最新双曲线及其标准方程练习题
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2.2.1 双曲线及其标准方程x 2 y 2 ）1.已知方程1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是（9 kk 3A.3＜k ＜9B.k ＞3C.k ＞9D.k ＜32.方程 x 2 +(k-1)y 2=k+1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是 （ ）A.k ＜-1B.k ＞ 1C.-1＜ k ＜1D.k ＜ -1 或 k ＞ 13.方程x 2y 2 1表示焦点在坐标轴上的双曲线，则α是第几象限的角（）sincosA.二B.四C.二或四D.一或三4.已知双曲线的焦点 F 1（-4，0），F 2（ 4， 0），且经过点 M （2 6 ，2）的双曲线标准方程是 ______.5.双曲线的焦点在 x 轴上，且经过点 M （3，2）、N （-2，-1），则双曲线标准方程是 ______.双曲线x 2 y 2 1 上点 P 到左焦点的距离为 6，这样的点有 ______个.6.12437.双曲线 3x 2 -y 2=2 的右支上有一点 P ， P 到 x 轴、 y 轴的距离之比为，则点 P 的坐标是______.8.若双曲线 x 2 -4y 2 =4 的焦点是 F 1、F 2 过 F 1 的直线交左支于 A 、B ，若|AB|=5，则△ AF 2B 的周长是 ______.1 / 39.已知双曲线 x2y 2 1 ,过它的焦点且垂直于 x 轴的弦长是 ______. 25 2410.在双曲线 x 2-y 2 =4 上的一点，使该点与焦点的连线互相垂直，则这个点坐标是______.11. 已知 12 是双曲线 x 2 21 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足∠ F 1 PF2 F 、 F y4=90°，求△ F 1PF 2 的面积 .2 / 3参考答案1. C2. C3. C4. y 2 x 2 15. x 2y 2 16. 39 77 73 57.（2 6, 6 ） 8. 189.483510.（ 6 ， 2 ），（- 6 ， 2 ），（ 6 ，- 2 ），（- 6 ，- 2 ）∵ 为双曲线 x 2y 21 上的一个点且 F 1、2 为焦点. 11. P4F∴ ||PF 1|-|PF 2||=2a=4,|F 1 F 2|=2c=2 5∵∠ F 1PF 2=90°∴在 Rt △PF 1F 2 中 ,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20∵（ |PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1 |2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16∴20-2|PF 1||PF 2|=16∴ |PF 1| ·|PF 2|=2∴SF PF12|PF 1| |PF ·2|=1 12由此题可归纳出 S △ F1PF2=b 2cot ∠F 1PF223 / 3。
双曲线及其标准方程(专题训练)
双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离 等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线. 如图所示：双曲线的概念注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准 线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．标准方程 )0,0(12222>>=-b a by ax)0,0(12222>>=-b a bx ay图形性 质焦点F 1（-)0,c ，F 2（)0,cF 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 x≤-a 与x ≥ay ≤-a 与y ≥a对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴A 1A 2长2a ，虚轴B 1B 2长2b准线cax 2±= cay 2±=渐近线 x ab y ±=.a y x b=±共渐近线的双曲线系方程λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.题型一：双曲线定义问题1.若+∈R a ，方程()()2222556x y x y-+-++=，表示什么曲线？若改成：()()2222556x y x y -+-++= ？2．已知ABC ∆的顶点()4,0-A 、()4,0B ，且()4sin sin 3sin B A C -=，则顶点C 的轨迹方程是 3．双曲线221169xy-=上一点P 到左焦点的距离为15，那么该点到右焦点的距离为变式：设12,F F 是双曲线2211620xy-=的焦点，点P 是双曲线上的点，点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到2F 的距离。
4..若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.题型二，利用标准方程确定参数1. 求双曲线22254100x y -=-的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标, 焦距 离心率 2．若方程22125xyk k-=+-表示x 型双曲线，则k 的取值范围是表示y 型双曲线，则k 是 表示双曲线，则k 的取值范围是 3.已知双曲线228y 8kx k -=的一个焦点为()3,0，k 为4．椭圆14222=+ay x与双曲线1222=-yax有相同的焦点，则a 的值是5变式：与椭圆224936x y +=有相同焦点，且过点()3,2的双曲线方程6．等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则它的标准方程是题型三。
双曲线练习题(含答案)
双曲线练习题(含答案)双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )A ．双曲线B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y24＝1 D.y 23－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1B.x 29－y 27＝1(y >0)C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26 9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2 二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y2＝1焦点相同，则a＝________.20．双曲线以椭圆x29＋y225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13.B 14. D二、填空题1. 10 2. 234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、[答案] A [解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－x23＝1.5、[答案] C [解析]ab<0⇒曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线⇒ab<0.6、[答案] C [解析]∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、[答案] D [解析]由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x29－y27＝1(x>0)8、[答案] D [解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c2a 2＝a 2＋b 2a2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2.14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案] 833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
双曲线练习题
双曲线练习题一、选择题1. 下列关于双曲线的方程中，正确的是（）A. x^2 y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. y^2 x^2 = 1D. x^2 y^2 = 02. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1（a>0，b>0），则其渐近线方程为（）A. y = ±(a/b)xB. y = ±(b/a)xC. x = ±(a/b)yD. x = ±(b/a)y3. 双曲线的离心率e满足（）A. 0 < e < 1B. e = 1C. e > 1D. e ≤ 14. 下列关于双曲线的焦点坐标，正确的是（）A. (±c, 0)B. (0, ±c)C. (±a, 0)D. (0, ±a)二、填空题1. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1，则其焦点到中心的距离是 _______。
2. 已知双曲线的一个焦点为(4, 0)，实轴长为6，则双曲线的方程为 _______。
3. 双曲线的离心率为2，实轴长为4，则双曲线的虚轴长为_______。
三、解答题1. 已知双曲线方程为 x^2/9 y^2/16 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）实轴长；（3）渐近线方程。
2. 设双曲线的方程为 y^2 x^2/4 = 1，求：（1）离心率；（2）焦点坐标；（3）渐近线方程。
3. 已知双曲线的两个焦点分别为(±5, 0)，且离心率为2，求双曲线的标准方程。
4. 已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，求双曲线的离心率。
5. 设双曲线的方程为 x^2/25 y^2/9 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）离心率；（3）渐近线方程。
四、计算题1. 已知双曲线的一个焦点为(2, 0)，且经过点P(4, 3)，求双曲线的标准方程。
2. 设双曲线的方程为 4x^2 9y^2 = 36，求该双曲线与直线 y = (2/3)x + 1 的交点。
双曲线及其标准方程练习
∵0<a<c,∴令c2-a2=b2(b>0)
x 2 y2 2 1 (a 0,b 0, 2 a b a不一定大于b) y2 x 2 2 1 2 a b
【典例训练】
1.双曲线2x2-y2=k的焦距为6，则k的值为___________.
x2 y2 1 表示双曲线，则m的取值范围为_____. 2.方程 2m m 3 2 2 3.讨论方程 x y 1 表示何种圆锥曲线？它们有何共同特 25 k 9 k
（2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”：若x2项的系数为正，
则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，ຫໍສະໝຸດ 双曲线的方程才具有标准形式.
求双曲线的标准方程 【技法点拨】 1.求双曲线标准方程的三个关注点
x 2 y2 2.若方程 1 表示焦点在x轴上的双曲线，那么m,n的符 m n
号怎样？ 提示：m>0,n<0.
3.对双曲线标准方程的三点说明
x 2 y2 y2 x 2 双曲线的标准方程有两种不同类型： 2 2 1, 2 2(a>0,b>0)， 1 a b a b
分别表示焦点在x轴上和焦点在y轴上的双曲线. （1）标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0) 相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小不确定.
②
③
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利 解决.
焦点三角形SPF1F2 b cot 2
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
双曲线曲线练习题含答案
双曲线曲线练习题含答案1. 求下列双曲线的渐近线方程：（1）$ x^2-4y^2+8x-32=0 $（2）$ x^2-9y^2=81 $（3）$ x^2+4y^2+4x+16=0 $答案：（1）$ y=\frac{x+4}{2} $ 或$ y=\frac{1}{2}x-4 $ （斜渐近线）（2）$ x+3\sqrt{y^2+1}=0 $ 或 $ x-3\sqrt{y^2+1}=0 $ （与 $ y $ 轴垂直的渐近线）、$ y=-\frac{x}{9} $ （斜渐近线）（3）$ y=-1 $ 或 $ y=-\frac{(x+2)^2}{16} $ （与 $ y $ 轴平行的渐近线）2. 求双曲线 $ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 $ 的离心率和焦距长度。
答案：离心率为 $ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{3} $，焦距长度为 $ c=\sqrt{a^2+b^2}=5 $。
3. 求双曲线 $ \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1 $ 与直线$ y=\frac{3}{5}x-2 $ 的交点坐标。
答案：设交点坐标为 $ (x_0, y_0) $，则 $ \frac{x_0^2}{25}-\frac{(\frac{3x_0}{5}-2)^2}{9}=1 $，解得 $ x_0=\frac{50}{7} $ 或$ x_0=-\frac{50}{7} $，代入方程即可得到交点坐标。
4. 判断曲线 $ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1 $ 是否关于直线$ y=-x $ 对称。
答案：首先求出曲线关于直线 $ y=-x $ 对称的公式为$ y=\frac{y_0}{x_0}x $，其中 $ (x_0,y_0) $ 是曲线上任意一点。
假设 $ A(a, b) $ 是曲线上的一点，则 $ B(-b,-a) $ 是曲线上的对称点。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册2.2.1双曲线及其标准方程(带答案)
§2 双曲线2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练知识点一 双曲线的定义1.动点P 到点M (1，0)及点N (5，0)的距离之差为2a ，则当a ＝1和a ＝2时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线 2．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 知识点二 双曲线的标准方程3.“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m －y 2m －1＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)； (2)焦点在y 轴上，且经过点(2，－5)，a ＝25 ；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1的长轴端点为焦点，且经过点(3，10 )；(4)经过点A (2，233)，B (3，－22 )；(5)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且经过点(32 ，2).知识点三 双曲线的定义及方程的应用5.若双曲线E ：x 29 －y 2160＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝15，则|PF 2|＝( )A ．9B ．21C ．9或21D ．186．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．207．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.关键能力综合练一、选择题1．已知M (－2，0)，N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．双曲线x 225 －y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．23．已知双曲线的一个焦点为F 1(－5 ，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是( )A ．x 24 －y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x22－y23＝1 D ．x23－y 22＝1 4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5 ，0)和(－5 ，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1C ．x24 －y 2＝1 D ．x 2－y24＝15．[易错题]已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12二、填空题6．[双空题]若方程y 24 －x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是____________；若表示椭圆，则m 的取值范围是____________．7．已知双曲线与椭圆x 227 ＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.8．[探究题]已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左焦点为F 1，点Q (0，23 )，P 是双曲线C右支上的动点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为________.三、解答题9．在①m >0，且C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ；②C 的焦距为43 ；③C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知双曲线C ：x 23m －y 2m＝1，________，求C 的方程．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．学科素养升级练1.[多选题]已知点P 在双曲线C ：x 216 －y 29＝1上，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 到x 轴的距离为203B ．|PF 1|＋|PF 2|＝503C ．△PF 1F 2为钝角三角形D ．∠F 1PF 2＝π32.[情境命题——生活情境]某地发生地震，为了援救灾民，救援员在如图所示的P 处收到一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA ，PB 运送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练1．解析：由题意，知|MN |＝4，当a ＝1时，|PM |－|PN |＝2a ＝2<4，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝2时，|PM |－|PN |＝2a ＝4＝|MN |，点P 的轨迹为以N 为端点沿x 轴向右的一条射线．答案：C2．解析：由题意两定圆的圆心坐标分别为O 1(0，0)，O 2(4，0)，半径分别为1，2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则|CO 1|＝r ＋1，|CO 2|＝r ＋2，∴|CO 2|－|CO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．答案：C3．解析：若方程x 22－m －y 2m －1 ＝1表示双曲线，则(2－m )·(m －1)>0，解得1<m <2.当1<m <2时，可推出“方程x 22－m－y 2m －1 ＝1表示双曲线”，故“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m－y 2m －1＝1表示双曲线”的必要不充分条件．答案：B4．解析：(1)∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0).由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4 ①.又∵点(2，3)在双曲线上， ∴22a 2 －32b2 ＝1 ②. 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b2 ＝1(a >0，b >0).由a ＝25 ，点(2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1， 解得b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝22 .设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)，由点(3，10 )在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝5， 故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(4)可设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0).因为点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，233 ，B (3，－22 )在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－14，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 24＝1.(5)易知双曲线x 216 －y 24＝1的焦点在x 轴上，且c 21 ＝16＋4＝20，则待求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 22＝c 21＝20.设其标准方程为x 2a 22 －y 220－a 22＝1(a 22 <20) ①，因为点(32 ，2)在双曲线上，所以将(32 ，2)代入①中，得18a 22 －420－a 22＝1，得a 2＝12或a 2＝30(舍去)，故所求双曲线的标准方程为x 212 －y 28＝1.5．解析：由于|PF 1|＝15<c ＋a ＝13＋3＝16，所以点P 在双曲线E 的左支上，所以由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，即|PF 2|－15＝6，故|PF 2|＝21.答案：B6．解析：由已知，得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.因为|AB |＝4，所以|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线的定义，知2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.答案：B 7．解析：由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝22 ，a ＝b ＝2 .∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22 ，|PF 1|＝42 ，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝32＋8－162×42×22＝34 .答案：34关键能力综合练1．解析：因为|PM |－|PN |＝4＝|MN |，所以动点P 的轨迹是一条射线．故选C. 答案：C2．解析：因为a 2＝25，所以a ＝5.设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点为P . 由双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10， 不妨设|PF 1|＝12，所以|PF 1|－|PF 2|＝±10， 所以|PF 2|＝22或2.故选A. 答案：A3．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，因为c ＝5 ，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2 －y 25－a2 ＝1，因为线段PF 1的中点坐标为(0，2)，所以点P 的坐标为(5 ，4)，将P (5 ，4)代入双曲线方程，得5a 2 －165－a2 ＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B4．解析：由题可得⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，得(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又因为c ＝5 ，所以b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选C.答案：C5．解析：不妨在双曲线右支上取点P ，延长PF 2，F 1H ，交于点Q ，由角平分线性质可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |＝1.故选A.答案：A6．解析：若表示双曲线，则应有m ＋1>0，即m >－1；若表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，m ＋1≠－4，解得m <－1且m ≠－5.答案：(－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)7．解析：椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，其中a 2＋b 2＝9，因为双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，所以该点的坐标为(15 ，4)或(－15 ，4)，故16a 2 －15b2 ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.答案：y 24－x 25＝18．解析：设双曲线的右焦点为F 2，如图，连接PF 2，QF 2.根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，所以|PF 1|＝|PF 2|＋2，所以|PF 1|＋|PQ |＝|PF 2|＋|PQ |＋2≥|QF 2|＋2，而Q (0，23 )，F 2(2，0)，所以|QF 2|＝22＋（23）2 ＝4，所以|PF 1|＋|PQ |的最小值为6.9．解析：选①：因为m >0，所以a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ， 则a ＝3m ，c ＝2m ，因为C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ，所以3m ＋2m ＝(3 ＋2)m ＝3＋23 ，解得m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1.选②：若m >0，则a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ，c ＝2m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4m ＝43 ，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，b 2＝－3m ，c 2＝a 2＋b 2＝－4m ，c ＝2－m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4－m ＝43 ，m ＝－3，C 的方程为y 23－x 29＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 23－x 29＝1.选③：若m >0，则a 2＝3m ，a ＝3m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝23m ＝6，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，a ＝－m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝2－m ＝6，m ＝－9，C 的方程为y 29－x 227＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 29－x 227＝1.学科素养升级练1．解析：因为在双曲线x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，所以c ＝16＋9 ＝5，因为S △PF 1F 2＝12·2c ·|y P |＝5|y P |＝20，所以|y P |＝4，所以P 到x 轴的距离为4，故A 错误；不妨取P (203 ，4)，又因为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则|PF 1|＝（203＋5）2＋16 ＝373，|PF 2|＝ （203－5）2＋16 ＝133 ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝503 ，故B 正确；因为kPF 2＝4－0203－5 ＝125>0，所以∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，故C 正确；因为S △SS 1S 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2，即12 ×133 ×373 sin ∠F 1PF 2＝20，则sin ∠F 1PF 2＝360481 ，所以∠F 1PF 2≠π3，故D 错误．2．解析：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第三类点的轨迹．设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，因为|AB|＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507>50，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，易知a＝25，c＝257，所以b2＝c2－a2＝3 750.故双曲线的标准方程为x2625－y23 750＝1.注意到点C的坐标为(257，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为x2625－y23 750＝1(25≤x≤35，0≤y≤60).。
双曲线的定义及其标准方程练习
双曲线的定义及其标准方程练习1.知双曲线14822=-x y 的实轴长为.轴长为. 2.曲线32822=-y x 的焦点坐标为.虚轴长 .3.双曲线1422=-y x 的渐近线方程为离心率为 .4.双曲线1422-=-y x 的渐近线方程为离心率为 .5.双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是__________________. 6.若椭圆22125x y m+=与双曲线221515x y -=的焦点相同，求m 的值．7.已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．8.双曲线369422=-y x 的渐进线方程是_____________.9.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144．求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程.10.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为y=x 34，则离心率为___________.11.已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是__________________.12.动点P 与点1(0,5)F -与点2(0,5)F 满足126PF PF -=,则点P 的轨迹方程为.13.已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.14.双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为______________.15.顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率e=45的双曲线为____________.16.若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则这条双曲线的方程是___________．17.已知俩点()()0,5,0,521F F -求与它们的距离差的绝对值等于6的动点的轨迹方程。
18.已知渐近线方程为x y 32±=且经过P ()2,6求该双曲线的方程.19.直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =___________20.过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是______________.。
3.2.1 双曲线及其标准方程 练习册正文
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1.双曲线y 24-x 25=1的焦距为( ) A .6B .3C .2D .12.焦点分别为(-2,0),(2,0),且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A .x 2-y 23=1B .x 23-y 2=1C .y 2-x 23=1D .x 22-y 22=13.已知F 1,F 2是平面内两个不同的定点,则“||MF 1|-|MF 2||为定值”是“动点M 的轨迹是双曲线”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.[2024·益阳高二期末] 点M (x ,y )的坐标满足√(x +5)2+y 2-√(x -5)2+y 2=8,则点M 的轨迹方程为 ( )A .x 216+y 29=1B .x 216-y 29=1C .x 216-y 29=1(x>0)D .y 216-x 29=1(y>0) 5.若F 1,F 2分别是双曲线8x 2-y 2=8的左、右焦点,点P 在该双曲线上,且△PF 1F 2是等腰三角形,则△PF 1F 2的周长为( ) A .17B .16或12C .20D .16或206.[2024·福建南平一中高二月考] 设双曲线C 2与椭圆C 1:x 216+y 212=1有公共焦点F 1,F 2.若双曲线C 2经过点A (1,0),设P 为双曲线C 2与椭圆C 1的一个交点,则∠F 1PF 2的余弦值为( )A .35B .23C .34D .457.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 24=1的左、右焦点,P 是C 上一点,且位于第一象限,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则P 的纵坐标为 ( )A .1B .2C .√2D .√38.(多选题)[2024·河南商丘高二期中] 已知方程x 2m 2-1+y 22m+2=1(m ≠±1)表示曲线C ,则下列结论正确的是 ( ) A .若m=3,则曲线C 是圆B .若曲线C 是椭圆,则m>3C .若曲线C 是双曲线,则m<1且m ≠-1D .若m<-1,则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线9.(多选题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A 1,A 2,左、右焦点分别是F 1,F 2,P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是( )A .||PA 1|-|PA 2||=2aB .直线PA 1,PA 2的斜率之积等于定值b 2a 2C .使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有且仅有四个D .若PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2,则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 二、填空题10.若双曲线y 22-x 2m =1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合,则m= .11.[2024·天津西青区高二期末] 已知双曲线x 2a 2-y 236=1(a>0)的两个焦点为F 1,F 2,焦距为20,点P 是双曲线上一点,|PF 1|=17,则|PF 2|= .12.已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH|= .三、解答题13.(1)求与双曲线x 22-y 2=1有公共焦点,且过点(√2,√2)的双曲线的标准方程.(2)已知圆C 1:(x+2)2+y 2=254,圆C 2:(x-2)2+y 2=14,动圆P 与圆C 1,C 2都外切,求动圆圆心P 的轨迹方程.14.[2024·安徽芜湖一中高二月考] 已知点A (-2,0)与点B (2,0),P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于34.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)若点O 为原点,P 在第二象限,当|OP|=√232时,求点P 的坐标.15.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况,如图所示,已知三个发射台分别为A,B,C且刚好三点共线,已知AB=34海里,AC=20海里,现以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.根据船P接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P在双曲线(x-27)236-y264=1的左支上,根据船P接收到A发射台与B发射台发出的电磁波的时间差,计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,则点P的坐标为( )A.(907,±32√117)B.(1357,±32√27)C.(17,±323) D.(45,±16√2)16.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)的一个交点为P,且有公共的焦点F1,F2,若∠F1PF2=2α,求证:tan α=nb.。
高中数学双曲线的标准方程精选题
双曲线的标准方程一．选择题（共17小题） 1．已知方程22221(,)3x y m n R mnmn-=∈+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是()A ．(1,3)-B ．(-C ．(0,3)D ．(02．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且A B 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136xy-= B ．22145xy-=C ．22163xy-= D ．22154xy-=3．已知双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为()A 3B 3CD ．24．已知双曲线2222:1x y Cab-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为()A ．221205xy-=B ．221520xy-=C ．2218020xy-=D ．2212080xy-=5．双曲线22221124xymm-=+-的焦距是()A ．4B ．6C ．8D ．与m 有关6．已知双曲线C 的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214xy-=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为()A ．2214yx-= B ．2214xy-= C ．221205xy-= D ．221520yx-=7．一动圆P 过定点(4,0)M-，且与已知圆22:(4)16Nx y-+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是()A ．221(2)412xyx -=… B ．221(2)412xyx -=…C ．221412xy-=D ．221412yx-=8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ，0)，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，M N 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是()A ．22134x y-= B ．22143xy-=C ．22152xy-= D ．22125xy-=9．焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是( )A ．22164144xy-=B ．2213664xy-= C ．2216416yx-=D ．2216436xy-=10．已知椭圆2222135xym n+=和双曲线2222123xym n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A ．2xy=±B ．2y=±C ．4xy=±D ．4y=±11．命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知双曲线方程为：2212yx-=，则下列叙述正确的是()A ．焦点(1,0)F ±B ．渐近线方程：y =C D ．实轴长为13．设3(4πθ∈，)π，则关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆14．以椭圆22143xy+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．2213yx -=B ．2213yx-= C ．22143xy-= D ．22134xy-=15．已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，则点M 的轨迹方程是()A ．221(0)45xyx -=< B ．221(0)45xyx -=>C ．221(0)95xyx -=<D ．221(0)95xyx -=>．16．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C的方程为( )A ．22122yx-=B ．221412yx-= C ．22144yx-= D ．22142yx-=17．若方程22112xym m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围是()A ．2m > B ．1m <或2m> C ．12m << D ．1m <二．填空题（共13小题）18．已知双曲线过点(4且渐近线方程为12yx=±，则该双曲线的标准方程是 ．19．若双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，则此双曲线的标准方程 ．20．与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程 ．21．双曲线2214xy -=的焦距为 ；渐近线方程为 ．22．已知以20xy ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ．23．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线方程为3y=±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ． 24．与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为 ．25．已知双曲线C 的中心在原点，(2,0)F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且A B 的中点为(3,1)N --，则C 的方程是 ．26．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程为 ． 27．已知双曲线221(0)6xym mm -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为 ．28．过点(2,2)-且与2212xy-=有公共渐近线方程的双曲线方程为 ．29．设中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 ．30．以抛物线28y x=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以y=为渐近线的双曲线方程是 ．三．解答题（共2小题）31．（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程：对称轴为坐标轴，经过点(6,0)P -和(0,8)Q ． （2）已知双曲线的一个焦点为(5,0)，渐近线方程为34y x=±，求此双曲线的标准方程．32．已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x的焦点重合，且椭圆经过点3(1,)2P ．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．双曲线的标准方程精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共17小题） 1．已知方程22221(,)3x y m n R mnmn-=∈+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是()A ．(1,3)- B．(-C ．(0,3)D．(0【分析】由已知可得2c =，利用224()(3)m n mn =++-，解得21m =，又22()(3)0mn m n +->，从而可求n的取值范围．【解答】解：双曲线两焦点间的距离为4，2c ∴=，当焦点在x 轴上时， 可得：224()(3)mn mn =++-，解得：21m =，方程222213xy mnmn-=+-表示双曲线，22()(3)0mn mn ∴+->，可得：(1)(3)0n n +->，解得：13n -<<，即n 的取值范围是：(1,3)-．当焦点在y 轴上时， 可得：224()(3)mn mn -=++-，解得：21m =-，无解． 故选：A ．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．2．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且A B 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136xy-= B ．22145xy-=C ．22163xy-= D ．22154xy-=【分析】已知条件易得直线l 的斜率为1，设双曲线方程，及A ，B 点坐标代入方程联立相减得1224x x +=-，根据21221245y y b x x a-=-，可求得a 和b 的关系，再根据3c=，求得a 和b ，进而可得答案． 【解答】解：由已知条件易得直线l 的斜率为1P N kk ==，设双曲线方程为22221x y ab-=，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有22112222222211x y a bx y ab⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并结合1224x x +=-，1230y y +=-得21221245y y b x x a-=-，从而22415b k a==即2245b a=， 又229a b +=，解得24a =，25b =，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 3．已知双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为()A3B3CD ．2【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程，结合题意求出a 、c 的值，再计算双曲线的离心率． 【解答】解：双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则ta n63π=，所以该条渐近线方程为3y =；3a =解得a =；所以c===所以双曲线的离心率为3c e a===．故选：A ．【点评】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的应用问题，是基础题．4．已知双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，则C的方程为()A．221205x y-=B．221520x y-=C．2218020x y-=D．2212080x y-=【分析】利用双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，2225a b∴+=，21ba=，b∴=a=∴双曲线的方程为221 205x y-=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．双曲线22221124x ym m-=+-的焦距是()A．4B．6C．8D．与m有关【分析】首先判断双曲线的焦点在x轴上，求出2a，2b，由222c a b=+，计算可得c，即可得到焦距2c．【解答】解：双曲线22221124x ym m-=+-焦点在x轴上，即有240m->，则2212a m=+，224b m=-，22216c a b=+=，则4c=，焦距28c=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．6．已知双曲线C的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214xy-=的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为()A．2214yx-=B．2214xy-=C．221205x y-=D．221520y x-=【分析】由已知是双曲线的方程可得渐近线的方程，设双曲线C的方程可得渐近线的方程，由题意可得a，b的关系，再由焦点的坐标可得a，b的值即求出双曲线C的方程．【解答】解：双曲线2214xy-=的渐近线方程为：12yx=±， 由题意设双曲线C 的方程为：22221y x ab-=，由焦点坐标(0,5)可得2225a b+=，①渐近线的方程为：a y xb=±再由C 与双曲线2214xy-=的渐近线相同，所以12a b=，②，由①②可得25a =，220b =，所以双曲线C 的方程为：221520yx-=，故选：D ．【点评】本题考查双曲线的性质，渐近线方程与双曲线的参数之间的关系，属于基础题． 7．一动圆P 过定点(4,0)M-，且与已知圆22:(4)16Nx y-+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是()A ．221(2)412xyx -=… B ．221(2)412xyx -=…C ．221412xy-=D ．221412yx-=【分析】动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，则||4P N P M -=，即动点P 到两定点的距离之差为常数4，P 在以M 、C 为焦点的双曲线上，且24a =，28c=，从而可得动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解：动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，则||4P NP M -=，即动点P 到两定点的距离之差为常数4，P 在以M 、C 为焦点的双曲线上，且24a=，28c =，b ∴=∴动圆圆心M 的轨迹方程为：221412xy-=．故选：C ．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ，0)，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，M N 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是()A ．22134x y-= B ．22143xy-=C ．22152xy-= D ．22125xy-=【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及M N 中点的横坐标可得a 、b 的一个方程，又双曲线中有222c ab=+，则另得a 、b 的一个方程，最后解a 、b 的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为22221x y ab-=．将1yx =-代入22221x y ab-=，整理得2222222()20b a x a x aa b-+--=．由韦达定理得212222a x x ab+=-，则21222223x x a ab+==--．又2227c ab=+=，解得22a =，25b =，所以双曲线的方程是22125xy-=．故选：D ．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等． 9．焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是( )A ．22164144xy-=B ．2213664xy-= C ．2216416yx-=D ．2216436xy-=【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b ，根据双曲线的性质222c a b=+以及离心率然，求出2a ，写出双曲线的标准方程．【解答】解：根据题意可知212b =，解得6b=①又因为离心率54c ea ==②根据双曲线的性质可得222a c b=-③由①②③得，264a =双所以满足题意的双曲线的标准方程为：2216436xy-=故选：D ．【点评】此题考查学生掌握双曲线的性质，会利用待定系数法求双曲线的标准方程，是一道中档题． 10．已知椭圆2222135xym n+=和双曲线2222123xym n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A ．2xy=±B ．2y=±C ．4xy=± D ．4y=±【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c ，令二者相等即可求得m 和n 的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程． 【解答】解：椭圆和双曲线有公共焦点22223523m nmn∴-=+，整理得228m n=，∴m n=双曲线的渐近线方程为4y x=±=±故选：D ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合．考查了学生综合运用双曲线的基础的能力． 11．命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由m 的范围可得30m ->，5m ->，即可得曲线22135xym m-=--表示双曲线，反之，若曲线22135xym m-=--表示双曲线，必有(3)(5)0m m -->，解可得m 的取值范围，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当35m <<，则30m->，5m ->，则曲线22135xym m-=--表示双曲线，反之，若曲线22135xym m-=--表示双曲线，必有(3)(5)0m m -->，解可得35m <<，故命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的充要条件，故选：A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及双曲线的标准方程，属于基础题． 12．已知双曲线方程为：2212yx-=，则下列叙述正确的是()A ．焦点(1,0)F ±B ．渐近线方程：y =C D ．实轴长为【分析】求出双曲线方程求出焦点坐标，渐近线方程，离心率，实轴长判断选项即可． 【解答】解：双曲线方程为：2212yx-=，所以1a =，22a =，所以D 不正确，b =，则c=C 不正确；渐近线方程为：y =，所以B 正确；焦点坐标(0)，所以A 不正确；故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 13．设3(4πθ∈，)π，则关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆【分析】利用3(4πθ∈，)π，可定c o s s in 0θθ->>，即可得出结论．【解答】解：3(4πθ∈，)π，c o s s in 0θθ∴->>，∴关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆．故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查学生的计算能力，比较基础． 14．以椭圆22143xy+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．2213yx -=B ．2213yx-= C ．22143xy-= D ．22134xy-=【分析】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 【解答】解：设要求的双曲线为22221x y ab-=，由椭圆22143xy+=得焦点为(1,0)±，顶点为(2,0)±．∴双曲线的顶点为(1,0)±焦点为(2,0)±．1a ∴=，2c=，2223b c a∴=-=．∴双曲线为2213yx-=．故选：B ．【点评】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 15．已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，则点M 的轨迹方程是()A ．221(0)45xyx -=< B ．221(0)45xyx -=>C ．221(0)95xyx -=<D ．221(0)95xyx -=>．【分析】由题设知动点M 是以点(3,0)A -和点(3,0)B 为焦点的双曲线的右支上的点，由此结合题设条件能求出点M 的轨迹方程．【解答】解：点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，∴动点M 是以点(3,0)A -和点(3,0)B 为焦点的双曲线的右支上的点，且2a=，3c=，b=∴点M 的轨迹方程是221(0)45xyx -=>．故选：B ．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的性质．16．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C的方程为( )A ．22122yx-=B ．221412yx-= C ．22144yx-= D ．22142yx-=【分析】利用双曲线的简单性质求解．【解答】解：以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，∴设双曲线C 的方程为22221y x ab-=，则222(2a b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2ab ==，∴双曲线C 的标准方程是22144yx-=．故选：C ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用． 17．若方程22112xym m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围是()A ．2m> B ．1m <或2m> C ．12m << D ．1m <【分析】由双曲线方程的特点可得(1)(2)0m m --<，解之可得．【解答】解：若方程22112xym m+=--表示的曲线为双曲线，则(1)(2)0mm --<，即(1)(2)0mm -->，解得1m <或2m>．故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，得出(1)(2)0m m --<是解决问题的关键，属基础题．二．填空题（共13小题）18．已知双曲线过点(4且渐近线方程为12yx=±，则该双曲线的标准方程是22114xy-= ．【分析】设双曲线方程为2214y xλ-=，代入点(4，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为2214y x λ-=，代入点(4，可得13164λ-⨯=，1λ∴=-，∴双曲线的标准方程是22114xy-=．故答案为：22114xy-=．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．19．若双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，则此双曲线的标准方程2219xy-= ．【分析】由已知设双曲线方程为229xyλ-=，(0)λ≠，利用待定系数法能求出此双曲线的标准方程．【解答】解：双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，∴设双曲线方程为229xyλ-=，(0)λ≠把点(6代入，得：3639λ-=，解得1λ=．∴此双曲线的标准方程为：2219xy -=．故答案为：2219xy-=．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用． 20．与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程221169xy-= ．【分析】求出椭圆的焦点，可得5c =，由离心率公式可得4a =，由a ，b ，c 的关系可得3b =，即可得到双曲线的方程．【解答】解：椭圆2214924xy+=的焦点为(0)即为(5,0)±，则双曲线的5c =，由离心率54e=，则54c a=，则有4a=，3b==，则双曲线的方程为221169xy-=，故答案为：221169xy-=．【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题． 21．双曲线2214xy-=的焦距为；渐近线方程为 ．【分析】由双曲线方程求得a ，b ，c 的值，则其焦距与渐近线方程可求．【解答】解：由题知，24a =，21b =，故2225cab=+=，∴双曲线的焦距为：2c=，渐近线方程为：12b y x xa=±=±．故答案为：；12yx=±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题． 22．已知以20xy ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为221123xy-= ．【分析】由渐近线的方程设双曲线的方程，再由过的定点的坐标求出参数，化简为双曲线的标准形式． 【解答】解：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：224xyλ-=，又过(4,1)，所以1614λ-=，可得3λ=，所以双曲线的方程为：221123xy-=；故答案为：221123xy-=．【点评】考查双曲线的性质，属于基础题．23．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线方程为3y=±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为223144xy -= ．【分析】由渐近线方程得到双曲线的实半轴、虚半轴之间的关系，再由顶点到渐近线的距离为1，求出实半轴、虚半轴的长， 进而写出双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为3y=±，∴3b a=，其中一个顶点的坐标(,0)a ，30y -= 的距离为：12a =，2a ∴=，3b∴=，∴所求双曲线的方程为：223144xy -=．【点评】本题考查双曲线的标准方程和性质，求出a 和b 的值，是解题的关键，属于中档题． 24．与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为221312xy-= ．【分析】由于与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，故方程可假设为224yxλ-=，再利用过点(2,2)即可求【解答】解：设双曲线方程为224yx λ-=过点(2,2)，3λ∴=∴所求双曲线方程为221312xy-=故答案为221312xy-=【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．25．已知双曲线C 的中心在原点，(2,0)F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且A B 的中点为(3,1)N --，则C 的方程是2213xy-= ．【分析】先利用点F ，N 的坐标求出直线A B 的斜率，再利用点差法得到223a b=，结合224a b+=求出a ，b的值，从而得到双曲线C 的方程．【解答】解：因为(2,0)F -，(3,1)N --，所以直线A B 的斜率1l k =，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b ab-=>>，则224a b+=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-．由2211221x y ab-=，2222221x y ab-=，得1212121222()()()()x x x x y y y y ab+-+--=，即22260l k ab-+=，223a b∴=．于是23a =，21b =， 所以C 的方程为2213xy-=．【点评】本题主要考查了双曲线方程，以及双曲线与直线的位置关系，考查了点差法的应用，是中档题． 26．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程为 221916xy-= ．【分析】根据顶点坐标求得a ，根据焦距求得c ，进而根据222b c a=-求得b ，进而求得双曲线的标准方程．【解答】解：依题意可知3a=，5c=4b ∴==根据顶点坐标可知焦点在x 轴，∴双曲线的方程为221916xy-=故答案为：221916xy-=【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a ，b 和c 的关系，同时注意焦点是在x 轴还是在y 轴． 27．已知双曲线221(0)6xym mm -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为22128xy-= ．【分析】由题意可得m 与6m +的关系，求出m 的值，进而可得双曲线的方程．【解答】解：由题意知2a m=，26b m =+，则实轴长为，虚轴长为由题意有2=，解得2m=，代入2216xymm -=+中，可得双曲线的标准方程为22128xy-=．故答案为：22128xy-=．【点评】本题考查双曲线的定义，属于基础题． 28．过点(2,2)-且与2212xy-=有公共渐近线方程的双曲线方程为22124yx-= ．【分析】先设出双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得a 和b 的关系，然后把点(2,2)-代入双曲线方程求得a ，进而求得b ，则双曲线的方程可得． 【解答】解：依题意可在知双曲线的焦点在y 轴， 设出双曲线的方程为22221y x ab-=，根据已知曲线方程可知其渐近线方程为2yx=±∴2a b=，b=把点(2．2)-代入24412aa-=中求得2b=，a=∴双曲线的方程为：22124yx-=故答案为：22124yx-=【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查考生分析推理和基本的运算能力． 29．设中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是22221x y-= ．【分析】欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a ，b 的值即可，根据双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，求出椭圆中的c 值，也即双曲线中的c 值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a 值，再利用a ，b ，c 之间的关系式，就可得到双曲线的方程．【解答】解：椭圆2212xy+=中1c=中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点∴双曲线中1c =，椭圆2212xy +=的离心率为2c a=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴∴双曲线中2a=，22212b ca=-=，2b=∴双曲线的方程为22221x y-=故答案为22221x y-=．【点评】本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．30．以抛物线28yx=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以y=为渐近线的双曲线方程是2213yx-= ．【分析】由题意设双曲线方程为2213xyλλ-=．再由双曲线的右焦点为(2,0)，求出λ的值，进而得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=，∴设双曲线方程为2213xyλλ-=．28yx=的顶点为(0,0)，焦点为(2,0)，∴双曲线的右焦点为(2,0)．34λλ∴+=，1λ=．∴双曲线方程为2213yx-=．故答案为：2213yx-=．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 三．解答题（共2小题）31．（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程：对称轴为坐标轴，经过点(6,0)P -和(0,8)Q ． （2）已知双曲线的一个焦点为(5,0)，渐近线方程为34yx=±，求此双曲线的标准方程．【分析】（1）由已知可得椭圆焦点在y 轴上，且得到实半轴与短半轴的长，则椭圆方程可求； （2）由已知可得，双曲线焦点在x 轴上，且5c=，34b a=，结合隐含条件求得a ，b ，则双曲线方程可求．【解答】解：（1）由题意，可知椭圆焦点在y 轴上，且8a=，6b=，∴椭圆方程为2216436yx+=；（2）由已知可得，双曲线焦点在x 轴上，且5c =，34b a=，又222a bc+=，解得4a=，3b=，∴双曲线的标准方程为221169xy-=．【点评】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，是基础题． 32．已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x=的焦点重合，且椭圆经过点3(1,)2P ．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程． 【分析】（Ⅰ）抛物线24y x=的焦点为(1,0)即1c =，再利用椭圆定义，求出2a ，得出a ，可求得方程（Ⅱ）双曲线中由（Ⅰ）1a =，2c =，可求得方程【解答】解：（Ⅰ）抛物线24yx=的焦点右焦点2(1,0)F ，左焦点1(1F -，2123530)1(1,)2423222c P a P F P F a b ∴==+==+=∴=∴=所求椭圆方程为22143xy+=（Ⅱ）1a=，2c =则23b=所求双曲线的方程为2213yx-=【点评】本题考查圆锥曲线定义、标准方程、简单的几何性质．属于基础题．。
双曲线及其标准方程练习题及答案
4．P为双曲线 上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．内切或外切
C．外切 D．相离或相交
5．双曲线 的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，Байду номын сангаас1）∪（1，+∞）
6．若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 、 ，P是两曲线的一个公共点，则 的值是（
A．m-aB．
C．
二、填空题
7．双曲线 的一个焦点是 ，则m的值是_________。
8．过双曲线 的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
答案与提示
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A
二、7．-28．
三、9方程为 （y≠0） 10．不存在
11．A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是 ，求它的另一个焦点 的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线 相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
一、选择题：
1．已知点 和 ，曲线上的动点P到 、 的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
双曲线及其标准方程练习题.doc
课时作业（十）［学业水平层次］1表示双曲线，则加的取值范围（D. |m|^2【解析】 T 已知方程表示双曲线，（2+加）（2—加）>0. /. —2<m<2.【答案】A2. 设动点P 到A （—5,0）的距离与它到B （5,0）距离的差等于6,则 戶点的轨迹方程是（）2 2 2 2 A 」丄=1=1 宀9 16-116_i 2 2 22 C.g —話=l （xW —3） D.g —牯=1（x23）【解析】 由题意知，轨迹应为以A （-5,0）, B （5,0）为焦点的双 曲线的右支.由c=5, a=3,知b 2= 16,2 2:.P 点的轨迹方程为寺一話=1（心3）.【答案】D3. （2014-福州高级中学期末考试）已知双曲线的中心在原点，两 个焦点円，兄分别为（书，0）和（一书，0）,点P 在双曲线上，且PF1 丄戶尸2，AP^F O 的面积为1,则双曲线的方程为（） 一、选择题A. —2＜加＜2B. m ＞0A •厂c.j-y 2=i【解析】由S 〔|PF1F+|PF2|2 = （2书）2,即2a=4,解得a=2,又c=\[5,所以b=l,故选C.【答案】C2 24. 已知椭圆方程予+牙=1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点 是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为()A.^2B.^3C. 2D. 3【解析】 椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中a=l,c 2 c=2,所以双曲线的离心率为e=~=^=2.【答案】C二、填空题2 25. 设点P 是双曲线牙一話=1上任意一点，F”巧分别是其左、 右焦点，若|戶刊=10,则戶刊= ___________ .【解析】 由双曲线的标准方程得a=3, b=4. 于是 c=-\/a 2+b 2=5.(1) 若点P 在双曲线的左支上，则\PF2\-\PFr | = 2a=6, \PF 2\ = 6+|戶円| = 16;(2) 若点P 在双曲线的右支上，贝川阳一|阳 =6,•••1戶尸21 = 1戶尸11一6= 10—6=4.在△4BP中，利用正弦定理和双曲线的定义知, |sin A—sin B\sin P综上，IPF2| = 16 或4.【答案】16或46.(2014-河南省洛阳高一月考)已知Fi(—3,0), F2(3,0),满足条件|MiM“2l = 2加一1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的______________ •(填序号)①2；②一1；③4；④一3.2 2【解析】设双曲线的方程为孑一右=1,则c=3, V2a<2c=6,5 7 1|2m—1|<6,且|2加一1|工0, •••—㊁SV刁且加工刁.••①②满足条件.【答案】①②7・(2014-哈尔滨高二检测)已知的顶点4、B分别为双曲线c：看—的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则回書严 1 的值等于.2 2 ________________________________________________________【解析】由方程話—卷=1知cr=l6,kr=9,即a=4, c=#16+9||PB|-|B4||_2a_2X4_4\AB\=2c=2X5 = 5-4【答案】|三、解答题8.求与双曲线予一号=1有相同焦点且过点戶(2,1)的双曲线的方程.【解】*.*双曲线予一号=1的焦点在兀轴上.2 2依题意，设所求双曲线为寺一缶=l(a>0, Z?>0).又两曲线有相同的焦点，•I /+F=4+2 = 6.①2 2又点P(2,l)在双曲线歩一*=1上，4 1••厂产②由①、②联立，得a2=b2=3,2 2故所求双曲线方程为专一'=】•9.已知方程2+y2=4,其中R为实数，对于不同范围的E值分别指出方程所表示的曲线类型.【解】(1)当k=0时，y=±2,表示两条与x轴平行的直线；(2)当k=l时，方程为H+y2=4,表示圆心在原点，半径为2的圆；V2%2(3)当kVO时，方程为；一~^=1,表示焦点在y轴上的双曲线；k2 2(4)当OVkVl时，方程为才+才=1,表示焦点在兀轴上的椭圆；k2 2(5)当E>1时，方程为才+眷=1,表示焦点在y轴上的椭圆.k［能力提升层次］2 2 2 21.椭圆牙+^2=1与双曲线乡一牙=1有相同的焦点，则a的值为（）A. 1B.^2C. 2D. 3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在兀轴上，且a>0.4—a?=a+2, a2a—2=0,.'.a= 1或a=—2（舍去）.故选A.【答案】A2.（201牛桂林高二期末）已知Fi、局为双曲线C：x~y2=l的左、右焦点，点P 在C 上，ZF i PF2=6Q°,则PF I|-|PF2|^于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x~y= 1 中，a=l, b=l, c=y[2,则|PK| —|戶尸21 = 2°=2, |尸1局1 = 2返，\F}F^= \PF X |2+|PF2|2 - 2|PF! | • |PF2| • cos Z F!PF2,8 = |PF1|2+|PF2|2-2|PF]|-|PF2|-|,••.8=4+|"i||PF2l, A |PF I||PF2|=4.故选B.【答案】B2 23.（2014•福建省厦门一中期末考试）已知双曲线話一去=1的左焦点为尸，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆X2+/=16相切于点N, M 为线段PF的中点，0为坐标原点，则|MN —|M0| =【解析】设F是双曲线的右焦点，连PF'（图略），因为M,0分别是FP, FF'的中点，所^\MO\=^\PF' I,又0州=yJ\OFf~\ONf = 5,且由双曲线的定义知\PF\~\PF' \ = &故\MN\-\MO\ = \MF\-\FN\~^\PF' \=^(\PF\~\PF' |)-|FN|=|x8 —5 = —1.【答案】一12 24.已知双曲线話一才=1的两焦点为尸1、尸2.—►—►(1)若点M在双曲线上，且MF l MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3迈，2),求双曲线C的方程.【解】(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h,—►―►MF2=0,MFV则MF］丄M”2,设\MF^\=m, \MF2\ = n,由双曲线定义知，m—n=2a=&又m+ “2 = (2c)2 = 80,②由①②得加•“ = &1 1 =4=刁円尸2|•力，⑵设所求双曲线C的方程为由于双曲线C 过点（3返，2）, 所以 16_久—4+1=1,解得久=4或久=—14（舍去）.2 2所求双曲线C 的方程为診一竟=1. 16——A 4+久 =1(—4<2<16),。
双曲线试题及答案
双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求双曲线的焦点坐标。
答案：双曲线的焦点坐标为 \((\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)，代入 \(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
2. 双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)，代入\(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到渐近线方程为 \(y =\pm\frac{4}{3}x\)。
3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 \((2, 3)\)，并且其一条渐近线方程为 \(y = 2x\)，求双曲线的方程。
答案：设双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1\)，由于渐近线方程为 \(y = 2x\)，可知 \(\frac{b}{a} = 2\)。
将点 \((2, 3)\) 代入方程得 \(\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1\)。
联立 \(b = 2a\) 解得 \(a = 1\)，\(b = 2\)，因此双曲线方程为 \(x^2 - \frac{y^2}{4} = 1\)。
4. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) 与直线\(y = mx + 1\) 相交，求直线的斜率 \(m\) 的取值范围。
答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 \(\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1\)。
整理得 \((9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0\)。
双曲线(考题猜想,易错必刷32题6种题型)(原卷版)—2024-2025学年高二数学上学期
双曲线（易错必刷32题6种题型专项训练）➢双曲线定义➢双曲线的方程➢双曲线的性质➢双曲线的离心率➢直线与双曲线的位置关系一．双曲线的定义（共5小题）1.（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知()1,0A -，()10B ,，在x 轴上方的动点M 满足直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（ ）A ．()22102y x x -=>B ．()22102y x y -=>C ．()22102x y x -=>D ．()22102x y y -=>2.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线22330x y -+=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且1215PF PF ×=，则12PF F V 的周长为 ．3.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为12,F F 且在x 轴上，且双曲线上存在一点P使得212||PO PF PF =×，若2PF x ^轴，则该双曲线的离心率为 ．4.（23-24高三上·广东广州·期中）已知点P 是双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：右支上一点，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，12PF F V 的内切圆与x 轴相切于点N ，若121344PN PF PF =+uuu r uuu r uuu u r，则双曲线C 的离心率为.5.（2025·安徽·一模）（多选）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A B 、两点，其中点A 在第一象限．12AF F △的内心为11,I AI 与x 轴的交点为P ，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F V 的内切圆2I 的半径为2r ，则下列说法正确的有（）A ．若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2B ．若12AF AF ^，且112BF AF a -=C ．若1,a b ==12r r -的取值范围是(D ．若直线l 112AI I P =，则双曲线的离心率为54二．双曲线的方程（共4小题）6.（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程22113x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k <B ．13k <<C ．3k >D ．1k <或3k >7.（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F V 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为．8.（2024·江西九江·二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，点()3,4P 在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若直线PA ，PB 的斜率互为倒数，证明：直线l 过定点．9．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线()2222:10,0x y M a b a b -=>>与双曲线2222:12-=x y N m m 的离心率相同，且M 经过点()2,2,N 的焦距为(1)分别求M 和N 的方程；(2)已知直线l 与M 的左､右两支相交于点,A B ，与N 的左､右两支相交于点C ，D ，AB CD=l 与圆222:O x y a +=的位置关系.三．双曲线的性质（共9小题）10.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线221112211Γ:1(0,0)x y a b a b -=>> 与 222222222Γ:1(0,0)x y a b a b -=>>有共同的渐近线，则它们一定有相等的（ ）A ．实轴长B ．虚轴长C ．焦距D ．离心率11.（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知0,0a b >>，则双曲线22122:1x y C a b-=与22222:4x yC a b -=有相同的（ ）A ．焦点B ．焦距C ．离心率D ．渐近线12.（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）（多选）已知双曲线22:5420C y x -=，则C 的（ ）A ．焦点在y 轴上B ．焦距为3C ．离心率为32D ．渐近线为y =13.（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知双曲线22:4C x y -=，点M 为C 上一点，过M 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形OAMB （O 为原点）的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．614.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过F 作PF 垂直于一条渐近线，垂足为P ，若点,P Q 关于原点对称，则PQF S =△ ．15.（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且2π4,3FB FA AFB =Ð=uuu r uuu r ，则双曲线的渐近线方程为 ．16.（24-25高三上·湖北·开学考试）过双曲线2213x y -=的一个焦点作倾斜角为60o 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是.17.（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，点M 在C 上且MF x ^轴，直线1MA ，2MA 与y 轴分别交于点P ，Q ，若34OQ OP =（O 为坐标原点），则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =±B ．y =±C ．y =±D ．y =±18.（23-24高二下·四川德阳·期末）（多选）双曲线C ：22154x y -=的左右顶点分别为A 、B ，P 、Q 两点在C上，且关于x 轴对称（ ）A ．以C 的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为22195x y +=B ．双曲线C C ．直线AP 与BQ 的斜率之积为45-D ．双曲线C 2四．双曲线的离心率（共8小题）19.（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）已知双曲线方程为22213x y a -=，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，点A 是双曲线上任意一点，若A 点关于1F 的对称点为点B ，点B 关于2F 的对称点为点C ，线段AC 的长度是8，则双曲线的离心率是（ ）A B ．2C ．D ．420.（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线222:1(0)x C y a a -=>，点M 在C 上，过点M 作C 两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，若34MA MB ×=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 21.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，Q 为双曲线C 左支上一点，11π,23OF Q QF Ð==C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D 22.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线M 的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 且与实轴垂直的直线交双曲线M 于,A B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线M 的离心率为（ ）A B C ．2D 124.（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）如图，已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线C 于M N 、两点．若直线1MF 是圆2F 的切线，则该双曲线的离心率为（ ）A 1BC ．D 225.（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点12,,F F P 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，且12π3F PF Ð=，其离心率分别为12,e e ，则22123e e +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．1226.（24-25高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左顶点，M 为双曲线C 上位于第一象限内的一点，点M 关于y 轴对称的点为N ，记,MAN MOx a b Ð=Ð=，若tan tan 3a b =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B C D 1五．直线与双曲线的位置关系（共5小题）27.（2023·河南周口·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F作倾斜角为30°的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()222222.0F P F Q F P F Q F P F Qæöç÷+-=ç÷èøuuu u r uuuu r uuu u r uuuu ruuu u r uuuu r ，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D28.（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线G ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与圆O ：222x y a +=交于,A C 两点，设圆O 在,A C 两点处的切线与x 轴分别交于,B D 两点、若双曲线GABCD 周长的最大值为 ．29.（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为双曲线22:1C x y -=右支上两点，若6AB =，则AB 中点横坐标的最小值为（ ）A．BCD ．16330.（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点，且12AB F F ^，现将平面12AF F 沿12F F 所在直线折起，点A 到达点P 处，使面12PF F ^面12BF F ，若25cos 9PF B =Ð，则双曲线C 的离心率为 ．31.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知双曲线2222:1x y C a b -=的右焦点()2,0F ay -=的距离为(1)求C 的标准方程；(2)若过F 的直线与C 的左、右支分别交于点,A B ，与圆222:O x y a +=交于与,A B 不重合的,M N 两点.①求直线AB 斜率的取值范围；②求AB MN ×的取值范围.32.（23-24高三上·河南·期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为30°，其中一个焦点到 E 上的点的最小距离为2．(1)求E 的方程；(2)已知直线2l y x =-：与双曲线E 交于A ，B 两点，过A ,B 作直线l 的垂线分别交E 于另一点D ,C ,求四边形ABCD的面积.。
双曲线及其标准方程练习题
3.2.1 双曲线的定义及其标准方程(作业)一、选择题1.已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为（ ）A .x 225－y 224＝1B .y 225－x 224＝1C .x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D .x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 2.方程x 22+m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A .－2＜m ＜2B .m ＞0C .m ≥0D .｜m ｜≥23.若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）满足b a＝√52，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ）A .x 24－y 25＝1B .x 28－y 210＝1C.x 25－y24＝1D.x24－y23＝14.双曲线x 225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A.1或21B.14或36C.2D.215.若双曲线E：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜＝（）A.11B.9C.5D.36.（多选）过点（1，1），且ba＝√2的双曲线的标准方程可以是（）A.x 21 2－y2＝1B.y212－x2＝1C.x2－y 21 2＝1D.y2－x212＝1二、填空题1.已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为 .2.若点P 是双曲线x 29－y 216＝1上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为 .三、解答题1.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3，√10）；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上.。
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课时作业(十)
[学业水平层次]
一、选择题
1．方程x 22＋m －y 2
2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( )
A ．－2＜m ＜2
B ．m ＞0
C ．m ≥0
D ．|m |≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A
2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )
A.x 29－y 2
16＝1 B.y 29－x 2
16＝1 C.x 29－y 2
16＝1(x ≤－3)
D.x 29－y 2
16＝1(x ≥3)
【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，
∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2
16＝1(x ≥3)． 【答案】 D
3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.x 22－y 2
3＝1 B.x 23－y 2
2＝1 C.x 24－y 2
＝1 D ．x 2
－y 2
4＝1
【解析】
由⎩
⎨⎧
|PF 1|·
|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2
＝(25)2
，
⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，
即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C
4．已知椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A.2
B. 3 C ．2
D ．3
【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2
1＝2.
【答案】 C 二、填空题
5．设点P 是双曲线x 29－y 2
16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.
【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝
a 2＋
b 2＝5.
(1)若点P 在双曲线的左支上，
则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或4
6．(2014·河南省洛阳高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，则
c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠1
2，∴①②满足条件．
【答案】 ①②
7．(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 2
9＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．
【解析】 由方程x 216－y 2
9＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.
在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |
sin P
＝
||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.
【答案】 4
5 三、解答题
8．求与双曲线x 24－y 2
2＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线x 24－y 2
2＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝
c 2＝4＋2＝6.
①
又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上， ∴4a 2－1
b 2＝1.
②
由①、②联立，得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 2
3＝1.
9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；
(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2
－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；
(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 2
4＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；
(5)当k ＞1时，方程为x 24k
＋y 2
4＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．
[能力提升层次]
1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1有相同的焦点，则a 的值为
( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．3
【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A
2．(2014·桂林高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，
则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，
∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B
3．(2014·福建省厦门一中期末考试)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.
【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝1
2|PF ′|，
又|FN |＝
|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝
8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝1
2×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知双曲线x 216－y 2
4＝1的两焦点为F 1、F 2.
(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→
＝0，求点M 到x 轴的距离； (2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．
【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，
MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2，
设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，
由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，
又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，
②
由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝1
2|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.
(2)设所求双曲线C 的方程为
x 216－λ－y 2
4＋λ＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C 过点(32，2)，
所以18
16－λ－4
4＋λ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 2
8＝1.。