第11篇 复数与多项式
2013年高考数学总复习 11-2 复数的概念与运算课件 新人教B版
|－ |＝2＋i，则 z 等于( z 3 A．－ ＋i 4 3 C. ＋i 4
解析： z＝2－|－|＋i 知 z 的虚部为 1， z＝a＋i(a 由 z 设 3 ∈R)，则由条件知 a＝2－ a ＋1，∴a＝ ，故选 C. 4
2
答案：C
若复数 z 在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5， －对应点在直线 y＝4x 上，则 z＝________. z 3
解析：由(a＋i)i＝b＋i，得 ai－1＝b＋i， 所以 a＝1，b＝－1.
答案：C
(理)(2011· 安徽宣城调研)已知 i 是虚数单位，复数 z i 满足 ＝2－i，则 z＝( z＋i 1 3 A．－ － i 5 5 1 3 C. － i 5 5 ) 1 3 B．－ ＋ i 5 5 1 3 D. ＋ i 5 5
a＋3i (文)(2010· 广东佛山)若复数 (a∈R， 为虚数单 i 1＋2i 位)是纯虚数，则实数 a 的值为( A．－2 C．－6 B．4 D．6 )
a＋3i a＋3i1－2i a＋6＋3－2ai 解析：∵ ＝ ＝ 为纯 5 1＋2i 1＋2i1－2i
a＋6＝0 虚数，∴ 3－2a≠0
B．第二象限 D．第四象限
2－i 2－i2 4－4i－1 3 4 解析：∵z＝ ＝ ＝ ＝ － i. 5 5 5 5 2＋i 3 4 ∴z 在复平面内对应的点为 ( ，－ )，故选 D. 5 5
答案：D
复数的模
[例 6] (2010· 山东临沂质检)设复数 z 满足关系式 z＋ ) 3 B. －i 4 3 D．－ －i 4
A．x＝－1，y＝1 C．x＝1，y＝1
分析：按复数的乘法运算展开后，由复数相等的条件 列方程组求解．
解析：由(x＋i)(1－i)＝y 得(x＋1)－(x－1)i＝y
复数全章知识点
复数全章知识点一、知识概述《复数》①基本定义：复数就是把实数和虚数合在一起的数。
比如，3是实数，但如果写成3 + 0i，这就是复数了。
其中i是虚数单位，规定i的平方等于-1。
就好像有一个神秘的数字世界，原本只有像1、2、3这些实实在在能看到摸到的实数，但科学家为了解决一些问题，发现还得有像i这么个神奇的东西，当它和实数组合起来就成了复数。
②重要程度：在数学学科里可是非常重要的，很多数学问题，特别是和方程、函数相关的，如果没有复数的概念，就没办法完整解决。
像在高等数学、物理学中的交流电计算等领域它可都是大功臣。
③前置知识：要掌握好实数的知识，像有理数、无理数，它们的运算规则，四则运算这些基本功。
因为复数也会用到实数的运算规则。
④应用价值：在电工学里，计算交流电的时候，如果只考虑实数，很多计算是没办法进行的。
因为交流电是有相位差的，而这个相位差就是复数里虚数部分在现实中的体现。
在信号处理里，也经常用到复数，把信号分解成实部和虚部来分别处理。
二、知识体系①知识图谱：复数在数学学科里算是数系扩充后的内容，它是实数系的扩展。
如果我们把数系比作一个家族，实数是家族的一大部分，那复数就是把这个家族又扩大了一些，把像i这种很奇怪的成员也包含进来了。
②关联知识：和方程、函数特别是多项式函数有很大联系。
许多多项式方程在实数范围内无解，但在复数范围内就有解了。
还和向量有点联系。
可以把复数看成一种特殊的向量，实部和虚部分别是向量的两个分量。
③重难点分析：- 掌握难度：我刚学的时候觉得有点难的就是虚数单位i这个概念，有点抽象。
它不像实数那么直观。
- 关键点：理解复数的实部、虚部，还有i的平方等于-1这条铁律。
能熟练进行复数的四则运算。
④考点分析：- 在考试中，如果是基础数学考试，会重点考查复数的基本运算，像加、减、乘、除。
比如出一道题让你计算(2 + 3i)+(1 - 2i),这种简单的计算。
如果是稍难一点的或者高等数学考试，会考查复数在方程中的应用，比如解一个在实数内无解的二次方程在复数范围内的解。
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
数学复数与多项式
在工程学中的应用
电路分析：利用 复数简化交流电 路的分析和计算
控制系统：利用多项 式描述系统的动态行 为，通过复数实现系 统的稳定性分析
信号处理：利用复 数和多项式进行信 号的频谱分析和滤 波处理
振动分析：利用复 数和多项式分析机 械或结构的振动模 式和响应
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复数与多项式的扩展知 识
定义：e^(iπ) + 1 = 0
复数的共轭是指将虚部的符号改变，即如果一个复数是a+bi，则它的共轭是a-bi。
复数的几何表示
复数平面的定义：由实轴和虚轴构成的二维平面 复数的表示方法：在复数平面上，每个复数都可以表示为一个点或一条向量 实数轴：复数平面上表示实数的点所在的直线 虚数轴：复数平面上表示虚数的点所在的直线
复数的四则运算
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数学复数与多项式
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目录
CONTENTS
01 复数的基本概念
02 多项式的基本概念
03 复数与多项式的联 系
04 复数与多项式的应 用
05 复数与多项式的扩 展知识
复数的基本概念
复数的定义
复数是实数和虚数的总称，形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
复数可以用来表示平面上的点或向量，广泛应用于数学、物理、工程等领域。 复数的模表示该复数到原点的距离，计算公式为sqrt(a^2+b^2)。
多项式的因式分解
定义：将一个多项式表示为几个 整式的积
目的：简化多项式，便于计算和 证明
方法：提取公因式、分组分解、 十字相乘法等
应用：解决实际问题，如代数方 程的求解和证明等
复数与多项式的联系
应用数学基础第11章 复数
第11章 复数1484年，法国数学家舒开首先偷食了“负数开平方”的禁果，用其表示了方程2340x x -+=的两个根．1545年，意大利数学家卡尔丹“大胆”地把10分成两部分，使其和等于10，其积等于40．1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中给了“负数开平方”一个“虚数”的名称．1777年，瑞士数学家欧拉又以i 1801年，德国数学家高斯系统研究了虚数，把i 和实数的混合物a ib +称为复数，沿用至今．本章学习的主要内容是复数的概念、复数的四则运算、复数的三角式与指数式以及复数在电工学中的表示等等．§11.1 复数的概念1.虚数单位与复数我们知道，方程210x +=在实数范围内是没有解的．为了求解这个方程，引入一个新数i ，称作虚数单位，它具有性质：（1）它的平方等于1-，即 21i =-；（2）它与实数在一起，可以按照实数的四则运算法则进行运算．易见i 与i -是方程210x +=的两个根，这样方程210x +=就可以求解了．这样虚数单位i 就是1-的一个平方根，数学家欧拉将其记为：i =. 虚数单位i 有以下一些特性.1i i =； 21i =-；32i i i i =⋅=-； 4221i i i =⋅=；54i i i i =⋅=； 6241i i i =⋅=-；734i i i i =⋅=-； 8441i i i =⋅=.一般地，对于正整数n ，都有41n i =；41n i i +=；421n i +=-；43n i i +=-.我们规定：01i =，1()m m i m N i-=∈. 这样可以证明虚数单位i 的上述性质对一切整数n 都成立.【例1】计算（1）2013i ； （2）5i -.解（1）2013503411i i i i ⨯+===；（2）55211i i i i i i i i i-=====-⋅. 定义1 设a 和b 都是实数，形如 a bi +的数称为复数，其中a ，b 分别称为复数 a bi +的实部与虚部．通常用小写字母z 、ω等来表示复数，复数z 的实部记作Re z ，虚部记作Im z ．例如，32i -，i ，1-等都是复数，它们的实部分别是3，0，1-；虚部分别是2-，10.定义2 把全体复数组成的集合叫做复数集，并用字母C 表示复数集．即有{}|,,C z z a bi a b R ==+∈.定义3 虚部不等于0的复数称为虚数，实部等于0且虚部不等于0的复数称为纯虚数．例如，32i -，i 还是纯虚数．虚部等于0的复数就是实数，实部与虚部都等于0的复数就是实数0．于是自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、复数集C 之间的关系如下：N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂.由上面所述可知：实数集R 是复数集C 的真子集，即有R C ⊂.把复数写成： (,)a bi a b R +∈，这种表示复数的形式称为复数的代数式．【例2】实数k 取什么值时，复数(1)(2)z k k i =-++是实数，虚数，纯虚数？解 当20k +=，即2k =-时，z 为实数；当20k +≠，即2k ≠-时，z 为虚数；当20k +≠，且10k -=时，即1k =时，z 为纯虚数．练习1.计算（1）2014i ； （2）19i -； （3）7i -； （4）2559i i ⋅.2.指出下列复数的实部和虚部：13i -+，i -，1)i 1，5-，2，0．3.指出下列数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？2，3i ，0，i ，2i -，12i ，(1i ，1i -．4.m 为何值时，下列复数是实数，纯虚数，虚数？（1）(2)(21)m m i -+-；（2）22(2)(1)m m m i +-+-．2.复数的相等定义4 如果两个复数的实部和虚部都相等，那么就称这两个复数相等． 这就是说，若复数1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈，则12z z =当且仅当a c b d =∧=．如果复数0a bi +=，那么0a =，0b =．【例3】已知(21)1(3)x i y i -+=--，其中x 、y 是实数，求x 和y 的值． 解 由复数相等的定义，得2111(3)x y -=⎧⎨=--⎩解这个方程组，得1x=，4y=．我们知道，两个实数是可以比较大小的，但虚数是不考虑大小关系的，即虚数没有大小之分．因此，当两个复数不全是实数时就不能比较大小.练习1.填空：（1）,x y R+=-，则x=，y=；x i yi∈，如果323（2）,x y R---+=，则x=，y=；∈，如果(22)(36)30x y i2.求适合下列方程的实数x,y的值：（1）(2)(23)38-++=-；x y x y i i（2）(3)(1)0+-+--=；x y x y i（3）(33)(3)++=--．x y x y i3.复数的几何表示用复平面内的点表示复数初中阶段我们已经学过，实数与数轴上的点是一一对应的，并且实数能用数轴上的点表示．复数z a bi=+，由其实部a和虚部b惟一确定，因此任何一个复数a bi+，都可以由一个有序实数对(,)a b惟一确定．这样我们就可以借助平面直角坐标系来表示复数a bi+．如图11-1所示，建立平面直角坐标系，用横坐标为a，纵坐标为b的点(,)Z a b 表示复数a bi+．这样表示复数的直角坐标平面称为复平面．横坐标轴叫做实轴，纵坐标轴（除原点外）叫做虚轴．表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上．按照这样的表示方法，显然，任意一个复数，在复平面内就能找到一个确定的点和它对应；反过来，对于复平面内任何一个点，就有一个确定的复数和它对应．所以，复数集C和复平面内所有点组成的集合是一一对应的．即复数z a bi=+↔复平面内的点(,)Z a b“↔”表示一一对应的意思．图 11-1 图 11-2【例4】用复平面内的点表示复数：23i +，2i ，3-，0.解 如图11-2所示，复数23i +用点(2,3)A 表示，2i 用点(0,2)B 表示，3-用点(3,0)C -表示，0用点(0,0)O 表示．【例5】复平面内的点(3,2)M 、(4,3)N --、(2,0)P 、(0,3)Q -各表示什么复数？解 如图11-3所示，点(3,2)M 表示复数32i +，点(4,3)N --表示复数43i --，点(2,0)P 表示实数2，点(0,3)Q -表示纯虚数3i -．图 11-3 图 11-4用向量表示复数 如图11-4所示，设复数z a bi =+对应点(,)Z a b ，连结OZ ，则可用向量OZ 表示复数z a bi =+，（规定实数0与零向量对应），并且规定：相等的向量表示同一个复数．显然 复数z a bi =+↔向量OZ 向量OZ 的长度叫做复数a bi +的模，记作||a bi +．由于||OZ = 于是，有||a bi += 我们常把复数z a bi =+说成点(,)Z a b 或向量OZ ，点(,)Z a b 、向量OZ 都是复数的几何表示．并且三者之间的关系： 复数z a bi =+↔复平面内的点(,)Z a b ↔向量OZ【例6】求下列复数的模：（1）112z i =+； （2）2122z =-； （3）33z i =-； （4）45z =-． 解 （1）1|| |12| z i =+==（2）21|| || 12z ==； （3）3|| |3| 3z i =-==；（4）4|| |5|5z =-=． 定义5把由实轴的正半轴到向量OZ 的角θ叫做复数a bi +的辐角．如图11-4所示．因为终边相同的角有无穷多个，所以任何一个非零复数的辐角都有无穷多个，它们彼此相差2π的整数倍．例如，复数1z i =+的辐角是：2 ()4k k Z ππ+∈，这里单位是弧度，也可表示为：36045 (Z)k k ⋅+∈ ．由于表示数0的点是(0,0)Z ，即原点O ，所以OZ 为零向量，零向量没有确定的方向，因而数0没有确定的辐角，我们说它的辐角是任意的．定义6 把辐角在[0,2)π内的值称为辐角的主值，记作arg z ．例如，复数1z i =--的辐角的主值5arg 4z π=． 复数a bi +的辐角主值arg z 的确定：（1）a 与b 恰有一个为0，可直接确定：当0b =，若0a >，则a 的辐角主值是零，a -的辐角主值是π；当0a =，若0b >，则bi 的辐角主值是2π，bi -的辐角主值是32π． （2）0a ≠，0b ≠时，可利用公式tan b aθ=， 其中θ所在的象限就是与复数相对应的点(,)Z a b 所在的象限．【例7】用向量表示下列复数，并分别求出它们的辐角的主值：（1）1z i =； （2）22z i =； （3）32z =-； （4）422z i =--.解 （1）如图11-5所示，向量1OZ 表示复数1z i ．因a =1b =，点1Z在第一象限，又tan θ==，所以1arg 6z π=； （2）如图11-5所示，向量2OZ 表示复数22z i =，其辐角主值2arg 2z π=； （3）如图11-5所示，向量3OZ 表示复数32z =-，其辐角主值3arg z π=； （4）如图11-5所示，向量4OZ 表示复数422z i =--.因2a =-，2b =-，点4Z 在第三象限，又2tan 12θ-==-，所以45arg 4z π=．练习1.用复平面内的点表示复数：34i -+，3i ，2-，0.2.复平面内的点(3,1)M -、(4,5)N -、(4,0)P 、(0,2)Q -各表示什么复数？3.用向量表示下列复数，并分别求出它们的模和辐角的主值：（1）11z =-； （2）23z i =-； （3）33z =-； （4）4z i =.4.共轭复数定义7 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数．例如，12i +和12i -，，2和2都分别互为共轭复数．复数z 的共轭复数记作z ．一般地，复数a bi +与a bi -互称为共轭复数．显然 有z z =成立．由||a bi +=，||a bi -=||||a bi a bi +=-． 这就是说，两个互为共轭复数的模相等．如图11-6所示，表示共轭复数z a bi =+与z a bi =-的两个点及两个向量都是关于x 轴对称的．如果z 的辐角的主值是θ，由于辐角主值的范围是[0,2)π，那么z 的辐角的主值就是2πθ-．例如，1z i =+的辐角的主值arg 4z π=，则共轭复数1z i =-的辐角的主值3argz πππ=-=．图 11-6练习1.写出复数143z i =+，21z i =-+，352z i =--，43z i =，52z =的共轭复数．2.已知23x i +与63yi -互为共轭复数，求实数,x y 的值．习题11.11.填空：（1）复数集是实数集与虚数集的 ；（2）实数集与纯虚数集的交集是 ；（3）设复数集C 为全集，那么实数集的补集是 ；（4）已知复数3(2)z m m i =+--，其中m 为实数，z 的实部是 ，z 的虚部是 ；若z 为实数，那么m = ；若z 为纯虚数，那么m = ；（5）2015i = ；73i -= ．2.在符号=，≠，>，<中，选择适当的一个填空：（1）2i i ； （2）1i -- 33i +；（3）|5|i |6|i -； （4）|2|i -+ |12|i -；（5）|| |4|i -； （6）1||22-- 1||22+． 3.在复平面内，作出表示下列各复数的点和向量：（1）35i -； （2）3i --； （3）4i -；（4）1+； （5）1i +； （6）3．4.求适合下列各方程的实数x 和y 的值：（1）(34)(23)0x y i -++=； （2）(2)(2)3x y x y i i ++-=-；（3）(32)(5)172x y x y i i ++-=-.5.求下列复数的模和辐角的主值：（1）3； （2）23i ； （3）2-； （4）i ；（5）22i +； （6i ； （7）i ； （8）1i ．6.已知2x i -与4yi +互为共轭复数，求实数x ，y 的值．7.实数m 取什么值时，复数22(232)(32)m m m m i --+-+是实数？是纯虚数？是0？8.在复平面内，满足条件||1z =的复数z 对应的点的集合是怎样的图形？§11.2 复数的四则运算1.复数的加法与减法复数的加法与减法可以按照多项式的加法和减法的运算法则来进行，也就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．即设1z a bi =+，2z c di =+是任意两个复数，则12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++12()()()()z z a bi c di a c b d i -=+-+=-+-由上面的法则可知，两个复数的和（差）仍然是一个复数．容易验证，复数加法满足：（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++．其中1z ，2z ，3z C ∈．【例1】计算：（1）(13)(24)i i ++-；（2）(25)(12)i i --+；（3(1)4i i +-．解（1）原式(12)(34)3i i =++-=-；（2）原式(21)(52)17i i =-+--=-；（3）原式10)(014)1)3i i =-++-=-.【例2】设复数z a bi =+，计算z z +与z z -.解 ()()()()2z z a bi a bi a a b b i a +=++-=++-=；()()()[()]2z z a bi a bi a a b b i bi -=+--=-+--=.由例2可知，两个共轭复数的和是一个实数；当虚部0b ≠时，两个共轭复数的差是一个纯虚数．练习计算下列各题：（1）(43)(54)i i ++-； （2）(15)(14)i i ---+；（3）(32)(12)(45)i i i -++--+； （4）3(2)6i i ++-．2.复数的乘法与除法复数的乘法复数的乘法可以按照多项式相乘的运算法则来进行，在所得的展开式中，将2i 换成1-，然后把实部和虚部分别合并．设1z a bi =+，2z c di =+是任意两个复数，则212()()z z a bi c di ac bci adi bdi ⋅=++=+++()()ac bci adi bd ac bd bc ad i =++-=-++由上面的法则可知，两个复数的积仍是一个复数．容易验证，复数乘法满足：（1）交换律：1221z z z z ⋅=⋅；（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；（3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅．其中1z ，2z ，3z C ∈．【例3】求共轭复数z a bi =+与z a bi =-的积．解 22222()()z z a bi a bi a b i a b ⋅=+-=-=+由例3可知，两个共轭复数的积是一个实数，等于复数模的平方．【例4】计算：（1）(23)(45)i i +--； （2）(12)(34)(112)i i i -++．解：（1）原式28121015722i i i i =----=-；（2）原式22(112)(112)1121214125i i =-+=+=+=．【例5】计算：10(1)i -.解 10252555(1)[(1)](12)(2)3232i i i i i i i -=-=-+=-=-=-.复数的除法两个复数相除（除数不为零），先写成分式的形式，然后用分母的共轭复数同乘分子和分母，并且进行化简，最后写成复数的代数式即可．设1z a bi =+，2z c di =+(0)c di +≠．则 1122z a bi z z z c di +÷==+()()()()a bi c di c di c di +-=+- 222222()() (0)ac bd bc ad i ac bd bc ad i c di c d c d c d++-+-==++≠+++ 即有 ()()a bi c di +÷+2222 ac bd bc ad i c d c d +-=+++ 其中0c di +≠，所以220c d +≠．由上面的法则可知，两个复数的商仍是一个复数．【例6】计算：（1）(12)(34)i i +÷-； （2）(34)2i i --÷； （3）201211i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭． 解 （1）12(12)(34)(12)(34)34(34)(34)i i i i i i i i ++++÷-==--+ (38)(64)510129162555i i i -++-+===-++； （2）34(34)(2)(34)22(2)(2)i i i i i i i i -------÷==-683242i i -==-+； （3）20122012201220121(1)(1)211(1)(1)2i i i i i i i i ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦．练习1.填空（填上计算结果）：（1）(23)(23)i i -+= ； （2）(31)(31)i i -+= ；（3）1621i i ⋅= ．2.计算：（1）(23)(4)i i --+； （2）(25)(5)i i -+-；（3）2(1)； （4）(3)(3)(12)i i i --+．3.计算：（1）(22)(14)i i +÷-； （2）3(2)i i ÷-；（3）3123i +； （4）100011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭．3.配方法与一元二次方程的解我们知道，2(3)9i =-，2(3)9i -=-，所以3i 与3i -都是9-平方根．即3x i =±是方程29x =-的两个根，同样x i =±是方程21x =-的两个根，x =是方程25x =-的两个根．一般地，如果0a >，则x i = （1） 是方程2 x a =-在复数集内的两个根．对于一元二次方程20 (,,0)ax bx c a b c a ++=≠均为实数，且的解．配方，得2224()2(2)b b ac x a a -+= 当判别式240b ac ∆=-≥时，x = 方程在实数集R 中有解；当判别式240b ac ∆=-<时，方程在实数集R 中无解． 将2224()2(2)b b ac x a a -+=变形为：2224()2(2)b ac b x a a -+=-由（1）式并整理可得2b ix a-±=即方程在复数集C 中有两个根，显然它们是一对共轭复数．这一对共轭虚根1x 、2x ，有12b x x a +=-， 12cx x a=．即在复数集C 中，实系数一元二次方程的根与系数的关系，在判别式240b ac ∆=-<时仍然成立．【例7】在复数集C 中，解方程2450x x -+=．解 因为224(4)2040b ac -=--=-<，所以422ix i ±==± 即方程的解为12x i =+，22x i =-．【例8】已知实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根是1，求它的另一个根和b 、c 的值．解 因为实系数一元二次方程在复数集中的两个根是共轭复数，所以另一个根是1，由一元二次方程根与系数的关系可得12()2b x x =-+=-，12(1)(1)4c x x ===．练习1.在复数集C 中，解下列方程：（1）22100x x ++=； （2）23210x x ++=； （3）2250x +=． 2.已知实系数一元二次方程20x mx n ++=的一个根是24i +，求它的另一个根和m 、n 的值．习题11.21.计算：（1）(23)(34)i i -++-； （2）(35)(2)i i -+--； （3）(24)(35)(1)i i i ++---+； （4）(1)(22)(34)i i i -+-；（5）50(23)(4)i i i --； （6）1234ii-+；（7）1001()1i i+-； （8）2111i i i -++-；（9（10）357(1)(2)(3)(4)i i i i -+-+-+-． 2.设复数212iz i+=-，则z 的实部是 ，z 的虚部是 ，z = ，||z = ，z 的辐角的主值是 ．3.已知6311(,)234a bi a b R i i i +=+∈++，则a 的值是 ，b 的值是 ． 4.已知(3)(23)()0i i a bi +-++=，则实数,a b 的值分别是 和 ．5.在复数集内解下列方程：（1）2460x x ++=； （2）2230x x ++=．6.在复数集内分解因式：（1）24x + （2）221x x -+．7.在复平面内满足条件|(22)|3z i -+=的点的集合是怎样的图形？§11.3 复数的三角式与指数式1. 复数的三角式设复数z a bi =+的模||OZ r =，辐角为θ，由图11-7可以看出，cos sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩所以 cos (sin )(cos sin )a bi r r i r i θθθθ+=+=+．其中r =θ是复数的辐角，tan (0)ba aθ=≠，θ所在的象限由a 和b 的符号确定．图 11-7 我们把(cos sin )r i θθ+叫做复数的三角式，为了与复数的三角式有所区别，把a bi +叫做复数的代数式．复数三角式的特点： （1）0r =≥；（2）实部是cos r θ，虚部是sin r θ；（3）cos θ与sin θ中的角θ必须相同，是复数的辐角，辐角θ的单位可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以取主值，也可以不取主值．但是为了简便，在把复数的代数式化为三角式时，一般θ都取主值．辐角θ可按本章第一节介绍的方法确定；（4）实部与虚部之间必须用“+”号连接． 【例1】把下列复数化为三角式：（1）1i ； （2）3i ； （3）5-.解 （1）因1a =，b =(1在第一象限，tan 1θ==，所以θ的主值是3π．又2r ==，于是12(cos sin )33i i ππ=+；（2）因0a =，3b =，点(0,3)在纵轴的正半轴上，所以θ的主值是2π．又3r ==，于是33(cossin )22i i ππ=+； （3）因5a =-，0b =，点(5,0)-在横轴的负半轴上，所以θ的主值是π．又5r ==，于是55(cos sin )i ππ-=+．【例2】把下列复数化为代数式：（1sin 225)i + ； （2）333(cos sin )22i ππ+．解 （1sin 225)i +cos45sin 45)i =--)122i =--=--； （2）333(cossin )22i ππ+ 3(0)3i i =-=-．【例3】求复数z a bi =+的共轭复数z a bi =-的三角式．解 设复数(cos sin )z a bi r i θθ=+=+，则(cos sin )z a bi r i θθ=-=- [cos()sin()]r i θθ=-+-在这里要注意的是(cos sin )r i θθ-并不是复数z a bi =-的三角式．例如，当θ是第二象限角时，复平面上与z 对应的点在第三象限内，因而()θ-才是z 的辐角．【例4】在复平面内，作出i ，2i ，3i ，4i 所对应的向量，并用三角式表示这些复数．解 如图11-8所示，向量OA表示复数i ，因为21i =-，3i i =-，41i =，所以向量OB ，OC ，OD分别表示2i ，3i ，4i ．图 11-8由图9-11可知，i ，2i ，3i ，4i 的模都是1，它们的辐角主值分别是2π，π，32π，0．所以 cossin22i i ππ=+； 21cos sin i i ππ=-=+；333cossin 22i i i ππ=-=+； 41cos0sin 0i i ==+． 显然，它们都在以原点为圆心，1r =为半径的圆周上．练习1.下列复数是否为复数的三角式，为什么？（1）2(cos sin )33i ππ-+； （2）2(cos sin )33i ππ-；（3）2(cos sin )33i ππ+； （4）2(cos sin )36i ππ+.2. 把下列复数化为三角式：（1）1i ； （2）1i -+； （3） 5i ； （4）4-. 3. 把下列复数化为代数式：（1sin315)i + ； （2）5(cos sin )22i ππ+．2. 复数三角式的乘法与除法复数三角式的乘法设任意两个复数1z ，2z 的三角式分别是1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则 12111222(cos sin )(cos sin )z z r i r i θθθθ⋅=+⋅+1212121212[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )r r i θθθθθθθθ=⋅-++ 121212[cos()sin()]r r i θθθθ=⋅+++ 即111222121212(cos sin )(cos sin )[cos()sin()]r i r i r r i θθθθθθθθ+⋅+=⋅+++ （*）其中1r ，2r 分别是1z ，2z 的模，1θ，2θ分别是1z ，2z 的辐角．这就是说，两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于两个复数的模的积，辐角等于两个复数的辐角的和．简单地说，两复数相乘，就是把模相乘，辐角相加．【例5】设1sin )1212z i ππ=+，2sin )66z i ππ=+，计算12z z ⋅．解 12sin )sin )121266z z i i ππππ⋅=++6[cos()sin()]126126i ππππ=+++sin )44i ππ=+6(22i =+= （*）式可以推广到n 个有限复数相乘的情形，即111222(cos sin )(cos sin )(cos sin )n n n r i r i r i θθθθθθ+⋅+⋅⋅+121212[cos()sin()]n n n r r r i θθθθθθ=⋅⋅⋅+++++++ ()n N +∈特别地，当12n r r r r ==== ，12n θθθθ==== 时，又可得到[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+ ()n N +∈这就是说，复数的 ()n n N +∈次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，辐角等于这个复数的辐角的n 倍．当1r =时(cos sin )(cos sin )n i n i n θθθθ+=+ ()n N +∈我们把它叫做棣莫佛（de Moivre ）定理．【例6】设复数1(c o s 24s i n 24)z i =+ ，2sin50)z i =+ ，3sin106)z i + ，计算123z z z ⋅⋅．解 12350106)sin(2450106)]z z z i ⋅⋅+++++10(cos180sin180)10i =+=-． 【例7】计算18(cos20sin 20)i + ．解 18(cos20sin 20)cos360sin3601i i +=+= ．复数三角式的除法设任意两个复数1z ，2z 的三角式分别是1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，且20z ≠，则11112222(cos sin )(cos sin )z r i z r i θθθθ+=+ 1112222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )r i i r i i θθθθθθθθ+-=+-11212121222222[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )](cos sin )r i r θθθθθθθθθθ++-=+ 112122[cos()sin()]r i r θθθθ=-+-． 即111112122222(cos sin )[cos()sin()](cos sin )r i r i r i r θθθθθθθθ+=-+-+ 2(0)z ≠．其中1r ，2r 分别是1z ，2z 的模，1θ，2θ分别是1z ，2z 的辐角．这就是说，两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．简单地说，两个复数相除，就是把模相除，辐角相减． 【例8】设14416(cossin )33z i ππ=+，2554(cos sin )66z i ππ=+，计算12z z ． 解 124416(cossin )16454533[cos()sin()]55436364(cos sin )66i z i z i ππππππππ+==-+-+ 4(c o s s i n )422i i ππ=+=．【例9】设1z i =-，23(cos120sin120)z i =- ，计算12z z ． 解 1cos270sin 270z i =+ ，23(cos120sin120)3[cos(360120)sin(360120)]z i i =-=-+-3(cos240sin 240)i =+于是 12cos 270sin 2703(cos 240sin 240)z i z i +=+1[cos(270240)sin(270240)]3i =-+-11(cos30sin 30)36i i =+= ． 可以证明，棣莫佛定理对于负整数指数幂也成立．因为11cos 0sin 0(cos sin )cos()sin()cos sin cos sin i i i i i θθθθθθθθ-++===-+-++，所以1(cos sin )[(cos sin )][cos()sin()]n n n i i i θθθθθθ--+=+=-+-cos()sin()n i n θθ=-+-．由此可知，对于所有整数指数幂，棣莫佛定理恒成立．即(cos sin )cos()sin()n i n i n θθθθ-+=-+- ()n Z ∈．【例10】计算：12[cos()sin()]66i ππ--+-．解 12[cos()sin()]cos 2sin 2166i i ππππ--+-=+=．练习计算：（1240sin 240)sin 60)i i ++ ；（2）6sin)]1212i ππ+；（3）2212(cos sin )6(cos sin )3333i i ππππ+÷+； （4）53(cos30sin 30)i -+ ；（5； （6）3[(cossin )]33i ππ-+； （7）6(1)i --.3. 复数的指数式前面我们学习了复数的代数式、三角式．本节我们学习复数的指数式．由欧拉（Euler ）公式cos sin i i e θθθ+=其中 2.71828e = ，在两边同乘以复数的模r ，则得(cos sin )i r i re θθθ+=．i re θ就叫做复数的指数式．其中,r θ分别是复数的模与辐角，这里辐角θ的单位只能用弧度表示．下面举例说明复数的代数式、三角式与指数式的相互转化． 【例11】将下列复数表示为指数式：（1sin150)i + ； （2）cos sin 33i ππ-．解 （15 655sin150)sin )66i i i πππ+=+=； （2）3cossincos()sin()3333i i i eπππππ--=-+-=．【例12】把下列复数化为指数式：（1； （2）44i -+．解 （12sin )22i i πππ=+=；（2）3 43344sin )44i i i e πππ-+=+=． 【例13】将下列复数化为代数式：（14i eπ-； （223i eπ．解 （14)sin()]144i ei i πππ-=-+-=-；（22 322sin ]33i e i πππ=+13)22i =-+=+． 根据复数三角式的乘法、除法和幂的运算法则，我们还可以推得复数指数式的乘法、除法和幂的运算法则：（1）1212()1212i i i re r e rr eθθθθ+=； （2）1122()11222(0)i i i re re r r e r θθθθ-=≠；（3）() ()i n n in re r e n N θθ+=∈． 【例13】计算：（1）43345i ieeππ-⋅； （2）3232(4)iie e ππ÷； （3）4394 )(2)iie ππ÷．解 （1）44[()]3333452020i ii i eeee πππππ-+-⋅==；（2）()3236232(4)88ii iie e ee πππππ-÷==；（3）2()439333411 )(2)4822iii i ii e e e e e πππππππ-÷=÷==．练习1.把下列复数化为指数式：（177sin )66i ππ+； （2sin135)i + ；（3）1i ； （4）2-； （5）5i ． 2.计算下列各题，并化为三角式：（1）34iie e ππ⋅； （2）24iie e ππ÷； （3）324345iiie e e πππ⋅÷． 3.计算：（1）39(2)i e π-； （2）8363)()iie ππ÷．4. 复数在电工学中的表示复数在电工学中有着广泛的应用．因为在电工学中字母i 表示电流，为了避免混淆，所以在这里的虚数单位用j 表示，复数的代数式用a jb +表示．复数的指数式i re θ，简记为r θ∠，即i re r θθ=∠．r θ∠称为复数的极式，其中,r θ分别为复数的模与辐角，这里θ可以用弧度表示，也可以用角度表示．一般地，在电工学中辐角θ的范围取πθπ-<≤（或180180θ-<≤ ）．例如 22(cos sin )222180j j e ππππ-=+==∠=∠ ；211111(cos sin )9022222222j j j e ππππ=+==∠=∠ ； cos()sin()90222j j πππ-=-+-=∠-=∠- ；41sin )45444jj j ππππ+=+=== ．练习把下列复数写成指数式与极式：（1）1j -+； （2）5-； （3）1 ； （4）2j ； （5）4j -．习题11.31.把下列复数化为三角式和指数式：（1）122+； （2）33i --； （3）2-；（4）4； （5）5i -； （6）3i ． 2.把下列复数化为代数式：（1）552(cos sin )33i ππ+； （2）5(cos sin )22i ππ+；（3）24iie eππ-⋅； （4）11662)iieππ-÷．3.计算：（1）12z z ⋅与12z z ÷，其中12(cos135sin135)z i =+ ，23[cos(90)sin(90)]z i =-+- ；（2）8[(cos sin )]21212i ππ+；（3）42(cos10sin10sin15)][2(cos 20sin 20)]i i i +++ ；（4）12z z ⋅与12z z ÷，其中3216iz eπ-=，54213i z e π=；（5）515)iπ； （6）61()2-+；（7）9)i ； （8）5(cossin )33i ππ-. 4.下列数是否为复数的三角式？若不是，试把它化为三角式： （1）4(cos sin )66i ππ-+； （2）4(cos sin )66i ππ--；（3）4(cossin )66i ππ+； （4）(cos sin ) (0)r i r θθ+>.名词索引复数 complex number 实部 real part 虚部 imaginary part 虚数 imaginary number 纯虚数 pure imaginary number 虚轴 imaginary axis 实轴 real axis 复平面 complex plane 模 module 辐角 argument 主值 principal value共轭复数 conjugate complex number 极式 pole type数学符号i 虚数单位，如实数中的单位是1一样，21i =-，它可以与实数进行四则运算．a bi + 表示复数，a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部，复数集包含了实数集． C 复数集的标记，C 来自其英文名字（complex number ）的首写字母．z 小写英文字母，复数集中表示复数的符号．||z 复数z 的模（或绝对值），其值等于复数z 的实部与虚部的平方和的开方． θ 复数的辐角的标记，希腊字母，读作“Theta ”、“西塔”．arg 复数的辐角主值的标记，是argument 的前三个字母，其范围：[0,2)π． j 虚数单位，在电工学中字母i 表示电流，为避免混淆，用j 表示虚数单位． r θ∠ 复数的极式，是复数指数式i re θ的简写，其中,r θ分别为复数的模与辐角．常用公式1.复数相等设复数1z a bi =+，2z c di =+，则a c =且12b d z z =⇔= 2.复数的模设复数z a bi =+，则||z =3.复数的辐角设复数a bi +的辐角为θ，则tan b aθ= 4.复数的共轭设复数z a bi =+，则z a bi =- 5.复数的加、减设复数1z a bi =+，2z c di =+，则12()()z z a c b d i ±=±+± 6.复数的乘、除设复数1z a bi =+，2z c di =+，则12()()z z ac bd bc ad i ⋅=-++，11222222z ac bd bc ad z z i z c d c d+-÷==+++ 7.一元二次方程20ax bx c ++=（240b ac ∆=-<）的根2b ix a-±=8.复数三角式的乘、幂、除设复数1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z r r i θθθθ⋅=⋅+++， [(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，11121222[cos()sin()]z r i z r θθθθ=-+- 9.复数指数式的乘、幂、除设复数111i z re θ=，222i z r e θ=则1212()1212i i i re r e rr eθθθθ+=， ()i nn in re r e θθ=， 1122()1122i i i re r e r e r θθθθ-=复习题111.判断下列命题的真假：（1）复数集{|,,}C z z a bi a R b R ==+∈∈； （ ） （2）(2)(3)0a b i -+-=的充要条件是2a =，且3b =； （ ） （3i 是无理数； （ ） （4）（1i ）不是纯虚数； （ ） （5）0z z +=； （ ） （6）1212||||||z z z z =； （ ） （7）1212||||||z z z z +=+； （ ） （8）2||z z z =； （ ） （9）||||n nz z =； （ ） （10）任一个实系数二次方程20ax bx c ++=，在复数集中一定有两个互相共轭的复数根； （ ）（11）任一个复数a bi +都可以化为三角形式(cos sin )z r i θθ=+． （ ） 2.填空题：（1）0a =是 (,)a bi a b R +∈为纯虚数的 条件；（2）若(3)a bi -+与2i +是共轭复数，那么实数,a b 的值是 ； （3）已知复数z 的虚部为6，且||7z =，那么z = ； （4）复数cossin66z i ππ=-的模为 ，辐角的主值是 ；（5）()(12)84 (,)a bi i i a b R +-=+∈,那么a 的值是 ，a 的值是 ；（6）设复数z =，则z 的实部是 ，z 的虚部是 ，z = ，||z = ，z 的辐角的主值arg z 是 ；（7）|34|i += ；（8）(75)(43)i i ++-= ； （9）(25)(43)i i -+= ； （10）(85)(47)i i ---= ； （11）(1)(1)i i +÷-= ；（12）点1Z 对应的复数是4i +，点2Z 对应的复数是23i -+，则线段12Z Z 的中点对应的复数是 ；（13）(cossin )(cos sin )4422i i ππππ++= ； （14）i e θ的三角式是 ． 3.选择题：（1）491419i i i i +++的值是（ ）．A.1-B.iC.1D.0（2）实数1m ≠-时，复数22(32)(56)m m m m i -++--是（ ）． A.纯虚数 B.实数 C.虚数 D.不能确定 （3）复数2[cos()sin()]44z i ππ=--+-的辐角主值是（ ）．A.4π B.34π C.74π D.54π（4）复数cossin66z i ππ=-的模是（ ）．A.34 B.1（5）设z 为复数，下列各组数中两个都为实数的是（ ）．A.z z +与z z ⋅B.z z +与z z -C.z z -与z z D.z z ⋅与zz（6）在平行四边形ABCD 中，点A ,B ,C 分别对应复数2i +，43i +，35i +，那么点D 对应的复数是（ ）．A.34i +B.14i +C.23i +D.13i +5.计算：（1）6[2(cos15sin15)]i + ； （2（3）661122i i +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）58)(cos sin )88i i ππ⋅+； （5）4355[2(cossin )]33(cos sin )33i i ππππ++； （6）2013122⎛+ ⎝⎭． 6.在复数集内解下列方程：（1）2230x +=； （2）23210x x ++=．7.已知一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为4i ，求,p q 及另一根． 8.已知z 是虚数，解下列方程：（1）||2z z i +=+； （2）2z z =．。
11. 因式分解技巧-实数集与复数集内的分解 -单墫
11.实数集与复数集内的分解．因式分解应当分解到“底”，也就是应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积．什么是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解．例如，2x 3-没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积．换句话说，在有理数集内32-x 是既约多项式，但是在实数集内，因为),3)(3(32-+=-x x x 所以32-x 不是实数集内的既约多项式，到目前为止，我们的讨论都是在有理数集内进行的，本单元介绍一元多项式在实数集与复数集内的分解．11.1 求 根 公 式一次多项式永远是既约的.x 的二次三项式c bx ax ++2在复数集内的因式分解非常简单，可以用求根公式求得,242aac b b x -±-= )1( 从而 C bx ax ++2 ⋅-----+--=)24)(24(22aac b b x a ac b b x a )2( 在实数集内，当042≥-ac b 时，c bx ax ++2也可以用(2)式分解．如果,042<-ac b 那么 c bx ax ++2是实数集内的既约多项式．如果ac b 42-不是有理数的平方，那么C bx ax ++2就是有理数集内的既约多项式．如果ac b 42-是有理数的平方，那么c bx ax ++2可以用(2)分解，其实，用十字相乘更为方便：例1 分解因式：.7322--x x解 由于 ,7,3,2-=-==c b a ,065)7(24)3(422>=-⨯⨯--=-ac b65不是有理数的平方，所以在有理数集内7322--x x 是既约多项式．在实数集与复数集内可得 7322--x x⋅--+-=)4653)(4653(2x x 例2 分解因式：.7322+-x x解 由于 ,7,3,2=-==c b a,047724)3(422<-=⨯⨯--=-ac b所以在实数集内7322+-x x 是既约多项式（当然也是有理数集内的既约多项式）．在复数集内可得7322--x x),4473)(4473(2i x i x --+-= 其中i 称为虚数单位，满足等式 .12-=i例3 分解因式：⋅+-89322x x 解 由于 ,89,3,2=-==c b a ,08924)3(422=⨯⨯--=-ac b 所以在有理数集内可得.)43(2893222-=+-x x x 这也是89322+-x x 在实数集与复数集内的分解式， 例4 分解因式：.2322--x x解 由于 ,2,3,2-=-==c b a,525)2(24)3(4222==-⨯⨯--=-ac b所以2322--x x 在有理数集内可以分解．事实上，由十字相乘可得 ).2)(12(2322-+=--x x x x当然，这式子也可以用(2)来分解．11.2 代 数 基 本 定 理在复数集内，每一个x 的（不是常数的）多项式至少有一个根．即对于多项式0111)(a x a x a x a x f n n n ++++=-- （n 是正整数）．一定有复数c 使得.0)(=c f这个结论称为代数基本定理．根据代数基本定理，每个x 的次数大于1的多项式f (x)都有一次因式x-c ，因此在复数集内，只有一次多项式是既约多项式．由代数基本定理容易推出：n 次多项式f(x)恰好有n 个根，如果n x x x ,,,21 是0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的n 个根，那么)3).(())(()(21n n x x x x x x a x f ---=每一个复数都可以写成a+bi 的形式，其中a 、b 为实数，i 是上面已经说过的虚数单位，在b≠0时，a+bi 称为虚数．虚数a+bi 与a- bi 称为共轭复数，它们的和为,2)()(a bi a bi a =-++它们的积为22222))((b a i b a bi a bi a +=-=-+（因为)12-=i即共轭复数的和与积都是实数．如果bi a x +=1与bi a x -=2是一对共轭复数，那么两个共轭的一次因式1x x -与2x x -的积为))((21x x x x --)]()][([bi a x bi a x --+-=),(2222b a ax x ++-=是实系数的多项式，对于实系数多项式f(x)，我们可以用(3)式把它分解为复数集内的一次因式的积．有一条定理告诉我们：实系数多项式的虚数根是两两共轭的．于是，对每一对共轭的复数根（例如上面所说的21x x 、)，我们把相应的两个共轭的一次因式（例如 1x x -与2x x -)乘起来，产生一个实系数的二次因式，这样就得到了f(x)在实数集内的分解．因此，在实数集内，每个多项式可以分解为一次因式与二次因式的积．换句话说，在实数集内，既约多项式一定是一次多项式或二次多项式．从理论上说，在实数集或复数集内，只要求出f(x)的根，就可以把f(x)分解，三次多项式与四次多项式虽然有求根公式，但是，公式的形状比二次多项式复杂得多．次数大于4的多项式没有求根公式，往往只能求出根的近似值．因此，对于具体问题，仍然需要用一些特殊的方法来分解．例5 分解因式：.124+-x x解 由第9单元例3，我们知道124+-x x 不能分解为两个有理系数的二次因式的积，它没有有理根（易验证±1都不是它的根），因而也没有有理系数的一次因式，所以，在有理数集内，124+-x x 是既约多项式．在实数集内，可以用拆项后配方的方法，得到 124+-x x2243)12(x x x -++=2223)1(x x -+=).13)(13(22+-++=x x x x在复数集内，还可以利用求根公式，进一步得到124+-x x)13)(13(22+-++=x x x x⋅--+--+++=)23)(23)(23)(23(i x i x i x i x 11.3 单 位 根．多项式1-n x 的根称为n 次单位根．一次单位根只有1．二次单位根有两个，即±1．由于 14-x )1)(1(22+-=x x),)()(1)(1(i x i x x x -+-+=所以四次单位根有4个，即±1，±i，前两个是实数，后两个是虚数，例6 分解因式：.13-x 解 在有理数集内，熟知),1)(1(123++-=-x x x x这也是13-x 在实数集内的分解式． 在复数集内，13++x x 还可用(2)进一步分解为),231)(231(12i x i x x x ---+--=++ 所以 ⋅+--+---=-)231)(231)(1(13i x i x x x 231i +-与231i --是两个三次（虚）单位根（1是实三次单位根），我们把231i +-记为w ，容易看出,2312i --=ω 并且 .1,1,1223ωωωωω-=+-=+= (4)一般地，在复数集内有n 个n 次单位根，它们是),,,2,1(2sin 2cosn k nk i n k =+ππ (5) 其中 .12sin 2cos =+n n i n n ππ例7 分解因式：.15-x 解 在复数集中，15-x 的根为,54sin 54cos ,52sin 52cosππππi i ++ ,1,58sin 58cos ,56sin 56cos ππππi i ++ 由(3)，得 15-x ⋅-----=)54sin 54cos )(52sin 52cos)(1(ππππi x i x x ⋅----)58sin 58cos )(56sin 56cos (ππππi x i x 因为 ,52sin 52cos 58sin 58cos ππππi i -=+ 与52sin 52cos ππi +共轭，又 ,54sin 54cos 56sin 56cos ππππi i -=+ 与54sin 54cos ππi +共轭，并且 ,1cos sin 22=+αα 所以 )52sin 52cos )(52sin 52cos (ππππi x i x +--- 22)52(sin )52cos (ππ+-=x ,1)52cos 2(2+-=x x π )54sin 54cos )(54sin 54cos (ππππi x i x +--- .1)54cos 2(2+-=x x π 所以在实数集内，可得15-x⋅+-+--=]1)54cos 2(][1)52cos 2()[1(22x x x x x ππ 在有理数集内，由第2单元例13，得),1)(1(12345++++-=-x x x x x x1234++++x x x x 在有理数集内是既约多项式，这将在第12单元中证明．在(5)中，如果k 与n 互质（最大公约数为1），那么nk i n k ππ2sin 2cos +称为本原单位根．例如，对于n-15，与15互质的是1，2，4，7，8，11，13，14，共有8个，也就是说有8个15次本原单位根，可以证明，与n 饮本原单位根对应的一次因式的积是一个整系数的多项式．它称为分圆多项式，例如34x x +12+++x x 就是一个分圆多项式．11.4 攻 玉 之 石“他山之石，可以攻玉”，三次虚单位根w 可以帮助我们在有理数集内分解因式，例8 分解因式：.2245++++x x x x解 w 是多项式2245++++x x x x 的一个根．事实上，利用(4)，可知 2245++++ωωωω222++++=ωωωω)122++=ωω（,0=于是ω-x 是2245++++x x x x 在复数集内的因式，它的共轭因式2ω-x 也是2245++++x x x x 的因式，又 ,1))((22++=--x x x x ωω从而12++x x 是2245++++x x x x 的因式．所以 2245++++x x x x)222()()(223345+++++-++=x x x x x x x x).2)(1(32+-++=x x x x这里，23+-x x 没有有理根，因此是有理数集内的既约多项式．从例1可以知道：如果实系数多项式f(x)有虚根w(即f(w ) =O ），那么f(x)就有因式.12++x x 例9 证明：在m 、n 为自然数时，多项式11323++++n m x x有因式+2x .1+x 证明 因为 11323++++n m ωω12++=ωω,0=所以，12++x x 是11323++++n n x x 的因式．例10 分解因式：.1510++x x解 12++x x 是1510++x x 的因式，所以把1510++x x 分组分解，得1510++x x)()()()(4565677898910x x x x x x x x x x x x ++-+++++-++=-+++)(345x x x)1()(223+++++x x x x x).1)(1(345782+-+-+-++=x x x x x x x x134578+-+-+-x x x x x x 是有理数集内的既约多项式，这一点将在12单元予以证明． 例11 分解因式：.115-x解 115-x1)(35-=x)1)(1(5105++-=x x x+-+-++++++-=45782234)(1)(1)(1x x x x x x x x x x x （).13+-x x )6((最后一步利用了例7及例10).如果沿另一途径分解：115-x1)(53-=x]1)()()())[(1(32333433++++-=x x x x x [根据例7]).1)(1)(1(369122++++++-=x x x x x x x )7(比较(6)、(7)，我们知道136912++++x x x x 不是有理数集内的既约多项式，它可分解为136912++++x x x x).1)(1(34578234+-+-+-++++=x x x x x x x x x x例12 分解因式：.)(444y x y x +++ 解 w 是多项式44)1(1++⋅+x x 的根．事实上，利用(4)，可得44)1(1+++ωω42)(1ωω++=21ωω++=,0=因此，12++x x 是44)1(1+++x x 的因式，22y xy x ++是x y x （++444)y +的因式（这个判断对解444)(y x y x +++)464(43223444y xy y x y x x y x ++++++=)232(2432234y xy y x y x x ++++=)]()()[(2432232232234y xy y x xy y x y x y x y x x ++++++++=.)(2222y xy x ++=小 结在复数集内，)1(≥n n 次多项式。
第11章 复频域分析
第11章 复频域分析主要内容：拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。
主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法，还将介绍KCL 和KVL 的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路。
并介绍了网络函数及其在电路分析中的应用，网络函数极点和零点的概念，讨论极点和零点分布对时域响应和频率特性的影响。
学时安排：本章分4讲，共8学时。
第三十二讲 拉普拉斯变换和基本性质一、主要内容1、为什么要引入拉普拉斯变换经典法求解动态电路，物理概念清楚，可以用来求解简单电路的过度过程。
但对具有多个动态元件的复杂电路，由于方程组的个数比较多、方程阶数较高，直接求解微分方程就显得困难。
而拉普拉斯变换法就是求解高阶复杂动态短路的行之有效方法之一。
拉普拉斯变换法又称运算法。
2、拉普拉斯正变换一个定义在[]∞,0区间的函数)(t f ，它的拉普拉斯变换式定义为式中ωσj s +=为复数，称为复频率，)(s F 称为)(t f 的原函数。
通过拉普拉斯正变换将一个时域函数)(t f 变换到频域函数)(s F 。
通常用符号记作[])()(t f L s F = 3、拉普拉斯反变换如果复频域函数)(s F 已知，要求与之对应的时间函数)(t f ，则由)(s F 到)(t f 的变化称为拉普拉斯反变换，定义为式中c 为正的有限常数，通常记作 )()]([1t f s F L =- 4、拉普拉斯变换的性质 1) 线性性质设)()(21t f t f 和是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为2121),)(A A s F s F 和（和是两个任意实常数，则([)]([)]()([22112211tf L A t f L A t f A t f A L +=+=)()(2211s F A s F A +2）微分性质函数)(t f 的象函数与其导数dtt df t f )()('=的象函数之间有如下关系)()]([s F t f L = 3）积分性质 函数⎰∞-0)()(ξξd f t f 的象函数与其积分的象函数之间满足如下关系若 )()]([s F t f L =则s s F d f L t)(])([0=⎰-ξξ根据拉氏变换的定义和上述基本性质，能方便地求得一些常用的时间函数的象函数。
数学复数知识点总结范文4篇
数学复数知识点总结范文4篇数学复数知识点总结范文4篇学习需要注重灵活性和多样化，积极适应新事物和变化。
知识积累不是孤立的过程，需要与他人交流和分享，形成知识共享的社区和环境。
下面就让小编给大家带来数学复数知识点总结，希望大家喜欢!数学复数知识点总结1复数定义我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数表达式虚数是与任何事物没有联系的，是绝对的，所以符合的表达式为：a=a+ia为实部，i为虚部复数运算法则加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法法则：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;除法法则：(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c+d)]+[(bc-ad)/(c+d)]i.例如：[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=0，最终结果还是0，也就在数字中没有复数的存在。
[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=z是一个函数。
复数与几何①几何形式复数z=a+bi被复平面上的点z(a，b)唯一确定。
这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。
也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式复数z=a+bi用一个以原点O(0,0)为起点，点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。
这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。
③三角形式复数z=a+bi化为三角形式数学复数知识点总结2方差定义方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。
统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
方差性质1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为当X、Y相互独立时，，故第三项为零。
高中复数的知识点(优秀5篇)
高中复数的知识点（优秀5篇）复数在高二数学教学中是一个难点，需要学生重点学习。
这次帅气的我为您整理了5篇《高中复数的知识点》，希望能为您的思路提供一些参考。
关于复数的知识点总结篇一1、知识网络图英语复数形式篇二第一部分：规则变化一般情况（包括以e结尾的名词）加-s-s在清辅音[p][t][k] [f]后读[s]在浊辅音和元音后读[z]在辅音[s][z][d ]后读[iz]口诀：清清浊浊元浊e.g. Cups, cats, cakes, roofs, flags, keys, faces以s,x,ch,sh结尾加-es在[s][z]后读[iz]Classes, boxes, watches, brushes以辅音+y结尾变y为i,加es读[z]Cities, countries, studies以元音+y结尾加-s读[z]Boys,rays,days有人还把以下两个加入了名词有规则变复数的行列。
以o 结尾加-es读[z]e.g. Heroes,tomatoes,potatoes,Negroes加-s读[z]Bamboos,radios,zoos,photos,pianos以f,fe结尾变f,fe为v,再加-es读[vz]Leaf-leaves Life-lives加-s读[s]Roofs, proofs, chiefs第二部分：不规则变化我们经常会看到有些名词变复数时并没有遵循上述规则。
这就是名词的不规则变化。
我们经常看见的有man-men,woman-women,child-children等等。
还有一些名词，单复数是同一个形式的。
不过，我们还是可以通过一些比较，发现其中的一些奥妙。
1以-us结尾的名词通常将-us改为-i读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。
例：fungus→fungi;abacus→abaci;focus→foci;cactus→cacti;cestus→cesti 2以-is结尾的名词，通常将-is变为-es读音变化：尾音[is]改读[i:z]。
《复数——复数的四则运算》数学教学PPT课件(4篇)
＝(1－i)(1＋i)－12＋
3
2
i
＝(1－i2)－12＋
3
2
i
＝2－12＋ 23i＝－1＋ 3i.
第七章 复 数
栏目 导引
第七章 复 数
(2)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等 的条件知，a2＋a－2bb＝＝43，，解得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
栏目 导引
第七章 复 数
复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
(2)
1＋i 1－i
2
019
＝
（1＋i）（1＋i） （1－i）（1＋i）
2
9
＝
2i
2
2
019
＝
i2
019 ＝
(i4)504·i3＝1504·(－i)＝－i.
【答案】 (1)B (2)－i
栏目 导引
第七章 复 数
(1)i 的周期性要记熟，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i. ③1i ＝－i.
复数与多项式---讲义
复数与多项式 讲义一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
I ．复数的四种表示形式代数形式：∈+=b a bi a z ,(R ）几何形式：复平面上的点Z （b a ,）或由原点出发的向量OZ . 三角形式：∈≥+=0,0),sin (cos r i r z θθR . 指数形式：θi re z =.复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实. II ．复数的运算法则 加、减法：;)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+ 乘法：;)()())((i ad bc bd ac di c bi a ++-=++ )];sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r除法：).0(2222≠++-+++=++di c i d c adbc d c bd ac bi c bi a)].s i n ()[c o s ()s i n (c o s )s i n (c o s 212121222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 乘方（棣莫弗定理）：∈+=+n n i n r i r nn)(sin (cos )]sin (cos [θθθθN ）；开方：复数n i r 的)sin (cos θθ+次方根是).1,,1,0)(2sin 2(cos -=+++n k nk i nk r n πθπθ单位根：若w n=1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=ni n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k ，若k=nq+r,q ∈Z,0≤r ≤n-1，有Z nq+r =Z r ；（2）对任意整数m ，当n ≥2时，有m n m mZZ Z 1211-++++ =⎩⎨⎧,|,,|,0m n n m n 当当特别1+Z 1+Z 2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2)…(x-Z n-1)=(x-Z 1)(x-21Z )…(x-11-n Z ).复数z 是实数的充要条件是z=z ;z 是纯虚数的充要条件是：z+z =0（且z ≠0）. 代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
复数域和实数域上的多项式
pi 2 4qi 0, i 1, 2,, t.
第一章
多项式
例1.8.2： 设 1 , 2 , 3 , 4 是多项式 f x a0 x4 a1x3 a2 x2 a3 x a4 的非零根，
求以 为根的四次多项式。 1 2 3 4
, , , 1 1 1 1
解：设 f x x4 a1x3 a2 x2 a3x a4 ,
则 a1 1 4 2 2 1, a2 4 2 2 8 8 4 12,
a3 8 8 16 4 4,
a4 1 16 16.
1i j n
i j x
n2
1 1 2 n
n
—（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
第一章 多项式
得根与系数的关系为：
a1 1 n
a2 12 13 n1n
a3 123 124 n2n1n
故有
a0 n a1 n1 an 0
a0 n a1 n1 an1 an 0
两边取共轭复数，注意到 a0 , a1,, an 和0都是实数，
则有
第一章
可见 也是 f x 的根。
多项式
因此多项式：
g x x x x2 x
n n1 设 f x x a1x an1x an
—（1）
是一个n（n>0）次多项式，则它在C中有n个根，记 为 1 , 2 ,, n 则
f x x 1 x 2 x n
x n 1 n x n 1
数学中的复数进阶复数的幂与多项式方程解法
数学中的复数进阶复数的幂与多项式方程解法数学中的复数进阶：复数的幂与多项式方程解法复数是数学中一个非常有用的概念。
它们不仅可以扩展实数域，还在各种数学和物理问题中发挥着重要作用。
在之前的学习中，我们已经了解了复数的定义和基本运算，现在我们来探讨复数的幂与多项式方程的解法。
一、复数的幂复数的幂是指将复数乘以自身若干次。
让我们以一个复数z = a + bi为例进行说明。
其中，a是实部，b是虚部。
当n为正整数时，复数z的n次幂可以通过连乘来计算。
例如，z的2次幂可以表示为：z^2 = (a + bi)(a + bi)通过分配律，我们可以展开上式，得到：z^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2根据虚数单位i的性质（i^2 = -1），我们可以把上式简化为：z^2 = a^2 + 2abi - b^2同理，我们可以推广到更高次的情况。
复数z的n次幂可以表示为：z^n = (a + bi)^n利用二项式定理展开上式，我们可以得到：z^n = C(n, 0)(a^n)(bi)^0 + C(n, 1)(a^n-1)(bi)^1 + C(n, 2)(a^n-2)(bi)^2+ ... + C(n, n-1)(a^1)(bi)^(n-1) + C(n, n)(a^0)(bi)^n根据虚数单位i的性质，我们可以简化上式为：z^n = a^n + C(n, 1)(a^n-1)(bi)^1 + C(n, 2)(a^n-2)(bi)^2 + ... + C(n, n-1)(a^1)(bi)^(n-1) + (bi)^n通过化简，我们可以得到复数z的n次幂的通式：z^n = a^n + C(n, 1)a^n-1bi - C(n, 2)a^n-2b^2 - ... + C(n, n-1)ab^(n-1)i^(n-1) + (-1)^n b^n二、多项式方程的解法多项式方程是指包含一个或多个未知数的方程，其中未知数可以是复数。
6.7 复数域和实数域上的多项式讲解
mr
其中， a0 为 f x 的首项系数，且 m1 m2 mr 0 f x
3
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
6.7.2 实数域上的多项式
定理 6.23 设 f x 为实系数多项式， 为 f x 的虚根，则 也是 f x 的根，且 与 的重数相同.
4
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
从而， x - , x - 都是 f x 的因式.
令 g( x) x x x2 x R x 因 g ( x) f ( x) (?) ，则可令 f ( x) g ( x)h( x), h( x) R x .
5
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
证 因 p x 不可约，则 0 ( p x )> 0 ，故 p x 在 C 内必有一个根
.若 为实数，则因 x - p x ，令 p x x q x ，但 p x 不可
约，则 q x c c 0 ，可见， p x c x ；若 为虚数，则 也 是 p x 的根， 从而 g x x x x 2 x 为 p x 的因 式，但 p x 不可约，则 p x b[ x 2 x ] (b 0) ，即 p x 是 含共轭虚根的二次多项式.
证 1 n 0 时， f x 有零个根，结论成立；
2 设 n 0 ，且当 n 1 时结论成立，而由定理 6.21 知： f x
必有一个根 .于是， x - f ( x ) .设
高考数学一轮第11章 算法初步、复数、推理与证明 11-2
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列 12——解决复数问题的实数化思想 [2018·金华模拟]已知 z∈C，解方程 z·－z －3i－z ＝1＋3i. 解题视点 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，根据已知中恒等的 条件，列出一组含 a，b 的方程，解方程组使问题获得解决．
解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi) ＝1＋3i，即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.
∴－2λ－λ＋μμ＝＝－3，4， 解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1.
考向 复数的代数运算 命题角度 1 复数的乘法运算 例 3 [2017·山东高考]已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3i，z·z ＝4，则 a＝( ) A．1 或－1 B. 7或－ 7 C．－ 3 D. 3
A. 5 B．2 5 C．5 2 D. 10
解析 ∵z＝－2＋i，∴－z ＝－2－i， ∴|(1＋z)·－z |＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝ 1＋9＝ 10，故选 D.
5．[2017·江苏高考]已知复数 z＝(1＋i)(1＋2i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是____1_0___．
解析 ∵a∈R，a2－＋ii＝a2－＋ii22－－ii＝2a－1－5a＋2i＝ 2a5－1－a＋5 2i 为实数，∴－a＋5 2＝0，∴a＝－2.
触类旁通 求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念 都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关 的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再根据题意列方程(组)求解．
∴a＝43， b＝1，
解析 依题意得(a＋ 3i)(a－ 3i)＝4，即 a2＋3＝4，∴ a＝±1.故选 A.
高中四年级数学教案复数与多项式
高中四年级数学教案复数与多项式高中四年级数学教案：复数与多项式导言：本教案针对高中四年级数学课程中的复数与多项式内容进行详细讲解与示范。
通过引入复数的概念和多项式的运算规则，帮助学生深入理解并掌握相关知识，以提升他们的数学思维和解题能力。
一、复数的引入与基本概念（200字）1. 复数的起源2. 复数的定义与实部、虚部3. 复数的表示形式4. 复数平面与复数的几何表示二、复数运算（400字）1. 复数的加法与减法a) 同实部相加减b) 同虚部相加减c) 实部虚部分别相加减2. 复数的乘法a) 复数的模与幅角b) 复数的乘法公式c) 复数的乘法几何意义3. 复数的除法a) 倒数的概念b) 复数的除法公式c) 复数的除法几何意义三、多项式的引入与基本概念（250字）1. 多项式的定义与特点2. 多项式的系数、次数和项数3. 多项式的表示形式四、多项式的运算（400字）1. 多项式的加法与减法a) 同次数项的相加减b) 不同次数项的相加减2. 多项式的乘法a) 多项式的乘法原理b) 多项式的乘法运算步骤3. 多项式的除法a) 除法的基本概念b) 多项式的长除法运算步骤c) 余式与被除式的关系五、复数与多项式的应用（250字）1. 复数在方程中的应用a) 复数根的概念b) 利用复数根求解方程2. 多项式在实际问题中的应用a) 多项式的建模能力b) 利用多项式解决实际问题的步骤六、综合例题与解析（200字）1. 综合应用复数与多项式的题目2. 按照步骤解题的思路及方法结语：通过本教案的学习，相信同学们对于复数与多项式的概念、运算规则及应用方法有了更深入的理解。
希望同学们能够在实际练习中熟练运用所学知识，提高数学解题的能力，为将来的学习打下坚实的基础。
复系数,实系数,有理系数多项式
即
p | b0 , … , p | bj-1 , p | bj .
考察 h (x) 的系数 di+j , 由乘积的定义
di+j = aibj + ai+1bj-1 + ...+ai+j b0 + ai-1bj+1 + ai-2bj+2 + … +a0bi+j
由假设，p 整除di+j ，p 整 除右 端aibj 以外的每一项，
f (x) 的一个根或零点. 由余数定理：
f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α ) , 得到根与一次因式的关系：
推论 α 是 f (x) 的根的充分必要条件是
( x -α ) | f (x) . 由这个关系，我们可以定义重根的概念. α 称 为 f (x) 的 k 重根，如果 ( x -α ) 是 f (x) 的 k 重因式.
当 k = 1 时，α 称为单根；当 k > 1 时，α 称为重 根.
推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k
重因式(k ≥ 1)，那么 p(x) 是 f (x) , f ′(x) , … , f (k-1)(x)
的因式，但不是 f (k)(x) 的因式.
一元代数方程
( ) f
定理 4.4(代数基本定理) 每个次数 ≥ 1 的复系数多项
式在复数域中有一根. 利用根与一次因式的关系(定理 4.1 及其推论)
代数基本定理可以等价地叙述为： 每个次数 ≥ 1 的复系数多项式，在复数域上一
定有一个一次因式.
注释 在复数域上所有次数大于 1 的多项式
全是可约的. 即，不可约多项式只有一次多项式.
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第11篇复数与多项式第一章复数基础在科学研究和生产实践中，有些数学问题在实数范围内不能解决，如方程210x +=在实数范围内无解，因此，人们引入了复数的概念。
复数已经在数学、力学、电学以及其他学科里获得广泛应用，成为现代科学技术中普遍使用的一种数学工具。
从今天起，我们关于复数的概念、表示方法、运算、应用等。
第一节复数的概念知识梳理1.1虚数单位在实数范围内，方程210x+=无解。
为了使这个方程有解，人们引入了一个新数i ，并规定：（1）21;i =-（2）它和实数进行四则运算，原有的运算法则仍然成立。
例如：32422(1),(1)(1) 1......i i i i i i i i =⋅=-=-=⋅=-⋅-=有周期性？我们把这个新数i 叫做虚数单位。
1.2复数的定义形如a bi +的数叫做复数。
其中a b 、都是实数，分别叫做复数的实部和虚部。
复数常用z 表示，即z a bi =+（a b 、为实数）。
（1）当0b =时，复数a bi +就是实数a 。
（2）当0b ≠时，复数a bi +叫做虚数。
（3）当0a =且0b ≠时，复数bi 叫做纯虚数。
请同学们举例。
复数包含了所有的实数和虚数，实数和虚数是复数的特殊情形。
全体复数组成的集合称为复数集，用字母C 表示。
显然，实数集R是复数集C 的真子集。
关于复数的比较大小，我们规定：（1）如果两个复数1z a bi =+与2z c di =+的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等。
即：a c =且b d =12z z ⇔=（2）如果两个复数1z a bi =+与2z c di =+不全是实数，就不能比较大小。
即实数可以比较大小，虚数不能比较大小。
解题示范1.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第二节复数的几何表示2.1用复平面内的点表示复数知识梳理任何一个复数z a bi =+都对应着唯一的有序实数对(,)a b ,因此，我们可以借助平面直角坐标系来表示复数za bi =+。
如图，在平面直角坐标系中，复数z a bi =+可以用点(,)P ab 来表示。
这种建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。
对于每一个复数，都能在复平面内找到唯一确定的点与之对应，反过来，复平面内每一个点对应着唯一的一个复数。
即点(,,)()P a b z a bi a b R ⇔=+∈、由此可知，复数集C 和复平面内所有点的集合是一一对应的，这是复数的一种几何意义。
在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴（除去原点）叫做虚轴。
解题示范例在复平面内分别描出表示下列复数的点：1234123,,3,1 3.2z i z i z z i =-==-=-+2.2用向量表示复数知识梳理如图，如果复数z a bi =+对应复平面内一个点P ，则有向线段OP 所表示的向量OP与复数z a bi =+有以下关系：复数z a bi =+⇔向量OP也就是说，任何一个复数z a bi =+对应着以坐标原点O 为起点、(,)P a b 为终点的唯一向量OP ，所以复数z a bi =+可以用复数z a bi =+来表示，这是复数的另一种几何表示。
因此，常把复数z a bi =+说成点(,)P a b 或向量OP 。
向量OP 的长称为复数z a bi =+的模，用r 表示，也可记作||z 或||a bi +。
其关系为：22||r z a b ==+解题示范例用向量表示复数1232,2,34z i z z i ==-=+，并求它们的模。
2.3共轭复数知识梳理观察下列两对复数在复平面内所对应的点的位置关系：1212(1)33(2)1212z i z iz i z i=+=-=-+=--与与不难看出，以上两对复数在复平面内对应的点都关于实轴对称，即实部相等，虚部互为相反数。
我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数。
复数za bi =+的共轭复数记为z a bi =-。
共轭复数的性质：(1)两个共轭复数的模相等；(2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；(3)()2z z a bi a bi a +=++-=；(4)实数a 的共轭复数是它本身。
解题示范例已知复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=+，求12||||z z 的最大值和最小值。
2.4复数的辐角知识梳理设非零复数z a bi =+对应于向量OP ，则以x 轴的正半轴为始边、向量OP 为终边的角称为复数z a bi =+的辐角。
一个非零复数za bi =+有无穷多个辐角，这些辐角相差2π的整数倍。
辐角在[0,2)π内的值θ叫做辐角的主值，记作arg z 。
每一个非零复数有唯一的模和辐角的主值。
由任意角三角函数的定义可知：tan (0)b a aθ=≠，从而可以确定复数(0)z a bi a =+≠的辐角的主值，而θ所在象限由点(,)a b 所在象限确定。
解题示范例已知123,1z z ==-+（1）在复平面内画出复数12z z 、对应的向量；（2）求复数12z z 、的辐角的主值；（3）求两向量夹角的大小。
第三节复数的三角形式和指数形式知识梳理3.1复数的三角形式如图，设非零复数z a bi =+的模为r ，辐角主值为θ，则cos ,sin .a rb r θθ=⎧⎨=⎩于是(cos sin )a bi r i θθ+=+其中r =θ由tan (0)b a aθ=≠及点(,)a b 所在象限来确定。
我们把(cos sin )z r i θθ=+叫做复数z 的三角形式，其中，r 为复数的模，θ为复数的辐角主值。
为了区别起见，把z a bi =+叫做复数z 的代数形式。
复数的代数形式和三角形式之间可以相互转化。
例求下列复数的辐角主值，并将其表示成三角形式：(1)1(2)tan ,(0,)(,)22(3)1cos sin ,[0,2)i i ππθθπαααπ-+∈++∈ 3.2复数的指数形式(cos sin )i r i re θθθ+=解题示范例把复数1-表示成指数形式。
第四节复数的运算及几何意义4.1复数的运算知识梳理一、复数的四种表示形式：代数形式、几何形式、三角形式、指数形式：θi re z =.二、复数的运算法则加、减法：()()()()a bi c di a c b d i+±+=±+±乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i++=-++111222121212(cos sin )(cos sin )[cos()sin()]r i r i r r i θθθθθθθθ+⋅+=+++除法：2222(0).a bi ac bd bc ad i c di c bi c d c d++-=++≠+++)].sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 乘方：∈+=+n n i n r i r nn )(sin (cos )]sin (cos [θθθθN ）；开方：复数(cos sin )r i θθ+的n22sin )(0,1,,1).k k i k n n nθπθπ+++=- 解题示范例已知复数12z z 、满足121213||||1,22z z z z ==+=+，求12z z 、的值.4.2复数的几何意义知识梳理(1)复数模的几何意义：||||z OZ = ，即Z 点到原点O 的距离，一般地12||z z -即1Z 点到2Z 点的距离．(2)复数加法、减法的几何意义图中给出1221z z z Z Z ==- 的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．(3)复数乘、除法的几何意义：设1111=(cos sin ),z r i θθ+则1zz 的几何意义是把z的对应向量OZ 按逆时针方向旋转一个角1θ(如果10θ<，就要把OZ 按顺时针方向旋转一个角1||θ，再把它的模变为原来的r 1倍，所得向量OP 即表示积1zz ，如图，10z ≠,1z z 的几何意义是把Z 的对应向量按顺时针方向旋转一个角1θ(如果10θ<，就要把OZ 按逆时针方向旋转一个角1||θ，再把它的模变为原来的11r倍，所得的向量即表示商1z z .解题示范例已知复数12z z 、满足12121||||1,22z z z z ==+=+，求12z z 、的值。
第五节复数的应用知识梳理一．重要性质或结论1.共轭复数的运算性质111212121222()()().n n z z z z z z z z z z z z n z z ±=±∙=∙==∈Z z z z =⇔∈R ，若z 为纯虚数.z z -=⇔2.复数模的运算性质22111212222||||||,||||,||||||,(0),||z z z z z z z z z z z z z z z =∙==∙=∙=≠n n z z ||||=（当0≠z 时，Z ∈n ），.||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-此不等式通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.).|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++此恒等式的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.二．复数与点的轨迹两点间的距离公式：||21z z d -=；线段的中垂线：||||21z z z z -=-；圆的方程：r p z =-||（以点p 为圆心，r 为半径）；椭圆：a z z z z 2||||21=-+-（a 2为正常数，||221z z a ->）；双曲线：a z z z z 2||||||21=---（a 2为正常数，||221z z a -<）；圆的内部：r p z <-||（以点p 为圆心，r 为半径）；闭圆环：21||r p z r ≤-≤（以点p 为圆心，21,r r 为半径）.三．复系数一元二次方程及性质1．实系数一元二次方程)0,,(02≠∈=++a c b a c bx ax 且R .判别式.42ac b -=∆（1）当0≥∆时，方程有实数根aac b b x 2422.1-±-=；当0<∆时，在复数集C 中，方程有一对共轭虚数根aac b b 2i )4(2--±-；（2）根与系数的关系：无论0≥∆，还是0<∆，总有,21x x +，且.||||222121a c x x x x ===2．虚系数一元二次方程02=++c bx ax （c b a a ,,,0≠至少有一个为虚数）（1）求根公式仍适用；（2）根与系数的关系仍适用；（3）判别式判断实根情况失效；（4）虚根成对出现的性质失效。