(完整版)线代知识点总结-数学一

线性代数知识点、难点1、n 阶行列式的定义 对于n 阶行列式的定义，重点应把握两点：一是每一项的构成，二是每一项的符号。

每一项的构成是不同行不同列的n 个元素构成，一个n 阶行列式共有!n 项。

乘积项为1212...n j j nj a a a 的符号取决于12,,...n j j j 的逆序数，即当12,,...n j j j 为偶排列时取正号，当12,,...n j j j 为奇排列时取负。

例1 行列式 3122D =为二阶行列式，每一项由2个元素构成，第一项为3*2，符号为正，第二项为1*2，符号为负。

2、余子式和代数余子式余子式和代数余子式的概念容易出错，在计算中应注意。

代数余子式(1)i j ij ij A M +=-，其中ij M 为余子式。

一般这类题，重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用，所以考生一定要灵活掌握，掌握基本思想。

下面请看一例： 例2 设行列式3040222207005322D =--则第4行元素余子式之和的值为__________ 【分析】4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3230403402222(7)(1)22228071111111+==--=------部分考生答案为0。

原因是将余子式和代数余子式混淆了。

本题中第四行元素的代数余子式之和为0。

因为41424344414243441(2222)02A A A A A A A A +++=+++=。

3、行列式按一行（列）展开设()ij n n A a ⨯=，则1122||,...0,i j i j in jn A i ja A a A a A i j=⎧+++=⎨≠⎩ 或1122||,...0,i j i j ni nj A i ja A a A a A i j =⎧+++=⎨≠⎩注意：公式中使用的是代数余子式，而不是余子式。

4、行列式的计算 行列式的基本计算方法有三个：例21 归化 利用行列式的性质将行列式化成较简单且易于计算的行列式（如三角行列式等）；例22 降阶 利用行列式的展开定理，将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。

在实际计算过程中，往往两种方法交替使用：先利用性质将某行（列）化出尽可能多的零元素，再用按行（列）展开定理进行降阶。

注意，在化零元素的过程中，尽量不要出现分式，否则，计算过程往往会变得相当繁琐。

例23 递推 在降阶中找出高阶行列式n D 与低阶行列式r D （r n <，通常是1r n =-）的关系，即递推公式，利用递推公式递推求得n D 。

例3 记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x D x x x x xx x x --------=-------为()f x ，则方程()0f x =的根的个数为＿。

解析 问方程()0f x =有几个根，也就是问()f x 是x 的几次多项式。

不要错误地认为这样的()f x 一定是4次多项式 ，其实适当选系数可构造出0至4任一次数的多项式。

由于行列式的每一个位置都含有x ，若立即展开处理是不妥的，应当先利用 性质恒等变形消去一些x 再展开。

将第1列的-1倍依次加至其余各列，有2101210022101221002121()33122331212217643734376x x x x x x f x x x x x x x xx xx ---------===---------------易见()f x 是二次多项式。

例4 ........................a b b b b a b b D bbb a== ＿。

解析 方法11......(1)......0......000 0..........00 00......[(1)]()n a bb ba nb b b b b a a b a b D b a a b a ba nb a b -+----==--- =+--方法211......1......1......00 0[(1)][(1)]..........1......000......[(1)]()n b b b b b b a b b a b D a n b a n b b b a a ba nb a b - - =+-=+- - =+-- 解本例的方法有典型性，大家应熟练掌握。

5、矩阵的概念 矩阵的行数和列数不一定相等。

行数和列数相等的矩阵称为方阵。

A B =：矩阵A 和矩阵B 必须具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等。

如111000 0⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ 1⎝⎭⎝⎭。

只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算。

矩阵的数乘kA 表示对矩阵A 中的每一个元素都乘以k 。

注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列。

矩阵的乘法AB 必须要求A 的列数等于B 的行数。

矩阵的乘法一般不满足交换律，即AB BA ≠。

例如：0A 0 0⎛⎫= ⎪ 1⎝⎭，0B 0 1⎛⎫= ⎪ 0⎝⎭，00AB BA 0 00 1⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪ 0 0⎝⎭⎝⎭。

对于某些矩阵，即使AB 与BA 都有意义，它们仍不一定相等。

如()A =1 0 4，B 1⎛⎫⎪=1 ⎪ ⎪0 ⎝⎭，AB 与BA 都有意义，但AB 为11⨯矩阵，而BA 为33⨯矩阵，显然不相等。

当A 和B 均为n n ⨯矩阵时，||||||||AB A B BA ==。

行列式是数，可以交换。

有矩阵乘积0AB =，不能推出0A =或0B =。

等价地说，0A ≠且0B ≠，有可能使0AB =，如上例。

矩阵的乘法不满足消去律，即0A ≠时，有AB AC =，但B C ≠。

只有当A 为非奇异矩阵，即||0A ≠时，若0AB =，则必有0B =。

若AB AC =，则必有B C =。

例5 设4阶矩阵234(,,,)A r r r α=，234(,,,)B r r r β=，其中234,,,,r r r αβ是4维列向量，且||4A =，||1B =，则||A B +=＿。

解析 本题考查矩阵运算与行列式的性质。

由于234(,2,2,2)A B r r r αβ+=+，所以234234234234|||222|8||8(||||)8(41)40A B r r r r r r r r r r r r αβαβαβ+=+ =+ = + =+=部分考生将矩阵运算与行列式的性质混淆，得出错误结论||||||A B A B +=+。

例6 设A 是3阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式1||2A =，求行列式1*|(3)2|A A --的值。

解析 本题同样考查矩阵运算与行列式的性质。

由于1*1||A A A -=，故*111||2A A A A --==，故 1*1111131122816|(3)2||(3)|||||()||23332727A A A A A A A A --------=-=-=-=-=-⨯=-不少考生把||||n kA k A =错误地写成||||kA k A =，把111()kA A k --=错误地写成11()kA kA --=。

6、关于0A =0A =是考研中常见的一种题型，也是考生比较畏惧的一种题型。

它的特点是题干简单，已知较少，所以考生有时候觉得无从下手，其实所有的题都是由基本东西转换而来的，考生要掌握其基本思路。

下面举两例说明：例7 设A 是n 阶非0矩阵，满足2A A =，且A E ≠，证明行列式0A =。

【证法一】（反证法）若||0A ≠，那么A 可逆。

用1A -左乘2A A =的两端，得121A A A A A E --===与A E ≠矛盾，故||0A =。

【证法二】（用秩）据已知有()0A A E -=，那么()()r A r A E n +-≤ 因为A E ≠，即0A E -≠，那么秩()1r A E -≥从而秩()r A n <，故0A =。

【证法三】（用0Ax =有非零解）据已知有()0A A E -=，即A E -的列向量是齐次方程组0Ax =的解，又因0A E -≠，所以0Ax =有非零解，从而0A =。

注解 0AB =是考研题中一个常见的已知条件，对于0AB =应当有两种思路：设A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，若0AB =，则 （1）B 的列向量是齐次方程组0Ax =的解（2）()()r A r B n +≤例8 设A 为n 阶矩阵，满足T AA E =，0A <，证明0A E +=。

【证明】因为()()T T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+ 所以 (1)0A A E -+= 又因0A <于是10A -> 故必有 0A E +=7、伴随矩阵伴随矩阵是线代中比较重要的概念，也是一个常考的点，出题点多结合逆矩阵，所以考生在深刻掌握伴随矩阵概念的同时，应该熟记一些和伴随有关的公式定理，这类型题一般解法较多比较灵活，考生应熟记它的定义和基本性质，以不变应万变。

涉及伴随矩阵的计算或证明问题一般可从公式**||AA A A A E ==及伴随矩阵的相关结论着手分析。

以下结论可以直接使用：(),()1()1,0() 1.n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若 例9 设A 为n 阶非零矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，当*T A A =时，证明0A ≠。

证明 由**||AA A A A E ==，及*T A A =，有*||T AA AA A E ==。

若0A =，则0T AA =，设A 的行向量为(1,2,...,)i i n α=，则0(1,2,...,)T i i i n αα==，即0i α=，于是0A =，与已知矛盾，故0A ≠。

例10 设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =，其中*A 是A 的伴随矩阵，若111213,,a a a 为三个相等的正数，则11a =＿。

解析 题设与A 的伴随矩阵有关。

由**||AA A A A E ==，及*T A A =，有,,1,2,3ij ij a A i j ==，且23||||||||0T AA A E A A A =⇒=⇒=或|A |1=，而211111212131311||30A a A a A a A a =++=≠，于是|A |1=，且1133a =。

8、逆矩阵 涉及两个矩阵是否可交换，考虑用逆矩阵的定义进行分析。

例11 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则下列哪些正确？ 1、BCA E = 2、CAB E = 3、CBA E = 4、BAC E = 5、ACB E =解析 把题目和矩阵的逆矩阵联系起来。