最新完美版 华约自主招生数学试题

2015年华约自主招生数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设复数z 满足1z <且15

2

z z +=，则z =（ ）

A 、45

B 、

34

C 、

23

D 、

12

2. 在正四棱锥P -ABCD 中，M ，N 分别为P A ，PB

异面直线DM 与AN 所成交角的余弦值为（ ）

A 、13

B 、

16

C 、18

D 、

112

3. 过点()1,1-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且()1,1-不是切点，则直线l 的斜率是（ ）

A 、2

B 、1

C 、1-

D 、2-

4. 若23

A B π

+=

，则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ） A

、312-

B 、13,22

C

、1+D

、1,12+

5. 如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点C ，⊙1O ，⊙2O 又都和⊙O 内切，

切点分别为A ，B ．,AOB ACB αβ∠=∠=，则（ ） A 、cos sin 02

α

β+= B 、sin cos

02

α

β-=

C 、sin 2sin 0βα+=

D 、sin 2sin 0βα-=

6. 已知异面直线,a b 所成60°角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都

成45°角的平面（ ）

A 、有且只有一个

B 、有且只有两个

C 、有且只有三个

D 、有且只有四个

7. 已知向量()0,1=a

，12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭b

，12⎫=-⎪⎪⎝⎭

c ，()1,1x y z ++=a b c ．则222

x y z ++的最小值为（ ） A 、1 B 、

4

3

C 、

32

D 、2

8. AB 为过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=°，C 为抛物线准线与x 轴的交点，

则ACB ∠的正切值为（ ） A

、

B

C

D

9. 如图，已知ABC △的面积为2，D ，E 分别为边AB ，边AC 上的点，

F 为线段DE 上一点，设,,AD AE DF

x y z AB AC DE

===，且1y z x +-=，则BDF △面积的最大值为（ ） A 、827 B 、1027 C 、

1427

D 、

1627

10. 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）

A 、存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形

B 、存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形

C 、存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形

D 、任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11. （本小题满分14分）

已知ABC △不是直角三角形．

（Ⅰ）证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；

tan tan 1tan B C C A +-=

，且sin 2,sin 2,sin 2A B C 的倒数成等差数列，求cos 2

A C

-的值．

12. （本小题满分14分）

已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处． （Ⅰ）若2b a =，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

13. （本小题满分14分）

已知函数2()x f x ax b =+，(1)1f =，12

23

f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令112x =，1()n n x f x +=．

（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）证明：1212n x x x e

>…．

14. （本小题满分14分）

已知双曲线22

22:1x y C a b -=（0,0a b >>），1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，P 为C 右支上一点，且使

123

F PF π

∠=

，又12F PF △

的面积为2．

（Ⅰ）求C 的离心率e ； B

A

C

D

E

F

（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数(0)λλ>，使得 22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

15. （本小题满分14分）

将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n p 表示未出现连续3次正面的概率． （Ⅰ）求123,,p p p 和4p ；

（Ⅱ）探究数列{}n p 的递推公式，并给出证明；

（Ⅲ）讨论数列{}n p 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．