关于连续变截面梁主应力计算分析与公式推验
变截面连续梁桥支架整体现浇设计与施工
变截面连续梁桥支架整体现浇设计与施工赵胤儒;刘青松;秦清波【摘要】随着桥梁建设的快速发展,施工工期要求越来越高,连续梁桥施工经常会将常规悬臂挂篮施工调整为整体支架现浇施工.针对支架整体现浇施工方法,以南水北调中线工程焦庵村跨渠公路桥(35+60+35)=130 m为例,介绍连续梁支架整体现浇的设计和施工,为同类桥梁支架现浇的设计和施工提供借鉴.【期刊名称】《四川建筑》【年(卷),期】2016(036)002【总页数】4页(P231-233,236)【关键词】整体现浇;预应力混凝土连续梁桥;设计施工【作者】赵胤儒;刘青松;秦清波【作者单位】长江勘测规划设计研究有限责任公司,湖北武汉430010;中铁二院工程集团有限责任公司,四川成都610031;长江勘测规划设计研究有限责任公司,湖北武汉430010【正文语种】中文【中图分类】U445.469预应力混凝土连续梁桥具有结构刚度大、行车平顺舒适、伸缩缝少、养护简单、宜与周围环境相协调等优点，已成为公路建设中最主要的桥型之一。
目前连续梁桥主要的施工方法有悬臂浇筑和拼装、支架节段和整体现浇、顶推法和转体施工等。
支架整体现浇与其它方法相比，施工工期短，施工方法简单，主梁线型控制容易保证，整体外观整洁美观。
南水北调中线工程焦庵村跨渠公路桥由于诸多原因导致开工时间滞后，影响南水北调中线工程总干渠通水的进度要求，须对原悬臂挂篮施工方案进行调整以满足渠道通水进度要求。
焦庵村跨渠公路桥为渠道挖方后形成，桥址周围地势平坦且桥墩不高，现有交通发达，主梁预计施工季节为春季，综合技术与经济比较后将原悬臂挂篮施工方案调整为支架整体现浇施工方案。
焦庵村跨渠公路桥位于河南省方城县焦庵村，桥梁桥轴线与南水北调中线总干渠中心线呈60.6°斜交，为减小跨渠建筑物阻水面积、影响渠道过水能力，采用大跨度桥梁跨越总干渠。
综合技术和经济后，桥梁结构布跨为35+60+35=130.0 m，桥宽9.2 m，荷载等级为公路-Ⅰ级，单箱单室箱形截面。
变截面梁内力计算
变截面梁内力计算变截面梁是指在其长度上截面形状不规则或者截面尺寸不均匀的梁。
由于梁在受力过程中截面形状和尺寸不断变化，因此计算其内力变化是非常重要的。
变截面梁内力的计算通常可以通过以下步骤进行：1. 应力分析：首先需要通过应力分析来确定变截面梁在不同截面位置上的应力分布情况。
根据梁的受力特点，可将梁分为弯曲区和受力区两部分进行分析。
对于弯曲区，可使用梁弯曲理论，如梁的中和轴位置、曲率和弯矩的计算公式等；对于受力区，可根据力的作用点位置、受力方向和力的大小等来计算应力。
2. 惯性矩计算：对于变截面梁，惯性矩会随着截面位置的变化而变化。
因此，需要根据实际情况计算每个截面位置上的截面惯性矩。
常用的计算方法包括图形分割法、积分法和转动惯量的性质等。
3. 梁的基本方程：梁的基本方程是根据力的平衡和应变兼容条件建立的，可描述变截面梁内力的分布情况。
在应力分析和惯性矩计算的基础上，可得到梁的弯矩-曲率关系方程。
通过求解该方程，可以得到变截面梁内力的解析解或近似解。
4. 数值计算方法：对于复杂的变截面梁，如有多个变截面或存在材料不均匀性等情况，使用数值计算方法可能更为适合。
常用的数值计算方法包括有限元分析、差分法和有限差分法等。
这些方法可以将梁分割成若干小段，通过数值求解来得到梁内力分布的近似解。
除了上述计算方法，还需参考一些相关内容来辅助计算变截面梁的内力。
这些内容包括：1. 截面几何特性参数表：变截面梁的几何特性参数的计算是内力计算的基础。
对于不规则形状的截面，一般需要计算截面面积、主惯性矩、截面高度和截面宽度等几何特性参数。
参考相关资料中的截面几何特性参数表，可以方便地得到这些参数的数值。
2. 材料力学参数表：在内力计算中，需要使用到材料的力学参数，如弹性模量和截面形变系数等。
这些参数可以从相关资料中的材料力学参数表中获取。
3. 变截面梁设计规范：变截面梁的设计与计算一般需要遵循相应的设计规范。
参考设计规范中的计算公式、方法和例题等，可以对内力计算方法有更深入的理解，并能够对设计过程进行合理的校核。
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
梁变形与梁应力部分小结
梁变形与梁应力部分小结一、梁的应力与变形公式1、平面弯曲的正应力σ公式 y Ey I M Zρσσ==研究方法：平面弯曲、纯弯曲平面假设、单向受力假设①变形几何关系（条件、方程）ρεy=（应变沿截面高度的分布规律）y ——截面上某点到中性轴的距离 ②物理关系（条件、方程）ρσyE εE ⋅=⋅= （应力沿截面高度的分布规律）③静力学关系（条件、方程）dAy Ey σdA M0ydA EσdA F A2AZAAN ⎰⎰⎰⎰=⋅====⊗ρρ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰中性轴—Z dA y I A 2Z ()4m()⎰=⋅=→AZ Z 0dA y S S 3m 静矩 （中性轴Z 轴通过形心）2、弯曲变形基本公式（方程）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±==22Zdx y d EIM ρρ1（ρ1曲率）3、任一点处弯曲正应力的表达式（对同一截面而言）y I M Z=σ ZI ——截面对中性轴的惯性M ——该截面上的弯矩值 y ——该截面上某点至中性轴之矩 4、平面弯曲剪应力公式 ①基本公式：bI S Fs Z Z *=τ 式中：b ——横截面上要计算剪应力之点处的宽度Z I ——整个截面对中性（形心）轴的惯性矩*ZS ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分截面对中性轴Z 的静矩②横截面上最大剪应力（危险点在中性轴上各点）记忆⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====2maxmax 3ππ16Fs A Fs 34τbh Fs 1.5A Fs23τ查表Z I ：m ax Z S 值（应用）二、平面弯曲强度条件与刚度条件1、弯曲正应力强度条件 []σσ≤=ZW M m ax （对称）[][][][])() ( 2m ax m ax σy y I M y I M Zl 1Z 压拉压拉σσσσσ≤=≤=（不对称）2、弯曲剪应力强度条件 []ττ≤=bI S Fs Z Zmaxmax m ax 危险点均在危险截面的中性轴各点处应力沿截面高度的成抛物线分布规律3、刚度条件（用叠加法求出梁中最大转角与挠度）转角[]θθ≤m ax 、()角度弧度⇒⋅πθ180m ax rad挠度[] max max ωω≤(m) 满足刚度条件三、提高弯曲强度与弯曲刚度的措施1、选择合理的截面（考虑材料力学性质） ①AW Z一般情况该比值越大越合理 工＞＞②铸铁[]压σ＞[]拉 σ，中性轴偏于受拉边 Z (中性轴) 2、合理布置梁的支座和载荷①合理布置梁的支座 ②合理布置梁的载荷 ③等强度梁（变截面梁）m ax m ax τ矩形梁 圆截面梁 工字梁危险点均在危险截面的上、下边缘点处应力沿截面高度成线性分布四、用变形比较法求解超静定（静不定）梁1、确定静定基。
怎样推导梁的应力公式、变形公式
z x y M
z M dφ x
dx
dx (b) 弯曲后平面图
y ε=ydφ
(a) 弯曲前平面图 z x y M
z M dφ dx (d) 弯曲后立体图
ε
dx
y ε=ydφ
(c) 弯曲前立体图
ε x (y) ≡
ydϕ (x ) 横截面上的各点 ======= c x y (1) dx
图 1-1 在平截面假设下， （ 1）同一横截面上各点（ z， y）应变ε沿 y 线性分布； （ 2） 应变ε与梁高方向的 y 值成正比， 比例常数 cx 仅与横截面位置有关； （ 3）中性轴 z 上各点（ y=0）的应变ε为零。 从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴 Z）转 过一个角度（如图 1-1、1-2 中的 dφ） ，横截面仍然保持为平面，
z
y dy
∫
A
y 2 dA (5)
h/2 y
I z ≡ ∫ y 2 dA = ∫
A
h/2
−h / 2
y 2 bdy =
bh 3 33 (8) 12
图 1-5 矩形截面的惯性矩计算公式的推导
1.3.3 推导变形公式 根据 σ =
M y (7 ) 、 σ = Eε (2 ) Iz
和εx
(
)
3/ 2
=
[±
y ′′
(
1 + y′2
)]
3
≈ ± y ′′ ，考虑到坐标轴 y 向下为正
和对弯矩正负号的规定，故应取
dϕ = - y ′′ (10 ) ，把（10）代入（9）得 dx
A
为了求得应力公式，推导如下;
M = ∫ yσdA = ∫ yEεdA = E ∫ yεdA = E ∫ yc x ydA = Ec x ∫ y 2 dA = Ec x I z 33 (4 )
主应力计算公式范文
主应力计算公式范文主应力是指在三个不同方向上的应力值，可以通过应力计算公式来计算。
在三维应力状态下，主应力计算公式为：σ1 = (σx + σy) / 2 + √((σx - σy)^2 / 4 + τxy^2)σ2 = (σx + σy) / 2 - √((σx - σy)^2 / 4 + τxy^2)σ3=σz其中，σx, σy和σz分别是面上的正应力，τxy是两个相交平面上的剪应力。
这个公式的推导是根据研究材料的最大剪应力的概念来的。
当材料承受最大剪应力时，剪应力的主方向与面的法线垂直，而正应力为零。
所以，为了找到最大剪应力，需要找到当正应力为零时的剪应力值。
首先，我们可以计算得到正应力的平均值：σavg = (σx + σy + σz) / 3然后，计算得到两个相交平面上的剪应力的平均值：τavg = (τxy + τyz + τxz) / 3这样，主应力的计算公式可以表示为：σ1 = σavg + √((σx - σavg)^2 + τavg^2)σ2 = σavg - √((σx - σavg)^2 + τavg^2)σ3=σz这个公式的最大特点是，当剪应力τxy为0时，主应力的计算公式即退化为二维状态下的计算公式：σ1 = max(σx, σy)σ2 = min(σx, σy)σ3=σz这个公式在应力分析和工程计算中有着广泛的应用。
它可以用于确定材料的抵抗能力和破坏状态，以及结构的设计和优化。
通过正确使用主应力计算公式，可以提高结构的安全性和可靠性，减少结构的失效概率。
总之，主应力计算公式是通过考虑到剪应力的方向并将正应力的平均值纳入计算，得到的用于计算主应力的公式。
通过理解和应用这个公式，可以更好地理解和分析材料和结构的应力状态，从而优化设计和提高结构的性能。
梁横截面上的应力
• 二、梁的正应力强度条件（课本第三节）
设σmax是发生在梁最大处的工作应力，则:
m a x 工 作
最大工作 应力
材料的 许用应力
上式即为梁弯曲时的正应力强度条件。
对于等截面直梁，若材料的拉、压强 度相等( 塑性材料)，则最大弯矩的所在面 称为危险面，危险面上距中性轴最远的点 称为危险点。此时强度条件可表达为:
m'
b
m n
h z
y
τ
τo
FQ
τ
x
m'
dx
y
m
n
一、矩形截面梁的剪应力
FQ S bI z
z
IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩；
b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以外部 分的面积 A*对中性轴的静矩。
max
τmax
FQ
FS
Q z,max
例5：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，
许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试
校核此梁的强度。
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
CL8TU12
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
25 . kN M (k Nm ) 25 .
105 . kN
20
3 2 0 1 0 M 15 max t 2 W 0 . 1 0 . 2 z 1 12 .5 6 3 0 M P a <[]
梁的横截面剪应力计算公式
梁的横截面剪应力计算公式梁是工程结构中常见的构件，承受着各种荷载的作用。
在设计和分析梁的承载能力时，剪应力是一个重要的参数。
剪应力是指横截面上的剪切力对横截面积的比值，是描述材料在受到剪切力作用下的抗剪性能的重要参数。
在工程实践中，为了保证梁的安全性能，需要对梁的横截面剪应力进行计算和分析。
梁的横截面剪应力计算公式是基于梁的几何形状和受力情况推导出来的。
一般来说，梁的横截面剪应力可以通过以下公式进行计算：τ = V / A。
其中，τ表示梁的横截面剪应力，单位为N/m²或Pa；V表示横截面上的剪切力，单位为N；A表示横截面的面积，单位为m²。
在实际工程中，梁的横截面剪应力计算公式可以根据不同的受力情况和梁的几何形状进行调整和修正。
下面将分别介绍几种常见的梁的受力情况和对应的剪应力计算公式。
1. 简支梁的横截面剪应力计算公式。
简支梁是指两端支承的梁，在受到均布载荷作用时，横截面上的最大剪切力出现在支座处。
在这种情况下，横截面剪应力可以通过以下公式进行计算：τ = 3V / (2bt)。
其中，b表示梁的宽度，t表示梁的厚度。
2. 连续梁的横截面剪应力计算公式。
连续梁是指多个支座处受力的梁，在受到均布载荷作用时，横截面上的剪切力分布较为复杂。
在这种情况下，横截面剪应力可以通过以下公式进行计算：τ = V / (bt)。
3. T形梁的横截面剪应力计算公式。
T形梁是指梁的横截面呈T形的梁，在受到均布载荷作用时，横截面上的剪切力分布较为特殊。
在这种情况下，横截面剪应力可以通过以下公式进行计算：τ = V / (2bt)。
4. 不等截面梁的横截面剪应力计算公式。
不等截面梁是指梁的横截面宽度或厚度不均匀的梁，在受到均布载荷作用时，横截面上的剪切力分布较为复杂。
在这种情况下，横截面剪应力可以通过以下公式进行计算：τ = V / (A1+A2)。
其中，A1和A2分别表示梁的两个不等截面的面积。
除了上述情况外，梁的横截面剪应力计算还需要考虑横截面形状的影响、剪切力的分布规律等因素。
梁的主应力及最大剪应力的计算
8.5梁的主应力
工程中的梁，例如图8-24所示的钢筋混凝土梁，在荷载作用下，除了跨中产生竖向裂缝外，支座附近还可能发生斜向裂缝。
这说明，最大应力未必处处都发生在横截面上，在某些斜截面上也存在导致梁破坏的应力。
为了确定粱受力后究竟哪个截面、哪一点的上应力最大，以便进一步判断梁的强度，就必须研究粱内任意点在各个斜截面上的应力变化情况，即一点的应力状态。
本节仅对等直粱平面弯曲时一点的应力分析及主应力强度条件作简单介绍。
图8-24
1.梁内一点斜截面上的应力
当研究梁内任意一点A 斜截面上的应力时，可以围绕A 点截取一个极其微小的正六面体abcd 如图8-25所示。
单元体的左、右面为横截面，上、下面与中性层平行，前、后面平行于纵向对称平面，单元体的边长为无限小，可以认为各平面上的应力是均匀分布的，且平行面上的应力是相同的。
单元体两横截面ab 、cd 上的应力σ和τ分别为 y I M =σ， b I QS z z =τ 单元体上、下面ab 、cd 上的应力σ和τ可由剪应力互等定理得到如图8-25（a ）。
图8-25
2.梁的主应力及最大剪应力 σα是α的函数，可以用求极值的方法求得它的最大值和最小值。
取导数并令
0=ασαd d 得 02cos 2sin 2=+ατασ
【例8-8】
求图8-26 (a)所示梁内某点单元体的主应力值及其所在的位置。
图8-26。
梁的应力公式
梁的应力公式梁是工程结构中常见的构件，比如桥梁的大梁、房屋的横梁等等。
要了解梁的性能和安全性，就得搞清楚梁的应力公式。
先来说说啥是应力。
应力就好比是梁内部的“力量分布”，它反映了梁在受力时内部各点的受力强度。
想象一下，一根梁被重物压着，它内部的每一部分都在努力抵抗这个压力，而应力就是描述这种抵抗强度的指标。
梁的应力公式有好几种，咱们先从最简单的说起。
对于矩形截面的梁，在受到垂直于轴线的弯矩作用时，正应力的公式是：σ = M*y / I 。
这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是截面惯性矩。
举个例子吧，有一次我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个厂房的框架。
其中有一根大梁，看上去很粗壮，但我心里就在想，这根梁到底能不能承受住上面的重量呢？这时候我就想到了梁的应力公式。
我走近仔细观察了一下这根梁的截面形状，大致估计了一下它的尺寸。
然后假设上面的重物产生了一个特定大小的弯矩，根据我所知道的公式和估计的参数，试着算了算梁内部的应力分布。
这一算可不得了，我发现如果重物再重一点，或者放置的位置再偏一点，某些部位的应力可能就会超过材料的承受极限，那可就危险啦！再来说说圆形截面的梁。
它的应力公式和矩形截面的有所不同，但原理是类似的。
对于圆形截面，应力的计算也要考虑到弯矩、到圆心的距离以及截面的惯性矩等因素。
在实际工程中，梁的受力情况往往很复杂，可能同时受到弯矩、剪力、扭矩等多种力的作用。
这时候，就得综合运用各种应力公式来进行分析。
比如说，在设计一座钢结构的桥梁时，工程师们不仅要考虑车辆行驶时产生的弯矩，还要考虑风力、地震力等因素产生的影响。
他们会运用先进的计算软件，输入各种参数，然后根据梁的应力公式来计算出每一个部位的应力情况。
如果发现某些部位的应力过大，就需要调整设计，比如增加梁的截面尺寸、改变材料或者优化结构形式。
总之，梁的应力公式是结构工程中的重要工具，它帮助我们设计出安全可靠的梁结构，确保建筑物和各种设施的稳定和安全。
变截面连续梁完整计算书
一、工程概况上部结构采用预应力混凝土变截面连续箱梁，为双幅结构。
单幅箱梁采用单箱单室截面，箱梁顶板宽11.99m，底板宽为6.99米，箱梁顶板设置1.5%的横坡。
边跨端部及中跨跨中梁高均为2.0m（以梁体中心线为准），箱梁根部梁高为4.0米，梁高从2.0m到箱梁根部按1.5次抛物线规律变化；边跨端部及中跨跨中底板厚度为0.25米，箱梁悬臂根部底板厚度为0.6米，箱梁底板厚度从2.0m到悬臂根部按1.5次抛物线规律变化。
箱梁腹板在3.5m长度内由0.45米直线变化至0.6米。
桥台采用重力式U型桥台，桥台与道路中心线正交布置。
桥台扩大基础应嵌入中风化岩面不少于0.5m，同时应满足基底持力层抗压承载力要求，桩基础应嵌入中风化岩层长度不小与2.5倍桩径，桥台台身采用C25片石混凝土浇筑，台帽混凝土采用C30钢筋混凝土。
台后的填料采用压实度不小于96%的砂卵石，回填时应预设隔水层或排水盲沟。
桥墩均采用钢筋混凝土八棱形截面，基础采用桩基接承台。
桥墩墩身截面为3.5×2.0m，截面四角对应切除70×50cm倒角。
墩顶设盖梁，桥墩盖梁尺寸为 6.99m(长)×2.4m(宽)×2.6m(高)，承台尺寸为8.4m(长)×3.4m(宽)×2.5m。
每个承台接两根直径2.0m的桩基。
所有的桩基础均采用嵌岩桩，用人工挖孔成桩。
桩基础应嵌入完整的中风化岩面不少于3倍桩径，并要求嵌岩岩石襟边宽度大于3.0m，同时应满足基底持力层岩石抗压强度要求。
桥型布置见图1 桥型立面布置图。
图1 桥型立面布置图二、主要技术标准2.1. 设计车速：30km/h。
2.2. 设计荷载：汽车荷载：公路－I级。
人群荷载：3.5 KN/m2。
2.3. 结构设计安全等级：一级（桥梁结构重要性系数γ0 =1.1）。
2.4.桥梁宽度：4.5m(人行道)+7.25m(车行道)+0.5m(中分带)+7.25m(车行道)+ 4.5m(人行道)=24.0m。
截面梁少筋验算公式
截面梁少筋验算公式截面梁的少筋验算公式是根据结构力学的原理和假定，推导出的一种计算梁截面拉应力和剪应力的方法。
少筋验算公式主要应用于混凝土梁的设计与验算中，以确保梁的安全性能。
以下是常用的截面梁少筋验算公式及其推导过程：1.梁截面拉应力计算公式：梁截面的拉应力是由外荷载引起的，根据应变能平衡原理，可得到梁截面的拉应力计算公式如下：σ=M*e/W其中，σ为截面的拉应力，M为弯矩，e为截面形心与受拉钢筋重心的距离，W为截面的抵抗力矩。
2.梁截面剪应力计算公式：梁截面的剪应力是由剪力引起的，根据材料力学原理，可得到梁截面的剪应力计算公式如下：τ=V/(b*h)其中，τ为截面的剪应力，V为剪力，b为截面宽度，h为截面高度。
3.截面抵抗力矩计算公式：截面抵抗力矩是指梁截面对外力的抵抗能力，可以通过应力分布和几何形状的计算得到。
下面是一些常见的截面抵抗力矩计算公式：-矩形截面的抵抗力矩：W=b*h^2/6- T形截面的抵抗力矩：W = (bw * hw^2 / 6) + bfl * hfl * (hfl / 2)- I形截面的抵抗力矩：W = (bw * hw^3 / 12) + bfl * hfl *(hfl / 2) + (bfl * hfl^3 / 12)其中，b为截面宽度，h为截面高度，bw为矩形腹板宽度，hw为矩形腹板高度，bfl为矩形上翼缘宽度，hfl为矩形上翼缘高度。
基于以上的截面少筋验算公式，可以计算出梁截面在受力下的拉应力和剪应力，从而进行结构的设计与验算。
但需要注意的是，实际的结构设计与验算需要考虑多种因素，如施工工艺、材料性能、荷载条件等，因此，上述的截面少筋验算公式仅作为参考，并不能直接应用于实际工程中，需根据具体情况进行调整和修正。
变截面梁的应力计算及其分布规律研究
Vol.24 No.3 Mar. 2007
工
程
力
学 78
ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2007)03-0078-05
变截面梁的应力计算及其分布规律研究
*
张元海 1，李
乔2
(1. 兰州交通大学土木工程学院，甘肃 兰州 730070；2. 西南交通大学土木工程学院，四川 成都 610031)
如前所述，微段横截面上距梁顶为 y 的纵向纤 维的正应力可按材料力学公式表达为 N M σy = + ( yc − y) (2) A I 其中，A、 I 分别为横截面面积及其对重心轴的惯性 矩， yc 为横截面重心至梁顶距离。 为了计算横截面上任意点处如 a 点的剪应力
τ ， 在微段上再以水平截面 a a ′ 截出其以上部分为分
τ= 6Qy y Ny dh 3 y 6My dh 3y 1 − + 2 2− − 3 2− 2 h d x h d x h bh bh bh
对重心轴的惯性矩与单位宽度底板面积对重心轴的 惯性矩之差。 将式(7)~式(11) 代入式(5)，并用 tan β 、 tan β ′ 、 tan β ′′ 分别表示梁高、底板厚度、腹板总厚度沿跨 度 的 变 化 率 ， 即 dh / dx = tan β 、 dδ / dx = tan β ′ 、 db / dx = tan β ′′ ，则得计算点位于腹板上时箱梁剪应 力实用计算公式如下
板厚度、腹板厚度等从主跨跨中到主墩处设计为逐 渐增大的形式(顶板厚度通常不变化)。在这些变化 的截面尺寸中，梁高是截面抗弯的主要尺寸，根据 弯矩变化规律，可将其设计为按二次抛物线变化，
材料力学求主应力公式
材料力学求主应力公式主应力公式是材料力学中的重要概念，用于描述材料内部受力状态。
它是通过将作用在材料上的外力分解为三个正交方向上的应力，来表示材料内部的应力状态。
主应力公式的推导基于材料力学中的应力分析原理和数学推理，但在这里，我们将用简单的语言来描述它的意义和应用。
我们需要明确什么是应力。
应力是指单位面积上的力，用于描述材料内部的受力状态。
当材料受到外力作用时，它会产生内部应力，这些应力会影响材料的变形和破坏。
为了更好地理解材料的应力状态，我们引入主应力的概念。
主应力是指在材料内部的三个正交方向上的最大和最小应力。
假设我们将外力分解为三个正交方向上的分力，并对每个方向上的应力进行分析，我们可以得到三个主应力。
其中，最大主应力是指材料内部受力状态下的最大应力值，而最小主应力则是指最小应力值。
这两个主应力是描述材料受力状态的关键参数。
主应力公式可以用数学表达式表示为σ1和σ2，分别表示最大和最小主应力。
根据应力分析原理，我们可以通过应力分量的线性组合来计算主应力。
具体而言，我们可以使用材料的应力矩阵来进行计算，其中应力矩阵的元素表示材料在各个方向上的应力分量。
通过求解应力矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到主应力的数值。
主应力公式在工程实践中具有广泛的应用。
它可以用于分析材料的强度和稳定性，帮助工程师设计更安全和可靠的结构。
例如，在建筑设计中，我们可以通过计算主应力来评估建筑材料的承载能力，从而确保建筑结构的稳定性。
同样，在机械设计中，主应力公式可以用于分析零件的强度，以避免零件在运行过程中发生破坏。
主应力公式是材料力学中一种重要的分析工具，用于描述材料内部的应力状态。
它通过分解外力为三个正交方向上的应力，来表示材料受力状态的最大和最小应力。
这个公式在工程实践中有着广泛的应用，可以帮助工程师评估材料的强度和稳定性，从而设计更安全和可靠的结构。
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
梁的主应力及最大剪应力的计算
梁的主应力及最大剪应力的计算首先，我们需要了解什么是主应力。
主应力是指物体在其中一点上的三个正交方向上的应力分量，分别称为主应力。
根据结构力学的理论，梁的主应力是由弯曲应力和剪切应力两个分量组成的。
对于弯曲应力，我们可以根据梁的几何形状、受力和边界条件来计算。
弯曲应力的大小与梁的几何形状有关，通常使用梁的截面属性（如截面面积、截面惯性矩等）和材料属性（如弹性模量、截面的变形限制等）来计算。
例如，如果梁受到均匀分布的弯矩作用，我们可以使用经典的梁理论公式来计算出梁的弯曲应力。
对于剪切应力，可以根据梁的几何形状、受力和边界条件来进行计算。
剪切应力的大小取决于梁上受到的剪力大小以及截面形状。
例如，当梁上受到均匀分布的剪力时，可以使用梁的剪力公式来计算出梁的剪切应力。
接下来，我们需要了解梁的主应力是如何计算的。
主应力的计算可以通过解析方法或数值方法进行，根据梁上各点的应力状态来求解。
解析方法通常适用于简单几何形状和边界条件的梁，例如，直线梁和简支梁等。
数值方法则适用于复杂几何形状和边界条件的梁，例如，曲线梁和悬臂梁等。
在计算过程中，我们需要考虑各种边界条件，如梁的支座情况、受力位置和方向等。
这些边界条件将直接影响梁上各点的主应力分布。
最大剪应力是指在梁上发生最大拉切应力的位置处的剪切应力值。
要计算最大剪应力，我们可以通过解析方法或数值方法进行求解。
解析方法通常需要对梁进行假设和简化，例如，假设梁为线弹性材料、截面积分布均匀等。
数值方法则适用于复杂的梁几何形状和边界条件，例如有限元法。
在计算最大剪应力时，我们需要考虑梁上各个位置的剪切应力分布。
通常，剪切应力沿着截面发生变化，最大剪应力往往出现在梁截面上的一些特定位置。
在实际计算中，我们需要根据具体情况选择适合的方法和公式，并考虑各种因素的影响，如梁的几何形状、受力和边界条件等。
此外，我们还需要合理选择材料的性质参数和梁的参数。
在计算过程中，应注意梁的材料的力学性质参数以及力学模型的适用范围。
梁的应力计算
解：先算出C截面上的弯矩
MC F a 1.5103 N 2m 3103 N m
截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：
IZ
bh3 12
0.12m 0.183 m3 12
0.583 10 4 m4
§6-1 梁的正应力
例6-1 长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知， h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求C截面 上K点的正应力。
§6-4 矩形截面梁的切应力
例6-6 矩形截面简支梁如图所示，已知，l=3m，h=160mm，b=100mm， h1=40mm，F=3kN。试求m-m截面上K点的切应力。
MC y2 2.7 103 N m 0.038 m 103 N m2
MBy1 1.8103 N m 0.072 m 129 N m2
因MCy2<MBy1，所以最大拉应力发生在B截面上，即
t,max
MB IZ
y1
129N m2 0.573105 m4
FS
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
一、几何方面
mn
a
a
b
b
m dx n
d
m´ n´
a´ a´
b´
b´
m´
n´
平面假设：
横截面变形后保持为平面，且仍然垂直 于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线 偏转了一个角度。
FAy 4kN FBy 4kN
变截面梁的有限元计算分析
变截面梁的有限元计算分析
陈伟平;肖承初
【期刊名称】《中国水运（下半月）》
【年(卷),期】2011(011)006
【摘要】针对工程结构中广泛应用的变截面构件,根据有限单元法基本原理,在假设变截面单元形函数的基础上,根据直观的受力模式位移模式,推导出变截面空间梁单元的形函数,进而推导出此类单元的单元刚度矩阵.通过VC自编程序与现有桥梁计算程序的计算比较,该方法效率快且结果准确,运用该方法可以使变截面梁的分析简化精准.
【总页数】2页(P237-238)
【作者】陈伟平;肖承初
【作者单位】中交第二公路勘察设计研究院有限公司,湖北武汉,430052;中交第二公路勘察设计研究院有限公司,湖北武汉,430052
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
【相关文献】
1.关于连续变截面梁主应力计算分析与公式推验 [J], 刘梦然
2.钢筋混凝土变截面梁有限元仿真分析 [J], 李诗雨
3.静载荷作用下钢筋混凝土变截面梁桥有限元仿真 [J], 魏湛力;褚少辉;张涛;张艳玲
4.基于微分变换法的变截面梁振动研究及有限元数值模拟 [J], 李伟;管鱼龙;谢浩;
李书光;王龙
5.变截面梁单元方管塔身有限元参数化建模与分析 [J], 王积永;谢昌省;王忠雷;宋世军
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材料力学求主应力公式
材料力学求主应力公式
主应力公式是材料力学中的重要概念之一，它描述了在材料内部的应力分布情况。
在这篇文章中，我将向您介绍主应力公式的基本概念和应用。
让我们回顾一下应力的定义。
应力是描述材料内部受力状态的物理量，它是单位面积上的力。
在材料力学中，我们通常将应力分为三个方向：正应力、剪应力和法向应力。
主应力是在某一点上材料中沿着三个主应力方向的应力值。
主应力分别用σ1、σ2和σ3表示，其中σ1是最大的主应力，σ3是最小的主应力。
主应力公式可以用来计算主应力的数值。
根据材料力学的原理，我们有以下公式：
σ1 = (σx + σy) / 2 + ((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2)^0.5
σ2 = (σx + σy) / 2 - ((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2)^0.5
σ3 = σz
其中，σx、σy和σz分别是材料中某一点上的三个应力分量，τxy 是剪应力分量。
通过这些公式，我们可以计算出材料内部各个点的主应力值。
这些主应力值对于材料的强度和变形特性有着重要的影响。
在工程设计
和材料选择过程中，了解主应力分布情况对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。
总结一下，主应力公式是材料力学中用来计算材料内部主应力分布的重要工具。
通过计算主应力，我们可以了解材料受力状态的分布情况，并根据这些信息进行工程设计和材料选择。
主应力公式在实际工程中有着广泛的应用，对于确保结构的安全性和可靠性起着重要的作用。
希望通过这篇文章的介绍，您对主应力公式有了更加深入的了解。
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Ｊ ｎ ２ ０ ｕ ．， ０ ２
文 章 编 号 ：０ ９ ２ ６ （ ０ ２ ０ — ０ ４ — ０ １０ — ２９ ２０ ）２ ０ ２ ４
关 于 连 续 变 截 面 梁 主 应 力 计 算 分 析 与 公 式 推 验
刘 梦 然
（ 州 铁 路 工 程 职 工 大 学 力 学 教 研 室 ． 肃 兰 州 ７ ０ ０ ） 兰 甘 ３ ０ ０
料 力 学 公 式 解 ， ａ １ 。 ， 与 弹 力 解 的 最 小 相 对 误 差 就 为 １ ０ 。 由此 可 见 ， 规 范 》 当 一 ０时 则 ２％ 《 所 采 用 的 剪 应 力 计 算 公 式 与实 际有 较 大 的差 异 ， 时也 看 到本 文 推 荐 的公 式 （ ） 一 个 较 满 意 同 ３是
材 力 解
形 心 处
下 边 界 上 边 界
口一 ２０ 。
形 心 处 下 边 界 上 边 界
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第 ２期
刘 梦 然 ： 于 连 续 变 截 面 梁 主 应 力 计 算 分 析 与 公 式 推 验 关
・ ５ ４ ・
处 ， 需 少 量 配 置 用 于 承 受 主拉 应 力 的 钢 筋 。 只
如 果 按 《 范 》 公 式 计 算 ， 截 面 梁 斜 面 边 界 上 的 主拉 应 力 为 零 ， 表 ３表 明 ， 面 边 规 的 变 而 斜
情况 。
参 考文献 ：
［ ］ ＧＢ 一 ８ ． 凝 土 结 构 设 计 规 范 ［ ］ １ Ｊ ９混 Ｓ． ［ ］ 申 向 东 ， 宝 霖 ， 平 ． 截 面 构 件 的 剪 应 力 计 算 ［］ 包 头 农 牧 学 院 学 报 ，９ ５ （ ） ８ ２ 姬 李 变 Ｊ． １ ９ ，４ ：３ ［ ］ 王 惠德 ． 性 力学 ［ ． 尔 滨 ： 尔 滨 工业 大学 出版 社 ，９９ ３ 弹 Ｍ］ 哈 哈 １８ ． ［ ］ 孙 训 方 ， 来 泰 ， 孝 淑 ． 料 力 学 ［ ． 京 ： 等 教 育 出 版 社 ，９ ３ ４ 关 方 材 Ｍ］ 北 高 １９． ［ ］ 徐 芝 纶 ． 弹 性 力 学 简 明 教 程 ［ ． 京 ： 等 教 育 出版 社 ，９ ７ ５ Ｍ］ 北 高 １８ ．
２ 材 料 力 学 剪 应 力 的 计 算 公 式 分 析
公 式 （） ３ 是计 算 连 续 变 截 面 梁 剪 应 力 的 近 似 公 式 ， 必 要 对 它 的精 度 和适 用 范 围进 行 分 有 析 讨 论 。 图 １所 示 为 三 角 形 截 面 弹性 梁 ， 弹性 力 学解 与公 式 （ ） 近 似 解 相 比 较 ， ｘ 截 用 ３的 设 面 处 的 高 度 为 ｈ，ａ ａ ｔｎ ＝ｈ ｚ） ｚ， 算 结 果 见 表 １ （ ／ 计 。
界上 的主拉应力 并不为零 ， 是 随着倾 角的增 大而增 大 ， ａ 而 当 一２ 。 ， 拉 应 力 等 于 ４ ２ ０时 主 ． ８，
是 边 界 上 最 大 主 拉 应 力 的 ２ ． ， 以 斜 面 边 界 应 当配 置 一 定 数 量 的 钢 筋 ， 于 承 受 由 于 ８６ 所 用
从 表 ２可 以 看 出 ， ａ ０ 时 ， 面 与横 截 面 的交 线 处 产 生 最 大 剪 应 力 ， 时 在 截 面 形 当 一１ 。 斜 同 心 处 的 剪 应 力 则 相 应 减 少 ， ａ Ｏ 时 ， 截 面 出 现 了 符 号 相 反 的 剪 应 力 。 截 面 中性 轴 处 当 一２ 。 横 的 剪 应 力 很 少 ， 为斜 面 与 横 截 面 交 线 处 的 １ ３ 。 仅 ／ ９
剪 应 力 计 算 其 主拉 应 力 口
口 一
寺（ ＋口） 、（ ＋告 ／ 一口）＋４ ／ Ｇ
（） １
其 中 剪 应 力 的 数 值 由 材料 力 学 给 出的 梁 的剪 应 力 计 算 公 式计 算
Ｕ — ＂ｙ ＱＳ： ｌｂ ｘ ／ ＝ （） ２
此 公 式 没 有 考 虑 变 截 面对 剪应 力 的 影 响 ， 计 算杆 内 的 主 拉 应 力 有 较 大 的影 响 ， 对 如果 考
中 图 分 类 号 ：ＴＢ ０ ； ３ １ ４ ３ １ ＴＵ ｌ ． 文献标识码 ： Ａ
１ 材 料 力 学 剪 应 力 的 计 算 公 式
在 工 业 与 民用 建筑 的 钢 筋 混 凝 土 构 件 设 计 中 ， 于 连 续 变 截 面 的 杆 件 ， 计 规 范 允许 用 对 设 《 料 力 学 》 法 对 主拉 应 力 进 行 计 算 。按 在 弹性 阶 段 工 作 未 出现 裂 纹 的杆 件 中 的 正 应 力 和 材 方
的 近 似 解 ， 简 便 易 行 ， 满 足 工 程设 计 的 要 求 。 且 能
３ 计 算 实 例
图 ２所 示 一 连 续 变 截 面悬 臂 梁 ， 部 为 水 平 面 ， 部 是 倾 角 为 ａ的 斜 面 ， 自 由端 作 用 上 下 在 有 一 集 中力 Ｐ。 自 由端 截 面 高 度 为 Ｈ ， 度 为 常 量 ， 为 计 算 方 便 设 为 １ 固 定 端 截 面 处 高 宽 并 ，
计 算 的 ， 进 一 步 表 明 了 在计 算 变 截 面 梁 的 剪 应 力 时 ， 能 运 用 这 不 一Ｑｓ 来 计 算 ， 为 ／ 因
它 没 有 考 虑 弯矩 和 倾 角 ａ对 剪 应 力 ｒ 的 影 响 ， 时 也 证 明 在 钢 筋 混 凝 土 斜 截 面 梁 的 形 心 同
．４ ． ３
图 １ 三 角 形 截 面 弹 性 梁 表 １ 剪 应 力 数 值 比 较 表 （ ａ ＭＰ ）
倾角（ ） 度
位
置
弹 力 解
。
上 边 界
一． 一 。一 。一 姗一 Ｌ一 謇 一 一 蛐 。
０ ０
公式 （ ） ３ 解
为 表 明 剪 应 力 对 主 应 力 的影 响 ， 用 表 ２的计 算 结 果 和公 式 （ ） 求 得 固 定 端 截 面 处 的 利 １可 主 拉 应 力 ， 表 ３ 见 。
表 ３ 固定 端 截 面 的 主 拉 应 力 数 值 （ Ｐ） Ｍ ａ
４ 结 束 语
从 表 ３可 以 看 到 ， ａ Ｏ 时 ， 定 端 截 面 形 心 处 的 主 拉 应 力 很 小 ， 为 材 料 力 学 公 式 当 一２ 。 固 仅
变 截 面 引 起 的剪 应 力 而 产 生 的 主拉 应 力 。
综 上所述 ， 设计计 算连续截面杆件 时 ， 在 因为 杆 件 斜 面 会 影 响 剪应 力 及 主 拉 应 力 分 布 的 性 质 及 其 数 值 ， 须 考 虑 弯 矩 和 倾 角 ａ对 剪 应 力 ｒ 必 的 影 响 ， 且 当 ａ ０ 时 ， 式 （ ） 提 并 一２ 。 公 ３可 供 一个 满 意 的 近 似 解 。利 用 公 式 （ ） 算 剪 应 力 ， 后 用 公 式 （ ） 算 主拉 应 力 更 符 合 实 际 ３计 而 １计
摘 要 ：在 计 算 连 续 变截 面 梁 的主 应 力 时 ， 用 材 料 力 学方 法推 导 的 变截 面 剪 应 力 运 公 式 计 算 其 主 应 力数 值 ， 析 了剪 应 力 公 式 的 计 算 精 度 ， 出 了算 例 ， 出 了《 分 给 指 混 凝 土结构设计规 范》 ［ 用 剪 应 力公 式计 算 变 截 面 粱 主 应 力 的 不足 。 利 关 键 词 ：变截 面 梁 ； 应 力 ； 拉 应 力 剪 主
（ ｅ Ｍｅ ｈ ｎ ｃ ｅ ｃ ｉ ｇ ａ ｄ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ Ｓ ｃｉ ｎ ｏ ｎ ｈ ｕ Ｒａｌ ｙ Ｃｏｌｇ ｏ Ｔｈ ｃ ａ ｉｓ Ｔ ａ ｈ ｎ ｎ ｓａ ｃ ｅ ｔ ｆ ｏ Ｌａ ｚ ｏ ｉ ｗａ ｌ ｅ ｆ ｒ ｅ
Ⅵ ｒｒ ｅ ｓａ ａｆ Ｌ ｚ ｏｕ ７ ０ ０ ｋ ｒ ｎｄ Ｓｔ ｆ， ａｎ ｈ ３０ ００， ｈ ＣＫ ａ）
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第 ９卷 第 ２ 期
２０ ０ ２年 ６月
兰 州 工 业 高 等 专 科 学 校 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｈ ｕ Ｐ ｌ ｔ ｃ ｎ ｃ Ｃｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＬａ ｚ ｏ ｏ ｙ ｅ ｈ ｉ ｌ ｅ ｅ
Ｖ ｏ＿ ． ． Ｉ ９ ＮＯ ２
Ｃｏｍ ｐｕｔｎｇ Ａｎａｌ ｓ ｓ ｏ ｉ ｉ ｅ Ｓ ｒ ｓ ｆ Ｃｏ ｔ ｎｕ ｕｓ Ｖａｒ ａ ｅ ｉ ｙ ｉ ｆ Ｐｒ ｎｃ ｐｌ ｔ ｅ ｓ ｏ ｎ ｉ ｏ ｉ ｂｌ
Ｓｅ ｔ ｏ ｆ Ｂｅ ｍ ｓ ａｎｄ Ｒｅ ｓ ｎｉ ｎｄ Ｐｒ ｖｉ ｔ ｒ ｕ ａ ｃｉ ｎ ｏ ａ ａ ｏ ｎｇ ａ ｏ ｎｇ ｏｆ Ｉ ｓ Ｆｏ ｍ ｌ ＬＩ Ｍ ｅ ｇ— ｒ ｎ Ｕ ｎ ａ
度 为 ｈ 梁 长 为 Ｌ， Ｌ ｈ ． ， 文 献 Ｅ ３ ， ， 且 ／ ＝２ ５ 在 中 当且 仅 当 Ｌ ｈ ２时才 称 为 深 梁 。Ｍ ＝ＱＬ， Ｌ ／≤ 求
固定 端 截 面 处 的 剪应 力 分 布 。其 计 算 数 值 见 表 ２ 表 ２数 据 由公 式 （ ） ） （ ３得 。
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形 心 处
下 边 界 上 边 界
形 心 处 下 边 界
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从 表 １可 看 出 ， 当三 角 形 梁 的倾 角 ａ ０时 ， 式 （ ） 算 的 与 弹 性 力 学 精 确 解 的最 一２ 。 公 ３计 大 相 对 误 差 为 ５ ６ ； ａ ５ 时 ， 式 （ ） 算 的 与 弹 性 力 学 精 确 解 的最 大 相 对 误 差 为 ． 当 一２ 。 公 ３计 ｌ． ％ ， 原 《 凝 土 结 构 设 计 规 范 》 １７ 而 混 （以下 简 称 《 范 》 中 所 采 用 的 剪 应 力 计 算 公 式 ， 规 ） 即材