中考数学必考几何模型：手拉手模型

手拉手模型

模型 手拉手

如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝α． 结论：连接BD 、CE ，则有△BAD ≌△CAE ． 模型分析 如图①，

∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ． ∵∠BAC ＝∠DAE ＝α， ∴∠BAD ＝∠CAE ． 在△BAD 和△CAE 中， AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

﹐﹐

﹐ 图②、图③同理可证．

（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．

（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型． （3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现． 模型实例

例1 如图，△ADC 与△EDG 都为等腰直角三角形，连接AG 、CE ，相交于点H ，问： （1）AG 与CE 是否相等？

（2）AG 与CE 之间的夹角为多少度？

C

D

E

A

B

图①

C

D

E

A

B

图②

C

D

E

A

B

图③

C

G

H O

解答：

（1）AG ＝CE ．理由如下：

∵∠ADG ＝∠ADC ＋∠CDG ，∠CDE ＝∠GDE ＋∠CDG ，∠ADC ＝∠EDG ＝90°， ∴∠ADG ＝∠CDE ． 在△ADG 和△CDE 中， AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

﹐﹐

﹐ ∴△ADE ≌△CDE ． ∴AG ＝CE ． （2）∵△ADG ≌△CDE ，

∴∠DAG ＝∠DCE ． ∵∠COH ＝∠AOD ， ∴∠CHA ＝∠ADC ＝90°． ∴AG 与CE 之间的夹角是90°．

例2 如图，在直线AB 的同一侧作△ABD 和△BCE ，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，连接AE 、CD ，二者交点为H ．

求证：（1）△ABE ≌△DBC ； （2）AE ＝DQ ； （3）∠DHA ＝60°； （4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ； （6）连接GF ，GF ∥AC ； （7）连接HB ，HB 平分∠AHC ．

证明：（1）∠ABE ＝120°，∠CBD ＝120°， 在△ABE 和△DBC 中， BA BD ABE DBC BE BC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

﹐﹐

﹐ ∴△ABE ≌△DBC ． （2）∵△ABE ≌△DBC ， ∴AE ＝DC ．

（3）△ABE ≌△DBC ， ∴∠1＝∠2． ∴∠DGH ＝∠AGB ．

C

D

E F

G

H

A

B

∴∠DHA ＝∠4＝60°．

（4）∵∠5＝180°－∠4－∠CBE ＝60°， ∴∠4＝∠5． ∵△ABE ≌△DBC ， ∴∠1＝∠2． 又∵AB ＝DB ，

∴△AGB ≌△DFB （ASA ）．

（5）同（4）可证△EGB ≌△CFB （ASA ）． （6）如图①所示，连接GF ． 由（4）得，△AGB ≌△DFB ． ∴BG ＝BF ． 又∵∠5＝60°，

∴△BGF 是等边三角形． ∴∠3＝60°． ∴∠3＝∠4． ∴GF ∥AC ．

（7）如图②所示，过点B 作BM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥AE 于点N ． ∵△ABE ≌△DBC ， ∴S △ABE ＝S △DBC ． ∴

12×AE ×BN ＝1

2

×CD ×BM ． ∵AE ＝CD ， ∴BM ＝BN ．

∵点B 在∠AHC 的平分线上． ∴HB 平分∠AHC ．

跟踪练习：

1． 在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF ． （1）求证：BE ＝BF ；

（2）若∠CAE ＝30°，求∠ACF 度数．

答案：

（1）证明：∠ABC ＝90°． 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，

C

D

E F

G H

A

B 5

1

2

3

4

图①

C

D

E

H

A

B

N

M

图②

C

E

F

A

B

CF AE AB CB =⎧⎨

=⎩

﹐

﹐ ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）． ∴BE ＝BF ．

（2）∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°． ∴∠CAE ＝30°．

∴∠BAE ＝45°－30°＝15°． ∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°．

∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠BCA ＝15°＋45°＝60°．

2．如图，△ABD 与△BCE 都为等边三角形，连接AE 与CD ，延长AE 交CD 于点H ．

求证：（1）AE ＝DC ； （2）∠AHD ＝60°；

（3）连接HB ，HB 平分∠AHC ．

答案：

（1）∵∠ABE ＝∠ABD －∠EBD ，∠DBC ＝∠EBC －∠EBD ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°， ∴∠ABE ＝∠DBC ． 在△ABE 和△DBC 中， AB DB ABE DBC BE BC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

﹐﹐

﹐ ∴△ABE ≌△DBC ． ∴AE ＝DC ．

（2）∵△ABE ≌△DBC ， ∴∠EAB ＝∠CDB ．

又∵∠OAB ＋∠OBA ＝∠ODH ＋∠OHD ， ∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°．

（3）过B 作AH 、DC 的垂线，垂足分别为点M 、N ． ∵△ABE ≌△DBC ，

C

D

E

H

A

B