高二数学必修五一元二次不等式的解法二(课堂PPT)
合集下载
高二数学一元二次不等式的解法2
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的解实
际上就是二次函数 y ax2 bx c(a 0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1)ax2 bx c 0(a 0) (2)ax2 bx c 0(a 0) (3)ax2 bx c 0(a 0) (4)ax2 bx c 0(a 0)
y
R
Байду номын сангаас
x
x
b 2a
y
△＜0
R
R
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
x O x＝－b／2a
O
x
由此我们可以得出解一元二次不等式的一般 步骤：
（1）把所给不等式化为四种标准形式之一； （2）判断所对应二次方程的根的情况；若
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
3.3 一元二次不等式的解法 课件
问题：
（1）如何解一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) （2）二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
x x x2或x x1
高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
高中数学人教A版必修5《一元二次不等式及其解法》PPT
∴方程 x2-2x+2=0 无解,∴不等式 x2<2x-2 的解集是⌀.
含参型的一元二次不等式
已知 a≠0,解关于 x 的一元二次不等式 ax2+(a+2)x+2>0.
【解析】由 ax2+(a+2)x+2=0 得方程的根为 x=-2,x=-1.
a
若-2>-1,则a-2>0,解得 a<0 或 a>2,
求下列一元二次不等式的解集. (1)4x2-4x+1≤0;(2)-x2+7x>6;(3)-x2+6x-9>0.
解关于 x 的不等式 ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).
已知函数 f(x)=log2[mx2+(m+3)x+m+3]的值域为 R,求实数 m 的取值范围.
已知函数 f(x)=log2(mx2+mx+3)的定义域为 R,求实数 m 的 取值范围.
【解析】依题意有 mx2+mx+3>0 对任意 x∈R 都成立, 即 mx2+mx+3>0 的解集为 R, 当 m=0 时,上述不等式恒成立,解集为 R, 当 m≠0 时,上述不等式是一元二次不等式, ∴m>0 且 Δ=m2-12m<0, 解得:0<m<12, 综上,m 的取值范围是[0,12).
则
或者
.
(3)若函数 f(x)=logm(ax2+bx+c)的值域为 R,
则
或者
.
解一元二次不等式
解下列不等式:(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1;(3)x2<2x-2. 【解析】(1)x2+2x-15>0⇔(x+5)(x-3)>0⇔x<-5 或 x>3, ∴不等式的解集是{x|x<-5 或 x>3}. (2)x2>2x-1⇔x2-2x+1>0⇔(x-1)2>0⇔x≠1, ∴不等式的解集是{x|x≠1}. (3)x2<2x-2⇔x2-2x+2<0.∵Δ=(-2)2-4×2=-4<0,
含参型的一元二次不等式
已知 a≠0,解关于 x 的一元二次不等式 ax2+(a+2)x+2>0.
【解析】由 ax2+(a+2)x+2=0 得方程的根为 x=-2,x=-1.
a
若-2>-1,则a-2>0,解得 a<0 或 a>2,
求下列一元二次不等式的解集. (1)4x2-4x+1≤0;(2)-x2+7x>6;(3)-x2+6x-9>0.
解关于 x 的不等式 ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).
已知函数 f(x)=log2[mx2+(m+3)x+m+3]的值域为 R,求实数 m 的取值范围.
已知函数 f(x)=log2(mx2+mx+3)的定义域为 R,求实数 m 的 取值范围.
【解析】依题意有 mx2+mx+3>0 对任意 x∈R 都成立, 即 mx2+mx+3>0 的解集为 R, 当 m=0 时,上述不等式恒成立,解集为 R, 当 m≠0 时,上述不等式是一元二次不等式, ∴m>0 且 Δ=m2-12m<0, 解得:0<m<12, 综上,m 的取值范围是[0,12).
则
或者
.
(3)若函数 f(x)=logm(ax2+bx+c)的值域为 R,
则
或者
.
解一元二次不等式
解下列不等式:(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1;(3)x2<2x-2. 【解析】(1)x2+2x-15>0⇔(x+5)(x-3)>0⇔x<-5 或 x>3, ∴不等式的解集是{x|x<-5 或 x>3}. (2)x2>2x-1⇔x2-2x+1>0⇔(x-1)2>0⇔x≠1, ∴不等式的解集是{x|x≠1}. (3)x2<2x-2⇔x2-2x+2<0.∵Δ=(-2)2-4×2=-4<0,
《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
关于 x 的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1 对 x∈R 恒成立，
求实数 m 的取值范围.
解：原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1＜0，对 x∈R 恒成立，
当 m＝0 时，0·x2＋0·x－1＜0 对 x∈R 恒成立。
m＜0，
当 m≠0 时，由题意，得
Δ＝m2－4m
m＜0，
⇔
4 ⇔m＜0
m＜0，或m＞3
综上，m 的取值范围为 m≤0。
m－
m＜0，
⇔ 2
3m －4m＞0
＜0
新课讲授
不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等
a＞0，
式 ax2＋bx＋c＞0，它的解集为 R 的条件为
Δ＝b2－4ac＜0；
a＞0，
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集为 R 的条件为
第二章·第三节
一元二次不等式及其解法
新课导入
问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m，
围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形
的一条边长为xm，则另一条边长为（12-x）m.由题意，得（12-x）x>20，其中
x∈{x|0<x<12）.整理得x2-12x+20<0，x∈{x|0<x<12}.
而 y＝x2－2x＋3 的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅。
新课讲授
探究二：分式不等式的解法
一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)
＞0⇔f(x)·g(x)＞0；
(2)
∙ ≤0
≤0⇔ቊ
【数学课件】一元二次不等式的解法(2)
6.2一元二次不等式的解法
知识回顾
1.三个“二次”之间的关系 2.一元二次不等式的解法 3.一元n次不等式的解法 4.简单分式不等式的解法
题型一、一元二次不等式与分式不等式的解 法
例1、解下列不等式:
(1)3 2
x2
5 3
1 2
x2 7
3x
x5 (2) (x 1)2 2
题型二、已知不等式的解集求不等式参数 的值（或范围）
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
例2、(1)关于x的不等式 ax 1的解集为 x 1
x x 1，或x 2，则实数a ______ .
(2)若不等式ax2 bx c 0的解集是
1 ，1 32，则不等式cx2 Nhomakorabeabx
a
0
的解集是 _________
变式练习：若x R, ax2 4x a 2x2 1 恒成立，则a的取值范围是 ____________
小结
1.三个二次之间的关系 2.含参不等式的解法
作业
P262作业手册
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
知识回顾
1.三个“二次”之间的关系 2.一元二次不等式的解法 3.一元n次不等式的解法 4.简单分式不等式的解法
题型一、一元二次不等式与分式不等式的解 法
例1、解下列不等式:
(1)3 2
x2
5 3
1 2
x2 7
3x
x5 (2) (x 1)2 2
题型二、已知不等式的解集求不等式参数 的值（或范围）
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
例2、(1)关于x的不等式 ax 1的解集为 x 1
x x 1，或x 2，则实数a ______ .
(2)若不等式ax2 bx c 0的解集是
1 ，1 32，则不等式cx2 Nhomakorabeabx
a
0
的解集是 _________
变式练习：若x R, ax2 4x a 2x2 1 恒成立，则a的取值范围是 ____________
小结
1.三个二次之间的关系 2.含参不等式的解法
作业
P262作业手册
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》PPT
§3.2 一元二次不等式 及其解法
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx
定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
3.一元二次不等式及其解法-人教A版高中数学必修五PPT全文课件
说明：数形结合要牢记心中，但书写过程可简化。 3.一元二次不等式及其解法-人教A版高中数学必修五PPT全文课件【完美课件】
例1、解不等式 2x2－3x－2>0 另解：
解:原不等式可化为：
(2x 1)( x 2) 0
x 2或x 1 2
所以,不等式的解集是
{ x | x 1 ，或x 2} 2
3.2.1一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式
观察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2+6x－1≤0.
它们有什么共同特点：
(1)含有一个未知数x； (2)未知数的最高次数为2.
定义：一般地，把只含有一个未知数， 且未知数的最高次数为2的不等式， 叫做一元二次不等式。
即：ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 (a 0)
则实数a的取值范围是 _-_2_≤_a__≤_6_
课外作业：
练习：求函数 y lg( x 2 5x 14) 的定义域。
(,2) (7,)
变式：若 y lg( x 2 5x b) 的定义域为R,求 b范围。
b (, 25 ) 4
变式：若对于x∈R，不等式mx2+2mx+3>0恒成立， 求实数m的取值范围。
思考题：
1、若方程x 2 mx n 0无实数根，则不等式
x 2 mx n 0的解集是 ______R__
2、已知不等式ax 2 bx 2 0的解是 1 x 1
2
3
则a __-_1_2___；b ___-_2____ .
3、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，
（2）计算相应的判别式； （3）当△>0时，求出相应的一元二次方程的两个 根；
一元二次不等式解法PPT课件
来解一元二次不等式是 个有效的方法.
下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
首先讨论a>0的情形.请思考下列问题：
（1）如果相应的一元二次方程分别有 两个实根、唯一实根、无实根的话， 其相应的二次函数的图像与轴的位置 关系如何？
（2）请观察表中的二次函数的图像， 并写出相应的一元二次不等式的解集.
参考答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
总结提练
（1）一元二次不等式的解集与一元二 次方程的解及其相应的二次函数的图 像相对于轴的位置密切相关.解题时要 注意解题格式，头脑中要想象图像或 划出草图. （2）对于a<0的一元二次不等式可转 化为a>0的情形求解. （3）一元二次不等式的解法是今后学 习其他不等式的基础，要求大家熟练 掌握解法，准确运算结果.
(x 1)(x 2)
x2 2 2
25 0
所以不等式的解集是{x
|
x
1
或x
2}.
2
请同学们看课本P19的例2～例4，并 在空白处画出相应的二次函数的草图.
演练反馈
1．解下列6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0
∆＝b2-4ac ∆>0
二次函数 y
∆=0 ∆<0
y
y
y=ax2+bx+c 的图像
o ●x1
● x2 x
o●
下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
首先讨论a>0的情形.请思考下列问题：
（1）如果相应的一元二次方程分别有 两个实根、唯一实根、无实根的话， 其相应的二次函数的图像与轴的位置 关系如何？
（2）请观察表中的二次函数的图像， 并写出相应的一元二次不等式的解集.
参考答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
总结提练
（1）一元二次不等式的解集与一元二 次方程的解及其相应的二次函数的图 像相对于轴的位置密切相关.解题时要 注意解题格式，头脑中要想象图像或 划出草图. （2）对于a<0的一元二次不等式可转 化为a>0的情形求解. （3）一元二次不等式的解法是今后学 习其他不等式的基础，要求大家熟练 掌握解法，准确运算结果.
(x 1)(x 2)
x2 2 2
25 0
所以不等式的解集是{x
|
x
1
或x
2}.
2
请同学们看课本P19的例2～例4，并 在空白处画出相应的二次函数的草图.
演练反馈
1．解下列6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0
∆＝b2-4ac ∆>0
二次函数 y
∆=0 ∆<0
y
y
y=ax2+bx+c 的图像
o ●x1
● x2 x
o●
一元二次不等式的解法ppt课件
_______
x∈R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法．
－c_≤
ax__
＋_b__≤
c
①|ax＋b|≤c⇔____
____
___；
≥_c__
或__ax
b≤－
c
②|ax＋b|≥c⇔__ax
__＋
__b
___
__＋
_____
___．
绝对值不等式的解法
不等式3≤|5－2x|＜9的解集为 ( D )
x－1≠0，
1
{x|x≥1或x<0}
不等式x ≤1 的解集为______________.
解析
xx－1≥0，
x－1
1
∴x≥1 或 x<0.
∵x ≤1，∴ x ≥0，∴x≠0，
分式不等式的解法
分式不等式的解法：
先通过移项、通分整理，再化成整式不等
式来解.
如果能判断出分母的正负，直接去分母即
A．[－2,1)∪[4,7)
B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7)
D．(－2,1]∪[4,7)
下
课
啦
解二次不等式
① x 2x 3 0
判 别 式
△> 0
2
② 9x 6x 1 0 ③ x 4x 5 0
2
2
△= 0
△< 0
y
y
方程的根
图
像
开
口
y
O
含参问题
练. 设a∈R，解关于x的不等式 x2＋ax+2>0.
解含参数的一元二次不等式的步骤
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次不等式的解法(二)
思考: 1.用二次函数图象速解一元二次不等式的步骤是:
先化为一般形式 ax2 bx c 0 (a 0) 或 ax2 bx c 0(a 0) 然后计算△的符号及求根 x1、x2 ,想象函数 y ax2 bx c 的 图象与 x 轴的位置关系(草图即可); 最后由图快速写出解集.
例 1 试解分式不等式: x 3 0 x7
6
符号变化规律
例 1 解分式不等式: x 3 0 x7
解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段
代数式 x 7 7 x 3 x 3
x7
x3
x3
x7
∴由上面分析可知原不等式的解集为 x x 7 或 x 3
注:如果熟练了可简化成标根穿线法,直接快速写出解集
≤0 ≥0
(Ⅰ)
或
3x 10≥0 x 1 ≤0
(Ⅱ)
由(Ⅰ)解得
1≤
x
≤
10 3
;由(Ⅱ)解得
x
不存在.
∴原不等式的解集为
x
1≤
x
其实质是符号规律,见下表:
≤ 10 3
.
代数式
x 1 3x 10 (3x 10)(x 1)
x 1
1 x 10 3
x 10 3
零点分段 判断符号 情况
5
3x 2 ⑵ (x 3)(x 2)(x 1) 0 ⑶ (3x 2)(3 x) ≤ 0
x2
1.
x
1
x
2 3
2.x 3 x 1或 1 x 2
3.
x
2
x
≤
-
2 3
或
x ≥3
作业:课本 P89A4 、P90A6 、P90B1⑴⑷
10
素材和资料部分来自 网络，如有帮助请下载!
7
看谁更快,写出下列不等式的解集:
⑴ x2 0 2x 5
x
2
x
5
2
⑵ 3x 2 ≥ 0 x 1
x
x
1 或
x≥
2
3
⑶2x 0 x3
x x 3 或 x 2
⑷ x ≥0 2x 1
x
x
1 2
或
x ≥0
8
例 2(自学课本例 1 与)
课外挑战练习: 试解下列不等式: ⑴ x 1
2.解一元二次不等式的有没有其他方法?
1
一元二次不等式的解法(二)
一、知识学习 看谁解得更 快
二、例题分析 例1
看谁更快 例2
三、课外练习
作业:课本 P89A4 、P90A6 、P90B1⑴⑷
2
看谁更快,写出下列一元二次不等式的解集:
⑴ 3x2 7x 10 ≤0
x
1≤
x
≤
10 3
⑵ x2 4x 4 0
x x 2
⑶ 2x2 x 3
x
x
1 或
x
3
2
⑷ x2 2x 3 0
R
3
配方法 同解变形法
解不等式 x2 2x 3 0 (可用配方法) 解:∵ x2 2x 3 0 (x 1)2 2 0
∴原不等式的解集为 R.
又如:解不等式 x2 2x 99 0
解:∵ x2 2x 99 0 (x 1)2 100 0
(x 1)2 100
配方法
10 x 110
9 x 11
∴原不等式的解集为x 9 x 11.
练习:解不等式 4x2 4x 3 0 解集为
4
解不等式: 3x2 7x 10 ≤0
(可用同解变形法)
解:∵ 3x2 7x 10 ≤0 (3x 10)(x 1) ≤ 0
3x 10 x 1
思考: 1.用二次函数图象速解一元二次不等式的步骤是:
先化为一般形式 ax2 bx c 0 (a 0) 或 ax2 bx c 0(a 0) 然后计算△的符号及求根 x1、x2 ,想象函数 y ax2 bx c 的 图象与 x 轴的位置关系(草图即可); 最后由图快速写出解集.
例 1 试解分式不等式: x 3 0 x7
6
符号变化规律
例 1 解分式不等式: x 3 0 x7
解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段
代数式 x 7 7 x 3 x 3
x7
x3
x3
x7
∴由上面分析可知原不等式的解集为 x x 7 或 x 3
注:如果熟练了可简化成标根穿线法,直接快速写出解集
≤0 ≥0
(Ⅰ)
或
3x 10≥0 x 1 ≤0
(Ⅱ)
由(Ⅰ)解得
1≤
x
≤
10 3
;由(Ⅱ)解得
x
不存在.
∴原不等式的解集为
x
1≤
x
其实质是符号规律,见下表:
≤ 10 3
.
代数式
x 1 3x 10 (3x 10)(x 1)
x 1
1 x 10 3
x 10 3
零点分段 判断符号 情况
5
3x 2 ⑵ (x 3)(x 2)(x 1) 0 ⑶ (3x 2)(3 x) ≤ 0
x2
1.
x
1
x
2 3
2.x 3 x 1或 1 x 2
3.
x
2
x
≤
-
2 3
或
x ≥3
作业:课本 P89A4 、P90A6 、P90B1⑴⑷
10
素材和资料部分来自 网络，如有帮助请下载!
7
看谁更快,写出下列不等式的解集:
⑴ x2 0 2x 5
x
2
x
5
2
⑵ 3x 2 ≥ 0 x 1
x
x
1 或
x≥
2
3
⑶2x 0 x3
x x 3 或 x 2
⑷ x ≥0 2x 1
x
x
1 2
或
x ≥0
8
例 2(自学课本例 1 与)
课外挑战练习: 试解下列不等式: ⑴ x 1
2.解一元二次不等式的有没有其他方法?
1
一元二次不等式的解法(二)
一、知识学习 看谁解得更 快
二、例题分析 例1
看谁更快 例2
三、课外练习
作业:课本 P89A4 、P90A6 、P90B1⑴⑷
2
看谁更快,写出下列一元二次不等式的解集:
⑴ 3x2 7x 10 ≤0
x
1≤
x
≤
10 3
⑵ x2 4x 4 0
x x 2
⑶ 2x2 x 3
x
x
1 或
x
3
2
⑷ x2 2x 3 0
R
3
配方法 同解变形法
解不等式 x2 2x 3 0 (可用配方法) 解:∵ x2 2x 3 0 (x 1)2 2 0
∴原不等式的解集为 R.
又如:解不等式 x2 2x 99 0
解:∵ x2 2x 99 0 (x 1)2 100 0
(x 1)2 100
配方法
10 x 110
9 x 11
∴原不等式的解集为x 9 x 11.
练习:解不等式 4x2 4x 3 0 解集为
4
解不等式: 3x2 7x 10 ≤0
(可用同解变形法)
解:∵ 3x2 7x 10 ≤0 (3x 10)(x 1) ≤ 0
3x 10 x 1