第11篇 复数与多项式

第11篇复数与多项式

第一章复数基础

在科学研究和生产实践中，有些数学问题在实数范围内不能解决，如方程210x +=在实数范围内无解，因此，人们引入了复数的概念。复数已经在数学、力学、电学以及其他学科里获得广泛应用，成为现代科学技术中普遍使用的一种数学工具。从今天起，我们关于复数的概念、表示方法、运算、应用等。

第一节复数的概念

知识梳理

1.1虚数单位

在实数范围内，方程210x

+=无解。为了使这个方程有解，人们引入了一个新数i ，并规定：

（1）21;

i =-（2）它和实数进行四则运算，原有的运算法则仍然成立。例如：32422(1),(1)(1) 1......i i i i i i i i =⋅=-=-=⋅=-⋅-=有周期性？

我们把这个新数i 叫做虚数单位。

1.2复数的定义

形如a bi +的数叫做复数。其中a b 、都是实数，分别叫做复数的实部和虚部。复数常用z 表示，即z a bi =+（a b 、为实数）

。（1）当0b =时，复数a bi +就是实数a 。

（2）当0b ≠时，复数a bi +叫做虚数。

（3）当0a =且0b ≠时，复数bi 叫做纯虚数。请同学们举例。

复数包含了所有的实数和虚数，实数和虚数是复数的特殊情形。全体复数组成的集合称为复数集，用字母C 表示。显然，实数集R

是复数集C 的真子集。

关于复数的比较大小，我们规定：

（1）如果两个复数1

z a bi =+与2z c di =+的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等。即：a c =且b d =12

z z ⇔=（2）如果两个复数1

z a bi =+与2z c di =+不全是实数，就不能比较大小。即实数可以比较大小，虚数不能比较大小。

解题示范

1.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +

为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

第二节

复数的几何表示

2.1用复平面内的点表示复数知识梳理

任何一个复数z a bi =+都对应着唯一的有序实数对(,)a b ,因此，我们可以借助平面直

角坐标系来表示复数z

a bi =+。如图，在平面直角坐标系中，复数z a bi =+可以用点(,)P a

b 来表示。这种建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。对于每一个复数，都能在复平面内找到唯一确定的点与之对应，反过来，复平面内每一个点对应着唯一的一个复数。即点(,,)()

P a b z a bi a b R ⇔=+∈、

由此可知，复数集C 和复平面内所有点的集合是一一对应的，这是复数的一种几何意义。在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴（除去原点）叫做虚轴。

解题示范

例在复平面内分别描出表示下列复数的点：

1234123,,3,1 3.2

z i z i z z i =-==-=-+

2.2用向量表示复数

知识梳理

如图，如果复数z a bi =+对应复平面内一个点P ，则有向线段OP 所表示的向量OP

与复数z a bi =+有以下关系：复数z a bi =+⇔向量OP

也就是说，任何一个复数z a bi =+对应着以坐标原点O 为起点、(,)P a b 为终点的唯一向量OP ，所以复数z a bi =+可以用复数z a bi =+来表示，这是复数的另一种几何表示。

因此，常把复数z a bi =+说成点(,)P a b 或向量OP 。

向量OP 的长称为复数z a bi =+的模，用r 表示，也可记作||z 或||a bi +。其关系为：22||r z a b ==+解题示范

例用向量表示复数1232,2,34z i z z i ==-=+，并求它们的模。

2.3共轭复数

知识梳理

观察下列两对复数在复平面内所对应的点的位置关系：

1212(1)33(2)1212z i z i

z i z i

=+=-=-+=--与与不难看出，以上两对复数在复平面内对应的点都关于实轴对称，即实部相等，虚部互为相反数。

我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数。复数z

a bi =+的共轭复数记为z a bi =-。

共轭复数的性质：

(1)两个共轭复数的模相等；

(2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；(3)

()2z z a bi a bi a +=++-=；(4)实数a 的共轭复数是它本身。

解题示范

例已知复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=+，求12||||z z 的最大值和最小值。

2.4复数的辐角

知识梳理

设非零复数z a bi =+对应于向量OP ，则以x 轴的正半轴为始边、向量OP 为终边的角

称为复数z a bi =+的辐角。一个非零复数z

a bi =+有无穷多个辐角，这些辐角相差2π的整数倍。

辐角在[0,2)π内的值θ叫做辐角的主值，记作arg z 。每一个非零复数有唯一的模和辐角的主值。由任意角三角函数的定义可知：

tan (0)b a a

θ=≠，从而可以确定复数(0)z a bi a =+≠的辐角的主值，而θ所在象限由点(,)a b 所在象限确定。

解题示范

例已知123,1z z ==-+（1）在复平面内画出复数12z z 、对应的向量；

（2）求复数12z z 、的辐角的主值；

（3）求两向量夹角的大小。