高一数学必修四课件(1[1].2.1-1任意角的三角函数)

1.2
任意角的三角函数
1.2.1
任意角的三角函数
第一课时
问题提出
1.现在我们是怎样认识角这一数学概念 的，包括哪些情形？
（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形. （2）按逆时针方向旋转形成的角为正角， 按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有 作任何旋转形成的角为零角.
4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关，与点P（x，y）在终边上 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化，即角的终边绕原点每旋转 一周，函数值重复出现.
作业：
P15 练习：1，2，5(2)(4)，
9 4
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小结作业
1.三角函数都是以角为自变量，在弧度 制中，三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基 础，三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等，都是在此基础上推导出来的.
3.若已知角α的一个三角函数符号，则 角α所在的象限有两种可能；若已知角 α的两个三角函数符号，则角α所在的 象限就惟一确定.
知识探究（一）：任意角的三角函数 思考1：为了研究方便，我们把锐角α 放到直角坐标系中，并使角α 的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α 的终边上取一点P（a，b）,设点 P与原点的距离为r，那么，sinα ， cosα ，tanα 的值分别如何表示？
sin cos tan
（3）角的大小是任意的.
b = a + 2k p (k
Z)
2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎 样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. （2）180°＝ rad.
3. 与角α 终边相同的角的一般表达式 是什么？
β =α ＋k·360°（k∈Z）或 b = a + 2k p(k Z )
cos 思考7：对应关系 sin y ， x ， y tan ( x 0) 都是以角为自变量，以单位圆
x
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数， 分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数， 并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三 角函数的定义域分别是什么？ 正、余弦函数的定义域为R， 正切函数的定义域是 {a
思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两 种，三角函数是哪一种对应形式？
理论迁移
例1 求
5 3
5 3 的正弦、余弦和正切值.
y x O
1 P( ,2 3 ) 2
y x O
P（－3，－4）
例2 已知角的终边过点P（－3，－4）， 求角的正弦、余弦和正切值.
例3 求证：当且仅当不等式组
sin 0 tan 0
b A sin y r P(a，b) a r cos r α b Bx o tan a 思考2：对于确定的角α ，上述三个比值 是否随点P在角α 的终边上的位置的改变 而改变呢？为什么？
b a a r
思考3：为了使sinα ，cosα 的表示式更 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 此时，sinα ，cosα 分别等于什么？
4.如图，在直角三角形ABC中，sinα ， cosα ，tanα 分别叫做角α 的正弦、余 弦和正切，它们的值分别等于什么？
BC sin a = AB
BC t an a = AC
AC cos a = AB
B α
C
A
5.当角α 不是锐角时，我们必须对 sinα ，cosα ，tanα 的值进行推广， 以适应任意角的需要.
sin y
cos x
y tan ( x 0) x
α 的终边
y
P(x，y)
O
x
思考2：设α 是一个任意的象限角，那么 当α 在第一、二、三、四象限时，sinα 的取值符号分别如何？cosα ，tanα 的 取值符号分别如何？
sin y
cos x
y tan ( x 0) x
喂R | a p + k p, k 2 Z}
思考8：若点P（x，y）为角α 终边上任 意一点，那么sinα ，cosα ，tanα 对应 的函数值分别等于什么？
sin
tan y x
y x y
2 2
y
cos
x x y
2 2
O
x
P(x，y)
y tan x
知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考1：当角α 在某个象限时，设其终 边与单位圆交于点P（x，y），根据三 角函数定义，sinα ，cosα ，tanα 的 函数值符号是否确定？为什么？
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
kZ
kZ
2p
思考6：若sinα =sinβ ，则角α 与β 的 终边一定相同吗？
思考7：在求任意角的三角函数值时，上 述公式有何功能作用？
2p
可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2p （或0°～360°)范围内的三角函数值.
思考3：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如下表：
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
cos
sin
cos sin
+ + +
+ － －
－ － +
－
+
cos
tan
－
你有什么办法记住这些信息？
思考4：如果角α 与β 的终边相同，那么 sinα 与sinβ 有什么关系？cosα 与cosβ 有 什么关系？tanα 与tanβ 有什么关系？ 思考5：上述结论表明，终边相同的角的同 名三角函数值相等，如何将这个性质用一组 数学公式表达？ 公式一： sin( 2k ) sin
sin b
y
cos a
b tan a
o
1
α
P(a，b)
x
思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆 心，以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角α 的终边上一点P，要使|OP|=1， 点P的位置有什么特征？
α 的终边
y
P
O
x
思考5：设α 是一个任意角，它的终边 与单位圆交于点P（x，y），为了不与 当α 为锐角时的三角函数值发生矛盾， 你认为sinα ，cosα ，tanα 对应的值 应分别如何定义？
成立时，角θ 为第三象限角.
tan( （1）cos 250 ;（2）sin( ) ;（3） 672 ) ; 4

例4 确定下列三角函数值的符号.
（4） 3 ; tan
• 例5 求下列三角函数值 • （1）sin1480010′
9 cos • （2） 4 11 • （3) tan( 6 )
sin y
cos x
α 的终边 P(x，y)
y
O
x
y tan ( x 0) x
思考6：对于一个任意给定的角α ，按 照上述定义，对应的sinα ，cosα ， tanα 的值是否存在？是否惟一？
sin y
cos x
α 的终边
P(x，y)
y
O
x源自文库
y tan ( x 0) x