2019-2020学年高中数学第一讲坐标系 1.2 极坐标系学案新人教A版选修4-4.doc

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2019_2020学年高中数学第1章坐标系1.2极坐标系讲义新人教B版选修4_4

1.2 极坐标系1.2.1 平面上点的极坐标 1.2.2 极坐标与直角坐标的关系学习目标：1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置．(难点)2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化．(重点)1．平面上点的极坐标(1)极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O 点称为极点，Ox 称为极轴．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．2．点与极坐标的关系(ρ，θ)和(ρ，θ＋2k π)代表同一个点，其中k 为整数．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的关系(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y 轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图121所示)．(2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：[提示] 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置．思考2：极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？[提示] 建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟一确定一点M ；反过来，给定平面内一点M ，它的极坐标却不是惟一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系．思考3：联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？[提示] 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若ρ>0，则sin θ＝y ρ，cos θ＝xρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx.1．极坐标系中，点M (1,0)关于极点的对称点为( ) A ．(1,0) B ．(－1，π) C ．(1，π)D ．(1,2π)[解析] ∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M (1,0)关于极点的对称点为(1，π)．[答案] C2．极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( ) A ．(1,0) B ．(2，π4) C ．(3，π2) D ．(4，π)[答案] C3．点A 的极坐标是(2，7π6)，则点A 的直角坐标为( )A ．(－1，－3)B ．(－3，1)C ．(－3，－1)D ．(3，－1)[解析] x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.[答案] C4．点M 的直角坐标为(0，π2)，则点M 的极坐标可以为( )A ．(π2，0)B ．(0，π2)C ．(π2，π2)D ．(π2，－π2)[解析] ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为(π2，π2)．[答案] C【例1】设点A (2，3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．[思路探究] 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值． [解] 如图所示，关于极轴的对称点为B (2，－π3)．关于直线l 的对称点为C (2，23π)．关于极点O 的对称点为D (2，－23π)．四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后．1．在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．[解] 由B (3，π4)，D (3，7π4)，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称．所以点B ，D 关于极轴对称．设点B (3，π4)，D (3，7π4)关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4，∴E (3，5π4)，F (3，3π4)为所求．(1)(2，4π3)；(2)(2，－23π)；(3)(2，－π3)．[思路探究] 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限．[解] (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×(－12)＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×(－32)＝－ 3.∴点(2，4π3)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点．(2)x ＝2cos(－23π)＝－1，y ＝2sin(－23π)＝－3，∴点(2，－23π)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点．(3)x ＝2cos(－π3)＝1，y ＝2sin(－π3)＝－3，∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．2．分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(π，π)．[解] (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴点的极坐标(2，π6)化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．(1)(－2,23)；(2)(6，－2)．[思路探究] 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限．[解](1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4，tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)，由于点(－2,23)在第二象限． ∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标(4，23π)．(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为(22，11π6)．1．将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)求解．2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．3．(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R ，分别求各点的极坐标；(2)如果点的直角坐标(x ，y )满足xy <0，那么在限定ρ>0，θ∈R 的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围．[解] (1)根据与角α终边相同的角为α＋2k π(k ∈Z )知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈R )分别如下：(－2,23)的极坐标为(4，2π3＋2k π)(k ∈Z )．(6，－2)的极坐标为(22，116π＋2k π)(k ∈Z )．(2)由xy <0得x <0，y >0或x >0，y <0. 所以(x ，y )可能在第二象限或第四象限．把直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R 时，θ的取值范围为(π2＋2k π，π＋2k π)∪(3π2＋2k π，2π＋2k π)(k ∈Z )．【例4】在极坐标系中，如果A (2，4)，B (2，4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标．[解] 对于点A (2，π4)有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B (2，54π)有ρ＝2，θ＝54π，∴x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－ 2.∴B (－2，－2)．设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形，故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴有⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6，或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)． ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝74π或θ＝34π.故点C 的极坐标为(23，74π)或(23，34π)．1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，请读者完成．4．本例中，如果点的极坐标仍为A (2，π4)，B (2，5π4)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标．[解] 对于点A (2，π4)，直角坐标为(2，2)，点B (2，5π4)的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |，∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4. ①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x 代入①，得x 2＝2，解得x ＝± 2.∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为(2，3π4)或(2，7π4)．(教材P10习题1－2T3)把下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)：A (－1,1)，B (0，－2)，C (3,4)，D (－3，－4)．已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．[命题意图] 主要考查直角坐标与极坐标的互化．[解析] ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2. ∴x ＝－2，且y ＝－2. ∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2.又tan θ＝y x＝1，且θ∈[0,2π)． ∴θ＝54π.因此点P 的极坐标为(22，54π)．[答案] (22，54π)。

高中数学第一讲坐标系二极坐标系互动课堂学案新人教A版选修4.doc

二极坐标系互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活屮，如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置•用距离和方向表示平而上一点的位置，就是极坐标.2.如图，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点血用Q表示线段0『的长度，用〃表示从血到购的角度，Q叫做〃的极径，〃叫做点対的极角，有序数对（Q, 〃）就叫做財的极坐标•把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置.特别注意：（1）①极点,②极轴，③长度单位，④角度单位和它的止方向构成了极坐标系的四要素，缺一不可.⑵特别地，当〃在极点吋，它的极坐标P=o, 0可以取任意值.极点。

的坐标为（0, 〃）（化R）.⑶一般地,不作特殊说明时，。

三0, 〃可取任意实数.3.建立极坐标系后，给定q（qNO）和〃，就可以在平面内唯一确定点必确定的方法是：⑴由0定射线.根据0角确定点〃所在的射线OM;⑵由P取点.在射线如上取丨酚二Q,点於的位置即可确定.4.给定平面内任意一点必也可以找到它的极坐标（Q, 〃）（ Q 20）.特别注意：⑴一般地，极坐标（Q, 〃）与（Q, 〃+2k兀）（kWZ）表示同一个点•和直角坐标不同, 平而内一个点的极坐标有无数种表示.⑵如果规定Q MO,OW0<2.那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（q, 〃）表示；同吋,极坐标（Q, 〃）表示的点也是唯一-确定的.5.为完整起见，现作一补充:若Q〈0,贝卜Q>0,我们规定点#（p, 0）与点P（-Q, 0）关于极点对称.点畝Q, 〃）（Q〈0）的位置的确定方法是：⑴由〃定射线.先找出〃角的终边所在的射线，确定其反向延长线⑵由P取点.在射线防上取丨创1=-Q,点対的位置即可确定,如图.进一步可以得出，极坐标（Q, 〃）与（Q, 〃+2斤兀）（WWZ）（-门，〃+n+2斤兀）（WWZ）表示同一点.应当指出，若Q<0,应有说明；否则,可认为心0.二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件：①极坐标系屮的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与/轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的氏度单位.P2=AZ tan ^ = — (xHO).X3.极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘以(或除以)P 等技巧.4.由直角坐标化成极坐标时，要注意点所在象限，从而确定极角0.试一试：5兀⑴已知点A的极坐标(-4,兰)，求它的直角坐标；3(2)已知点B、C、D的直角坐标为(2,-2), (0,-15), (-12, 5),求它的极坐标(Q>O,OW〃<2兀). 解：⑴点力的直角坐标为(-2,2^3).(2)・・・P = y]x2+y2 = 722+(-2)2二2迈,怕门〃二二？二-1,且点位于第四象限，(注意!)2:・9=—，点〃的极坐标为(2 V2 ,—).4 4_ 3兀又VA=0, jKO, Q二15,・••点C的极坐标为(15,——).4对于〃(-12, 5), P = 13, tan O--—.12：•〃在第二象限内，・；0- JI -arctan — .12・：〃点坐标为(13, n -arctan — ).12活学巧用7T 71【例1】已知两点的极坐标水3, —)、〃(3,—),贝i\AB\ =,昇〃与极轴正方向所成2 6的角为_______ .,即为正三角形.答案：3 —6点评：在极坐标系中，点A(Q1, ”1)、P2I P 2, 0 P \、。

高中数学第一讲坐标系二极坐标系学案含解析新人教A版

二极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x(1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)(k ∈Z)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)．(2)由P ，Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)，所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ) 或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)．设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：(1)点A 关于极轴的对称点； (2)点A 关于直线l 的对称点；(3)点A 关于极点的对称点．(规定ρ>0，－π＜θ≤π)．解：如图所示：(1)点A 关于极轴的对称点为B⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3.(2)点A 关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3. (3)点A 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π3. 2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈)．解：作出图形，可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.(1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．依据极坐标与直角坐标互化的公式解题． (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析：选B 点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴的夹角为3π4.4．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2.y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋－2＝22，tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0，∴ρ＝15，θ＝3 π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 课时跟踪检测(二)一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和N B ．M 和G C ．M 和H D ．N 和H解析：选A 由极坐标的定义知，M ，N 表示同一个点． 2．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5) D ．(－5，－5)解析：选A x ＝ρcos θ＝10cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题5．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________．解析：如图，易知对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π 6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________.解析：|AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12，所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以22＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0. 解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝32＋32＝2 3.tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3. (2)ρ＝－2＋－2＝2，tan θ＝1.又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)ρ＝－2＋02＝3，画图可知极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6， ∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.。

高中数学第一讲坐标系 1.2 极坐标系学案(无答案)新人教A版选修4-4(2021年整理)

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§1。

2极坐标系三维目标:知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别,能进行极坐标和直角坐标间的互化.过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；根据极坐标与直角坐标的特点和三角函数的概念,实现极坐标和直角坐标间的互化情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活又服务于生活，体会数学的应用价值，激发学生的学习数学的热情。

教学重难点:重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。

知识梳理：一、极坐标系的概念1.引入：阅读课本P9页的“思考”,并回答提出的问题答1）：答2）:2.你是否注意到在以上问题中，用“距离"和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为，并以某个方向作为参照。

3。

极坐标系的概念:1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴; 再选定一个长度单位，一个角度单位（通常用弧度）及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

(部编版)2020学年高中数学第一章坐标系1.2极坐标系学案新人教B版选修6

1.2 极坐标系[对应学生用书P4][读教材·填要点]1．平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．(2)点的极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．2．极坐标与直角坐标的关系(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标和直角坐标的变换公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x[小问题·大思维]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2n π)或(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(其中n ∈Z )．2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M (ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M 的极坐标为(ρ，θ)，则M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．[对应学生用书P5][例1] 已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6，求P 点的新坐标．[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析] (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即|O ′P |＝2.∴|OP |2＝|OO ′|2＋|O ′P |2， ∠OO ′P ＝π2.∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3.∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴的对称点是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6[例2] 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) [思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可． [精解详析] (1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋－2＝22，tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2.(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.(2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3.[例3] △ABC 的顶点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6，C ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积； (3)求△ABC 的边AB 上的高．[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．[精解详析] ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3，∠COA ＝4π3－7π6＝π6.(O 为极点)(1)∵|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝42＋62＝213. |BC |＝|OB |2＋|OC |2－2|OB |·|OC |cos ∠BOC ＝213，|AC |＝|OA |2＋|OC |2－2|OA |·|OC |cos ∠AOC ＝45－2 3.∴△ABC 是等腰三角形． (2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝123， S △C OA ＝12|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △C OA －S △AOB ＝123－4. (3)设AB 边上的高为h ，则h ＝2S △ABC |AB |＝243－8213＝1239－41313.对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2c θ1－θ2求得；也可以把A ，B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d ＝x 1－x 22＋y 1－y 22求得，极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，求第三个顶点C 的坐标．解：由题设知，A ，B 两点关于极点O 对称．又|AB |＝4，所以由正三角形的性质知，|CO |＝23，∠AOC ＝π2，从而C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.[对应学生用书P6]一、选择题1．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6 解析：选B 与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z )，只有选项B 满足．2．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6，则△AOB 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B 由题意知∠AOB ＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故选B.3．已知A ，B 的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.18＋62 B.18－62C.36＋322D.36－322解析：选C A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6.在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，所以，由余弦定理，得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝18＋93＝92(1＋3)2.∴|AB |＝36＋322.4．已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，()1，3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3，()1，－3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3，(－1，3) D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3，(－1，－3) 解析：选D 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3＋π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，且x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin －⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin π3＝－3，所以选D.二、填空题5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )．依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2. ∴y ＝θ＝0，ρ>0.∴M (ρ，0)．答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π37．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标________________．解析：∵ρ＝ x 2＋y 2＝－2＋32＝4，tan θ＝y x ＝23－2＝－3，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )三、解答题9．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．解：如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π3，关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3，关于极点O 的对称点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2π3. 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y .解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∴点P 的直角坐标为(3，－3)． ρ＝32＋－32＝23，tan θ＝－33.∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6.∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6. 11．在极轴上求与点A (42，π4)的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以22＋r 2－82r ·cos π4＝5.即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．。

湖南省蓝山二中高二数学《第一讲坐标系二、极坐标系》教案新人教A版

湖南省蓝山二中高二数学?第一讲坐标系二、极坐标系?教课设计新人教A 版知识与技术：经过本节知识的学习，使我们对极坐标的定义有一个明确的认识，认识极坐标在平时生活中的作用，能在极坐标系中，用极坐标刻画点的地点特点，会在极坐标系中描出相应的点，把那个会写出而点的极坐标，进一步理解点与极坐标的关系 .理解极坐标系与平面直角坐标系的联系与差别，会把极坐标化为平面直角坐标系，及把平面直角坐标化为极坐标，面认识二者之间的转变关系，把极坐标作为我们解决数学识题、认识客观世界的一种重要工具.全感情、态度与价值观：经过本节知识的学习，使我们在实质应用中认识极坐标的作用及应用极坐标来描绘实质问题的方便性及适用性，认识极坐标的相关观点，及合理成立极坐标系，学会用极坐标表示平面上的点，领会用极坐标刻画平面上的点的地点与从前学习过的平面直角坐标系的差别，会用两种方法来描绘平面内的点，并掌握坐标与直角坐标的变换公式，理解在规定了极径 >0,极角0≤＜2 以后，极坐标也与平面直角坐标同样，与平面内的点拥有一一对应的关系.教课过程：1.极坐标系的观点实验楼图书室.假定某同学在教课楼处，请回复以以下图是某校园的平面表示图以下问题：D C他向东偏北60o方向走120m 后抵达什么地点？该地点唯一确立吗？(2)假如有人探询体育馆和办公楼的地点，他应怎样描绘？办公楼120mE 45o60o50m AB教课楼 60m 体育馆在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位〔往常取弧度〕及其正方向〔往常取逆时针方向〕，这样就成立一个极坐标系.M(,)一般地，不作特别说明时，我们以为≥0，可取随意实数.O x 例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点D(2,)，3)，F(3.5,5)所在的地点？6E(4,4322335BE66DA27F1164C63533例2.2在图中，用点A，B，C，D，E分别表示教课楼，体育馆，图书室，实验楼，办公楼的地点.成立适合的极坐标系，写出各点的极坐标.D CE 45o120m603m60o50m60m B x A(O)思虑在极坐标系中，(4,)，(4,2)，，(4,2)表示的点有什么6(4,4)666关系？你能从中领会极坐标与直角坐标在刻画点的地点时的差别吗？小结极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不一样，平面内一个点的极坐标有无数种表示.假如规定＞0，＜≤2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标表示的点(,)也是唯一确立的.极坐标与直角坐标的互化平面内的一个点既能够用直角坐标表示，也能够用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取同样的长度单位.设M是平面内随意一点，它的直角坐标是 (x,y)极坐标是(,). 从以以下图能够得出它们之间的关系：x cos,y sin.①y由①又可获得下边的关系式：My2x 22,tany0)这就是极坐标与直角坐标的互化公式.O x N x y(xx例3.将点M的极坐标(5,2)化成直角坐标.3例4.将点M 的直角坐标 ( 3，1)化成极坐标 .讲堂练习241.写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标〔＞0，0≤＜25〕.6 CD ..B2E A4F G5332.中央气象台在2021年7月15日10︰30公布的一那么台风信息：今年第 9号热带风暴“圆规〞的中心今日上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大概 440公里的南海东北部海面上，中心邻近最狂风力有9级.请成立适合的坐标系，用坐标表示出该台风中心的地点.3.在极坐标系中，两点A(3,),B(1,2)，求A，B两点间的距离.33课后作业1.设点A(2, )，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A对于极轴、直线l、极3点的对称点的极坐标(限制>0，－＜≤).2.教材习题第4、5题.。

高中数学第一章坐标系1.2.1极坐标系的的概念教案新人教A版选修4_

极坐标系的的概念教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。

）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

2019-2020学年高中数学《空间直角坐标系》学案新人教A版必修2.doc

2019-2020学年高中数学《空间直角坐标系》学案新人教A 版必修21.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标3.知道几何问题可通过空间直角坐标转化为代数问题求解。

【重点难点】教学重点：空间的点与空间坐标的转化.教学难点：空间直角坐标的建立过程，了解空间直角坐标系的作用.【使用说明及学法指导】1．先速读一遍教材P 134—P 136，再结合“预习案”进行二次阅读并回答，时间不超过10分钟．2．本课必须记住的内容：写出空间点的坐标，根据坐标在空间找点的方法。

预习案一、知识梳理1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样的坐标系叫做空间直角坐标系，点O 叫做坐标原点，叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面.2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M ，作出M 点在三条坐标轴Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，则把有序实数组叫做M 点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点M 的横坐标，叫做点M 的纵坐标，叫做点M 的竖坐标.4. 在xOy 平面上的点的坐标都是零，在yOz 平面上的点的坐标都是零，在zOx 平面上的点的坐标都是零；在Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是，在Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是，在Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是。

二、问题导学1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3.怎么样建立空间直角坐标系？什么是右手表示法？三、预习自测1. 坐标原点O 的坐标是什么？2. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同3. 在长方体OBCD D A B C ''''-中，3,4OA OC ==， 2.OD '=写出,,,D C A B '''四点坐标.4.已知(2,3,4)M -，描出它在空间的位置。

人教版2019学年高中数学第一讲坐标系二第一课时极坐标系的概念学案新人教A版选修4_4

第 1 课时极坐标系的见解学习目标 1. 认识极坐标系的本质背景.2.理解极坐标系的见解.3.理解极坐标的多值性．知识点极坐标系思虑1 某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1 公里处，那么他说的地址能独一确定吗？这个地址是由哪些量确定的？答案能独一确定；地址是由角和距离两个量确定的．思虑 2类比平面直角坐标系，怎样成立用角与距离确定平面上点的地址的坐标系？答案选一个点 O为基点，射线OA为参照方向．梳理极坐标系的见解(1)极坐标系的定义①取极点：平面内取一个定点 O；②作极轴：自极点 O引一条射线 Ox；③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位 ( 平常取弧度 ) 及其正方向 ( 平常取逆时针方向 ) ．(2)点的极坐标①定义：有序数对( ρ，θ ) 叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)；②意义：ρ＝| OM|，即极点O与点 M的距离(ρ ≥0)．θ＝∠ xOM，即以极轴O x为始边，射线OM为终边的角．种类一由极坐标画出点例 1依照以下极坐标作出各点．(1)A 1，π， B2，π， C3，π；333ππ2ππ(2)D2，6， E2，2， F2，3，G2，－3.解如图，反省与感悟由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的地址．通过作点能够看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”．追踪训练1依照以下极坐标，作出各点．A(5,0)， B 3，π4，3π，D2，－3π.6， C22解在极坐标系中，点A， B， C， D的地址是确定的．种类二求点的极坐标例 2设点 A 2，π分别求点 A 对于极轴，直线3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，l ，极点的对称点的极坐标( 限制ρ >0，－π <θ ≤π ) ．解以以下列图，对于极轴的对称点为 B 2，－π3.对于直线 l 的对称点为 C 22π，.3对于极点 O的对称点为 D 2，－2π. 3引申研究1．若将极角θ 限制为0≤ θ <2π ，求例2中的点的极坐标．5π2π4π解 B2，3，C2，3，D2，3.2．若将极角θ改为θ∈ R，求例 2 中的点的极坐标．解 B2，5π＋ 2kπ，C 2，2π＋ 2kπ，D 2，4π＋ 2k π ( k∈ Z) ．333反省与感悟(1)设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M点对于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ ) 或 ( ρ，θ＋π) ；M点对于极轴的对称点的极坐标是( ρ，－θ ) ；M点对于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是( ρ，π－θ )或( －ρ，－θ ) ．(2)点的极坐标不是独一的，但若限制ρ >0,0 ≤ θ <2π，则除极点外，点的极坐标是独一确定的．(3) 写点的极坐标要注意次序，极径ρ 在前，极角θ 在后，不能够颠倒次序．ππ追踪训练2在极坐标系中，点 A 的极坐标是3，6，求点A对于直线θ ＝2的对称点的极坐标 ( 规定ρ >0，θ∈ [0,2 π )) ．ππ5π解作出图形，可知 A 3，6对于直线θ＝2的对称点是3，6.种类三极坐标系中两点间的距离例 3在极坐标系中，点O为极点，已知点A6，π，B6，2π，求 || 的值．63AB2πππ解如图∠ AOB＝3－6＝ 2，∴△ AOB为直角三角形，∴ | AB| ＝|OA|2 ＋ |OB|2 ＝ 6 2.引申研究在本例条件不变的状况下，求AB的中点的极坐标．解取 AB的中点 M，连结 OM，π在△ AOB中，∠ AOB＝2， OA＝ OB，∴∠ AOM＝π，∴∠ xOM＝ππ5π44＋6＝12.π又 | OM|＝6×cos ＝ 3 2， 45π∴ M的极坐标为 3 2，12.反省与感悟在极坐标系中，若是P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝错误 ! 的两种特别状况为①当θ 1＝θ 2＋2kπ ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ 1－ρ 2|；②当θ 1＝θ 2＋π ＋2kπ，k∈ Z时，|P1P2|＝ | ρ1＋ρ2|.追踪训练3(1) 在极坐标系中，已知两点P3，2π3π，Q4，6，则线段PQ 的长度为________．答案5剖析作出图形，以以下列图，可知OP与OQ垂直，所以线段PQ的长度|PQ|＝32＋ 42＝5.5π5π7π(2) 在极坐标系中，若△ABC的三个极点为 A 5，2， B8，6，C3，6，判断三角形的形状．2225π5π解由于|AB| ＝5＋8－2×5×8×cos2－6＝ 49，| AC | 2＝ 52＋ 32－2×5×3×cos 5π － 7π ＝ 49，2 6 | BC | 2＝ 82＋ 32－2×8×3×cos5π －7π ＝ 49.66所以△ ABC 是等边三角形．1．极坐标系中，以下与点 (1 ，π ) 相同的点为 ()A ．(1,0)B ． (2 ， π )C ．(1,2016 π)D ． (1,2017 π )答案D2．点 M 的直角坐标是 ( － 1，3) ，则点 M 的极坐标为 ()A. 2， πB. 2，－ π33 C. 2，2ππ 3D. 2， 2k π ＋ ( k ∈ Z)3答案C3．在极坐标系中，与点 3，－ π对于极轴所在直线对称的点的极坐标是()3A. 3， 2πB. 3，π33C. 3， 4πD. 5π33， 3答案 B剖析依照极坐标的对称关系知，点3，－ π对于极轴所在直线对称的点的极坐标是3π3，3 .4．在极坐标系中，已知 A 1， 3π， B 2， π44 两点，则 | AB | ＝ ________. 答案5|AB |＝ 12＋ 22－2×1×2cos3π π＝ 5.剖析4－41．极坐标系的四要素①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不能．2．在极坐标系中找点的地址，应先确定极角，再确定极径，最后确定点的地址．3．确定点的极坐标的方法点 P 的极坐标的一般形式为( ρ，θ＋ 2kπ ) ，k∈ Z，则(1)ρ为点 P到极点的距离，是个定值．(2) 极角为知足θ ＋2kπ ，k∈ Z的随意角，不独一，其中θ 是始边在极轴上，终边过OP的随意一个角，一般取绝对值较小的角．一、选择题1．在极坐标系中，以下与点11πM5，－重合的点的极坐标是 () 6A. 5，－πB.5，7π66 5π13πC. 5，－6D.5，6答案D剖析11π重合的点的极坐标可表示为π与点 M 5，－5，＋2kπ ( k∈Z) ，应选 D.662．极坐标系中，极坐标2，4π)对应的点在 (3A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C4π剖析由于极坐标 2，3对应的点的极径大于0，极角的终边在平面直角坐标系中的第三象限，所以点在第三象限．π3．在极坐标系中，已知点A(4,1)， B 3，1＋2，则线段 AB的长度是()π 2A．1B.1＋4 C．7D．5答案Dπ剖析设极点为 O ，由于点 A (4,1) ， B 3，1＋ 2 ，所以 OA ⊥ OB ，所以 AB ＝OA2＋ OB2＝5.π3π4．已知极坐标系中，点 A 2，2 ， B2， 4，若 O 为极点，则△ OAB 为 ()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰锐角三角形D ．等腰直角三角形答案 D剖析由题意，得∠＝ π，AOB 4|AB |＝错误!＝错误!，所以 | OB | 2＋| AB | 2＝| OA |2且| AB | ＝| OB |＝ 2，故△ OAB 为等腰直角三角形．π2π5．在极坐标中，已知点 P 2， 6 ，Q 2，3 ，则线段 PQ 的中点 M 的一个极坐标为 ()A. 2， πB. 2，π33C. 2， 5πD.5π122， 12答案D2π ππ剖析以以下列图， | OP | ＝ | OQ |＝2，∠ POQ ＝3－ 6＝2，则| PQ | ＝2 2，1| OM |＝2| PQ |＝ 2，∠ xOM ＝ π ＋π＝5π，4612所以点的一个极坐标为5π2，.M 126．已知极坐标系中，极点为 O ，若等边三角形 ABC (极点 A ， B ， C 按顺时针方向排列 ) 的极点 A， B的极坐标分别是2，π2，7π6，6，则极点 C的极坐标为()A. 2πB. 2π3，2，64C. 22πD. 22π3，2，33答案C剖析以以下列图，由于点A 2，πB2，7π为中点，，，故极点66O AB故等边△ ABC的边长| AB|＝4，则 CO⊥ AB，| CO|＝23，则点 C的极坐标为2 3，π＋π，即2 3，2π.6 23二、填空题7．在极坐标系中，若两点A，B 的极坐标分别为3，π，4，π，则△ AOB(其中 O为极36点 ) 的面积为 ________．答案 3π剖析由题意知，∠ AOB＝6，AO＝3， OB＝4，所以△ AOB(其中 O为极点)的面积为1π2×3×4×sin 6 ＝3.8．已知在极坐标系中，极点为O,0≤ θ<2π， M 3，π，在直线 OM上与点 M的距离为43的点的极坐标为 ________．π4π答案7，3或1，3剖析在射线 OM上符合条件的点为7，π，3在射线 OM反向延伸线上符合条件的点为4π. 1，3π9．在极坐标系中，过点P 2，3作极轴的垂线，垂足为M，则点M 的一个极坐标为__________ ．答案(1,0)剖析以以下列图，在极坐标系中，点P 的极坐标为2，π，3ππ则 | OP| ＝ 2，∠xOP＝3. 由题意，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则| OM|＝| OP|cos3＝1，故点M的一个极坐标为 (1,0) ．10．已知在极坐标系中，△AOB为等边三角形，A 2，7π6，若ρ ≥ 0，θ∈ [0,2 π ) ，则点B的极坐标为________________________________________________________________________ ．3π5π答案2，2或2，6π剖析设 B(ρ，θ)，由∠ AOB＝3，得θ －7π6＝±π3＋ 2kπ，k∈ Z，7ππ即θ＝6±3＋ 2kπ，k∈ Z.由 | OA| ＝ 2，得ρ＝ 2，3π5π又由于θ ∈[0,2 π ) ，所以θ＝2或6 .所以点 B 的极坐标为3π5π. 2，或 2，26三、解答题11．在极坐标系中，分别求以下条件下点M 3，π对于极轴的对称点′的极坐标．3M(1)ρ ≥ 0，θ∈ [0,2 π) ；(2)ρ ≥ 0，θ∈ R.解(1) 当ρ ≥ 0，θ∈ [0,2 π) 时，点M 3，π对于极轴的对称点M′的极坐标为35π3，3.(2) 当ρ ≥ 0，θ ∈ R 时，点M 3，π3， 2kπ＋5π，3对于极轴的对称点 M′的极坐标为3k∈Z.12．在极坐标系中，已知△ABC的三个极点的极坐标分别为A 2，π2，π) ，3，B(5π.C 2，3(1)判断△ ABC的形状；(2)求△ ABC的面积．解(1) 以以下列图，由 A 2，π5π， B(2，π)，C 2，，33得| OA| ＝| OB|＝| OC|＝2，2π∠AOB＝∠ BOC＝∠ AOC＝3.∴△ AOB≌△ BOC≌△ AOC，∴ AB＝ BC＝ CA，故△ ABC为等边三角形．(2) 由上述可知，AC＝2OA sin π33＝2×2×2＝2 3.32∴△ ABC＝×(23) ＝3 3.S413．某大学校园的部分平面表示图如图：用点 O， A，B， C， D，E， F， G分别表示校门，器材室，操场，公寓，授课楼，图书馆，车库，花园，其中| AB| ＝ | BC| ，| OC| ＝ 600m，成立适合的极坐标系，写出除点的极坐标 ( 限制ρ ≥ 0,0 ≤ θ <2π且极点为 (0,0))．解以点 O为极点， OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，成立极坐标系．B外各点π由 | OC| ＝ 600m，∠AOC＝ 6 ，∠OAC＝π2 ，得 | AC| ＝ 300m， | OA| ＝3003m，又 | AB| ＝ | BC| ，所以 | AB| ＝ 150m.同理，得 | OE| ＝ 2| OG|＝ 3002m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)， A(3003，0)，C 600，π300，π， E3002，3π， F(300，π)， G150 2，3π.6，D244四、研究与拓展14．已知两点的极坐标A 3，π， B3，π26，则 | AB| ＝ ____，AB与极轴正方向所夹的角为 ________．5π答案36剖析∵| AO|＝| BO| ＝3，π∠AOB＝3，∴| AB|＝3.5π∠ADx＝π －∠ ADO＝6.π15．已知定点P 4，3.(1) 将极点移至O′ 23，π处，极轴方向不变，求P 点的新坐标；6(2) 极点不变，将极轴顺时针转动π 角，求 P 点的新坐标． 6解 (1) 设 P 点新坐标为 ( ρ ， θ) ，以以下列图，由题意可知 |′|＝2 3， OO| | ＝4，∠ ＝ π ，OP POx 3 π π∠ O ′ Ox ＝ 6 ，∴∠ POO ′＝ 6 .2 2 2 π 在△ POO ′中， ρ ＝ 4 ＋(2 3) －2×4×2 3·cos 6＝ 16＋ 12－ 24＝ 4，∴ ρ ＝ 2.sin ∠OPO ′sin ∠POO ′ 又∵ 3＝， 2 2π sin 6 3 π∴ sin ∠ OPO ′＝2 ·23＝2 ，∴∠ OPO ′＝3 . π π π∴∠ OP ′ P ＝ π － 3 － 3 ＝ 3 ，2π 2π∴∠ PP ′ x ＝ 3 . ∴∠ PO ′ x ′＝ 3.2π ∴ P 点的新坐标为 2， 3 .(2) 如图，设 P 点新坐标为 ( ρ ，θ ) ，π π π则 ρ ＝ 4， θ＝ 3 ＋ 6 ＝ 2 .π∴ P点的新坐标为4，2.。

2019-2020学年高中数学 1.2.1极坐标系导学案新人教A版选修4-4.doc

2019-2020学年高中数学 1.2.1极坐标系导学案新人教A版选修4-4 【学习目标】1．会建立极坐标系，并会在极坐标下表示点。

2．能区别极坐标系和平面直角坐标系。

由平面内点的相对位置，引入极坐标系。

通过学习让学生了解到我们还可从另外一个角度去研究平面内点的位置。

探究案【情境链接】我们会在平面直角坐标系下表示点M的坐标，那么本节课我们来体会另一种方式表示点位置的方法。

【文本研读】学习了平面直角坐标系，我们可以在直角坐标系中表示任意一个点M，那么能不能从另外一个角度去研究平面内点的位置，我们想到了平面内点的相对位置，选定中心点O，那么任何一个点M都可以用它和点O的相对位置来表示，也就是极坐标系。

本节我们重点学习极坐标的建立和点M的表示。

【问题探究】问题一：极坐标系的建立步骤，请你建立并写出？问题二:极坐标系内点是如何规定的，请举例说明。

问题三：回答下面问题？①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？【实战演练】1.在极坐标系里描出下列各点2.在极坐标系中，描出点)3,2(πM，并写出点M的统一极坐标。

(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,) 365(6,)3A B CD E FGππππππ3. 已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,直线AB 与极轴正方向的夹角）（090≤为________.4．极坐标方程)0(22cos ≥=ρθ表示的曲线是（） A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线5．极坐标系中，点A 的极坐标是)6,3(π，则（1）点A 关于极轴对称的点是_______.(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是___. (3) 点A 关于直线2πθ=的对称点的极坐标是________.(规定: )0(>ρ[)πθ2,0∈X。

2019-2020年高中数学 1.2《极坐标系》教案新人教A版选修4-4

2019-2020年高中数学 1.2《极坐标系》教案新人教A 版选修4-4【基础知识导学】1．极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标可以取任意值。

2．平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。

3．极坐标系中，点M 的极坐标统一表达式。

4．如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。

【知识迷航指南】【例1】在极坐标系中，描出点，并写出点M 的统一极坐标。

【点评】点的统一极坐标表示式为，如果允许，还可以表示为。

【例2】已知两点的极坐标，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1),((2)X【解】(1)根据极坐标的定义,因为,所以方程表示直线.(2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:化为直角坐标方程为即,这是以(1,)为圆心,半径为的圆.【点评】①若没有这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为，，，，求它们的直角坐标。

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2019-2020学年高中数学第一讲坐标系 1.2 极坐标系学案新人教A 版选
修4-4
三维目标:
知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角
坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极
坐标的概念；根据极坐标与直角坐标的特点和三角函数的概念，实现极坐标和直角坐标间的互化
情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活又服务于生活，体会数学的应用
价值，激发学生的学习数学的热情。

教学重难点:
重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。

知识梳理：
一、极坐标系的概念
1.引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题
答1）：
答2）：
2.你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作
为，并以某个方向作为参照。

3.极坐标系的概念：
1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一
个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
2)如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；
以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；
有序实数对(,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ；
注：一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R
4.思考1）：在极坐标系中，（4，6
π），（4，26ππ+），（4，46ππ+），（4，26ππ-）表示的点有什么关系？你能体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？
思考2）：如果规定0ρ>，02θπ≤<，那么平面内的点与极坐标极是一一对应的吗？
5.极坐标系与直角坐标系的区别
平面直角坐标
二、极坐标与平面直角坐标的互化
1.引入：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，
应当如
何建立这两个坐标系呢？
2.极坐标与平面直角坐标的互化：
1）互化前提：与重合，与重合；取的单位长度
2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之间的关系： cos ,sin x y ρθρθ==--------（1）坐标化为坐标
222,tan (0)y x y x x ρθ=+=≠-----（2）
坐标化为坐标你能联想到过去所学的哪个知识？ .
典型例题：
例1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标
出点D(2，
6
π) ，E(4，34π) ， F(3.5，53π)所在的位置。

例2．在右图中，点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育馆，图
书馆，实验楼，办公楼的位置。

建立适当的极坐标系，写出各点
的极坐标。

例3.将点M 的极坐标（5，
23π）化成直角坐标。

例4.将点M 的直角坐标（-1）化成极坐标。

达标训练：
1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-
A ，)32,2(π
B ，),23(π
C ，求它们的直角坐标。

2.已知点的直角坐标分别为)32,2(),35,0(),3,3(---
C B A ，)3,1(-，求它们的极坐标。

3．极坐标系中，点A 的极坐标是)6,3(π
，则（1）点A 关于极轴对称的点是_______.
(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是_ __.
(3) 点A 关于直线2π
θ=的对称点的极坐标是________.(规定: )0(>ρ[)πθ2,0∈
4．在极坐标中，若等边∆ABC 的两个顶点是)4,2(π
A 、)4
5,2(πB ，那么顶点C 的坐标可能是（） )43,4.(πA )43,32(πB ),32.(πC ),3.(πD
5已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________. 6.已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标．
(1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点；
(2)点P 是点Q 关于直线θ＝π/2的对称点。