2012年四川初中数学竞赛初赛试题及答案

2012年四川初中数学竞赛初赛试题
．选择题(每小题7分，共42分)
．若x＜1，则化简|x－1|得()．
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋1
．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于()．
A．－2 B．－1 C．1 D．2
．若a＜0，p＞q＞0，则()．
A．|pq|＞|qa| B．|pq|＜|qa| C．a a
p q
>
D．
p q
a a
<
．已知凸四边形ABCD对角线交于O，满足AO＝OC，BO＝3OD，若△ADO的面积为1，则凸四边形ABCD的面积为()．A．4 B．6 C．8 D．10
．若|a－1|＋|a－2|＜3，则a的取值范围是()．
A．a＜0 B．0＜a＜3 C．3＜a D．1＜a＜2
在凸四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝2CD＝
，则AB＝()．A．4
B．
C．6 D．
．填空题(每小题7分，共28分)
．如果每人工作效率相同，a个人b天共做c个零件，那么要做a个零件，b个人需要的天数是＿＿＿．(用含a、b、c的代数式表示)
．若a=，则
2
2
1
a
a
+
的值为＿＿＿＿＿．
．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．
．P为矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD的长等于＿＿＿＿．
．计算与应用(本题满分20分)
．已知直线y＝kx＋b经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x轴、y轴的交点分别为C、D．设O为坐标原点，求△COD的面积．
．(本大题满分25分)
．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．
求证：BC＝AC＋AD．
．(本大题满分25分)
把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的
平均数都分别比原来的减少了1
2．求两组数原来的平均数．
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C
，D的
四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1、如果2
a=-+
1 1
1
2
3a
+
+
+
的值为【】
（
A）（B
（C）2 （D）
解：B ∵213+=+a ∴
1231-=
+a
，12312+=
++
a
，
123121-=
++
a
因此原
式=2
2、 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式y x y x 2222+≤+的整数点坐标（x ，y ）的个
数为【 】（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：B 解法一：y x y x 2222+≤+化为()()2112
2
≤-+-y x
因为x 、y 均为整数，因此()()0112
2
=-+-y x 或()()1112
2
=-+-y x 或
()()2112
2=-+-y x
分别解得⎩⎨
⎧==1
1y x 或⎩⎨
⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==2
1y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨
⎧==02
y x 所以共有9个整点
解法二：y x y x 2222+≤+化为()()2112
2
≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为
半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），
（2,1），（2,2）
3、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30A D C ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为【 】
（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5
解：图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ． 由于AC = BC ，CD = CE ，
BC D BC A AC D D C E AC D AC E ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ． 又因为30A D C ∠=︒，所以90A D E ∠=︒．在R t △ADE 中，53AE AD ==，，
于是DE=
4=，所以CD = DE = 4．
4、如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【 】（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 解：C ∵p 、q 是正整数∴042
>+=∆q p ，021<-=⋅q x x ∴正根为
32
42
<++q p p
解得p q 39-<∴⎩⎨
⎧==11
q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12
q p ，⎩⎨
⎧==22q p 5、黑板上写有1，12
，
13
，…，
1100
共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个
数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩
下的数是【 】（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 解：C 1)1)(1(-++=++b a ab b a ∵计算结果与顺序无关 ∴顺次计算得：21)12
1)(
11(=-++，31)13
1)(
12(=-++，41)14
1)(
13(=-++，……
1001)1100
1)(
199(=-++
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，
111109
a b
b c
c a
+
+
=+++，那么
a b c b c
c a
a b
+
+
+++的值为 ．
解
：
7
在
910111=++++
+a c c
b b a 两
边乘以9=++c b a 得
103=++
++
++
a c b
c b a
b
a c
即
7=++
++
+a
c b
c b a b a c
7、如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以O A 为对角线作矩形O B A C ，且12O C =．延
长B C ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则C E B D -的值等于 28
5 ．
解：如图，设D E 的中点为M ，连接O M ，则O M D E ⊥．
因为16OB =
=，所以16124820
5
O B O C O M B C
⋅⨯=
=
=
，
36645
5
C M B M =
=
=
，．
C E B
D EM C M D M BM -=---（）（）643655BM C M =-=-285
=．
8、设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 .
解：1600()()()953332422
222++=-+=+++-n n n n n n n n
因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n 240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数
9、如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）
是三角形数．若a b c （，，）和111a b c
（，，）
均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c
的取值范围是 .
解：
12
5
3≤<
-c
a
依题意得：⎪⎩⎪
⎨⎧>
+>+a c b c
b a 111，所以a
c b ->，代入（2）得
c a c c b
a 1
1
111+-<
+<，两边乘以a 得
c
a a
c a +-<
1即
a
c a c
a c -<
-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2
c 得
0132
<+-⎪
⎭⎫
⎝⎛c a c a 所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤c a 综合得125
3≤<
-c a
10、已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22
a b n =+成立，则
这样的n 的个数为 ． 解：依题意得
()()
b a b a b
a n -+=-=2
2
由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个
但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=， 8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，
16432264⨯=⨯=
12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=
这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，8A O =，A B A C =，4sin 5
A B C ∠=
．C D 与y 轴
交于点E ，且C O E AD E S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．
解：因为sin ∠ABC =45
A O A B
=，8A O =，所以AB = 10．
由勾股定理，得6BO =
=．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．
于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由C O E AD E S S =△△，得
C D B AO B S S =△△．
所以 112
2
BC n AO BO ⋅=⋅，1112()862
2
n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-． 因此D 为AB 的
中点，点 D 的坐标为(34)-，． 因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△ABC 的
重心，所以点E 的坐标为8
(0)3-，
． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得 a =
27
2． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为
2
2827
3
y x =
-
．
12、如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心.
求证：
（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB ＋AD ＝2BD.
（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知 C ID IA D ID A ∠=∠+∠，
C D I C D B B D I B A C ID A IA D ID A ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以C ID C D I ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ．
故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，
所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线．
（2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BC
C D =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ．
又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==．故2AB AD BD +=．
13、给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由． 解：
14、将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．
解：当1621n =-时，把23n ，　，　，分成如下两个数组：
{}8
8
16
2322121+- ，
　，　，　，　，　和{}8
4521- ，　，　，　． 在数组{}8
8
16
2322121+- ，　，　，　，　，　中，由于3
8
8
2
16
32221<>-（
，），
所以其中不存在数a b c ，，，使得b
a c =．
在数组{}84521- ，　，　，　中，由于48421>-，
所以其中不存在数a b c ，，，使得b
a c =． 所以，16
2n ≥．
下面证明当16
2n =时，满足题设条件．
不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同
理可设4842=在第一组，8216
(2)2=在第二组．
此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8
282a b c ===，
，，此时b
a c =；如果8在第二组，我们取16482a
b
c ===，
，，此时b
a c =． 综上，16
2n =满足题设条件．
所以，n 的最小值为162．
注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。