数域的基本概念
数域f的概念
数域f的概念引言在代数学中，数域（field）是一个具有特定代数结构的数学对象，它是一种满足一些特定性质的集合。
数域的概念是代数学中的基础概念之一，它在数论、代数几何、代数拓扑等领域都有广泛的应用。
本文将介绍数域f的概念，探讨它的性质和应用。
什么是数域f？数域f是一个非空集合，其中包含了加法运算和乘法运算，并且满足一定的性质。
具体来说，数域f需要满足以下四个性质：1.加法结合律：对于数域f中的任意三个元素a、b和c，有(a + b) + c = a+ (b + c)。
2.加法交换律：对于数域f中的任意两个元素a和b，有a + b = b + a。
3.存在加法单位元：数域f中存在一个特殊元素0，使得对于任意的元素a，有a + 0 = 0 + a = a。
4.存在加法逆元：对于数域f中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a + (-b) = (-b) + a = 0。
另外，数域f中的乘法也需要满足类似的性质：1.乘法结合律：对于数域f中的任意三个元素a、b和c，有(a * b) * c = a* (b * c)。
2.乘法交换律：对于数域f中的任意两个元素a和b，有a * b = b * a。
3.存在乘法单位元：数域f中存在一个特殊元素1，使得对于任意的元素a，有a * 1 = 1 * a = a，并且1不等于0。
4.存在乘法逆元：对于数域f中的任意非零元素a，存在一个元素a的逆元素a^(-1)，使得a * a^(-1) = a^(-1) * a = 1。
根据以上定义和性质，我们可以看出，数域f中的加法和乘法都满足结合律和交换律，并且有单位元和逆元。
这些性质使得数域f成为一个具有代数结构的数学对象。
数域f的例子数域f的例子有很多，其中最为常见的是有理数域（Q）、实数域（R）和复数域（C）。
1.有理数域（Q）：有理数包括整数和分数，其中分母不为0。
有理数域中的加法和乘法的定义和性质都符合数域的要求，因此有理数域是一个数域。
1.1线性空间
Ⅱ 求 （1）基I到基II的过渡矩阵； （2）向量 31 23 在基I下的坐标以及在自然基 e1 , e 2 下的坐标； T （3）向量 4,1,2 在基（I）下的坐标.
24
, e3
1.3 线性子空间 定义1.8 设V为数域P上的线性空间，W是线性空间V的 非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的 线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V，显然由中单个零向量构成的子 集是的子空间，称为的零子空间,记为{0}；V本身也是 V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.的其它 子空间称为V的非平凡子空间. 若WＶ，且WＶ，称Ｗ是Ｖ的真子空间。
例1.2 1. n维向量空间Rn按照向量的加法以及向量与实数的数乘 都构成实线性空间. 2.全体 mn实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运算下构成一个 实线性空间，记为Rmn. 3.区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数 的乘法构成一个实线性空间，记为C[a,b]. 4.全体次数小于 n的多项式连同零多项式，按照多项式的加法 与数乘构成一个实线性空间，记为 Pn[x]. 5.齐次线性方程组 AX=0的全体解向量，在向量的加法及数乘 两种运算下构成一个线性空间，也就是通常所说的解空间； 注：非齐次线性方程组AX=b的全体解向量，在上述两种运算下 不构成一个线性空间.
4.向量组
1,2 ,L ,m线性相关当且仅当其中至少
有一个向量是其余向量的线性组合。
11
5.向量组 1 ,2 ,L , m 线性无关，而 , 1 , 2 ,L , m 线性相关，则可以由向量组 表示。
1,2 ,L ,m
唯一 线性
6.线性无关组不含零向量，等价的含零向量的向量组必定 线性相关。 7. 如果向量组 1 , 2 ,L , 线性无关，并且可由向量组 s 线性表示，则 s t 8.等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量.
高等代数(第1章)
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上 符号x 可以是为未知数， 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
2012-12-2
f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
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§1
数域
要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考 虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围：有理数集 、实数集、复数集 共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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15
例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由 若g(x)0，由于
第一节 数域
§1 数域（number field ）教学目的：掌握数域的概念及其性质，了解数环的概念.教学重点：数域概念及其证明.教学难点：数域概念.数的发展过程复数实数有理数整数自然数负数开方正数开方除法减法−−−→−−−−→−−−→−−−→−1.数域的概念关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数(rational number)组成的集合、全体实数(real number)组成的集合、全体复数(complex number)组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来表示.全体整数(integral number)组成的集合就不是数域，整数集关于加减乘运算是封闭的，但除法运算不封闭.类似的自然数集也不是数域.例1 所有具有形式2b a +的数(其中b a ,是任意的有理数)，构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.即},2{)2(Q b a b a Q ∈+=.证明:显然)2(2011),2(2000Q Q ∈+=∈+=.)2(,Q y x ∈∀,设Q d c b a d c y b a x ∈+=+=,,,,2,2,则Q c a ∈±， d b ±Q ∈，Q bc ad Q bd ac ∈+∈+,2.因此有)2(2)()(Q d b c a y x ∈±+±=±,)2(2)()2(Q bc ad bd ac y x ∈+++=⋅. 因此)2(Q 对加减乘运算是封闭的.设Q b a ∈,,02≠+=b a x ,则02≠-b a ,若02=-b a ,则0==b a ,因此02=+b a ,与02≠+=b a x 矛盾.而,2222)2)(2()2)(2(222222b a bc ad ba bd acb a b a b a dc b ad c --+--=-+-+=++ 因为Q d c b a ∈,,,,所以Q ba bc ad Qb a bd ac ∈--∈--22222,22.因此)2(Q 关于除法运算也是封闭的.因此)2(Q 是一个数域.把本例中2换成其他的质数p ，)(p Q 也是一个数域.由于质数有无穷多个,因此数域有无穷多个.例2 所有可以表成形式m m n n b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例3 所有奇数(odd number)组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的,因此不是数域.例4 设P 是至少含两个数的数集，证明：若P 中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P ，则P 为一数域.证明 ,,P b a ∈∀有P ba Pb a P b b b P a a ∈∈-∈≠=∈-=,,)0(1,0.因此 P ab b P ba ab b P b a b a ∈==∈=≠∈--=+00/10,)0(时，当，时，当.所以P 为一数域.2.数域的性质性质1：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.若P 是数域,则有P Q ⊆.证明: 设P 是任意一个数域，则有P ∈1,0。
数域_精品文档
数域1. 引言数域是数学中一个重要的概念，它在代数学、数论和几何学等多个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将首先介绍数域的定义和基本性质，然后探讨数域的扩张和剖分，最后讨论数域在几何学中的应用。
2. 数域的定义和基本性质数域是一个满足特定性质的集合，它包含了加法、减法、乘法和除法四种基本运算，并且满足一些基本的公理，如交换律、结合律和分配律等。
常见的数域包括有理数域、实数域和复数域。
数域具有以下基本性质：•封闭性：对于数域中的任意两个元素进行基本运算，结果仍然属于该数域。
•存在唯一性：数域中存在一个称为零元的数，它对于加法具有零元素性质，即对于任意数域中的元素a，都有a+0=0+a=a。
•存在唯一逆元：数域中的每个非零元素都存在一个唯一的逆元，它对于乘法具有逆元素性质，即对于任意数域中的非零元素a，都存在一个元素b，使得a\b=b\a=1。
•分配律：数域中的乘法对于加法具有分配律，即对于任意数域中的元素a、b和c，有a\(b+c)=a\b+a\*c。
3. 数域的扩张和剖分在代数学中，对于一个数域K，如果存在一个包含K的数域L，且L中的元素在加法、减法、乘法和除法运算下仍然满足数域的定义和基本性质，则称L为K的扩张数域。
对于一个有理数域Q，我们可以通过引入一个无理数如根号2来扩张成实数域R，而实数域又可以通过引入一个复数单位i来扩张成复数域C。
这样的扩张数域关系被称为代数扩张。
相反地，对于一个数域L，如果存在一个包含L的子集K，且K在加法、减法、乘法和除法运算下仍然满足数域的定义和基本性质，则称K为L的剖分数域。
剖分数域是扩张数域的逆过程。
4. 数域在几何学中的应用数域在几何学中有广泛的应用。
以复数域为例，复数可以表示平面上的点，并且复数的加法和乘法可以对应于平面上的向量的加法和旋转。
通过将平面上的点与复数建立一一对应关系，我们可以将平面上的几何问题转化为复数域中的运算问题，并可以通过数学方法进行解析和计算。
高等代数教案1
《高等代数》教案一、课程性质与目的各种数学理论在代数中取得了整合与统一，而高等代数是代数学的最基础部分。
高等代数是数学与应用数学、计算机科学、信息与计算等专业的重点基础课程，是这些专业硕士研究生入学考试的必考科目。
这是因为，它不仅是后续课程必备的数学基础，在理论和实际中有着广泛的应用背景，更重要的是这门课程的学习，对提高学生的抽象思维能力，掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，对数学思想、数学思维品质的形成，对培养数学感、数学基本功提高数学修养、数学素质，以及训练严谨的思维和严格的逻辑推理能力都有着特殊而重要的作用。
二、教学基本要求要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算。
通过课程教学及大量的习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密及运算准确，以及提高运用已掌握的知识分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容、学时分配及要求授课章节 §1.1 数域 §1.2 一元多项式 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求：1． 掌握数域的概念。
2． 掌握一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质。
教学重点、难点：一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质 教学内容：§1.1 数域一、引言我们在处理一个数字问题时，往往要用到一些数。
按照所研究的问题，我们常常要明确规定所考虑的数的范围。
例如，求方程440x -=的根。
在有理数范围内此方程无根，在实数范围内，在复数范围内，这个方程有四个根：。
由此可见，同一问题在不同的数的范围内可能有不同的结论。
因此，在这种情况下，要明确规定所考虑的数的范围。
某个范围内的数的全体构成的集合称为数集。
另外，在作代数问题时，不但要考虑一些数，而且往往要对这些数作加减乘除四种运算。
因此所考虑的数集还必须满足条件：其中任两个数的和差积商仍在这个集合内。
根据以上的需要，人们引进了如下所谓数域的概念。
二、数域的定义定义1. 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1。
数域知识点总结
数域知识点总结一、数域的基本概念1.1 数域的定义数域是一个满足一定性质的数集合，其中包括了加法、减法、乘法和除法运算。
形式化地，一个数域K是一个集合，其中定义了两个二元运算“+”和“·”，满足以下性质：加法运算“+”满足交换律、结合律、存在零元素和存在相反元素；乘法运算“·”满足交换律、结合律、存在单位元素和对每个非零元素存在乘法逆元素；加法和乘法满足分配律。
在数域中，零元素和单位元素通常分别表示为0和1，非零元素的乘法逆元素通常表示为a^-1。
1.2 数域的例子常见的数域包括有理数域Q、实数域R、复数域C等。
有理数域Q是所有可以表示为分数的数的集合，包括正整数、负整数、分数等；实数域R包括了所有实数的集合，包括有理数和无理数；复数域C包括了所有形式为a+bi的复数的集合，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
1.3 有限域和无限域根据数域中元素的个数，可以将数域分为有限域和无限域。
有限域是指其元素个数是有限的数域，通常表示为GF(q)，其中q是素数幂。
无限域则是指其元素个数是无限的数域，如实数域R和复数域C。
二、数域的性质和定理2.1 数域的加法和乘法性质在数域中，加法和乘法满足一系列性质，包括交换律、结合律、分配律等。
其中，最重要的性质之一是加法和乘法的交换律和结合律。
交换律表示对于任意的a和b，a+b=b+a，a·b=b·a；结合律表示对于任意的a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)，(a·b)·c=a·(b·c)。
2.2 数域的单位元素和逆元素在数域中，加法单位元素通常表示为0，乘法单位元素通常表示为1。
对于任意非零元素a，其乘法逆元素表示为a^-1，满足a·a^-1=1。
有关单位元素和逆元素的性质和存在性有一系列相关定理和推论，这些是数域中非常重要的内容。
2.3 数域的子域在数域中还有一个重要的概念是子域。
第12讲 域的概念和例子
1 2
设齐次线性方程组
H4×15X15×1 = 0 的解集为A，
用A中的向量作为要传递的信息的编码，称A为码集合。 设x∈F15×1是接收到的一个码字，若正确，则 x∈A。 即有 Hx=0。 现在假设受到干扰, x 有一个分量是错的, 譬如第 i 位。 令 则 ei=(0,…,0,1,0,…,0)T, 第i位 x+ei 是正确的， 即有 H(x+ei )=0, 从而 Hx=Hei ,
♥2.1
域的例子及典型应用
有运算的系统, 就能应用代数的理论和方法.
♥2.1
域的例子及典型应用
域的定义：域是具有两个 运算的代数系统 (F,+, · 其 ), 运算满足:
(I) (F,+)是加群, 单位元叫零元， 记0; a的逆元叫负元,记 a. (II) (F*, · )是交换群;单位元记为 1。 乘法对加法有分配律;
已知F2={0，1}做成一个二元域。 把 n 元 0 1 序列看作域F2上 n 维向量。 需要考察：研究线性空间的基本手段----数域上 的线性方程组理论和矩阵理论对F2是否还成立。 检验结果：全部有效！ 下面先看一个最简单的纠错方案。令
0 0 H= 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Z F Q ＝{a/b : a∈Z, b ∈N+ } F 。 所以，理数域是最小的数域。■
♥2.1
域的例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及典型应用
高等代数：数环与数域
又由Q是数域可知, Q( )是一个数域.
数域的充要条件
设K是一个含有不等于0的数的数集, 则K作为一个数
域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)
仍属于K.
证：由定义可得其必要性. 再证充分性：
任取a, b∈K, 若K中任两个数的差与商仍属于K, 则
a-a=0∈K, 0-b= -b∈K,
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
数环与数域
数环的概念
设S是一个非空数集, 如果S中任意二数的和,差,积仍属于
S, 则称S是一个数环.
例如：整数集是一个数环，称为整数环；
全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；
数集{0}本身就是一个数环.
想一想：全体奇数是一个数环吗？
{a|a∈R且a≠0}呢？
数域的概念
设K是一个含有不等于０的数的数集. 如果K中任意
高等代数第一章一元多项式
1第一章多项式21.1 数域3数是数学的一个最基本的概念，研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，按照所研究的问题不同，我们对数的范围界定也不一样。
例如22x 在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。
210x 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。
自然数整数有理数实数复数NZQRC这是一个认识的渐进的过程。
在讨论多项式的因式分解、方程的根等问题时，都跟数的范围有关。
4在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加、减、乘、除四则运算以及经过四则运算后是否还在这个集合之中。
例如自然数集N 只对加法和乘法封闭，而整数集Z 对加、减、乘三种运算封闭，但对除法不封闭；而有理数集Q 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭，同样，实数集R 、复数集C 对加、减、乘、除四种运算都封闭。
定义( 运算封闭)：在一个数的集合P 中，如果集合中任意两个数做某种运算后的结果仍在P 中，则称数集P 对这种运算是封闭的(closed) 。
5定义1(数域)：设P 是一个由一些复数组成的数的集合，其中包含0和1。
如果P 中的任意两个数对加、减、乘、除（除数不为0）都是封闭的，则称P 是一个数域(number field )。
有理数集Q ，实数集R ，复数集C 都是数域，且是三个最重要的数域。
如果某个数集只对加、减、乘封闭，则称其为数环。
整数集是一个数环.任意一个数域P 都是复数域C 的子集，都包含有理数域Q 作为其子域，即满足.Q P C 在Q 和R 之间存在其它数域；但在R 与C 之间没有别的数域存在.61.2 一元多项式教学目的和要求1. 掌握一元多项式形式表达式的准确定义.2. 掌握一元多项式的加法、减法、乘法的运算和运算律.3. 掌握一元多项式经过运算后的次数，并会用相关结论解题.78一、基本概念设x 是一个符号(或称文字)，P 是一个数域，定义2：n 是一个非负整数，形式表达式其中,,,,,011P a a a a n n 称为系数在数域P 中的一元多项式(one variable polynomial )，或称为数域P 上的一元多项式。
数域
1 b 所以，P是一个数域．
6/9
二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一个数域．由定义可知，
0 P， 1 P .
于是有
m Z , m 1 1
1 P
7/9
进而 有
m m , n Z , P, n
m m 0 P. n n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
8/9
练习 判断数集 P1 , P2 是否为数域？为什么?
P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z ( 2).
9/9
5/9
例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个
数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。 证：由题设任取 a, b P , 有
b 0 a a P , 1 P (b 0), a b P , b a P (b 0), a b a (0 b) P , b a b 0 时, ab P , b 0 时, ab 0 P .
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac 2bd ad bc 2 2 2 Q 2. 2 2 a 2b a 2b Gauss数域 Q ( 2 )为数域．
类似可证 Q( i ) a bi a , b Q , i 1 是数域.
一、数域的概念
二、数域性质定理
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一、数域
定义
设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除
高等代数最重要的基本概念汇总审批稿
高等代数最重要的基本概念汇总YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】第一章 基本概念数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2设F 是一个数环。
如果（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，aF b ∈，那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等()()f x g x =定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么()i 当()()0f x g x +≠时，()()()()()()()()000max ,;f x g x f x g x ∂+≤∂∂ ()ii ()()()()()()()000f x g x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+； 2） 加法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
数域知识点
数域知识点数域是数学中一个重要的概念，它是指具有加法、减法、乘法和除法运算的数的集合。
数域是代数学的基础，它涉及到了很多重要的知识点，本文将围绕数域展开讨论。
一、数域的定义和性质数域是一个非空集合，其中定义了加法、减法、乘法和除法运算，并满足以下性质：1. 加法性质：对于任意两个数a和b，其和a+b也属于数域。
2. 减法性质：对于任意两个数a和b，其差a-b也属于数域。
3. 乘法性质：对于任意两个数a和b，其积ab也属于数域。
4. 除法性质：对于任意两个数a和b（其中b不等于0），其商a/b 也属于数域。
二、常见的数域1. 有理数域：有理数域是指所有可以表示为两个整数的比的数的集合，包括正整数、负整数、0、分数等。
2. 实数域：实数域是指包括有理数和无理数的数的集合，可以用无限不循环小数表示。
3. 有限域：有限域是指元素个数有限的数域，其中的元素可以用一个整数模一个素数表示。
4. 复数域：复数域是指所有实部和虚部都是实数的数的集合，可以用a+bi的形式表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
三、数域的运算性质1. 加法交换律：对于任意两个数a和b，有a+b=b+a。
2. 加法结合律：对于任意三个数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 加法零元素：对于任意数a，有a+0=a。
4. 加法负元素：对于任意数a，存在一个数-b，使得a+(-b)=0。
5. 乘法交换律：对于任意两个数a和b，有ab=ba。
6. 乘法结合律：对于任意三个数a、b和c，有(ab)c=a(bc)。
7. 乘法单位元素：对于任意数a，有a×1=a。
8. 乘法倒数元素：对于任意非零数a，存在一个数1/a，使得a×(1/a)=1。
四、数域的扩张数域的扩张是指在一个数域上添加新的元素，使得新的集合仍然构成一个数域。
常见的数域扩张有：1. 有理数域到实数域的扩张：添加无理数，如π和√2。
2. 实数域到复数域的扩张：添加虚数单位i。
7-1 线性空间的基本概念
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S
n
x ( x 1 , x 2 , , x n )
T
x1 , x 2 , , x n R
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 T ( x 1 , , x n ) 0 , , 0
不构成线性空间．
S 对运算封闭
n
.
但 1 x o , 不满足第五条运算规律
.
由于所定义的运算不是 线性空间 .
线性运算 , 所以 S n 不是
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二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 0 1 , 0 2 是线性空间V中的两个零元 有 素，则对任何 V ，
01 , 0 2 .
0
0.
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4．如果 0 ，则 0 或 0 . 证明 又
1
假设 0 , 那么
1
1
0 0.
1
.
解 (1)不构成子空间. 因为对
1 A B 0 0 0 0 0 0 W1 0 0 W1, 0
24 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 返 回
有
2 A B 0
满足
即
a 1 a 2 b1 b 2 c 1 c 2 0 ,
义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条
性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
第一次课预备知识—集合数域和映射
1Bσ = σ1A. 映射的乘法适合结合律.设σ, τ, ψ分别是集合A到B，B到C，C到D的映射，映射乘法的结合律就是
(ψτ )σ = ψ(τ σ).
设σ是集合A到B的一个映射，用
σ(A) 3
代表A在映射σ下像的全体，称为A在映射σ下的像集合. 显然
σ(A) ⊂ B.
3．满射——如果σ(A) = B，映射σ 称为映上的或满射. 满射判定——若对任意的b ∈ B, ∃a ∈ A 使得σ(a) = b，则σ为满射. 4. 单射——如果在映射σ下，A中不同元素的像也一定不同，即由x, y ∈ A, x = y, 一定有σ(a) = σ(y), 那么映射σ就称为1-1的或单射. 单射的判定——若σ(x) = σ(y)，可推出x = y，则σ为单射. 5. 双射——一个映射如果既是单射又是满射就称对应或双射.
因为为满射所以b中每个元素都有原像又因为是单射所以每个元素只有一个原像定义不难证明如果分别是a到bb到c的双射那么乘积就是a到c的一个双射
第一次课 预备知识—集合、数域和映射
一、集合 集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为
这个集合的元素. 用 a∈A
表示a是集合A的元素，读为：a属于A. 用
我们使用如下记号： 当然也可以写成
n
a1 + a2 + · · · + +an = ai,
i=1
n
a1a2 · · · an = ai.
i=1
a1 + a2 + · · · + +an =
ai,
1≤i≤n
a1a2 · · · an =
ai.
1≤i≤n
1.数域
而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
8/9
练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
9/9
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
5/9
例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个 数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。
证：由题设任取 a,b P, 有
0 a a P, a P (b 0), b
1 b P (b 0), b
中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数
集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．
3/9
例1．证明：数集 Q( 2) a b 2 | a,b Q
是一个数域． 证：Q 0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2)
4/9
（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q 2.
a b P,
a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
a 1
P,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一个数域．
6/9
二、数域的性质定理
第一章 多项式
第一章 多项式§1 基本知识§1. 1 基本概念1、数域：由复数构成并含有数1,0的集合P 称为数域，如果P 关于数的加、减、乘、除（除数不为零）封闭。
2、多项式：形式表达式n n x a x a a ++10 （1.1）或01a x a x a n n ++ （1.2）其中n 是一个非负整数，n a a a ,,,10 全是数域P 中的数，（1.1）或（1.2）就称为系数在数域P 中的一元多项式，或简称为数域P 中的一元多项式。
（1.1）是多项式的升幂书写，（1.2）是降幂书写；i i x a 称为多项式的i 次项，i a 称为i 次项的系数；x 是一个文字。
3、零多项式：系数全部为零的多项式称为零多项式。
4、多项式的相等：设∑==ni i i x a x f 0)(∑==m i i i x b x g 0)(是数域P 上的两个一元多项式，如果当n m <时必有：01===+n m a a ，当m n <时必有：01===+m n b b 且 },min{,,1,0,n m i b a i i ==。
一个多项式可以任意去掉或添加一些系数为零的项。
5、多项式的次数：形为（1.1）或（1.2）的多项式中，若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的最高次项或首项，n a 称为多项式的最高次项系数或首项系数，而非负整数n 就称为多项式的次数，零多项式没有次数。
6、多项式的和、差、积：设∑==ni i i x a x f 0)(∑==m i i i x b x g 0)(是数域P 上的两个一元多项式，不妨设n m ≤，且n m <时：01===+n m b b ，则∑=+n i i i i x b a)( ∑=-n i i i i x b a0)(∑+=n n k k k x c称为多项式)(x f 和)(x g 的和、差、积，并记为)()(x g x f +、)()(x g x f -、)()(x g x f ，其中n m k b a b a c k i i k i k j i j i k +===∑∑=-=+,,1,0,0 。
1.4有理数域
一、有理数概念 二、有理数的顺序 三、有理数运算与理数域
1
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一、有理数概念 a a / b aZ,bN
二、有b 理数的顺序
三、有理数运算与理数域
① Q含有0和单位元1Fra bibliotek② 对于加、减、乘、除（除数不为零）四种运算都
封闭
③ Q的加法和乘法都满足交换律和结合律，还满足
乘法对加法的分配律
∴ Q是一个数域．
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四、有理数集的性质
性质1 有理数集是有序域
性质2 a, b Q ，存在 n N ，使 na b
（阿基米德性质）
性质3 有理数集具有稠密性
性质4 有理数集是一个可列集 证明:
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代数中域的定义
在代数中，域是一个满足特定性质的代数结构，即满足加、减、乘、除四个基本运算且除数不能为零，同时满足一定的公理，如加法和乘法满足结合律、交换律和分配律，存在单位元等。
具体来说，一个域必须满足以下公理：
加法和乘法满足结合律和交换律。
存在两个元素0和1，满足0是加法单位元，1是乘法单位元。
对于每个非零元素a，存在它的逆元素a-1，使得a×a-1=1。
域中的乘法满足消去律，即对于任意a,b,c，如果a≠0且ab=ac，则有b=c。
数域是域的一个特殊例子，它是一个包含了足够多的数的域，以满足域的所有公理。
例如，有理数域、实数域和复数域都是数域。
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定义1，设P是由一些复数组成的集合，其中包 括0与1。如果P中任意两个数（这两个数可以 相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍是 P中的数，那么P就称为一个数域。
例：全体有理数组成的集合、全体实数组成的 集合、全体复数组成的集合都是数域。这三个 数域分别用字母Q、R、C来代表。全体整数组 成的集合（用Z来表示）就不是数域，因为不 是任意两个整数的商都是整数。
1．数域的基本概念
数是数学的一个最基本的概念。我们的讨论 就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一 个长期发展的过程，大体上看，是自然数到整 数、有理数、然后是实数、再到复数。这个过 程反映了人们对客观世界认识的不断深入。
按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所 考虑的数的范围。譬如说，在解决一个实际问 题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解 就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知
性质通常称为数的代数性质。代数所研究的问 题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性 质是有理数、实数、复数的全体所共有的。有 时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方 便起见，当我们把这些数当作一个整体来考虑 时，常称它为一个数的集合，简称数集。有些 数集也具有与有理数、实数、复数的全体所共 有的代数性质。为了讨论中能够把它们统一起 来，我们引入一个一般的概念。
量所允许的取值范围有关。
又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就 是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可 以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做 的。因此，在数的不同的范围内同一个问题的 回答可能是不同的。我们经常会遇到的数的范 围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它 们显然具有一些不同的性质，当然，它们也有 很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性 质的对象统一进行讨论。关于数的加、减、乘、 除等运算的
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