离散数学环与域
离散数学刘任任版课后习题答案 习题21《环与域》
《离散数学》刘任任（第二版）习题答案第21章 环与域1、设实数集R 中的加法是普通的加法，乘法定义如下：R ∈=⨯b a b a b a ,,||试问R 是否构成环？解：不构成环。
因这里乘法对加法不满足分配律。
例如()()-+⨯=-⨯=-⋅=21212122而 ()-⨯+⨯=-⋅+⋅=2212221262. 设整数集Z 中的加法是普通数的加法，乘法定义为Z ∈=b a ab ,,0，试问Z 是环吗? 解：Z 是环。
因对于加法Z 构成一个交换群，对于乘法Z 满足结合律，且乘法对加法可分配：(),,()a b c ac bca b c Z c a b ca cb+==+=+∀∈+==+=+000000 3. 已知实数集R 对于普通加法和乘法是一个含幺环，对任意R b a ∈,，定义1a b a b ⊕=+-a b a b ab ⊗=+-试证：R 对运算⊕和⊗也形成一个含幺环. 证明。
因为()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⊕⊕=⊕+-=+-+-⊕⊕=+⊕-=++--111111所以，⊕满足结合律。
又因为a b a b b a b a a a a a a a a a ⊕=+-=+-=⊕⊕=⊕=+-=⊕-=-⊕=111111221()()所以， ⊕满足交换律，零元是1， a 的负元为2-a以上说明<R ，⊕>是一个交换群。
再因为 ()()a b c a b c a b c ⊗⊗=⊗+-⊗=+-+-+-()()a b ab c a b ab c=++---+a b c ab ac bc abc a b c a b c a b c ⊗⊗=+⊗-⊗()()()=++--+-a b c bc a b c bc () =++---+a b c bc ab ac abca a a aa a a a⊗=+-=⊗=+-=000000所以，⊗是可结合的，且有幺元0。
自考离散数学第4章
例：设集合A={a,b,c,d},在A上定义两个运算*和
，如表所示： 解：b,d是A中关于*运算的左幺元，而a是A中关于运算的右幺元。
a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d a b c
* a b c d
a a b c
b b a d
c d c a
定义4.3.7 设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a
例：设A={a,b,c,d}，*为A上的二元运算，
* a b c d
a a b c d
b b d a a
c c a b c
d d c b d
可以看出a为单位元。由a*a=a,b*c=a,c*b=a,d*b=a, 故a有逆元a；b有左逆元c，d；c有左逆元b；b有右逆元c；c有右逆元b；d有
定义4.3.2 设<G,*> 为一个群，如果G是有限集合，则称<G,*> 是有限群。G中
元素的个数通常称为有限群的阶数，记为|G|。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G={e},|G|=1,则称G为平凡群。 例：设G={e,a,b,c},运算*如表所示：
* e a b c
e e a b c
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
定义4.3.1 设<G,*>为一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
① 如果*是封闭的； ② 运算*是可结合的； ③ 存在幺元e； ④ 对于每一个元素x G，存在它的逆元x-1； 则称<G,*>是一个群。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
4.1 代数系统
离散数学第七章__环
n na a a a (n)a (na), 0a 0
则有：
ma na (m n)a m na mn a
0a a 0 0（0为Ｒ中零元）
n(a b) na nb
定义 一个集合（Ｒ，+，。）叫做环，假如
(a)(b) ab
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn
a b
ibn amb1 ambn
(na) b a(nb) n(ab)
规定：
n n a aa a
a0 和
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得
b c 0 即 b c 消去律成立。
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a 0
所以由消去律知若 a
0则 b0
所以环Ｒ没有零因子。
推论: 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律 也成立。
a0 1
定义（含单位元的环）：（R，。）是单元半 群 常见的环：整数环，有理数环，实数环。 推论：（R，。）不可能构成群。 （因为0元无逆元）
运算规则：
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
0a a 0 0 （0为Ｒ中零元）
(a)b a(b) ab
则对任何整数都有
a a a
m n
mn
(a ) a
m n
mn
定义：若在一个环Ｒ里
a 0, b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
例 Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如 下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
离散数学第七讲群、环、域
7
一、群的定义和性质
定理4：群〈G ,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中 证： iii)最后, 因为〈G, *〉中含有么元, 所以没有两行
综合以上结果便得出: 运算表中每一行都是G的元素的
一个置换, 并且每一行都是不同的置换。同样的结论适合 于列。证毕。 定理5：群中没有零元。
(3)对任意 a、b∈S, ∵ b-1 ∈S , ∴ a *(b-1 )-1 ∈S, ∵ a *(b-1 )-1 = a *b , ∴ a *b∈S 。
得证。
21
四、群同态
定义8:设〈G , *〉和〈H , *′〉是两个群, 映射h:G →H
称为从〈G , *〉到〈H, *′〉的群同态, 如果对任
④ 代数〈Nk, +k, -1, 0〉是群, 这里x-1 =k-x 代数〈Nk, ×k 不是群, 因为0元素没有逆元
3
一、群的定义和性质
群是半群和独异点的特定情况, 有关半群和独异点的性 质在群中也成立, 群的性质还有：
定理1: 如果〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b (b) 存在一个唯一的元素y, 使得y * a=b
任意群〈G ,*〉均有两个平凡子群：〈{e},*〉和〈G ,*〉。
18
三、子群
定理12：设〈G , *〉是个群, S⊆G, 如果(1)若a、b∈S, 则a * b∈S, (2)若a∈S, 则a-1 ∈S。那么〈S , *〉 是〈G, *〉
证： 对任意元素a∈S, 由(2)得a-1 ∈S, 再由(1)得a * a-1 =e∈S。 所以, 〈S , *〉是〈G , *〉的子群。
推论： (a1
离散数学第7章群、环和域
则称半群G,*为含幺半群或独异点。
第7章 群、环和域
若G,*为独异点，且*是可交换的，则称G,*为可换 的独异点。
例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半 群<P (A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交运 算∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。显
第7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明：⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e 又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
第7章 群、环和域
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第7章 群、环和域
第7章 群、环和域
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群 代数系统<S,*>又称为广群。 定义7.1.1 设<S,*>是代数系统，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数系统<S,*>为半群。
例如，代数系统<I,＋>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、
则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整
数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交 换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。
离散数学PPT教学环与域
2.有限群<G,*>中的任何元素a的阶可整除|G|
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群
3.质数阶的群,一定是循环群
证:设<G,*>为质数阶群
aG,ae
由推论2知:
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a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的 阶数, {a,a2,,ar}=G
例2.1)<I,+,>是整环
2)<N4,+4,4>不是整环
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域
二.域
1.域的定义
若代数系统<F,+,>具有 1)|F|>1，
2)<F,+>,<F-{0},>均是阿贝尔群，3)乘法对加法可 分配，则称它是域
2.域的举例
1)I为整数集，<I,+,>不是域，
2)<Q,+,>是一个域,其中Q为有理数集合
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b ceab
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
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由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2
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四.同态与同余关系
同1.同态余关与系 同余关系
定义:<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,若<a,b>R, <c,d>R<ac , bd>R，称R是A上的同余关系，此同余关系将A 划分的等价类称为同余类
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学sec18 环和域
环的运算约定
• 加法的单位元记作0。 • 乘法的单位元记作1。 • 对任何环中的元素x，称x的加法逆元为负元，
记作-x。 • 乘法逆元称为逆元，记作x-1。 • 针对环中的加法，
– x-y表示x+(-y)。 – nx表示x+x++x，即x的n次加法幂。 – -xy表示xy的负元。 (P285 例18.1下)
是R的一个分类，称为R的模H的剩余类。 其中，x+H={x+h|h ∈H}
定义. 设H是环R的理想,则R/H={x+H|x∈R}在加乘 (x+H)+(y+H)=(x+y)+H, (x+H)(y+H)=xy+H 之下成为一个 环,这个环称为R关于H的商环，其元素通常记为x+H=[x].
例18.12 <Z/4Z, ,> 为模4的剩余类环
环与域
• 环的定义和性质 • 子环、理想、商环和环同态
1
环的定义
定义 设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算.如果 满足以下条件:
(1) <R,+>构成交换群 (2) <R,·>构成半群 (3) ·运算关于+运算适合分配律 则称<R,+,·>是一个环.
设V＝<S,>是代数系统，为二元运算，如 果运算是可结合的，则称V为半群 （semigroup）。
5
例子
例 在环中计算 (a+b)3, (ab)2 解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3
离散数学6.6域的特征
6.6.1 域的特征
6、域F中任意非零元在加群中周期也是P
例：剩余环{ 0,1,2,3,4 }之特征为5 。
因为 111110
2 2 2 2 2 4 4 2 3 2 0 3 3 3 3 3 1 1 3 0
4 4 4 4 4 3 3 4 1 4 0
6.6.1 域的特征
7、(定理6.6.1) 任意域F的特征P是零或一质数。 证：若P0， 往证P是质数。 若不然P=hk， 1<h<p ，1<k<p 则 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中无零因子，则(he)、(ke) 必有一为零，但P为周期，而k<p，h<p，矛盾
§6.6 域的特征 素域
6.6.1 域的特征
2、设有整数环I，任意域F，则(n)=ne，是I到F内映射 ，其中e是F中乘法单位元，因为 (m+n)=(m+n)e=me+ne=(m)+(n) (mn)=mne=(me)(ne)=(m)·(n)
所以是同态映射。
6.6.1 域的特征
3、 考查映射I→F内，有核N是I的一个理想，又已知整数 环I是主理想环，所以核N是主理想，设这理想由整数 P生成，于是N=(P)=PI。
6.6.1 域的特征
8、上述结果对无零因子环即成立
6.6.1 域的特征
子域：域F的子集按F加、乘运算也构成域，称F的子域
最小子域：设I是F的子域，对于F中任意子域F，IF ，则I叫做F的最小子域。
6.6.1 域的特征
9、当域F特征为质数P时，域F中含最小子域同构于I/PI 证明： 为I→F内的同态映射，核为PI，记同态象为I’
离散数学ch12[1]环与域
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环:定理 定理
定理 设<R,+,>是环,则 (1) a∈R, a0 = 0a = 0 (2) a,b∈R, (-a)b = a(-b) = -ab (3) a,b,c∈R, a(b-c) = ab-ac, (b-c)a = ba-ca (4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)
环:实例 实例
环的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通 的加法和乘法构成环,分别称为整数环 有理数 整数环Z,有理数 整数环 有理数Q, 实数环R和复数环 复数环C. 实数环 复数环 (2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法 和乘法构成环,称为n阶实矩阵环 阶实矩阵环。 阶实矩阵环 (3)集合的幂集ρ(B)关于集合的对称差运算和交运 算构成环。 (4)设Zn＝{0,1,...,n－1}, ⊕ 和 分别表示模n的加 法和乘法,则<Zn, ⊕ , >构成环,称为模n的整数环 的整数环。 模 的整数环
环的同态
定义 设R1和R2是环。 ：R1→R2, 若对于任意的x,y∈R1有 (x+y)= (x)+ (y)， (xy)= (x) (y) 成立,则称是环R1到R2的同态映射 同态映射,简 同态映射 称环同态 环同态。 环同态 类似于群同态,也可以定义环的单同态, 满同态和同构等。
整环
整环
设<R,+,>是环, (1) 若环中乘法适合交换律,则称R是交换环 交换环。 交换环 (2) 若环中乘法存在单位元,则称R是含幺环 , R 含幺环 含幺环。 (3) 若 a,b∈R,ab=0 a=0∨b=0,则称R是无零因子环。 无零因子环 (4) 若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环, 则称R是整环 整环。 整环
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象所组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。
描述法是通过描述元素所具有的性质来确定集合。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B，那么 A 是 B 的真子集；如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的新集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合；补集是在给定的全集 U 中，去掉集合 A 中的元素所得到的新集合。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系矩阵是一个二维矩阵，用于表示两个有限集合之间的关系；关系图则是用顶点和边来表示关系。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系；对称性是如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a 等于 b；传递性是如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
等价关系是一种具有自反性、对称性和传递性的关系，它可以将集合划分为等价类。
偏序关系是一种具有自反性、反对称性和传递性的关系，它可以引出偏序集的概念。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
离散数学代数结构环与域习题及答案
§4.6 环与域习题4.61．设。
证明关于复数地加法与乘法构成环,称为高斯整数环。
证明:（1） A 任意二个元素a+bi 与 c+di,都有（a+bi ）+（c+di ）=a+c +(b+d ) i 仍属于A,满足封闭性要求。
（2）+满足结合律。
（3）有单位元0。
（4）每个元素a+bi 都有逆元-a-bi（5）+满足交换律。
所以<A,+>是交换群。
（6）（a+bi ）×（c+di ）=ac-bd +(ad+bc ) i 仍属于A（（a+bi ）×（c+di ））×（w+ti ）=( ac-bd )w-(ad+bc )t+(( ac-bd )t+(ad+bc )w) i= acw -bdw -adt-bc t+(act-bd t+adw+bc w) i而（a+bi ）×（（c+di ））×（w+ti ）=（a+bi ）×（cw-dt+(ct+dw)i ）= acw -bdw -adt-bc t+(act-bd t+adw+bc w) i所以<A, ×>是半群。
（7）二个运算满足分配律。
综上所述,关于复数地加法与乘法构成环。
2．设为实数,称为实数域上地次多项式,令。
证明关于多项式地加法与乘法构成环,称为实数域上地多项式环。
证明:（1） 任意地二个多项式（a 0+a 1x+a 2x 2+….+a n x n ）+（b 0+b 1x+b 2x 2+….+b n x n ） = a 0+ b 0+( a 1+ b 1)x+….+ ( a m + b m )x m +….+ a n x n 仍然属于A,满足封闭性要求。
（2） 加法满足结合律与交换律。
（3） 有单位无0。
}1|{2-=∈+=i Z b a bi a A ，，A A n n n a a a x a x a x a a x f ，，，， 212210)(++++=)(x f n })(|)({N n x f x f A n ∈=，次多项式为实数域上的A（4） 每个多顶式a 0+a 1x+a 2x 2+….+a n x n 都有逆元-a 0-a 1x-a 2x 2-….-a n x n 所以关于多项式地加法是交换群。
离散数学知识点
离散数学知识点说明：定义:红⾊表⽰。
定理性质：橙⾊表⽰。
公式：蓝⾊表⽰。
算法:绿⾊表⽰页码:灰⾊表⽰数理逻辑：1.命题公式:命题, 联结词(,，，，），合式公式,⼦公式2.公式的真值：赋值，求值函数,真值表,等值式，重⾔式,⽭盾式3.范式：析取范式，极⼩项,主析取范式，合取范式，极⼤项,主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或,条件否定，与⾮,或⾮，联结词完备集5.推理理论：重⾔蕴含式,有效结论,P规则,T规则, ＣP规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词,论域,全称量词,存在量词7.项与公式:项，原⼦公式，合式公式，⾃由变元,约束变元，辖域，换名，代⼊8.公式语义:解释，赋值,有效的，可满⾜的,不可满⾜的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则(US)，+规则(ＵG), -规则(ＥS)，+规则(ＥG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集，⽂⽒图, 交, 并，差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, ｄomR，ｒａnR，关系图, 空关系, 全域关系，恒等关系3.关系性质与闭包：⾃反的, 反⾃反的，对称的, 反对称的, 传递的，⾃反闭包 r(R),对称闭包 s(R），传递闭包 t(Ｒ)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序，哈斯图，全序（线序), 极⼤元／极⼩元，最⼤元／最⼩元，上界/下界6.函数: 函数，常函数, 恒等函数, 满射,⼊射，双射,反函数，复合函数7.集合基数：基数, 等势，有限集／⽆限集，可数集, 不可数集代数结构:1.运算及其性质：运算,封闭的，可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的,⼳元,零元,逆元2.代数系统:代数系统，⼦代数,积代数,同态,同构。
3.群与⼦群:半群,⼦半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，⼦群,平凡⼦群，陪集,拉格朗⽇(Lａgranｇe)定理4.阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群),循环群，⽣成元5.环与域：环，交换环,含⼳环,整环,域6.格与布尔代数：格，对偶原理,⼦格,分配格,有界格,有补格，布尔代数,有限布尔代数的表⽰定理图论:1.图的基本概念：⽆向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、⼦图、补图,握⼿定理，图的同构2.图的连通性：通路，回路，简单通路,简单回路(迹）初级通路（路径)，初级回路（圈），点连通,连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度,边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图,⼆部图(⼆分图）3.图的矩阵表⽰:关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵4.欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图5.⽆向树与根树：⽆向树，⽣成树,最⼩⽣成树,Krｕskaｌ,根树，m叉树，最优⼆叉树,Huffman算法6.平⾯图:平⾯图,⾯，欧拉公式,Kuｒatoski定理数理逻辑：命题：具有确定真值的陈述句。
【离散数学】知识点及典型例题整理
【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。
【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。
【Abel群/交换群】·适合交换律。
可能不只有两个元素适合x2=1【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。
【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。
单位子群{1}和G称为平凡子群。
【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。
a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。
若G的元数是一个质数，则G必是循环群。
n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。
共有ϕ（n）个。
【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）}【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。
H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。
任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。
求右陪集：H本身是一个；任取a∉H而求aH又得到一个；任取b∉H∪aH而求bH又一个。
G=H∪aH∪bH∪…【正规子群】G中任意g，gH=Hg。
（H=gHg-1对任意g∈G都成立）Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。
1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。
2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。
3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。
证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。
故Ha=aH。
4G的任意多个子群的交集是G的子群。
并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。
5 H是G的子群。
离散数学 第十章、群与环
子群判定定理3 子群判定定理
定理10.7 （判定定理三） 判定定理三） 定理 为群， 是 的非空有穷子集 的非空有穷子集， 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当 为群 是 的子群当且仅当 ∀a,b∈H有ab∈H. ∈ 有 ∈ 必要性显然. 为证充分性， 证 必要性显然 为证充分性，只需证明 a∈H有a−1∈H. ∈ 有 任取a∈ 任取 ∈H, 若a = e, 则a−1 = e∈H. ∈ 若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H. ， ， ⊆ 由于H是有穷集 必有a 是有穷集， 由于 是有穷集，必有 i = aj（i<j）. ） 根据G中的消去律得 aj−i = e，由a ≠ e可知 j−i>1，由此得 根据 中的消去律得 − ， 可知 − ， −− −− a j−i−1a = e 和 a a j−i−1 = e −− 从而证明了a 从而证明了 −1 = a j−i−1∈H.
8
群的性质： 群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： 为群， 中的幂运算满足： 定理 中的幂运算满足 (1) ∀a∈G，(a−1)−1=a ∈ ， (2) ∀a,b∈G，(ab)−1=b−1a−1 ∈ ， (3) ∀a∈G，anam = an+m，n, m∈Z ∈ ， ∈ (4) ∀a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z ∈ ， ∈ (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn. 为交换群， 为交换群 的逆元， 也是 的逆元. 也是a 证 (1) (a−1)−1是a−1的逆元，a也是 −1的逆元 根据逆元唯一 等式得证. 性，等式得证 (2) (b−1a−1)(ab)= b−1(a−1a)b = b−1b = e, (ab)( b−1a−1)=e， 同理 ， 的逆元. 故b−1a−1是ab的逆元 根据逆元的唯一性等式得证 的逆元 根据逆元的唯一性等式得证.
离散数学代数系统1
格与布尔代数
• • • • • • • 格的定义 格的性质 格的等价定义 子格与格的同态 特殊的格 布尔代数的性质 布尔代数的同态与同构
12
格的定义
定义14.29 设<S,≼>是偏序集，如果∀x, y∈S，{x,y}都有 是偏序集， 定义 ≼ 是偏序集 如果∀ ∈ ， 都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序 作成一个格 关于偏序≼ 最小上界和最大下界，则称 关于偏序≼作成一个格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求 的最 小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算∨和∧，即 与 的二元运算∨ x∨y 和 x∧y 分别表示 与y的最小上界和最大下界 的最小上界和最大下界. ∨ ∧ 分别表示x与 的最小上界和最大下界 注意：这里出现的∨ 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不 符号只代表格中的运算， 再有其他的含义. 再有其他的含义
9
域
定义14.28 定义 是整环， 中至少含有两个元素. 设R是整环，且R中至少含有两个元素 若∀a∈R* , 其中 是整环 中至少含有两个元素 ∈ R*=R−{0}，都有 −1∈R，则称 是域. − ，都有a ，则称R是 例如有理数集Q、实数集 、复数集C关于普通的加法和 例如有理数集 、实数集R、复数集 关于普通的加法和 乘法都构成域，分别称为有理数域 实数域和复数域. 有理数域、 乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域 整数环Z是整环，而不是域 整数环 是整环，而不是域. 是整环 对于模n的整数环 是素数， 对于模 的整数环Zn，若n是素数，那么 n是域 的整数环 是素数 那么Z 是域.
3
环的性质
定理14.11 设<R,+,·>是环，则 是环， 定理 是环 (1) ∀a∈R，a0 = 0a = 0 ∈ ， (2) ∀a, b∈R，(−a)b = a(−b) = −ab ∈ ，− − (3) ∀a, b, c∈R，a(b−c) = ab−ac， (b−c)a = ba−ca ∈ ， − − ， − − (4) ∀a1, a2, ... , an, b1, b2, ... , bm∈R（n, m≥2） （ ）
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❖ 上节回顾
定义1:设<A,★, * >是含2个二元运算的代数系统, 若： (1) <A, ★ >是阿贝尔群； (2) <A, * >是半群； (3) 运算*对★是可分配的； 则称<A, ★, * >是环。
通常把第1个运算 ★ 称为“加法”； 第2个运算 * 称为“乘法”。
(2) a • (- b) = (- a) • b = - (a • b)
a • (- b) + a • b = a • (-b + b) = a • = 同理 a • b + a • (- b) = ∴ - (a • b) = a • (- b)；同理 - (a • b) =(- a) • b
证明：
(4) a • (b - c) = a • b - a • c a • (b - c) = a • (b +(- c)) = a • b + a •(-c) =a•b-a•c
(5) (b - c) • a = b • a - c • a 证法同(4)
❖ 特殊环
定义2: <A,+, • >是环： (1) 若<A, • >是交换半群，则称<A,+, • >是交换环； (2) 若<A, • >是含幺半群，则<A,+, • >是含幺环； (3) 若A中存在两个非零元素a和b， a ≠ ,b≠ ，
通常把第1个运算 ★ 称为“加法”； 第2个运算 * 称为“乘法”。
❖环
如：以下代数系统都是环：
< I,+, • >，其中 I:整数集， +、•是加法和乘法 <Q,+, •>，其中 Q:有理数集， +、•是加法和乘法 <R,+, •>，其中 R:实数集， +、•是加法和乘法
❖环的性质
环的性质：<R,+,•>是环，则对a,b,c R，有：
∴<N6,+6,×6>是含零因子环，其中2和3是零因子 ∴ <Nk,+k,×k>要根据k的具体值来确定是否是含零因子环
❖ 特殊环：整环
定义3: <R,+,•>是代数系统，若满足
(1) < R,+>是阿贝尔群（交换群） (2) < R,•>是可交换独异点，且无零因子 (3) 运算•对运算+是可分配的
(3) (- a) • (- b) = a • b 由(2) (- a) • (- b) = -(a • (- b) ) = -(- (a • b)) = a • b
❖环的性质
环，则对a,b,c A，有：
(4) a • (b - c) = a • b - a • c (5) (b - c) • a = b • a - c • a
(1) a • = • a = （环中的加法幺元是乘法零元） (2) a • (- b) = (- a) • b = - (a • b) (3) (- a) • (- b) = a • b (4) a • (b - c) = a • b - a • c (5) (b - c) • a = b • a - c • a 其中： 是加法幺元，- a 是 a 的加法逆元，
(1) <A,+>是阿贝尔群 (2) <A-{},•>是阿贝尔群 （ 是加法幺元、乘法零元） (3) 运算•对运算+是可分配的 则称<A,+,•>为域。 即：<A,+,•>是域，|A| >1， <A-{},•>中含幺元，可交换， A-{}中每个元素有乘法逆元。
例：<R,+, •>是域：<R,+>是阿贝尔群；<R-{0},•>是阿贝尔群 < I,+, • >不是域，∵<I-{0}, • >不是群， 例如2 I-{0}，但在<I-{0}, • >中，2没有逆元，1/2I-{0}
则称< R,+,•>为整环。（即：可交换的含幺元的无零因子环）
几种环之间的继承关系：
环
交换环
含幺环
无零因子环
整环
❖ 特殊环
定理5-9.2：整环<A,+,•>中的无零因子条件等价于乘
法消去律。
证明：(1) 若无零因子，则有消去律
若无零因子并设c ≠ 且c • a = c • b，则有
c • a - c • b = ，∴ c • ( a - b ) =
a -1 是 a 的乘法逆元， a + (- b)记为 a – b
❖环的性质
环的性质：<A,+,•>是环，则对a,b,c A，有：
(1) a • = • a = (2) a • (- b) = (- a) • b = - (a • b) (3) (- a) • (- b) = a • b
证明：(1) • a =a• = + • a = • a = ( + ) • a = • a + • a 由消去律，得 = • a ，同理可得 a • =
∴ a - b = ∴a = b
左消去律成立，同理可证右消去律成立；
(2) 若消去律成立，则无零因子（反证法）
假设存在零因子 a、b，即a ≠ ，b ≠
有a • b = = a • ，由消去律得b = ，与b ≠ 矛盾，
∴假设错 ∴若消去律成立，则无零因子
❖域
定义4： <A,+,•>是代数系统，若满足：
使a•b= ，则称a和b为零因子，而称<A,+, • >是 含零因子环；否则称<A,+, • >是无零因子环。
❖ 特殊环
例题1：代数系统<Nk,+k,×k>是环，Nk={0,1,…,k-1}， +k和×k是模k加法和乘法运算，是否含零因子环。
解：k=5时，N5={0,1,2,3,4}，0是×k零元 a ≠0,b≠0，a×5 b = (a • b) mod 5 ∵a • b ≠ 5的倍数，∴a×5b≠0，∴<N5,+5,×5>是无零因子环 k=6时，N6={0,1,2,3,4,5}， ∵ 2 N6 ，3 N6 ，2 ×6 3 = (2 • 3) mod 6 = 0 而2 ≠0，3 ≠0
离散数学
❖ 代数系统
1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 子群与陪集 5 同态与同构 6 环与域
❖环
定义1:设<R,★, * >是含2个二元运算的代数系统, 若： (1) <R, ★ >是阿贝尔群； (2) <R, * >是半群； (3) 运算*对★是可分配的； 则称<R, ★, * >是环。