5,数据的离散趋势及描述
研究生统计学 集中和离散趋势的描述
从频数分布可见 大多数观察值集 中在小值一端， 102名患者中有 79.41%的人的 发铜值在10μg/g 以下，呈正偏态 分布。
102名男性脑卒中患者发铜分布
发铜（μg/g） 2～ 4～ 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 合计
频数 3 9 38 31 6 5 2 1 2 1 1 2 1
所在组的频数
Px
L
i (n
x% fL) fm
(nx%fL) i; fm位数应用
• 确定医学参考值范围 (reference range)： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。
• 中位数M与四分位数间距一起使用，描述偏 态分布资料的特征。
Glg 1
flfg Xl
g 1
flg X n
X可为单个对数值或组中值
某医院神经科用火焰原子吸收光谱法测定了102名男性脑 卒中患者头发中微量元素铜（Cu）的含量（μg/g）,资 料如下，求平均含量。
2.3 5.7 6.7 7.2 7.7 8.4 9.1 9.6 12.6 25.2 3.3 6.1 6.7 7.2 7.8 8.5 9.1 9.8 12.8 25.6 3.4 6.2 6.8 7.3 7.8 8.6 9.2 9.8 13.4 26.4 4.0 6.3 6.8 7.4 7.8 8.6 9.3 9.9 13.8 4.1 6.3 6.9 7.5 7.8 8.7 9.4 10.1 15.3 4.2 6.4 7.0 7.5 7.9 8.7 9.4 10.2 15.6 4.4 6.5 7.1 7.5 8.0 8.8 9.4 10.6 17.4 5.1 6.5 7.1 7.6 8.1 8.8 9.5 10.9 18.5 5.4 6.5 7.1 7.6 8.2 8.9 9.6 11.0 18.7 5.5 6.5 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 11.6 20.3 5.7 6.7 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 12.5 23.2
统计描述(离散趋势的描述)
大家好
27
正态分布
大家好
28
正态分布:又称为Gauss分布（Gaussian distribution）。
设想当原始数据的频数分布图的观
察人数逐渐增加且组段不断分细时，图
2-4中的直条就不断变窄，其顶端则逐
渐接近于一条光滑的曲线。这条曲线形
态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，
近似于数学上的正态分布。在处理资料
体 方 差 。
大家好
30
2．正态分布的特征
（ 1） 在 直 角 坐 标 上 方 呈 钟 型 曲 线 ， 两 X 端 与轴 永 不 相 交 ， 且 以
X为 对 称 轴 ， 左 右 完 全 对 称 。
（ 2） 在 X处 ， f(X)取 最 大 值 ， 其 值 为 f()1X2；越 远 离 ， f(X)值 越 小 。
❖ 由于∑（x-）=0，不能反映变异的大小，而用 离均差平方和 ∑（x-）2（sum of deviation
from mean）反映。同时还要考虑到观察值个数N
的影响，用其均数，即得到总体的方差，用2表
示。
❖ 公式为：
2 (X)2
N
大家好
16
1. 方差（variance）是离均差平方和的均数，反映一
大家好
24
应用一：观察指标单位不同
某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差为 4.71；体重均数为22.59kg，标准差为2.26kg，试比较
其变异度？
S 4.71
C1V 12.130 10% 03.8% 3
C2V S22..2 2 269 10% 01.0 1% 4
大家好
25
应用二：均数相差较大时
累积频数fc 3 7 19 32 49 71 89 102 113 118 120
卫生统计学--离散趋势的统计描述(衡量离散程度的指标、正态分布及应用、医学参考值范围)
课后习题：
3、将一组计量资料整理成频数表的目的（ ） A、化为计数资料 B、便于计算 C、提供原始数据 D、为能够更精确的检验 E、描述数据的分布特征
4、6人接种流感疫苗一个月后，测定抗体 滴度为1:20、1:40、1:80、1:80、1:160、 1：320，求平均滴度应选用的指标是（ ）
表2-7 282名正常人尿汞值（ g/L ）测量结果
尿汞值
频 数f
累计频数 f
累计频率（%）
0～
45
45
16.0
8.0～
64
109
38.6
16.0～
96
205
72.7
24.0～
38
243
86.2
32.0～
20
263
93.3
40.0～
11
274
97.2
48.0～
5
279
98.9
56.0～
2
281
99.6
统计学方法是（ ）
A、用均数评价 B、用中位数评价 C、用几何均数评价D、用变异系数评价 E、用医学参考值范围评价
2.用于计算变异系数 3.用于计算标准误 4.结合均值与正态分布的规律，估计参考值范
围
第一节 衡量离散程度的指标 （五）变异系数(coefficient of variation)
变异系数常用于比较度量单位不同或均数相 差悬殊的两组(或多组)资料的变异程度。
S CV 100%
X
例题：某地7岁男孩身高的均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重 均数为22.29kg，标准差为2.26kg, 比较其变异度？
随机变量X N（，2）
拓展
Z X
第3章离散趋势的描述
离散趋势的统计描述
学习目的和要求：
掌握:
描述数据分布离散趋势的指标；正态分布的概念和 特征、标准正态分布下面积分布规律。
熟悉:
医学参考值范围的意义和计算；
了解：
正态分布表、正态分布的应用。
描述数值变量资料的分布特征必须从集中趋势和离 散趋势两方面来进行，缺一不可。
例: 三组同年龄女大学生体重(kg)如下,试分析其分 布特征。
95 99
表3-3 参考值范围所对应的正态分布区间 百分范围(%) 单侧 双侧(对称) 下限 上限 下限 上限 x -1.645s x+1.645s x -1.96s x +1.96s 95 99 x -2.33s x+2.33s x -2.58s x +2.58s
（二）离均差平方和
(X (X
X)
2
X)
2
X
2
( X ) n
2
(三)方差与标准差
2
(X )
N
2
S
2
( X x)
n 1
2
(X )
N
2
S
( X x)
n 1
2
N-1 称自由度 Degree of freedom
S
x x
Q=135.7-63.2=72.5(mg/dl)
例2.4 某地630名正常女性血清甘油三酯含量的频数表 甘油三酯（mg/dl) 频数 累积频数 累积频率 （1） （2） （3） （4） 10～ 27 27 4.3 40～ 169 196 31.1 70～ 167 363 57.6 100～ 94 457 72.5 130～ 81 538 85.4 160～ 42 580 92.1 190～ 28 608 96.5 220～ 14 622 98.7 250～ 4 626 99.4 280～ 3 629 99.8 310～ 1 630 100.0 合计 630 － －
常见的离散趋势
常见的离散趋势
常见的离散趋势包括：
1. 上升趋势：数据点逐渐向上增长的趋势，表示一种正向的发展趋势。
2. 下降趋势：数据点逐渐向下减少的趋势，表示一种负向的发展趋势。
3. 水平趋势：数据点在一个相对稳定的水平上波动，没有明显的上升或下降趋势。
4. 波动趋势：数据点在一定范围内波动，但没有明显的整体趋势。
5. 周期性趋势：数据点呈现出周期性的波动，可以是季节性的或其他周期性的影响因素导致的。
6. 突变趋势：数据点在某个时间点发生突变，突然发生较大改变，不再按照原先的趋势发展。
7. 混合趋势：多种趋势同时存在，数据点既有上升也有下降，整体上没有明确的趋势。
在实际应用中，对于离散趋势的分析常常需要结合具体的场景和数据特点来进行综合判断。
描述数据离中趋势的统计指标
描述数据离中趋势的统计指标选择一种正确的方法去统计，就能使所统计的数据更准确、更科学。
1。
描述数据离中趋势的统计指标第一种描述离中趋势的统计指标是：标准差。
标准差=标准偏差/真实值。
如果将真实值看成是无限小时，则标准差就表示数据由无限多的值中落到有限个值内的平均数。
在这种情况下，我们把在离中趋势内落入极端值的点的数值称为离群值（ outgroupvalues）。
在这种情况下，如果出现了离群值，那么整体就不会按预定的方向移动，而会产生严重的波动。
因此，在运用这种指标时，我们要特别注意不要把离群值当成是某一个数值的代名词。
标准差用来衡量统计量与其平均数之间差异程度的统计指标。
离中值的大小和变化趋势用标准差进行衡量。
标准差越大，表明两者之间的距离越远；标准差越小，表明两者之间的距离越近。
2。
描述数据离散趋势的统计指标第二种描述离散趋势的统计指标是：方差。
方差=标准差除以真实值。
它反映的是集中趋势的强度或离散程度。
标准差和方差的大小表示集中趋势和离散程度的相对强弱，方差大，集中趋势强，反之，则集中趋势弱。
3。
描述数据的集中趋势的统计指标第三种描述数据的集中趋势的统计指标是：峰度。
峰度=最大值-最小值。
由于峰度不是与总体的变化方向成比例，而只是与测定的样本量的多少有关，因此，它也可以用来反映测定的样本量的多少。
峰度和标准差类似，也是用来反映集中趋势的强弱。
4。
描述数据的离散趋势的统计指标第四种描述数据的离散趋势的统计指标是：偏度。
偏度=峰度的倒数。
峰度愈大，偏度也愈大。
它反映的是变化的幅度，即两组数据的分散性大小。
偏度和标准差类似，也是用来反映集中趋势的强弱。
5。
描述数据聚集程度的统计指标第五种描述数据聚集程度的统计指标是：聚集系数。
聚集系数=（真实值-X）/真实值。
聚集系数的值愈大，说明被测定数据的分散性愈大。
聚集系数愈接近1，说明被测定数据的分散性愈小。
6。
描述离中趋势和离散趋势的综合指标当需要描述数据既有离中趋势又有离散趋势时，需要综合指标。
理解数据的集中趋势与离散程度
理解数据的集中趋势与离散程度数据是我们生活中不可或缺的一部分，无论是在科学研究、商业决策还是个人生活中，我们都需要处理和分析大量的数据。
在数据分析过程中，了解数据的集中趋势和离散程度是非常重要的，它们能够帮助我们更好地理解数据的分布和特征。
一、集中趋势集中趋势是指数据分布中心的位置，常用的集中趋势度量指标有均值、中位数和众数。
均值是一组数据的平均值，通过将所有数据相加再除以数据个数得到。
均值能够反映数据的总体水平，但受到极端值的影响较大。
例如，考虑一个班级的学生成绩，大部分学生的成绩在70-90分之间，但有一个学生得了100分，这个极端值会使得均值偏高。
中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
中位数不受极端值的影响，更能反映数据的典型值。
在上述例子中，中位数仍然能够准确地反映学生的典型成绩水平。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，它代表了数据分布的最高峰。
众数适用于描述离散型数据，如人口统计中的年龄分布。
二、离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用的离散程度度量指标有范围、方差和标准差。
范围是一组数据的最大值与最小值之间的差距，它能够直观地反映数据的离散程度。
然而，范围只考虑了极端值，没有考虑其他数据的分布情况。
方差是一组数据与其均值之差的平方的平均值，它能够反映数据与均值之间的差异。
方差越大，数据的离散程度越高。
标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的单位。
标准差能够衡量数据的离散程度，并且与均值具有相同的量纲，因此更容易进行比较和解释。
三、应用举例理解数据的集中趋势和离散程度在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，我们可以通过分析股票的收益率来了解市场的集中趋势和离散程度。
均值和中位数能够帮助我们了解市场的平均收益水平，而标准差则能够反映市场的波动性。
这些指标对于投资者制定投资策略和管理风险非常重要。
在医学研究中，我们可以通过分析患者的生命体征数据来了解疾病的发展趋势和离散程度。
教案5统计数据特征的描述数据离散趋势的描述：变异指标
第三章统计数据特征的描述
数据离散趋势的描述：变异指标
课次/学时Байду номын сангаас
5/2
教学目的要求
掌握各种离散趋势的描述指标；
教学重点
各种离散趋势描述指标的计算公式和适用条件；
教学难点
对各种数据离散趋势的描述指标进行判断和选择；
运用相关指标对数据的离散趋势进行描述；
教学内容、设计与时间安排：
A.课程导入（5分钟）
想一想：总体方差和标准差的分母与样本方差和标准差的分母有何不同？
引出自由度的概念。
含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台
C.课程小结（10分钟）
教学组织设计
启发式教学：采用案例考查学生对上节课讲授内容的掌握程度，同时具体化描述统计量的贡献。
讲授：板书+PPT
案例教学：通过例子易化学生对离散趋势各描述指标的理解。
启发式教学：通过提问引发学生思考，同时引出“自由度”这个重要的概念。
思考题与作业
B.新课讲授（75分钟）
一、变异指标的涵义和作用（5分钟）
1、涵义：变异指标又称标志变动度。综合反映总体各个单位标志值差异程度。
2、作用：反映总体各个单位标志值分布的离散趋势；变异指标可以说明平均指标的代表性程度；说明现象变动的均匀性或稳定性程度
二、变异指标的计算方法
1、异众比率--分类数据（10分钟）
用于衡量众数的代表性,异众比例越大，众数的代表性就越差。
2、四分位差—顺序数据（15分钟）
对顺序数据离散程度的测度
反映了中间50%数据的离散程度
不受极端值的影响，没有充分利用原始数据
用于衡量中位数的代表性：四分位差越小，说明中间的数据越集中
数值变量资料的集中趋势和离散趋势
2.几何均数（geometric mean）
常适用于一种特殊的偏态分布资料：等比资料或对 数正态分布资料（常见于抗体滴度）。
3.中位数（median，M） 10.12.9.7.11.39
主要适用于偏态分布资料。中位数是指将一组变 量值从小到大排列，位次居中的变量值。
S CV 100％ X
CV: 单位不同，均数相差悬殊 S : 单位相同，均数相近
5.四分位数间距（quartile interval，Q）：P75 、 P25分别表示第75百分位数和第25百分位数。
Q＝ P75－P25（上四分位数-下四分位数）
注：主要用于偏态分布资料离散程度的描述。
正态分布：集中趋势，平均数；离散趋势，方差 偏态分布：集中趋势，中位数；离散趋势，四分位数间距
最大值
统计结果
注：除了用“Frequencies”外，还可以使用 “Descriptives”进行统计描述 描述
三、用SPSS软件实现统计描述
操作步骤：
1.选择“Frequencies”
描述性统计
频数
操作步骤：
2.将变量选入变量框， 点击“Statistics”
操作步骤：
用Excel计算
2.选择相应描述性指标， 无几何均数，变异系数 点击“Continue” 均数
四分位数
间距 中位数 最小值 标准差 方差 极差
偏态分布பைடு நூலகம்集中位置偏向一侧，频数分布不对称的 分布。
正偏态
120 100
负偏态
80
60
40
20
0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0
离散趋势的例子
离散趋势的例子离散趋势，顾名思义，指的是数据或现象在某个特定的时间段内以离散的方式发展的趋势。
下面我将给出一些例子来解释离散趋势，并以实际情况来说明。
1. 人口迁移案例：在城市之间的人口迁移中，通常呈现出离散趋势。
例如，每年的春节期间，中国的大城市人口往往会明显减少，因为许多在城市工作的人选择回乡团聚。
而在春节之后的几天内，人口又会快速返回城市，形成一个离散的人口迁移趋势。
2. 市场需求变化案例：在商品市场中，市场需求可能也表现出离散趋势。
举个例子，假设某食品公司生产某种产品。
在某个特定时间段内，由于客户口味的变化或竞争对手的上市产品，该产品的市场需求可能会忽然下降。
随着一段时间的过去，消费者可能会逐渐发现该产品的独特之处，导致需求再次增加。
这种需求的离散变动趋势可以由市场竞争、消费者决策等因素所影响。
3. 股票市场波动案例：股票市场的波动也可以被看作是离散趋势的一种，这是由大量的交易行为和投资者情绪变化所引起的。
在某一天内，由于各种因素的影响（如宏观经济指标、政治事件、公司新闻等），股票价格可能会出现大幅波动。
而在接下来的几天或几周内，价格可能会再次回到相对稳定的水平。
这种离散的股票市场波动趋势可以由投资者的行为和对市场信息的解读所驱动。
4. 社交媒体用户活动案例：在社交媒体平台上，用户的活动也可能呈现离散趋势。
例如，某个时段内，某个热门话题可能会引发大量的讨论和分享，吸引更多用户参与。
而在其他时段内，这个话题可能会逐渐平息，用户活动也相应减少。
这种社交媒体用户活动的离散趋势可以由话题的热度和用户的兴趣所驱动。
5. 河流水位变化案例：河流的水位在某个时间段内也可能呈现离散趋势。
举个例子，由于降雨的影响，某河流的水位可能会在短时间内迅速上升。
然而，这种泛滥可能不会持续很长时间，随着雨水停止，水位会逐渐回落。
这种离散的河流水位变化趋势通常与气象因素和季节变化相关。
以上是一些关于离散趋势的例子。
总的来说，离散趋势是指在一段特定的时间内，数据或现象以离散的方式变动或演变的趋势。
离散趋势指标
离散趋势指标离散趋势指标，又称为波动指标，是揭示数据集中程度和离散程度的一种统计方法。
它通过计算数据的离散程度来评估数据的波动及变动趋势。
离散趋势指标对于分析趋势和预测未来变化具有重要的作用。
本文将介绍几种常用的离散趋势指标。
首先，最常见的离散趋势指标是方差。
方差用于衡量一组数据离其平均值的平均距离。
方差较大表示数据集的波动范围较广，相反较小的方差意味着数据相对稳定。
通过计算方差，可以判断数据的波动情况，从而帮助分析师判断未来趋势的可能性。
其次，标准差也是一种常用的离散趋势指标。
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
标准差较大表示数据的离散程度大，相反较小的标准差表示数据的离散程度小。
标准差能够帮助分析师判断数据的稳定性和波动范围，从而为未来趋势的预测提供参考。
接着，离散系数也是一种常用的离散趋势指标。
离散系数是标准差与均值的比值。
离散系数较大表示数据的离散程度大，相反较小的离散系数表示数据的离散程度小。
离散系数可以帮助分析师比较不同数据集的波动情况，判断哪个数据集更加稳定。
此外，峰度和偏度也是常用的离散趋势指标。
峰度用于衡量数据分布的尖锐程度，偏度用于衡量数据分布的偏斜程度。
峰度越大，数据分布越尖锐；偏度越大，数据分布越偏斜。
峰度和偏度可以帮助分析师判断数据的分布特点，从而为预测未来的趋势提供参考。
最后，离散趋势指标还包括波动率和变异系数。
波动率用于衡量价格或收益率的波动情况，是金融市场中对于风险的度量。
变异系数则是标准差与均值的比值，用于衡量风险相对于平均水平的波动情况。
波动率和变异系数能够帮助分析师评估市场的波动风险，为投资决策提供参考。
综上所述，离散趋势指标是衡量数据波动和趋势的重要工具。
通过方差、标准差、离散系数、峰度、偏度、波动率和变异系数等指标，分析师可以判断数据集的波动情况，为未来趋势的预测提供参考。
离散趋势指标在金融市场分析、经济预测等领域具有广泛的应用价值。
为了提高分析的准确性，分析师可以综合运用多种离散趋势指标，以全面把握数据的特点和趋势。
离散趋势的名词解释
离散趋势的名词解释在统计学和数学中，离散趋势是指一个数据集中的数值在一段时间内的波动性或者变动性。
离散趋势可以帮助我们分析数据的变化模式和走向，从而得出有关未来的预测和决策。
离散趋势可以分为两个方面：离散度和趋势。
离散度是指数据集中数值的离散程度，即数据的分散程度。
较高的离散度意味着数据的变动性较大，而较低的离散度则表示数据的波动相对较小。
常见的离散度指标包括方差和标准差。
方差是每个数据点与平均值之间差异的平方的平均值，而标准差是方差的平方根。
另一方面，趋势是指数据集中数值的整体变化方向。
趋势可以是增长趋势、减少趋势或保持稳定。
我们可以通过绘制数据的趋势线来观察数据的变化趋势。
当趋势线向上倾斜时，表示数据有逐渐增长的倾向；当趋势线向下倾斜时，表示数据有逐渐减少的倾向；当趋势线基本水平时，表示数据的波动较小，保持相对稳定。
离散趋势的分析对于很多领域来说都具有重要意义。
例如，在金融领域，人们经常使用离散趋势来预测股票价格的变化。
他们会观察历史数据的离散趋势，并根据趋势线的变化来预测未来的股票走势。
同样，在销售领域，离散趋势分析可以帮助企业了解产品的需求变化，从而决定市场策略和生产计划。
离散趋势的分析方法有很多种。
一种常见的方法是使用时间序列分析。
时间序列分析是一种统计方法，用于处理按时间顺序排列的数据集。
通过观察和拟合数据的趋势线，时间序列分析可以帮助我们预测未来的数值。
此外，离散趋势的分析还可以借助计算机技术完成。
数据科学和机器学习领域涌现出了很多高级算法和模型，可以帮助我们更准确地分析离散趋势。
这些算法可以自动处理大量数据，并生成有关数据变化趋势的可视化图表和报告。
综上所述，离散趋势是指数据集中数值的波动性或变动性。
通过分析离散趋势，我们可以了解数据的离散度和趋势，预测未来的变化并做出相应的决策。
离散趋势的应用广泛，在金融、销售等领域具有重要意义。
通过使用时间序列分析和计算机技术，我们可以更准确地分析离散趋势，帮助我们做出更明智的决策。
(优选)离散趋势的统计描述
例3.3 测得某地成年人舒张压的均数为77.5mmHg，标 准差为10.7mmHg；收缩压的均数为122.9mmHg，标准 差为17.1mmHg。试比较舒张压和收缩压的变异程度。
舒张压 收缩压
CV=
10.7 77.5
100%
13.8%
CV=
17.1 122.9
100%
13.9%
可见两种指标的变异 度几乎没有什么差别。
第一节 衡量变异程度（或离散程度）的指标
衡量变异程度大小的指标大体可以分为两类: 按间距计算: 极差、四分位数间距 按平均距离计算:离均差平方和、方差、 标准差和变异系数
一、极差和四分位数间距
（一）极差
也称全距，用符号R表示。R=最大值-最小值
甲乙患者收缩压的极差分别为： R甲=186-142=42（mmHg） R乙=166-159=7 （mmHg）
X
72.4
变异指标小结
1.极差较粗，适合于任何分布； 2.标准差与均数的单位相同，最常用，适合于近似正态分布； 3.四分位数间距用于各类型分布的资料，但更适合偏态分布资料； 4.变异系数主要用于单位不同或均数相差悬殊资料。 平均指标和变异指标分别反映资料的不同特征，常配套使用 正态分布：均数、标准差； 偏态分布：中位数、四分位数间距。
S 133713 8132 / 5 19.49(mmHg) 5 1
乙患者： X=164+160+163+159+166=812 X 2 1642 1602 1632 1592 1662 131902
131902 8122 / 5
S
2.88(mmHg)
5 1
说明甲患者血压波动比乙患者血压波动大。
P25
统计学基础知识之数据离散程度描述
统计学基础知识之数据离散程度描述统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。
统计学用到了大量的数学及其它学科的专业知识，其应用范围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。
以下是店铺收集整理的统计学基础知识之数据离散程度描述，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
集中趋势指标是数据的一个特征，数据的另一个特征是离散程度指标。
在统计分析中，离散程度指标可以说明集中趋势指标的代表性如何，还可在统计推断时用来计算误差的大小。
另外，离散程度指标还被用来说明事物在发展变化过程中的均衡性、节奏性和稳定性等问题。
例如，有两组数据，第一组是19，20，21，第二组是15，20，25。
如果只根据均值(两组的均值都是20)我们将无法区别两组数据有什么不同。
但显然两组数据是有区别的。
在这种情况下，就需要使用离散程度的指标来描述那一组分散的程度更大一些。
下面是yjbys店铺为大家带来的关于数据离散程度描述的知识，欢迎阅读。
离散程度指标的种类很多，下面介绍的是常用的几种。
全距(Range)又称极差，是指数据中最大值和最小值的差值。
如果用R表示全距，用Xmax，Xmin，分别表示数据的最大值、最小值，则全距公式为：R = Xmax- Xmin。
例如，前面提到的两组数据中，第一组数据的全距R = 21 – 19 = 2，第二组数据的全距R = 25 – 15 = 10。
通过全距的数值我们可以确定第二组数据的离散程度更大。
由此，我们可以记住一个一般性结论：离散指标的数据越小，说明数据的变异程度就越小;数值越大，则说明数据的变异程度越大。
当然，这个结论只有在同类离散指标相比较时才会有意义。
全距指标的应用问题全距指标的含义容易理解，计算也很简便。
因此，在某些场合具有特殊的用途。
例如，要说明一个地区的温度情况，没有比用温差说明更好的指标了。
在描述一种股票的波动情况时，最高价和最低价的差是常使用的特征值。
描述数据的离散趋势应用
描述数据的离散趋势应用
数据的离散趋势描述了数据点在一定范围内的变化程度，通常使用标准差、方差、四分位距等统计指标来衡量。
离散趋势可以帮助我们理解数据的变异程度和分布特征，有助于分析趋势和预测未来可能的发展方向。
在实际应用中，我们可以利用数据的离散趋势来进行风险评估、财务分析、市场预测、产品质量控制等领域的决策和规划。
比如在金融投资中，我们可以通过分析股票的标准差来评估股票的风险水平；在生产制造中，可以通过监控产品质量的方差来评估生产过程的稳定性；在市场营销中，可以通过分析销售数据的四分位距来评估产品在市场中的竞争力。
总之，数据的离散趋势可以为我们提供有关数据分布和变异程度的重要信息，帮助我们做出更加客观有效的决策。
描述数据离散的趋势方法
描述数据离散的趋势方法数据离散的趋势方法是用来描述一组数据中值的分散程度的统计方法。
在统计分析中，离散程度是指一组数据的各个值与其平均值之间的差异大小。
离散程度越小，说明数据的分布越集中；离散程度越大，说明数据的分布越分散。
在统计学中，常用的描述数据离散趋势的方法有：极差、方差、标准差、四分位差和变异系数等。
首先，极差是最简单的描述数据离散趋势的方法之一，它是数据中最大值和最小值之间的差值。
通过计算极差，可以得到一组数据的全局分散程度，但它无法刻画数据的局部波动情况。
其次，方差是用来衡量数据离散程度的有力工具。
方差是每个数据点与平均值的差的平方和的平均值。
方差越大，说明数据的离散程度越高；方差越小，说明数据的离散程度越低。
但方差不易直观理解，因为它的单位是数据的平方，不易与原始数据进行比较。
为了解决方差单位的问题，我们可以使用标准差作为描述数据离散趋势的方法。
标准差是方差的平方根，它与原始数据具有相同的单位。
标准差越大，说明数据的离散程度越大；标准差越小，说明数据的离散程度越小。
标准差可以用来比较两组或多组数据的离散程度，较小的标准差表示两组数据的离散程度较小，较大的标准差表示两组数据的离散程度较大。
此外，四分位差也是一种常用的衡量数据离散趋势的方法。
四分位差是将数据按照大小顺序排列后，将数据分成四个等份，计算第三个四分位数和第一个四分位数之差。
四分位差越大，说明数据的离散程度越大；四分位差越小，说明数据的离散程度越小。
四分位差可以在一定程度上忽略数据的极端值对数据离散程度的影响，更加稳健。
最后，变异系数是描述数据离散程度的相对指标，它是标准差除以平均值再乘以100%得到的百分比。
变异系数越大，说明数据的离散程度越高；变异系数越小，说明数据的离散程度越低。
变异系数可用于比较几组具有不同单位或不同数量级的数据的离散程度，它能够更好地去除数据尺度的影响。
综上所述，极差、方差、标准差、四分位差和变异系数是描述数据离散趋势的常用方法。
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能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。因为
两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。 但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。设期中成绩 67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分 为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了 0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。
3. 计算过程要取绝对值；
4. 有绝对值不利于统计的进一步计算（代数性质不是很
好）。
三、方差与标准差
方差是各个数据分别与其平均数之差的平方
的和的平均数，标准差是方差的算术平方根。方
差和标准差能较好地反映一个数据集的离散程度，
是最经常应用于描述次数分布离散程度的差异量
数。
总体方差与总体标准差
2
x
离散趋势的测度，在统计学中也称为标志变异指标， 是用来描述数列中指标值的离散趋势与离散程度的。常用 的标志变异指标有极差（全距）、平均差、方差、标准差 和百分位差等。
一、极差
又称全距、两极差，用符号R表示。 把一组数据从大到小排列起来，用最大值减去最小值，就得到极差。 计算公式：
R X max X min
举例
原始数据：1、2、3、4、5、6、7、8、9
样本：2、4、6、8
自由度
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数； 2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只 有 n-1 个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能 自由取值； 3. 例如，样本有 3 个数值，即 x1=2 ， x2=4 ， x3=9 ，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由 取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3 则必然取2，而不能取其他值； 4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从 实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计 总体方差σ 2时，它是σ 2的无偏估计量。
4. 未考虑数据的分布； 5. 计算公式为：
未分组数据
组距分组数据
R = max(Xi) - min(Xi)
. R=最高组上限 =
- 最低组下限
二、平均差
平均差是各单位标志值对平均数的离差绝对值的平均
数。平均差仅反映总体各单位标志值对其平均数的平均离
差量。平均差越大，表明标志变异程度越大；反之，则表
方差与标准差的性质和意义
1. 每个观测值都加上一个常数后，标准差不变；
2. 每个观测值都乘上一个常数，则标准差也乘上这
个常数； 3. 具有可加性和可分解性的特点。
标准差的应用
标准差是统计学中的支柱性概念，是反映总
体分布离散趋势的重要特征值，因此在社会生活
的各个方面都有广泛的应用。
1. 估计分布偏度
百分位差
百分位差又叫百分位距，它是两个百分位数的差，常用的百 分位差是P90-P10或者P93-P7. 采用百分位差一般是为了剔除极端数据的影响，而用居中部
分数据的全距来描述数据的离散程度。
在运用百分位差时，必须说明是采用何种百分位数之差。
以59页例4-5为例，计算P90-P10
四分位差
四分位差可以看做百分位差的一种，通常用
数据的离散趋势及描述
青岛大学师范学院 杨慧娟
在统计学中，要描述一组数据，不但要了解数据的 典型情况、集中情况，还要了解数据的特殊情况，这些特 殊情况常常表现为数据的变异性。 例如：
甲 乙 丙 语文 79 65 87 数学 82 91 85 英语 93 98 82 总分
如在一次考试中，两个班级的平均分相同，但是其 整齐程度并不一样。两个同学期末考试各科的平均分相同， 但是其个别科目的分值可能差异很大。这个时候，只比较 平均成绩并不能真实地反映这些数据的情况，此时，只有 在比较集中量的同时，再对数据的离散程度进行比较，才 能比较全面地描述数据情况。
别为：-1.54，0，0.31，1.23。
可以看出，标准分是一种以标准差为单位的相对量。它以
整体的平均水平作为比较的基准，标准分为正，表示个体
成绩高于平均水平，且数值越大，表示成绩越好；负值则 表示个体水平低于平均水平。
2.判断同一科目在不同次的考试中，成绩的升降程
度。
如某同学在期中考试中得67分，在期末考试中得62分。
x X f
i
fi
式中：
xi
X
——第 i 组的组中值 ——算术平均数
f
——相应组次数 ——总体方差 ——总体标准差
2
相应地，分组数据时，样本方差和样本标准差：
S2
x X f
i
2
i
fi
i
2
S
x X f
i
fi
例题：56页例4-2
某校四年级学生总体中抽取一个班共35人，测得他们期中考试的语文成 绩如下，求其标准差。 65,54,67,80， …，82,74,80
当n较大时，由于n-1与n相差不大，所以公式
中的n-1就可以用n来代替。
S
2
x X
i
2
n 1
i
S2
S
x X
i
2
n
S
x
X
2
x X
i
2
n 1
n
分组资料时，方差的公式为：
标准差的公式为：
2
x X f
i
2
i
fi
i
2
哪个同学的考试成绩最好呢.看一看标准分就可发现，B的
标准分最高：1.8分，其次C：1.73分，再次A：1.6分。
差异系数（离散系数）
例 在一次模拟考试中，某班的数学平均分为89分，
标准差为10.3分，外语平均分为92分，标准差为
10.5分，比较该班考生哪一科目的离散程度大。
（1）两个或两个以上样本所使用的观测工具不同，所测得 特质不同； （2）两个或两个以上样本所使用的观测工具相同，所测得
特质相同，但样本间的水平相差较大。
这时就不能用绝对差异量来比较不同的离散程度，而应使用
相对差异量数，最常用的相对差异量数就是差异系数，或
者称为离散系数、变异系数、相对标准差。
差异系数（离散系数）是一种相对差异量，用CV来表示，
是标准差对平均数的百分比。
S CV 100 % X
差异系数常用于（1）同一样本不同观测值离散程度的比较；
明标志变异程度越小。平均差通常用字母AD表示。
x X x' AD
i i
n
n
为什么要用离差的绝对值？
如果没有绝对值会怎么样？
例：一组原始数据：1，3，4，7，8，9，10 求其平均数，并求出观测值与平均数离差的总和
各个离差如果不加绝对值的加起来： （1－6）＋（3－6）＋（4—6）＋（7－6）＋（8－6）＋（9－6）
由公式可见，百分位数适用于分组数据。
如果采用原始数据，则需要将数据从小到大
排好，并计算相应的累计百分位，则某一百分位 所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数。 如，处于P%位置的值称第P百分位数。
例 某地区初中数学竞赛成绩分布如下，计划前15%的学生 去参加复赛，请划定复赛资格分数线。
分组 次数 向上累积次数 向下累积次数 向上累积相对 次数
（2）水平相差较大的不同样本的同一观测，其观测值离散
程度的比较。
例 在一次模拟考试中，某班的数学平均分为89分，标准差 为10.3分，外语平均分为92分，标准差为10.5分，比较该 班考生哪一科目的离散程度大。
10.3 解：CV数 100% 11.57% 89 10.5 CV外 100% 11.41% 92
＋（10－6）＝－5－3－2＋1＋2＋3＋4＝－10＋10＝0
1，3，4，7，8，9，10
AD 1 - 6 3 - 6 4 - 6 7 - 6 8 - 6 9 - 6 10 - 6 7 5 3 2 1 2 3 4 7 20 7 2.86
1. 平均差是根据分布中每个观测值计算出来的；每个观测 值都参与了计算； 2. 较好的反映了次数分布的离散程度；
解法：先算平均值 X ； 再算 ( xi X )
2
最后求标准差：
S
(x X )
i
2
n 1
1. 2.
离散程度的测度值之一； 最常用的测度值；
3.
4.
反映了数据的分布；
反映了各变量值与均值的平均差异；
5.
根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据
计算的，称为样本方差或标准差。
例如三名学生A,B,C在语文、数学、英语三科联赛中
的成绩如下：
科目 A 语文 数学 英语 总分 76 80 78 B 80 78 76 原始数据 C 74 70 90 总均 标准 分 差S 70 68 70 10 24 16 TA 标准分 TB TC
T
Xi X
由原始分数可以看出，三名同学的总分都是234分，那么
百分位数
百分位数又称百分位分数，是一种相对地位量
数，它是次数分布中的一个点。把一个次数分布
排序后，分为100个单位，百分位数就是次数分
布中相对于某个特定百分点的原始分数，它表明
在次数分布中特定个案百分比低于该分数。
百分位数用Pm来表示，例如P30=60，就表明在该次数 分布中有30%的个案低于60分。
符号Q来表示，它指在一个次数分配中，中间
组距数列求极差的计算公式为：
极差＝最高组上限－最低组下限
甲：9.0，9.1，9.1，9.0，9.2，9.1，9.0，9.1
乙：8.0，9.8，9.5，8.6，9.7，9.2，7.8，10