工程力学例题

G P B
F Bx
F By
x
*求约束力的步骤。 *投影轴的设置，矩心的选取，方法的多样性。 *中间量的引用，负值的意义。
例4 - 4 一端固定的悬臂梁长 AB l，所受载荷如图，求固 定端约束力。
解： 1)以梁AB为对象，主动力 F、M， Fq ql为均布载荷的合力。固 定端约束 FAx、FAy、M A。平面一般力系。
C r B E
45°
C
A
r B
E
45°
A N Ax N Ay N Dx
0.5m
0.5m
D
W
0.5m
0.5m
D N Dy
分析 整体： M A (F ) 0, 求得NDx , Fx 0, 求得N Ax后拆分。
W' r B W E A N Ax N Ay
N Dx D N Dy W '' C E
数值都是相同的。故一 般取受力简单的一侧。
3F A
3F A
3F A
2 2
2 2
F B
F B
1 1
1
2F 3 C
3
2F D
F N1
1
2
F N2
2
3F A
2 2
F B
1 1
2F 3 C
3
F N3
3
F N3
3
2F D
* 不论取截面哪一侧为对 象，只要内力画在正方 向，求得内力的代
例补7 1 直杆AD受力如图。F1 16kN、F2 10kN、F3 20kN，分别作用在 A、 B、C截面，画直杆 AD轴力图。 解： 1)求约束力 Fx 0 FD F3 F2 F1 0 FD 14kN
解： 先以整体为对象，受力 如图。 4个外约 束力，无一可解出。 可取AC、CE为分离体，很明显 CE上3未知 量，少于AC，且可解。故先以 CE为对象。
ME 0 ql 3l l FCy M 0 4 8 2
F A B D
l 8 l 8 l 4
q M E C
l 4 l 4
45°
* CD段若取3 3截面以右为对象， Fx 0 F1 F2 F3 FN3 0 FN3 14kN
再以整体为对象， Fy 0, N Ay N Dy W 0 N Dy W N Ay 1 ( 1) 2kN
*复杂问题可先确定方案，即选对象的顺序、列方程的顺序，再实施方案。
*滑轮、绳索受力分析；代入中间量时原来的“+、-”号不能变
例4 - 8 组合梁由AC、CE铰链连接, 载荷和支承如图。 l 8m, F 5kN, q 2.5kN / m，M 5kN m。求支座A、B、E及中间铰C处的约束力。
F Ax A F Ay
2a
q C P
4a
M B
FB
4aFB M 2aP 2aq a 0
*力偶投影、求矩的计算 *均布载荷投影、求矩的计算
*列写方程的顺序
例4 - 5 一重物W 1.8kN如图悬挂，各构件重量 不计，求A、C两处 铰链约束力。
解： 1)以整体为对象，绳拉力 等于重物重量。 A处固定铰支座、 C处受二力杆的反作用力 。
解： 起重机平衡时，须有向 上的轨道反力存在。 以起重机为对象，分别 考虑满载和空载情况。 解 除约束，作出其受力图 ，平面平行力系。
W a A
FA
e C W1 B b
FB
l P
满载时P 250kN，可能右倾。若要平衡 须左轮FA 0 M B (F ) 0
FA
(a b)W bFA eW1 lP 0
F A B F Ax D FB F Ay
q M E C
45°
FE
lq FE cos 45 0 2
lq FAy F FB FE cos 45 2.5kN 2
* 分离整体后，应优先选 取未知量少的对象。 * 分布载荷连续作用在几 个结构上时，取分离体 同时应分离载荷。
例7 - 1 杆件在A、B、C、D各截面处作用有外力如 图。求1 - 1、 2 - 2、 3 - 3横截面处的轴力。
F B x
F Ax A F Ay
l/ 2
FAy Fq F ql F
*固定端约束力的画法。 *均布载荷的简化和应用。 *力偶的投影和求矩。
例补4-2 均质水平梁AB重P，AC段受均布载荷作用，载荷集度为 q。BC段受力偶矩M=Pa的力偶作用。求A、B处支座反力。
解： 1)以梁AB为对象，解除约束画对 象 受力图。 (正常的坐标轴可不画出 )
F Ax F Ay A
200 100 300
C D A
200 100 300 45°
B
W
FT D
FC C
45°
B
W
*以整体为对象，可列 3平衡方程，恰能解 3约束力。 * 识别二力构件很关键； 还可列一元方程 M A 0。
例4-6 起重机重W1=500kN，起吊最大载荷P=250kN。a=6m, b=3m, l=10m, e=1.5m。欲使满载时不右倾，空载时不左倾，试确定平衡重W之值。
AB及滑轮： M E 0, 求得N Ay , 整体： Fy 0, 求得N Dy 或，CD： M E 0, 求得N Dy， 整体： Fy 0, 求得N Ay
解： 先以整体为对象， M A 0, 0.5 N Dx 1.2W 0 1.2W 1.2 1 N Dx 2.4kN 0.5 0.5 Fx 0, N Ax N Dx 0 N Ax N Dx (2.4kN) 2.4kN
C r B E
45°
A N Ax N Ay N Dx
再以AB及滑轮为对象， M E 0, 0.5N Ay 0.7W 0.2W 0 N Ay 0.2W 0.7W W 1kN 0.5
W
0.5m
0.5m
D N Dy
W' r B W E A N Ax N Ay
O
y B O
y B O A x FR
y
y Fy F1 F3 2 F FR
F1 B F2 A F3 F4 x
a a M A M A ( F ) F1 F4 Fa 2 2
A MA x F'R
1)向B点简化， 同前， 主矢FR a a F4 F3 0 2 2 ，通过B点。因此，简化至合力 故合力FR FR 作用线上 M B M B (F ) 任一点结果都是合力 FR。
例补4-1 小型起重机自重G=5kN，起吊重量P=10kN。求轴承A、 B处的约束力。
解： 1)以整个系统为对象，解 除约束，画对象 受力图，平面一般力系 。坐标设置如图。
A
FA
5m
1m
y
3m
D C
2)列方程，解方程 (平面力系可列 3个独立方程) Fy 0 M B (F ) 0 FBy G P 0 5 FA 1G 3P 0 FBy G P 15kN G 3P 5 3 10 FA 7kN 5 5 Fx 0 FBx FA 0 FBx FA (7) 7kN
FD
D
3 3
C F 3 2 B F 2 1 A F1
2
1
F N1 1 A F1
2)计算轴力 分为AB, BC, CD三段，在各 段任取1 1 ， 2 2， 3 3截面，用截面法。
1
AB段，取1 1截面以右为对象， Fx 0 Fx 0 Fx 0 F1 FN1 0 FN1 16kN
aW bFB (b e)W1 0
(b e)W1 aW 令FB 0 (b e)W1 aW 0 b (b e)W1 (3 1.5) 500 故 361 kN W 375kN W 375kN a 6
例补4-3 杆AB、CD在E处铰接，重物W=1kN，通过滑轮悬挂在C点。 滑轮半径r=0.2 m，求A、D支座反力。
F A B F Ax D FB F Ay
q M E C
45°
FE
q M E FCx C FCy.54kN，再以整体为对象，
Fx 0 MA 0
FAx FE sin 45 0
F A B D
l 8 l 8 l 4
q M E C
l 4 l 4
45°
解： 按截面法截、取、代、 平的步骤。 取1 - 1截面以左， Fx 0 FN1 F 3F 0 FN1 4 F
取2 - 2截面以左， Fx 0 FN2 3F 0 FN2 3F 取3 - 3截面以左， Fx 0 FN3 2F F 3F 0 FN3 2F * 若取3 - 3截面以右， Fx 0 2F FN3 0 FN3 2F
FD
F N2 2 B F 2
D 3 F N3 3
A F1
2
BC段，取2 2截面以右为对象， F1 F2 FN2 0 FN2 6kN FD FN3 0 FN3 14kN CD段，取3 3截面以左为对象，
F N3 3
3
C F3
B F2
A F1
16kN FN 6kN + x 14kN
q M A
F B
2)可列3个方程 MA 0 M A M lF Fq l / 2 0 M A M lF Fq l / 2 M lF ql2 / 2 Fx 0 Fy 0 FAx 0 FAy Fq F 0
MA
y
M
Fq C