有限元第3讲补充_平面问题-整体刚度矩阵 ppt课件

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单元刚度矩阵精选ppt

材料参数行对应微分方程弱形式中的变量
单元刚度矩阵：
DIST = +[u/x;u/x]*ea +[v/x,x;v/x,x]*eiz +[w/x,x;w/x,x]*eiy +[anx/x;anx/x]*gjx
0 l[ E A d d u xd d u x E I zd d x 2 v 2d d x 2 v 2 E I y d d x 2 w 2d d x 2 w 2 G I x d d x xd d x x ] d x
z q
x y
1/3
1/3
1/3
几何模型
➢有限元分析
微分方程描述：
板单元：
采用adini板单元，adini矩形板单元是基于经典薄板理论的板单元，其广义内力和广义应变的定义是
ห้องสมุดไป่ตู้
M
x
M M y
M
xy
其广义应力应变关系是：
κ
x y xy
y x x y
x
y
l f(x)udx 0 j
Fjuj 0lqy(x)vdx j
Nyjvj 0lmz(x)d dxvdxj
Mzjddvxj
0lqz(x)wdx j
Nzjwj 0lmy(x)ddw xdxj
Myjddw xj 0lmx(x)xdxj
Mxjxj
其中，右端项中的非积分项可以看作是集中载荷的情况，所以可以不单独列出，所以上式可以继续写为：
第四讲
结构力学有限元分析
元计算技术部
本讲通过结构力学问题中的两个案例，梁结构和梁板组合结构的力学分析，从ELAB1.0有限元分析、 ELAB1.0操作、ELAB1.0有限元文件描述三个方面进行介绍，旨在让大家可以用ELAB1.0软件公式库对自己的问题进行分析计算，而通过对有限元描述文件的介绍，可以解决大家遇到的特殊问题。

有限元入门ppt课件

有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法（Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。弹性力学固有弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件

有限元分析基础-PPT资料194页

3.1.2 坐标系
为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结
构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。
图3-3 坐标系示意图
29
第三章杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。
时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。
33
第三章杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的移分 i ， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:

v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个
待定系数 1， 2， 3 ， 4 的多项式 v (x )12 x3 x 24 x 3
12
第二章结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
单元结点位移条件
当 x0 时
性质方程。 (2) 变分法
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。 (3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。
5
第一章概述

[工学]第4章平面问题的有限元法-3刚度矩阵

* 1 1 * 2 * 3 3
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16）式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5

有限元讲义3-1

[
]
试中，[B]称为三角板单元的应变矩阵或几何矩阵。
四、根据物理方由物理方程程求应变
{σ} = [D]{ε} = [D][B]{q}
（4.3-8）
弹性矩阵[D]是常数矩阵，[B]也是常数矩阵,因此，当节点位移求出后，就可以算出三角板单元的应力（常数值）。在单元内，应变和应力均为常数值，一般是与实际情况不相符合的，当单元划分相当小时，也只能说是近似的。五、单元力的平衡方程在弹性力学中，应力与体积力之间的平衡关系是由平衡微分方程来体现；应力与表面力之间的平衡关系由静力边界条件来体现，以上可统称为应力与外力之间的平衡方程。这种平衡关系在整个弹性体内是逐点满足的。在有限元法中，应力与外力之间的平衡关系不是逐点满足的，而是在单元整体意义上满足平衡。通常用虚功方程代替平衡方程。
四、根据物理方程求应力
{σ} = [D][B]{q}
五、矩形板单元刚度矩阵的导出
− − [K] = ∫∫∫V [B]T [D][B]dV = t ⋅ ∫∫S [B]T [D][B]dxdy= t ⋅ ∫a a ∫b b[B]T [D][B]dxdy
（4.4-11）
vi = a5 − aa6 − ba7 + aba 8 v j = a5 + aa6 − ba7 − aba 8 vk = a5 + aa6 + ba7 + aba 8 vl = a5 − aa6 + ba7 − aba 8
（4.4-2）
写成矩阵形式并求出多项式系数，有
1 1 1 1 1 1 u 1 1 a1 − i − a a a a u a2 1 1 1 1 j = 1 − u a3 4 − b b b b k a4 1 1 1 1 ul − − ab ab ab ab

有限元分析 ppt课件

有限元分析 Finite Element Analysis
课程目标
1) 了解什么是有限单元法、有限单元法的基本思想。
2) 学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参单元等概念。
3) 初步学会使用商用有限元软件分析简单工程问题。
4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000
5. 郭和德编. 有限单元法概论，清华大学， 1998
1 有限单元法简介
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x)q(Lx)
d(L x)N(x)d xq(Lx)dx EA EA
u(x)xN(x)d xq(L xx2)
0 EA EA 2
x
du q (Lx) dx EA
x
Ex
q(Lx) A
自重作用下等截面直杆的有限单元法解答
1）离散化如图所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。第 i 个单元的长度为 Li ，包含第i，i+1个结点。
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron）或六面体（Hexahedron）单元的网格
四面体4结点单元
六面体8结点单元

整体分析及总体刚度矩阵的性质ppt课件

2、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
节点5只与周围的六个节点 (2、3、4、6、8、9)用三角形单元相连，它们是5的相关节点。只需当这七个相关节点产生位移时，才使该节点产生节点力，其他节点发生位移时并不在该节点处引起节点力。因此，在矩阵[K]中，第5行的非零子块只需七个(即与相关节点对应的七个子块)。
n
d
•
•
•
•
n
••••• •
•
•
•
•
(a)[K]
矩阵[K] d
•
对角线
•
•
•
r行
••••• •
n
•
r列
•
•
•
r行s列
(b) [K]*
元素
矩阵 [ K ] * 第1列
r行 45度斜线 r行s-r+1列元素
整体刚度矩阵的特点
同一网格中，假设采用不同的节点编码，那么相应的半带宽d也能够不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。因此，该当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。
是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。
整体分析
2、根据支承条件修正整体刚度矩阵。建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量对待，没有思索详细的支承情况，因此进展整体分析时还要针对支承条件加以处置。在上图的构造中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6
的四个支杆处相应位移知为u 1 零：0 ， u 4 0 ， v 4 0 ， v 6 0

第4章-连续体结构分析的有限元方法—平面问题有限元分析PPT课件

4
-
5
4.2 平面问题的3节点三角形单元
平面问题3节点单元具有几何特征简单、描述能力强的特点，是平面问题有限元分析中最基础的单元，也是最重要的单元之一。单元的几何和节点描述
-
6
该单元共有6个节点位移自由度(DOF)，将所有节点上的位移组成一个列阵，记作qe；同样，将所有节点上的各个力也组成一个列阵，记作Pe，那么
-
32
4.4 三角形单元与矩形单元计算精度的比较
-
33
-
34
-
35
-
36
-
37
-
38
-
39
-
40
-
41
-
42
从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形
函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为
常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应
变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函
-
44
-
45
-
46
-
47
-
48
-
49
-
50
例2：用平面4节点矩形单元进行分析
如图所示为一矩形薄平板，在右端部受集中力F=100000N作用，材料常数为：弹性模量 E=1×107Pa、泊松比μ=1/3，板的厚度为t=0.1m，试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。
-
51
-
52
数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势
能越小，则整体计算精度自由度情况下，矩形
单元的计算精度要比三角形单元高。
-
43
例1：用平面3节点三角形单元进行分析

有限元法基础ppt课件

有限单元法
一、数值模拟方法概述二、有限单元法简介三、有限单元法分析步骤四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method）其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。

第3讲有限元梁单元 ppt课件

一、离散化，节点位移与节点载荷
• 对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接”。
• 梁上任一节点i处有2个位移分量：挠度 f i 及转角 i 。
第二章杆单元与梁单元
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
i
fii
fi
i T
i 称为节点i的节点位移。
• 对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力 Z i 和弯矩 M i ，称为广义力。
第二章杆单元与梁单元
§2.3 简单梁单元
结构上一个节点的载荷用列阵表示为：
QiMZiiZi Mi T Qi 称为节点i的节点载荷。
• 梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。
总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。
第二章杆单元与梁单元
§2.3 简单梁单元
• 总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下： 1）对称性； 2）奇异性； 3）稀疏性； 4）非零元素带状分布
由刚度方程可得：
s1 a11 a12 a13 a14u1
ss32 s4
a21 aa3411
a22 a32 a42
a23 a33 a43
aaa342444uuu432
同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：
a 12
6 EJ l2
a 22
4 EJ l
a 32
6 EJ l2
a 42
第二章杆单元与梁单元
§2.4 平面内一般梁单元

有限元课件ppt

整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可以用于分析各种类型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场的问题，如热传导、热对流和热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也有广泛应用，可以用于求解流体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量

有限元基本概念ppt课件

i1
i1
其中： Hi( xj )δij H'i(xj )0
'
Hi( xj )0 Hi( xj )δij
1 i j δij 0 i j
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观
经推导：
n
n
P 2 n - 1 ( x ) 1 2 W i 'x ix x i W i2 x u ix - x iW i2 x u i '
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观
• 有限元方法的分类
依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为：位移法：以位移为基本未知量力法：应力为基本未知量混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量
• 有限元位移法的基本概念
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
ε
B
e
δ
x
0
0
0
y
0
0
B
y
0
x
z
0
N
0
0
1
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0
0
N 2
0
z y
z
0
x
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观
ji ji
i,j0,1,2, n
可令：
Ni
x
C x x 0 x x 1 x x i - 1 x x i + 1 x x n

有限元法PPT课件

重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。全球28个办事处和9个代表处业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)

有限元分析方法第三章平面问题的三角形单元PPT课件

2A1E121
1bl
2112cl
2021
1cl
cl ,l i, j,m
2112bl
34
3.4 用结点表示l点位移对单元应力的贡献率，一旦单元确定，Se也就确定了，此时单元内的应力仅依赖于结点位移。
– Se中所有元素都是常数，σe的三个分量也是常数，与坐标x，y无关，因此称这种三结点单元为常应力单元。
1
xj
1 xm
1
x 2021 m
1
xi
xi yi
xj
yj
1
yj
1 yi
1
xi
1 xj
15
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
C1
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
cm
ai
x j ym xm yi
xj xm
yj
ym
1
bi
yj
ym
1
yj ym
1 ci xm x j 1
e u i v i u j v j u m v m T
– 单元内虚位移场
ue
ue v2021
Nee
37
3.5 单元刚度矩阵
• （一）单元结点力
– 单元内的虚应变
eLeuB e e
– 单元结点力在结点虚位移上的虚功
e T F e F iu x i F iv i y F ju x j F jv y j F m u m x F m v m
N id
e
xd A 3, yeN jd
xd A 3, yeN m d
xd Ay 3
• 在单元ijm的ij边上积分有

有限元第3讲补充_平面问题-整体刚度矩阵

(4) 0 K 33 (4) 0 K 43 (4) 0 K 53
0 1 0 2 (4) K 35 3 K (4) (4) K 45 4 (4) K 55 5
y
式中： Fi ——④号单元中第i（i=3,4,5）节点所受力；
式中： Fi ——①号单元中第i（i=1,2,3）节点所受力。表示，即为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移 y
(1) F1(1) K11 (1) (1) F2 K 21 (1) (1) F3 K 31 0 0 0 0 (1) K12 (1) K 22 (1) K 32 (1) K13 (1) K 23 (1) K 33
y
F1 F1(1) F1(2) 0 0 (3) F (1) F 0 F 0 2 2 2 (3) (4) (1) (2) F = F3 F3 F3 F3 F3 F 0 F (2) 0 F (4) 4 4 (3) 4(4) F5 F5 F5 0 0
5 平面问题有限元分析整体刚度矩阵
整体刚度矩阵整体刚度矩阵的特点曹国华边界条件处理计算结果整理
1
整体刚度矩阵
e 前文对单元体进行了分折，得到了单元刚度方程 F e K e ，
但要解决问题，还必须进一步建立整个计算模型的整体刚度方程。完成这一步的关键，在于怎样将单元的刚度矩阵和节点荷载列阵，分别“组装”成整体刚度矩阵和整体节点荷载
(1)
0 0

有限元ppt课件

17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有

1
I (1,2 ,3,

2
I (1,2 ,3,
力,它反映了内力在截面上的分布密度。
z
y
o
zx
xz
z zy
yz
切应力互等定律 xy yx , xz zx , yz zy
y
应力矩阵
x xy
yx
T
x y z xy yz zx
y
x
z
微分体的应力分量

v y w z u v

0

0

yz

zx
y x y

v

w
0
y
0
x
0

z

u v

0

w
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW

1 2
F xdx
将F代入:
dW

1 2

x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:

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0 0 1
0 0 0
0 0
0

2 3 4

K
(1)
0 0 0 0 0 0 5
4
④
5
② 3③
①
1
2
x
o
K (1) ——①号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵。
5
整体刚度矩阵
同理，对于②单元，有

通过研究任意节点的平衡来建立整体刚度矩阵，该方法不但比较直观、易懂，而且对怎样编写计算机程序是很有帮助。
2
整体刚度矩阵
为了研究整体刚度矩阵的组装过程，先引入两个概念。整体节点位移列阵：由各节点位移按节点号码以从小到大的顺序排列组成的列阵。整体节点载荷列阵：由各节点所受等效节点力按节点号码以从小到大的顺序排列组成的列阵。等效节点力是由集中力、表面力和体积力共同移置构成的，其中集中力包括直接作用在弹性体上的外力和边界约束力，如支座反力。
21
K 22
K 23
K 24
K
25

K 31 K 41
K 32 K 42
K 33 K 43
K (3) 53
0
K (3) 55

5

式中： Fi(3)——3号单元中第i（i=3,2,5）节点所受力；
y
K (3) ——3号单元的扩大刚度矩阵。
4
④
5
② 3③
①
1
o
2
x
7
整体刚度矩阵
对于④单元，有
0 0 0 0 0 0 1
F03(4) F4(4)

为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即
y
FFF132(((111)))

0

K (1) 11
K (1) 21

K
(1) 31
0
K (1) 12
K (1) 22
K (1) 32
0
K (1) 13
K (1) 23
K (1) 33
0
每个节点在两种力的作用下处于平衡。
将各单元刚度方程左边相加，即将各节点所受力相加，
由于对于整体而言，单元给予节点的反作用力属于内力，
在相加过程中相互抵消，所以各节点所受力相加的结果只
有外力，即等效节点力，从而得到整体节点荷载列阵，如
下
y
F
=
F1

F2 F3

5 平面问题有限元分析整体刚度矩阵
整体刚度矩阵整体刚度矩阵的特点边界条曹件国处华理计算结果整理
1
整体刚度矩阵
前文对单元体进行了分折，得到了单元刚度方程F e K e，e 但要解决问题，还必须进一步建立整个计算模型的整体刚度方程。完成这一步的关键，在于怎样将单元的刚度矩阵和节点荷载列阵，分别“组装”成整体刚度矩阵和整体节点荷载列阵。

F (1) 1
F (1) 2

K (1) 11
K (1) 21
K (1) 12
K (1) 22
K (1) 13
K (1) 23

1 2

F (1) 3

K
(1) 31
K (1) 32
K
(1) 33

3

式中： Fi(1) ——①号单元中第i（i=1,2,3）节点所受力。

0
0 0
0 0 0
0 K (4)
33
K (4) 43
0 K (4)
34
K (4) 44
0 K (4)
35
K (4) 45

2 3
4

K
(4)
F5(4)
0 0
K (4) 53
K (4) 54
K (4) 55

F (2) 1 0
F (2) 3

F4(
2)

K (2) 11 0

K K
(2) 31
(2) 41
0 0 0 0
K (2) 13 0
K (2) 33
K (2) 43
K (2) 14 0
K (2) 34
K (2) 44
0 1
0 0
0

3
整体刚度矩阵
不失一般性，仅考虑计算模型中有4个单元，如图所示。四个单元的整体节点位移列阵为
1T

T 2

T 3

T 4
T T 5
式中：
T i
ui
vi，(i 1, 2,
, 5)
y
4
④
5
② 3③
①
1
o
2
x
4
整体刚度矩阵
对每个单元都可以写出相应的单元刚度方程 F e K e e ，即单元节点平衡方程。例如，对①号单元，有
5
② 3③
①
1
2
F5 0 0 F5(3) F5(4) o
x
9
整体刚度矩阵
将各单元刚度方程右边相加，从而得到整体刚度矩阵，如下
K K (1) K (2) K (3) K (4)
K11 K12 K13 K14 K15

K
F (1) 1
F (1) 2
FHale Waihona Puke (1) 3 FF103((22))

0 FF32((33))

0 F03(4)

F4

0

F4(
2)

0

F (4) 4

4
④
2 3
4

K
(2)
0 0 0 0 0 0 5
式中：
F (2) i
——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；
K (2) ——②号单元的扩大刚度矩阵。
y
4
④
5
② 3③
①
1
o
2
x
6
整体刚度矩阵
对于3单元，有
0 0 0 0 0 0 1
5

式中： Fi(4)——④号单元中第i（i=3,4,5）节点所受力；
y
K (4) ——④号单元的扩大刚度矩阵。 4
④
5
② 3③
①
1
o
2
x
8
整体刚度矩阵
对于任意一个节点，可能承受两种力的作用，一种是其
它单元给予该节点的反作用力；另一种是作用在节点上的
等效节点力。对整体而言，前者属于内力，后者属于外力，
FF32((
3) 3)

0 0
K (3) 22
K (3) 32
K (3) 23
K (3) 33
0 0
K (3) 25
K (3) 35

23

K (3)

0

0
0
0
0
0

4

F5(3)
0
K (3) 52