第五章 停留时间分布与反应器的流动模型
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E (t ) c(t )
响应（输出）曲线
黄 国 文 制 作
Qc (t ) E (t ) m
m Qc (t ) dt
0
c(t )dt
0
m 为示踪剂 的加入量
8
停留时间分布的测定
3. 升阶法
主流体Q0
系
统
Q
c(t ) F (t ) c ( )
含示踪剂的流 体（C(∞) ）
c0(t)
输入曲线
黄 国 文 制 作
c(t)
响应曲线
0
0 t Q c0 1 F t Q ct
t=0
t
10
脉冲法的特点 由实验数据直接求得E(t) 示踪剂用量少 示踪剂瞬间加入困难 阶跃法的特点 由实验数据直接求得F(t) 示踪过程易于实现 示踪剂量大 由F(t)求E(t)涉及求导的数值计算
升阶法
t
2. 方差
t (t t ) 2 E (t )dt
2 0
T
0
1 ct dt 2 2 t c
0
dt t 2 t 1 ct c
降阶法
2
黄 国 文 制 作
t E (t )dt t
黄 国 文 制 作
12
停留时间分布的统计特征值
不同流型的停留时间分布规律可用随机函数的数字特征来表 述，如“数学期望”和“方差”。
1、数学期望 (平均值)
数据均值相同，但分散度可能不同
2、方差 (分散度)
黄 国 文 制 作
13
⑴ 数学期望 t (平均停留时间)
定义：
E (t )
面积重心
t
2 t
0
(t t ) E(t)dt
2
0
E(t)dt
(t t ) E(t)dt t E(t)dt t
2 2 0 0
2
因次：[时间]2
黄 国 文 制 作
t dF (t ) t
2 0
1
2
2 方差 物理意义： t 反映停留时间分布的离散程度 2 ，停留时间分布就越宽 t t2
3
停留时间分布
1.基本概念
闭式系统 停留时间分布 年龄分布：对存留在系统的粒子而言，从进 入系统算起在系统中停留的时间。 寿命分布：流体粒子从进入系统起到离开系 统止，在系统内停留的时间。 停留时间分布理论的应用
黄 国 文 制 作
进口
系统
出口
对现有设备进行工况分析
建立合适的流动模型，进行非理想反应器的计算
0.8
1.2
θ
1.6
2.0
0
固定床反应器的实测E(θ)曲线 理想：
有滞流区的釜式反应器的E(θ)
θ
E(θ)=δ(θ-1)
1 0 1
理想：
θ=0时， E(θ)=1
29
2. 存在沟流与短路
沟流：固定床、填料塔以及滴溜床反应器中，由
于催化剂颗粒或填料装填不均匀，从而造成一 个低阻力通道，使得一部分流体快速从此通道 流过而形成 短路：流体在设备内的停留时间极短
黄 国 文 制 作
活塞流反应器不改变输入信号的形状，只将其信号平 移一个位置
19
理想反应器的停留时间分布
1. 活塞流模型
E(t)
(t )
(t t )
1.0
E( t ) = (t - t )
F (t )
0, (t t ) F (t ) 1, (t t )
0
黄 国 文 制 作
21
全混流模型 Q0
示踪 响应
停留时间分布特征：
c
Q0
c0
Vr
c
t 0
阶跃示踪测定： 阶跃示踪
t
dt时间内
黄 国 文 制 作
示踪剂加入量 Q0c0dt
流出量 Q0cdt
累积量 Vrdc
物料衡算： 输入量＝输出量＋累积量 即 Q0c0dt = Q0cdt + Vrdc
22
全混流模型
全混流
E(t) 1
e t/ F(t) 1 e t/
E 0 0 1 F( ) 1 1
E e
F 1 e
t
t
黄 国 文 制 作
1
2
1
0
黄 国 文 制 作
• 凡不符合理想流动状况的流动，都称为非理想流动。
27
流体偏离理想流动的原因： 滞流区的存在 存在沟流与短路 循环流 扩散 流体流速分布不均匀
沟 流
黄 国 文 制 作
Short circuiting
Dead zone
存在死区和短路现象 回 流
u 存在速度分布
存在沟流和回流
28
1. 滞流区的存在
4
停留时间分布
2.停留时间分布的定量描述
E(t) = 0 t <0 E(t)≥ 0 t≥0
E (t )dt 1
0
归 一 化 条 件
黄 国 文 制 作
停留时间分布密度函数E (t)
5
停留时间分布
2.停留时间分布的定量描述
dF (t ) F (t ) E (t ) dt E (t ) dt 0
2 t
返混为0
t2 2 2 1 返混最大
26
非理想流动：
0 t2 2 0 2 1
• 前面讨论活塞流反应器和全混流反应器，在这两类 反应器中，流体的流动为理想化的极端情况。但实 际反应器内流体的流动状况与上述情况不完全相同， 介于两者之间。 • 器内流体处于非理想流动状况的反应器称为非理想 反应器。
0
tE(t)dt E(t)dt
0
tE(t)dt tdF(t)
0
1
0
t
其物理意义：为 E(t) 曲线的分布中心， 即E（t） ~ t 曲线所围面积的重心在t坐 标轴上的投影
黄 国 文 制 作
因次：时间
14
⑵ 方差
2
方差用来表示随机变量的分散程度，是描述停留时间分布的 重要参量。在数学上它表示E(t)曲线对于平均停留时间的二 2 次矩 (t t ) ：
2 0
t
T
0
ct dt t2 2 c0
T
0
tc(t ) 2 dt t c0
16
空时τ和平均停留时间 的关系
Vr Q
黄 国 文 制 作
对于恒容稳定流动系统: t
17
理想反应器的停留时间分布
理想反应器的流动模式 ---- 平推流 和 全混流
平推流
c(∞) c(∞)
检测器
c0(t)
输入曲线
黄 国 文 制 作
c(t)
响应曲线
t=0
0
t
0
t
9
Q c F t Q ct
停留时间分布的测定
4. 降阶法
主流体Q
系
统
Q
1 F (t )
c (t ) c ( 0)
含示踪剂的流 体（C(0) ）
c(0) c(0)
检测器
dc Vr Q0c0 Q0c dt
Vr/Q0 = τ (空时)
dc 1 1 c0 c dt
积分
初值条件：t = 0， c = 0
c 0
dc 1 c0 c
t 0
dt
黄 国 文 制 作
c0 c t ln c0
c 1 e t/ c0
23
全混流模型 得 1 e
u = const
间 歇 釜
全 混 釜
返混：不同停留时间的流体粒子之间的混合。 理想的平推流和间歇釜停留时间均一，无返混。
黄 国 文 制 作
全混釜反应器的返混最大，出口物料停留时间分布与釜 内物料的停留时间分布相同。
18
理想反应器的停留时间分布 活塞流模型：（平推流模型）
1. 基本假设 ：① 径向流速分布均匀； ② 径向混合均匀 ； ③ 轴向上，流体微元间不存在返混； 2. 特点：所有流体微元的停留时间相同，同一时刻进入反应器 的流体微元必定在另一时刻同时离开 。经历相同的温度、浓 度变化历程
第五章 停留时间分布 与反应器的流动模型
黄 国 文 制 作
1
本章内容
停留时间分布
停留时间分布的实验
停留时间分布的统计特征值
理想反应器的停留时间分布
非理想流动现象
非理想流动模型和非理想反应器的计算
黄 国 文 制 作
2
黄 国 文 制 作
• 重点掌握： 停留时间分布的实验测定方法和数据处理。 理想反应器停留时间分布的数学表达式。 返混的概念。 非理想流动模型（离析流模型、多釜串联模型和扩散模型） 的模型假定与数学模型建立的基本思路，模型参数的确定。 利用扩散模型和多釜串联模型的反应器计算。 • 深入理解： 停留时间分布的概念和数学描述方法。 停留时间分布的数字特征和物理意义。 • 广泛了解： 流动反应器中的微观混合与宏观混合及其对反应器性能的影 响
t/
F (t )
1
c c0
由F(t)定义： c( t ) c F(t) 1 e t/ c( ) c 0
dF( t ) 1 t/ E(t) e dt
t F (t ) E (t )dt
E (t )
1/ t t t
出口响应
24
无因次：
黄 国 文 制 作
，停留时间分布越集中
15
停留时间分布的统计特征值
1. 平均停留时间
脉冲法
t
t
0 0
tE (t )dt E (t )dt
tE (t )dt
0
c(t )dt
0 0
tc(t ) dt
t2
0
T
t 2c(t )dt c(t )dt
(t ) 2
0
11 11
黄 国 文 制 作
停留时间分布的测定一般采用示踪技术，示踪剂选用易检 测其浓度的物质，根据其光学、电学、化学及放射等特性， 采用比色、电导、放射检测等测定浓度。
选择示踪剂要求：
1) 与主流体物性相近，互溶，且与主流体不发生化学反应；
2) 高低浓度均易检测，以减少示踪剂的用量；
3) 示踪剂的加入不影响主流体的流动形态； 4)示踪剂应选择无毒、不燃、无腐蚀且价格较低的物质。
4. 扩散
黄 国 文 制 作
t
由于分子扩散及涡流扩散的存在而造成了流体微 元间的混合，使停留时间分布偏离理想流动状况
32
5. 流体流速分布不均匀
若流体在反应器内径向流速不均匀（如层流流动），其与活塞 流的偏离十分明显。层流流速分布呈抛物线状，可由径向 抛物线分布导出层流反应器的停留时间分布密度函数 特征：停留时间小于平均停留时间一半的流体粒子为零。
定义：滞流区是指反应器中流体流动慢至几乎不流动的 区域，故也叫死区 Vr 特征：停留时间分布密度函数E(θ)曲线拖尾很长 t Q0 位置：滞流区主要产生于设备的死角中
E(θ) 2
拖尾很长
E (θ) 1
有滞流区θ=0时，
E(θ)>1
全混流θ=0时， E(θ)=1
10
黄 国 文 制 作
0.4
t
Vr t 封闭系统，ρ ＝常数 Q t (0 ~ ) t E (t ) dt E ( ) d
黄 国 文 制 作
停留时间分布函数F (t)
dt E ( ) E (t ) t E (t ) d F ( ) F (t ) 6
停留时间分布的测定
1. 实验方法概述
F(θ)=1－e－θ E(θ)= e－θ
全混流模型
1/τ E(t)
t=0, E(0)=1/τ
F(t) 1
0.632
0
t
0
t
t
数字特征值
Vr t Q0
0
e d 1
黄 国 文 制 作
2 t
2
2 1 说明返混最大
25
活塞流
, t t 0, (t t ) F (t ) E( t ) = 1, (t t ) 0, t t
t=0
t t
t
( 1)d |1 1
0
0
t
t
黄 国 文 制 作
θ 2 ( 1)d 1 2 |01 1 0
2 0
返混为020
理想反应器的停留时间分布 全混流模型
1.假定：新鲜物料进入反应器后，与反应器内原有物料能在瞬 间达到完全的混合。 2.特征：反应器内任何地方，流体的性质都是均匀一致的，并 且与出口流体的性质相同。 返混最大： 流体粒子的停留时间参差不齐
脉冲法：
脉冲法
升阶法
简单、示踪剂用量少， 可直接测出停留时间分 布密度函数； 要求输入理想脉冲。 阶跃法
阶跃法－
降阶法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
周期输入法
黄 国 文 制 作
操作容易；
示踪剂用量大，直接 测出的是停留时间分布 函数。
7
停留时间分布的测定
2. 脉冲法
c0(t)
输入曲线
m E t dt Q ct dt
黄 国 文 制 作
Vr t Q0
特征：停留时间分布密度函数E(θ)曲线存 在双峰
30
黄 国 文 制 作
（a）沟流，
（b）短路
31
3. 循环流
在实际的釜式反应器、鼓泡塔和流化床反应器中都存 在着不同程度的流体循环运动
特征：停留时间分布密度函数E(θ)曲线存在多峰
E (t)
存在循环流时的 E（t）曲线
响应（输出）曲线
黄 国 文 制 作
Qc (t ) E (t ) m
m Qc (t ) dt
0
c(t )dt
0
m 为示踪剂 的加入量
8
停留时间分布的测定
3. 升阶法
主流体Q0
系
统
Q
c(t ) F (t ) c ( )
含示踪剂的流 体（C(∞) ）
c0(t)
输入曲线
黄 国 文 制 作
c(t)
响应曲线
0
0 t Q c0 1 F t Q ct
t=0
t
10
脉冲法的特点 由实验数据直接求得E(t) 示踪剂用量少 示踪剂瞬间加入困难 阶跃法的特点 由实验数据直接求得F(t) 示踪过程易于实现 示踪剂量大 由F(t)求E(t)涉及求导的数值计算
升阶法
t
2. 方差
t (t t ) 2 E (t )dt
2 0
T
0
1 ct dt 2 2 t c
0
dt t 2 t 1 ct c
降阶法
2
黄 国 文 制 作
t E (t )dt t
黄 国 文 制 作
12
停留时间分布的统计特征值
不同流型的停留时间分布规律可用随机函数的数字特征来表 述，如“数学期望”和“方差”。
1、数学期望 (平均值)
数据均值相同，但分散度可能不同
2、方差 (分散度)
黄 国 文 制 作
13
⑴ 数学期望 t (平均停留时间)
定义：
E (t )
面积重心
t
2 t
0
(t t ) E(t)dt
2
0
E(t)dt
(t t ) E(t)dt t E(t)dt t
2 2 0 0
2
因次：[时间]2
黄 国 文 制 作
t dF (t ) t
2 0
1
2
2 方差 物理意义： t 反映停留时间分布的离散程度 2 ，停留时间分布就越宽 t t2
3
停留时间分布
1.基本概念
闭式系统 停留时间分布 年龄分布：对存留在系统的粒子而言，从进 入系统算起在系统中停留的时间。 寿命分布：流体粒子从进入系统起到离开系 统止，在系统内停留的时间。 停留时间分布理论的应用
黄 国 文 制 作
进口
系统
出口
对现有设备进行工况分析
建立合适的流动模型，进行非理想反应器的计算
0.8
1.2
θ
1.6
2.0
0
固定床反应器的实测E(θ)曲线 理想：
有滞流区的釜式反应器的E(θ)
θ
E(θ)=δ(θ-1)
1 0 1
理想：
θ=0时， E(θ)=1
29
2. 存在沟流与短路
沟流：固定床、填料塔以及滴溜床反应器中，由
于催化剂颗粒或填料装填不均匀，从而造成一 个低阻力通道，使得一部分流体快速从此通道 流过而形成 短路：流体在设备内的停留时间极短
黄 国 文 制 作
活塞流反应器不改变输入信号的形状，只将其信号平 移一个位置
19
理想反应器的停留时间分布
1. 活塞流模型
E(t)
(t )
(t t )
1.0
E( t ) = (t - t )
F (t )
0, (t t ) F (t ) 1, (t t )
0
黄 国 文 制 作
21
全混流模型 Q0
示踪 响应
停留时间分布特征：
c
Q0
c0
Vr
c
t 0
阶跃示踪测定： 阶跃示踪
t
dt时间内
黄 国 文 制 作
示踪剂加入量 Q0c0dt
流出量 Q0cdt
累积量 Vrdc
物料衡算： 输入量＝输出量＋累积量 即 Q0c0dt = Q0cdt + Vrdc
22
全混流模型
全混流
E(t) 1
e t/ F(t) 1 e t/
E 0 0 1 F( ) 1 1
E e
F 1 e
t
t
黄 国 文 制 作
1
2
1
0
黄 国 文 制 作
• 凡不符合理想流动状况的流动，都称为非理想流动。
27
流体偏离理想流动的原因： 滞流区的存在 存在沟流与短路 循环流 扩散 流体流速分布不均匀
沟 流
黄 国 文 制 作
Short circuiting
Dead zone
存在死区和短路现象 回 流
u 存在速度分布
存在沟流和回流
28
1. 滞流区的存在
4
停留时间分布
2.停留时间分布的定量描述
E(t) = 0 t <0 E(t)≥ 0 t≥0
E (t )dt 1
0
归 一 化 条 件
黄 国 文 制 作
停留时间分布密度函数E (t)
5
停留时间分布
2.停留时间分布的定量描述
dF (t ) F (t ) E (t ) dt E (t ) dt 0
2 t
返混为0
t2 2 2 1 返混最大
26
非理想流动：
0 t2 2 0 2 1
• 前面讨论活塞流反应器和全混流反应器，在这两类 反应器中，流体的流动为理想化的极端情况。但实 际反应器内流体的流动状况与上述情况不完全相同， 介于两者之间。 • 器内流体处于非理想流动状况的反应器称为非理想 反应器。
0
tE(t)dt E(t)dt
0
tE(t)dt tdF(t)
0
1
0
t
其物理意义：为 E(t) 曲线的分布中心， 即E（t） ~ t 曲线所围面积的重心在t坐 标轴上的投影
黄 国 文 制 作
因次：时间
14
⑵ 方差
2
方差用来表示随机变量的分散程度，是描述停留时间分布的 重要参量。在数学上它表示E(t)曲线对于平均停留时间的二 2 次矩 (t t ) ：
2 0
t
T
0
ct dt t2 2 c0
T
0
tc(t ) 2 dt t c0
16
空时τ和平均停留时间 的关系
Vr Q
黄 国 文 制 作
对于恒容稳定流动系统: t
17
理想反应器的停留时间分布
理想反应器的流动模式 ---- 平推流 和 全混流
平推流
c(∞) c(∞)
检测器
c0(t)
输入曲线
黄 国 文 制 作
c(t)
响应曲线
t=0
0
t
0
t
9
Q c F t Q ct
停留时间分布的测定
4. 降阶法
主流体Q
系
统
Q
1 F (t )
c (t ) c ( 0)
含示踪剂的流 体（C(0) ）
c(0) c(0)
检测器
dc Vr Q0c0 Q0c dt
Vr/Q0 = τ (空时)
dc 1 1 c0 c dt
积分
初值条件：t = 0， c = 0
c 0
dc 1 c0 c
t 0
dt
黄 国 文 制 作
c0 c t ln c0
c 1 e t/ c0
23
全混流模型 得 1 e
u = const
间 歇 釜
全 混 釜
返混：不同停留时间的流体粒子之间的混合。 理想的平推流和间歇釜停留时间均一，无返混。
黄 国 文 制 作
全混釜反应器的返混最大，出口物料停留时间分布与釜 内物料的停留时间分布相同。
18
理想反应器的停留时间分布 活塞流模型：（平推流模型）
1. 基本假设 ：① 径向流速分布均匀； ② 径向混合均匀 ； ③ 轴向上，流体微元间不存在返混； 2. 特点：所有流体微元的停留时间相同，同一时刻进入反应器 的流体微元必定在另一时刻同时离开 。经历相同的温度、浓 度变化历程
第五章 停留时间分布 与反应器的流动模型
黄 国 文 制 作
1
本章内容
停留时间分布
停留时间分布的实验
停留时间分布的统计特征值
理想反应器的停留时间分布
非理想流动现象
非理想流动模型和非理想反应器的计算
黄 国 文 制 作
2
黄 国 文 制 作
• 重点掌握： 停留时间分布的实验测定方法和数据处理。 理想反应器停留时间分布的数学表达式。 返混的概念。 非理想流动模型（离析流模型、多釜串联模型和扩散模型） 的模型假定与数学模型建立的基本思路，模型参数的确定。 利用扩散模型和多釜串联模型的反应器计算。 • 深入理解： 停留时间分布的概念和数学描述方法。 停留时间分布的数字特征和物理意义。 • 广泛了解： 流动反应器中的微观混合与宏观混合及其对反应器性能的影 响
t/
F (t )
1
c c0
由F(t)定义： c( t ) c F(t) 1 e t/ c( ) c 0
dF( t ) 1 t/ E(t) e dt
t F (t ) E (t )dt
E (t )
1/ t t t
出口响应
24
无因次：
黄 国 文 制 作
，停留时间分布越集中
15
停留时间分布的统计特征值
1. 平均停留时间
脉冲法
t
t
0 0
tE (t )dt E (t )dt
tE (t )dt
0
c(t )dt
0 0
tc(t ) dt
t2
0
T
t 2c(t )dt c(t )dt
(t ) 2
0
11 11
黄 国 文 制 作
停留时间分布的测定一般采用示踪技术，示踪剂选用易检 测其浓度的物质，根据其光学、电学、化学及放射等特性， 采用比色、电导、放射检测等测定浓度。
选择示踪剂要求：
1) 与主流体物性相近，互溶，且与主流体不发生化学反应；
2) 高低浓度均易检测，以减少示踪剂的用量；
3) 示踪剂的加入不影响主流体的流动形态； 4)示踪剂应选择无毒、不燃、无腐蚀且价格较低的物质。
4. 扩散
黄 国 文 制 作
t
由于分子扩散及涡流扩散的存在而造成了流体微 元间的混合，使停留时间分布偏离理想流动状况
32
5. 流体流速分布不均匀
若流体在反应器内径向流速不均匀（如层流流动），其与活塞 流的偏离十分明显。层流流速分布呈抛物线状，可由径向 抛物线分布导出层流反应器的停留时间分布密度函数 特征：停留时间小于平均停留时间一半的流体粒子为零。
定义：滞流区是指反应器中流体流动慢至几乎不流动的 区域，故也叫死区 Vr 特征：停留时间分布密度函数E(θ)曲线拖尾很长 t Q0 位置：滞流区主要产生于设备的死角中
E(θ) 2
拖尾很长
E (θ) 1
有滞流区θ=0时，
E(θ)>1
全混流θ=0时， E(θ)=1
10
黄 国 文 制 作
0.4
t
Vr t 封闭系统，ρ ＝常数 Q t (0 ~ ) t E (t ) dt E ( ) d
黄 国 文 制 作
停留时间分布函数F (t)
dt E ( ) E (t ) t E (t ) d F ( ) F (t ) 6
停留时间分布的测定
1. 实验方法概述
F(θ)=1－e－θ E(θ)= e－θ
全混流模型
1/τ E(t)
t=0, E(0)=1/τ
F(t) 1
0.632
0
t
0
t
t
数字特征值
Vr t Q0
0
e d 1
黄 国 文 制 作
2 t
2
2 1 说明返混最大
25
活塞流
, t t 0, (t t ) F (t ) E( t ) = 1, (t t ) 0, t t
t=0
t t
t
( 1)d |1 1
0
0
t
t
黄 国 文 制 作
θ 2 ( 1)d 1 2 |01 1 0
2 0
返混为020
理想反应器的停留时间分布 全混流模型
1.假定：新鲜物料进入反应器后，与反应器内原有物料能在瞬 间达到完全的混合。 2.特征：反应器内任何地方，流体的性质都是均匀一致的，并 且与出口流体的性质相同。 返混最大： 流体粒子的停留时间参差不齐
脉冲法：
脉冲法
升阶法
简单、示踪剂用量少， 可直接测出停留时间分 布密度函数； 要求输入理想脉冲。 阶跃法
阶跃法－
降阶法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
周期输入法
黄 国 文 制 作
操作容易；
示踪剂用量大，直接 测出的是停留时间分布 函数。
7
停留时间分布的测定
2. 脉冲法
c0(t)
输入曲线
m E t dt Q ct dt
黄 国 文 制 作
Vr t Q0
特征：停留时间分布密度函数E(θ)曲线存 在双峰
30
黄 国 文 制 作
（a）沟流，
（b）短路
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3. 循环流
在实际的釜式反应器、鼓泡塔和流化床反应器中都存 在着不同程度的流体循环运动
特征：停留时间分布密度函数E(θ)曲线存在多峰
E (t)
存在循环流时的 E（t）曲线