， 与平面所成的角可能相等【答案】AC【分析】由题设可证底面，作 中点 ，由中位线定理可证，易证，再由 为外心得 到三点距离相等， 为外心，可证点 到点 ， ， ， 的距离相等；结合正切定义可证 与平面， 与平面所成的角不相等【详解】过点 作，垂足为 ，连接 ，可得 为 的中点.因为，所以，所以平面，所以，从而 A 正确；由条件可知，而 与 有交点，因而 与 不平行，B 错误；27 / 45点是的外心，所以 到 ， ， 的距离相等，根据条件可知平面，从而平面，又因为 是的外心，所以 点到 ，， 的距离相等，所以点 到 ， ， ， 四点的距离都相等，C 正确；与平面所成的角即， 与平面所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D 错误.故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断， 线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法：（1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再 寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.4．（多选）【山东省实验中学 2020-2021 学年高三第一次诊断考试（10 月）】已知 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）是两个不重合的平面，A．若，则B．若，则28 / 45C．若 相等，则D．若【答案】BCD【分析】根据线、面的位置关系，逐一进行判断.【详解】，则 与 所成的角和 与 所成的角选项 A：若，则或，又，并不能得到这一结论，故选项 A 错误；选项 B：若，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得，故选项 B 正确；选项 C：若，则有面面平行的性质定理可知，故选项 C 正确；选项 D：若，则由线面角的定义和等角定理知， 与所成的角和 与 所成的角相等，故选项 D 正确.故选：BCD.5．【陕西省部分学校 2020-2021 学年高三上学期摸底检测文科】已知．a，b，c 是三条不同的直线， 是一个平面，给出下列命题：△若，则；△若，则；△若，则；△若，则．其中所有真命题的序号是_____．【答案】∵∵ 【分析】29 / 45根据线线，线面的位置关系分别判断选项，∵显然成立；∵将线线的位置关系放在正方体中研究问题；∵不 满足线面垂直的判断定理；∵根据线面垂直的性质定理判断选项.【详解】因为，所以，所以∵是真命题．如图，在正方体中，令，平面为平面 ，满足，但此时 a 与 c 相交，所以∵是假命题．满足，但直线，所以∵是假命题．，若过直线 b 作一个平面 与 相交，且交线为 l，则 ，因为 所有真命题的序号是∵∵．，所以，又 ，所以，故∵是真命题．综上可知，故答案为：∵∵6．【广西北海市 2021 届高三第一次模拟考试数学（文）】如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面平面，为等边三角形，且， 、 分别为棱 、 的中点.（1）求证：平面平面 ；30 / 45（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）利用面面垂直的性质定理推导出平面 ，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）计算出的面积以及 的长，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）因为，O 为 中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面 ，又平面，所以平面平面 ；（2）因为且， 分别为 的中点，所以，，，又平面 ，所以.【点睛】 方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，31 / 45组织论据证明即可.7．【2021 届全国著名重点中学新高考冲刺】如图 1，扇形的圆心角为 60°，半径为 3，点 ， 分别在线段 ， 上，且，将沿 折起到的位置，如图 2 所示.（1）求证：；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据，，利用余弦定理，可得，根据勾股定理，可得，根据翻折前后的关系，利用线面垂直判定定理，可得平面，即可得证.（2）过点 作平面，如图建系，分别求得平面、的法向量，利用向量法求得两个平面夹角的余弦值，即可求得答案.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理，，即，所以 所以，即，，，即，，32 / 45所以平面，又平面，所以（2）如图，过点 作平面，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，则，.设平面的法向量为，则令 ，则一条法向量.易知为平面的一个法向量，所以，所以，，33 / 45所以平面与平面所成角的正弦值为.8．【江西省鹰潭市 2021 届高三第二次模拟考理科】如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点 中点．的平面截去一个三棱锥(图一)得几何体(图二)，E 为 的(1)点 F 为棱 上的动点，试问平面与平面是否垂直?请说明理由；(2)设，当点 F 为 中点时，求锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1)利用直四棱柱的几何特征可知∵B1D1∵平面 CEA1，从而平面平面CEA1 ∵(2) 分别以所在直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面与平面 F 的法向量，代入公式即可得到锐二面角的余弦值．【详解】（1）平面平面，证明如下：连接 AC，BD 相交于点 O， 因为底面 ABCD 为菱形，所以 AC∵BD，34 / 45又因为直四棱柱上下底面全等，所以由 AC∵BD 得，又因为 CB=CD，，所以 CB1=CD1.因为 E 为 B1D1 的中点，所以，又，所以 B1D1∵平面 CEA1，又因为平面，所以平面平面 CEA1.（2）连接 OE，易知 OE∵平面 ABCD，所以 OB，OC，OE 两两互相垂直，所以分别以所在直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则 O（0，0，0），设平面的法向量为，则.（7 分），35 / 45令所以.同理设平面 F 的法向量为令 所以 所以. ，，则 ，,所以所求的锐二面角的余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点 的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组 求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.9．【广东省 2021 届高三上学期新高考适应性测试（一）】如图，E 是以 AB 为直径的半圆 O 上异于 A、B 的 点，矩形 ABCD 所在的平面垂直于半圆 O 所在的平面，且 AB=2AD=2.36 / 45（1）求证：；（2）若异面直线 AE 和 DC 所成的角为 ，求平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】(1) 由面面垂直的性质可证得.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证；(2)以点 为坐标原点， 所在的直线为 轴，过点 与 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系 .由二面角的向量求解方法可求得平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1) ∵平面垂直于圆 所在的平面，两平面的交线为平面，∵ 垂直于圆 所在的平面.又 在圆 所在的平面内，∵.∵是直角，∵，又，∵平面，∵.(2)如图， 以点 为坐标原点， 所在的直线为 轴，过点 与 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系.37 / 45由异面直线 和 所成的角为 ，，知，∵，∵，由题设可知，，∵，.设平面的一个法向量为，由，即得，，取，得.∵.又平面 的一个法向量为，∵.平面与平面 所成的锐二面角的余弦值 .38 / 4510．【广西南宁三中 2020 届高三数学（理科）】如图 1，在直角中，平面， ， 分别为 ， 的中点，连结 并延长交 于点 ，将平面，如图 2 所示.，，沿 折起，使（1）求证： （2）求平面； 与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2） .【分析】∵1∵根据条件证明平面即可；∵2∵建立空间直角坐标系，写出坐标，利用公式计算二面角余弦值即可.【详解】（1）证明：由条件可知，而 为 的中点，∵，又平面平面，平面平面，且平面 ，∵平面，又因为平面，∵.（2）由（1）可知， ， ， 两两相互垂直，39 / 45如图建立空间直角坐标系，则，，，，，易知面的法向量为设平面的法向量为，则：，即令 ，则，，设平面与平面所成锐二面角为 ，则.11．【湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校 2020 届高三（5 月份）数学（理科）模拟】如图△四边形为矩形， 、 分别为 、 边的三等分点，其中，，以 为折痕把四边形折起如图△，使面面．40 / 45图△ （1）证明：图△中 （2）求二面角图△ ； 的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2） .【分析】 （1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质以及判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】 （1）连接∵，，，∵，∵．∵面面，面∵面面，∵∵，，∵面面∵．面 面，面41 / 45（2）以 ， 分别为 ， 轴建立如图坐标系．则，，，， 中点∵，∵∵，，设面 的法向量为，∵令，，，∵．设面的法向量为，∵令，，，∵∵由图可知，二面角为钝角∵二面角的余弦值为42 / 4512．【河南省许昌市、济源市、平顶山市 2020 届高三数学（理科）第三次质检】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，.（1）求证：；（2）当直线 与平面所成角为 时，求二面角平面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 、 ，推导出，，可证得直线平面，进而可证得；（2）证明出平面，然后以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设，利用直线 与平面所成的角为 求出 ，然后利用空间向量法可求得二面角的平面角的大小.【详解】（1）取 的中点 ，连接 、 、 ，43 / 45， 为 的中点，.四边形是菱形，且，是正三角形，则.又，平面.又平面，；（2），平面平面，交线为 ，平面.又平面，，、 、 两两互相垂直.以 为原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，面，即为 与面所成角，在正三角形中，，假设，则.、、、.，，.设面的法向量为，则不妨取，则.， ..44 / 45同理，设面的法向量为，则不妨取，则， 平面.平面， 二面角. 平面角为 .45 / 45。
立体几何证垂直的方法
立体几何证垂直的方法垂直是立体几何中一个非常重要的概念，常常用于判断两个直线、两个平面或者一个直线和一个平面之间的关系。
本文将介绍几种常见的方法来证明两个线段、两个直线、两个平面或者一个线段和一个平面之间的垂直关系。
1. 定义证明法：垂直可以通过定义来证明。
垂直的定义是：两条直线相交，互相垂直。
这个定义可以用来判断两条直线之间是否垂直。
如果已知两条直线相交，并且相交角度为90度，则可以得出两条直线垂直的结论。
2. 重叠线证明法：当两个线段的一个端点重合，并且两个线段的另一个端点也重合时，可以得出这两个线段垂直的结论。
这是因为，当两个线段垂直时，它们的端点将构成一个直角，而直角的两条边重合时，会得到一个重叠的线段，从而可以推出两个线段垂直。
3. 垂直性质证明法：根据垂直性质来证明两个直线或者平面之间的垂直关系。
例如，两个直线垂直的性质之一是：直线的斜率相乘为-1。
如果已知两个直线的斜率，且斜率的乘积等于-1，则可以得出这两条直线垂直的结论。
类似地，两个平面之间垂直的性质之一是：平面上两个垂直的直线在平面上的投影线也垂直。
如果已知两个平面上的直线的投影线垂直，则可以得出这两个平面垂直的结论。
4. 垂直线性等式证明法：当两个线段、直线或平面上的点坐标可以满足垂直线性等式时，可以证明它们之间的垂直关系。
例如，对于两个直线L1:y = a1x + b1和L2:y = a2x + b2，如果它们的斜率满足a1 * a2 = -1，则可以得出这两条直线垂直的结论。
5. 三角形几何证明法：在三角形中，垂直性质也可以用来证明两个线段或直线之间的垂直关系。
例如，如果一条线段平分了一个角，并且与另一条线段垂直相交，那么可以得出这两个线段垂直的结论。
同样地，如果一个直角三角形中的两条边互相垂直，那么可以得出这两条边垂直的结论。
总结起来，证明垂直关系的方法有很多种，包括基于定义、重叠线、垂直性质、线性等式和三角形几何的方法。
微专题3 立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
微专题3 立体几何中的平行与垂直问题（解析版）题型一、线面平行与垂直证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线。
例1、如图，在四棱锥P ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面P AB.【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点，所以MN∥AD又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC.(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD.又MD⊂侧面P AD，所以AB⊥MD.因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A.又P A，AB在平面P AB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB【类比训练】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 求证：BB1⊥AC.解答(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分)因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以BB1⊥平面ABC.(12分)因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)例2、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.解答(1)连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点．(2分)在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.又因为DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1.(6分)(2)由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，所以BC1⊥DE.(8分)又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE⊂平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.又因为AE⊂平在ADE，所以AE⊥BC1.(10分)在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，所以AE⊥BC.(12分)因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，BC⊂平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1. (14分)【类比训练】三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BD⊥平面ACE.解答(1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EF∥BC，(3分)因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.(6分)(2)因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD所以AC⊥平面BCD，(8分)因为BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)因为DC＝BC，E为BD的中点，所以CE⊥BD，(12分)因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
(完整版)立体几何证明垂直专项含练习题及答案.doc
精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。
2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。
4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。
高三数学一轮复习立体几何中垂直的证明讲义
立体几何中垂直证明一、 “垂直关系”常见证明方法1直线与直线垂直的证明1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。
1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。
1.3 利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
1.5 利用常用结论：① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。
② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。
2 直线与平面垂直的证明2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。
2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：bβαlb l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂⊥βαβαβαba ⊥⇒ca ba ⊥∥cb ⊥⇒baαcabαα⊥⊂b a ab ⊥⇒αb αα∥b a ⊥ba ⊥⇒一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
2.4 利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.5 利用常用结论：① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。
3 平面与平面垂直的证明3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
3.3 利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
高中立体几何证明线垂直的方法(学生)
高中立体几何证明线垂直的方法(学生)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.MarchPEDC BA高中立体几何证明线线垂直方法（1）通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,//1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC.2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且12DF AB =,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。
（1）证明：PH ABCD ⊥平面；（2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面.E FACDP（第2题4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD 。
证明: BE PDC ⊥平面;5.在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；6.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º 证明：AB ⊥PC（3）利用勾股定理7.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1, 2.PA CD PA PD ⊥==求证:PA ⊥平面ABCD ；_ P ACBPCADO8.如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ；（2）求证：⊥BC 平面BDE ；图1图29.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；10.如图，四棱锥S-ABCD 中，BC AB ⊥,CD ⊥BC ，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．M AFBCDE M E D C（Ⅰ）证明：SAB 面 SD ;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．（4）利用三角形全等或三角行相似11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点. 求证：D1O⊥平面MAC.12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；13.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；（5）利用直径所对的圆周角是直角14.如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC . （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.O AC BP.15.如图5，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径2AB =,C 是狐AB 的中点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC ;16.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，Array PA⊥平面ABCD．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．B求证：平面ABM⊥平面PCD；。
2023届高三数学一轮复习专题 立体几何垂直系统 讲义 (解析版)
高三数学第一轮复习专题 垂直系统专题第一部分 直线与平面垂直的判定及性质一。
线面垂直的定义：l l αα若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称直线与平面垂直.记作：l α⊥。
l 直线叫做α平面的垂线，α平面叫做l 直线的垂面。
（★★★）线面垂直的定义可以作为线面垂直的性质定理使用： 若l 直线与α平面垂直，则l 直线与α平面内任意一条直线都垂直。
,l a l a αα⊥⊂⇒⊥ ⇒线面垂直线线垂直二。
线面垂直的判定定理：1。
判定定理1：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。
（★★★）⇒线线垂直线面垂直,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂⋂=⊥⊥⇒⊥两个核心条件：,l a l b ⊥⊥2。
判定定理2：若两平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
（★★）a ∥b ，a α⊥b α⇒⊥三。
线面垂直的性质定理：1。
性质定理1：垂直于同一平面的两直线平行。
a α⊥，b α⊥a ⇒∥bα2。
性质定理2：垂直于同一直线的两平面平行。
l α⊥，l β⊥⇒α∥β题型一：线线垂直与线面垂直的互相证明 ★★★★★判定定义线线垂直线面垂直这两个定理（定义）构成了一个很重要的小循环：⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅线线垂直线面垂直线线垂直线面垂直例1。
P 为ABC 所在平面外一点，PA ABC ⊥平面，090ABC ∠=，AE PB E ⊥于，AF PC F ⊥于。
求证：PC AEF ⊥平面。
（★★）规律：常用线面垂直来证明两直线“异面垂直”。
已知的是相交垂直，要证的是异面垂直。
分析：从后往前分析。
要证()PC AF PC AEF PC AE AE PBC ⎧⊥⎪⊥⇐⎨⊥⇐⊥⎪⎩已知平面平面 α()090AE PB BC AB ABC AE BC BC PAB BC PA PA ABC ⎧⊥⎪⎪⇐⎨⎧⊥⇐∠=⎪⊥⇐⊥⇐⎨⎪⊥⇐⊥⎩⎩已知平面平面 但写证明过程时要从前往后写。
高中数学学业水平测试复习专题三立体几何初步第14讲垂直关系课件
解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才 能l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥
α得n⊥a，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，
再由n⊥α⇒l∥n.故④正确. 答案：①③④
9．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝ 1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
(2)解：因为AB＝AA1＝2，BC＝ 5，所以AC＝A1C1 ＝1，
由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，所以VC－ABA1＝
1 3
S△
ABA1·A1C1＝13×2×1＝23.
剖析：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定 定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面 平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)判定定理与性质定理.
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面经
过另一个平面的 判定
一条垂线，那么 定理
这两个平面互相
l⊂β，l⊥α⇒α⊥β
垂直
性 如果两个平面互相垂 质 直，那么在一个平面内 定 垂直于它们交线的直 理 线垂直于另一个平面
β⊥α，α∩β ＝a，l⊂β， l⊥a⇒l⊥α
1．直线与平面垂直的判定与性质 【例1】如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝
(3)解：线段 A1B 上存在点 Q， 使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下： 如图所示，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q， 则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC，
所以 DE∥PQ， 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知，DE⊥平面 A1DC， 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， 所以 A1C⊥DP，
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立体几何专题三：垂直证明题型及方法
基础知识梳理
一个关系：线线垂直 线面垂直 面面垂直；
三类证法
(1)证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . (2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1：
⎭⎪⎬⎪
⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)证明面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
1.共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）
（1）等腰（等边）三角形中的中线 （2）菱形（正方形）的对角线互相垂直
（3）勾股定理中的三角形
（4） 利用相似或全等证明直角。
2.异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）
例 1.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．
证明：AD PB ⊥；
变式1：如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点
重合于'A . 求证:'A D EF ⊥；
变式2：如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC
类型二：线面垂直证明
方法○1 利用线面垂直的判断定理
例2.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：
1A O BDE ⊥平面
变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为
BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；
B
E
'A
D
F
G
P
C
B
A
D
E
变式2 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，
AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC =
求证：BD ⊥平面PAC
○
2 利用面面垂直的性质定理 方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。
例3.在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且
PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面
类型3：面面垂直的证明。
(本质上是证明线面垂直)
例4.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，
(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2． 求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；
小题训练
1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：
①
M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭
⎬⎫
⊥b a M a //b ⊥M .
A
B
C
D
E
F
其中正确的命题是 ( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这
个平面
3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )
A.DP⊥平面PEF
B.DM⊥平面PEF
C.PM⊥平面DEF
D.PF⊥平面DEF
第3题图
4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m
D.α∥β且α⊥γ
6.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
7.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )
A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合
B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合
C.α与β必相交且交线m与d一定不平行
D.α与β不一定相交
8..设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m
∥l，则m⊥α，
其中真命题
．．．的序号是 ( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④。