离散数学环与域

∴<N6,+6,×6>是含零因子环，其中2和3是零因子 ∴ <Nk,+k,×k>要根据k的具体值来确定是否是含零因子环
❖ 特殊环：整环
定义3: <R,+,•>是代数系统，若满足
(1) < R,+>是阿贝尔群（交换群） (2) < R,•>是可交换独异点，且无零因子 (3) 运算•对运算+是可分配的
(1) <A,+>是阿贝尔群 (2) <A-{},•>是阿贝尔群 （ 是加法幺元、乘法零元） (3) 运算•对运算+是可分配的 则称<A,+,•>为域。 即：<A,+,•>是域，|A| >1， <A-{},•>中含幺元，可交换， A-{}中每个元素有乘法逆元。
例：<R,+, •>是域：<R,+>是阿贝尔群；<R-{0},•>是阿贝尔群 < I,+, • >不是域，∵<I-{0}, • >不是群， 例如2 I-{0}，但在<I-{0}, • >中，2没有逆元，1/2I-{0}
(1) a • = • a = （环中的加法幺元是乘法零元） (2) a • (- b) = (- a) • b = - (a • b) (3) (- a) • (- b) = a • b (4) a • (b - c) = a • b - a • c (5) (b - c) • a = b • a - c • a 其中： 是加法幺元，- a 是 a 的加法逆元，
∴ a - b = ∴a = b
左消去律成立Baidu Nhomakorabea同理可证右消去律成立；
(2) 若消去律成立，则无零因子（反证法）
假设存在零因子 a、b，即a ≠ ，b ≠
有a • b = = a • ，由消去律得b = ，与b ≠ 矛盾，
∴假设错 ∴若消去律成立，则无零因子
❖域
定义4： <A,+,•>是代数系统，若满足：
则称< R,+,•>为整环。（即：可交换的含幺元的无零因子环）
几种环之间的继承关系：
环
交换环
含幺环
无零因子环
整环
❖ 特殊环
定理5-9.2：整环<A,+,•>中的无零因子条件等价于乘
法消去律。
证明：(1) 若无零因子，则有消去律
若无零因子并设c ≠ 且c • a = c • b，则有
c • a - c • b = ，∴ c • ( a - b ) =
(2) a • (- b) = (- a) • b = - (a • b)
a • (- b) + a • b = a • (-b + b) = a • = 同理 a • b + a • (- b) = ∴ - (a • b) = a • (- b)；同理 - (a • b) =(- a) • b
a -1 是 a 的乘法逆元， a + (- b)记为 a – b
❖环的性质
环的性质：<A,+,•>是环，则对a,b,c A，有：
(1) a • = • a = (2) a • (- b) = (- a) • b = - (a • b) (3) (- a) • (- b) = a • b
证明：(1) • a =a• = + • a = • a = ( + ) • a = • a + • a 由消去律，得 = • a ，同理可得 a • =
离散数学
❖ 代数系统
1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 子群与陪集 5 同态与同构 6 环与域
❖环
定义1:设<R,★, * >是含2个二元运算的代数系统, 若： (1) <R, ★ >是阿贝尔群； (2) <R, * >是半群； (3) 运算*对★是可分配的； 则称<R, ★, * >是环。
使a•b= ，则称a和b为零因子，而称<A,+, • >是 含零因子环；否则称<A,+, • >是无零因子环。
❖ 特殊环
例题1：代数系统<Nk,+k,×k>是环，Nk={0,1,…,k-1}， +k和×k是模k加法和乘法运算，是否含零因子环。
解：k=5时，N5={0,1,2,3,4}，0是×k零元 a ≠0,b≠0，a×5 b = (a • b) mod 5 ∵a • b ≠ 5的倍数，∴a×5b≠0，∴<N5,+5,×5>是无零因子环 k=6时，N6={0,1,2,3,4,5}， ∵ 2 N6 ，3 N6 ，2 ×6 3 = (2 • 3) mod 6 = 0 而2 ≠0，3 ≠0
证明：
(4) a • (b - c) = a • b - a • c a • (b - c) = a • (b +(- c)) = a • b + a •(-c) =a•b-a•c
(5) (b - c) • a = b • a - c • a 证法同(4)
❖ 特殊环
定义2: <A,+, • >是环： (1) 若<A, • >是交换半群，则称<A,+, • >是交换环； (2) 若<A, • >是含幺半群，则<A,+, • >是含幺环； (3) 若A中存在两个非零元素a和b， a ≠ ,b≠ ，
(3) (- a) • (- b) = a • b 由(2) (- a) • (- b) = -(a • (- b) ) = -(- (a • b)) = a • b
❖环的性质
环的性质：<A,+,•>是环，则对a,b,c A，有：
(4) a • (b - c) = a • b - a • c (5) (b - c) • a = b • a - c • a
❖ 上节回顾
定义1:设<A,★, * >是含2个二元运算的代数系统, 若： (1) <A, ★ >是阿贝尔群； (2) <A, * >是半群； (3) 运算*对★是可分配的； 则称<A, ★, * >是环。
通常把第1个运算 ★ 称为“加法”； 第2个运算 * 称为“乘法”。
通常把第1个运算 ★ 称为“加法”； 第2个运算 * 称为“乘法”。
❖环
如：以下代数系统都是环：
< I,+, • >，其中 I:整数集， +、•是加法和乘法 <Q,+, •>，其中 Q:有理数集， +、•是加法和乘法 <R,+, •>，其中 R:实数集， +、•是加法和乘法
❖环的性质
环的性质：<R,+,•>是环，则对a,b,c R，有：