高等数学中重要平面曲线

无滑动地滚动时 ,
其上
x
定点 M 的轨迹即为摆线 .
点击图中任意点动画开始或暂停
结束
摆线(续)
• 周 期:
x a( sin ) y
y a(1 cos )
M ta
T 2 a
o
x1
• 极大点: xk (2k 1) a (k 1, 2,)
• 曲率半径: • 一拱长:
• 尖点: (0, 0)
• 面积: • 弧长:
3 2

a2
8a
结束
心形线的另一种形式
x2 y2 ax a x2 y2
即 r a(1 cos )
y
oa
点击图中任意点 动画开始或暂停
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2

a
2
• 弧长: 8a
结束
外摆线 (圆外旋轮线) 族
结束
蔓叶线
或
y
Q
P M
(t tan ) oa x
播点 放击 开图 始片 或任 暂意 停处
• 轨迹: M 是半径为 a 的母圆上的动点 , 满足 OM = PQ 之点 P 的轨迹即为 蔓叶线
• 渐近线: • 曲线与渐近线之间的面积:
结束
笛卡儿叶形线
x

3at 1 t3
y

3at 2 1 t3
x

(a

b)
cos
t

b
cos
ab b
t
y

(a

b)
sin
t

b
sin
ab b
t
定圆圆心为 (0,0), 半径为 a, 动圆半径为 b,
m ba
m = 1为心形线
m2
m3
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
m4
m

3 2
m5
结束
阿基米德螺线 r a
a0
a0
• 物理意义:
R

4
a
sin
t 2
8a
• 一拱面积:
S 3 a2
• 渐屈线: 仍为摆线
在 o 坐标系下
与原摆线一致
y M
o a 2 a
o
2 a x
x

结束
心形线
x2 y2 ax a x2 y2
或 r a(1 cos )
y

ox
点击图中任意点 动画开始或暂停
• 轨迹: 外摆线的一种 动圆直径 = 定圆直径 = a
t 1

动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
动画走向: －∞→－1 －1→+∞
参数的几何意义:
t tan
t

(,1)



(

2
,

4
)
图形在第四象限
t (1, 0] (34 , ]
图形在第二象限
t
[0
,

)



[0
,

2
)
图形在第一象限
结束
笛卡儿叶形线(续)
• 渐近线 : • 曲率半径 :
( )
ya
R

a


1 2 3

动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
动画走向为
y a M 2 M1
o
x
• 扇形 M1O M 2 的面积 ：
S

a2 2
1
1

1
2

结束
伯努利双纽线
或 • 结点(同拐点) :
在该点的切线斜率为±1 • 顶 点: • 极值点:
附录Ⅱ 重要平面曲线
(1) 三次抛物线 (3) 概率曲线 (6) 笛卡儿叶形线 (9) 心形线 (12) 阿基米德螺线 (14) 三叶玫瑰线
(2) 半立方抛物线 (4) 箕舌线
(5) 蔓叶线
(7) 星形线
(8) 摆线
(10) 双曲螺线
(11) 对数螺线
(13) 伯努利双纽线
(15) 四叶玫瑰线
结束
三次抛物线
则双纽线右支上的点满足 :
OM PQ
由对称性 , 左支也有类似结果
结束
伯努利双纽线
即 • 结点(同拐点) :
在该点的切线为 x , y 轴 • 顶点:
• 极值点: 极 值: 对应点:
• 曲率半径: • 双纽面积:
CA
a

BD
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
三叶玫瑰线
a

a
点击图中任意点 动画开始或暂停
动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 以定速 绕极点转动时, 阿基米德螺线
r v
该射线又 点M 的轨迹即为
结束
阿基米德螺线(续)
• 等距性: 过极点的射线与曲线
交于 A1 , A2 , A3 ,,
它们之间的间隔都是
M2 M1
A1A2A3
Mo
x
•弧 长:
2 a
LOM

a 2
(
2 1 arsh )
x

3at 1t 3
y

3at 2 1t 3
t 1
• 结点:
在该点与 x 轴 y 轴相切,
• 顶点:
• 渐近线: • 圈套所围面积:
• 曲线与渐近线之间的面积:
y A

a o
x
a
曲率半径为
结束
x a( sin )
摆线
y a(1 cos )
y
M a
o
• 轨迹:
半径为 a 的圆周沿直线
y
x
• 拐点: (0, 0) • 关于原点对称
半立方抛物线
y
x
• 尖点: (0, 0) • 在尖点处与 x 轴相切 • 关于 x 轴对称
结束
概率曲线
• 拐点: • 拐点处切线斜率: • 渐近线: • 与 x 轴之间的面积: • 关于 y 轴对称
y
A
B
x
设 服从标准正态分布 ,
则其概率密度函数为
极 值: 对应点:
• 曲率半径: • 双纽面积:
y
D
C

B
o
Ax
D
C
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
伯努利双纽线的轨迹特点
y
MQ
F2
o P F1
x
OF1 OF2
a 2
• 双纽线上的点 M 满足 :
MF1
MF2

1 2
a2
F • 以
为圆心 ,
1
a 1 为半径作圆,
2
自O 作射线交圆于P, Q

A1
A2
M o AA0 1 M 2 x
M1
, A1 , A0 , A1 , 则,OA1 ,OA0 ,OA1 , 各线段
成等比级数,
公比为
动点
画击
• 弧长 :
开图
始中
或任
暂意
停点
• 曲率半径 :
动画走向为
结束
双曲螺线
r

a

• 曲线由两支组成 ,
它们关于 y 轴对称
• 渐近点 : 极点 O
其中arsh ln( 1 2 )
• 曲率半径 :
3
R

a
( 2 1)2 22
• 扇形
M 1OM 2 的面积 :S1 6 Nhomakorabeaa
2
(
2 1

2 2
)
结束
对数螺线 (等角螺线)
r ea
• 等角性 : 曲线与所有过极点的射线
的交角 都相等: • 等比性: 过极点的射线与曲线交于
f (x)
1
e

x2 2
2
• 拐点:
• 与 x 轴之间的面积: 1
结束
箕舌线
或
y a
• 轨迹 :
M是直径为a 的圆上的动点,
Q是射线OM与 y = a 的交点,
QP⊥x 轴 ,
MP∥x 轴
P点轨迹即为箕舌线 .
t
o
x
• 渐近线: y = 0
• 曲线与渐近线之间的面积:
点击图中任意点 动画开始或暂停