概率统计 4-3
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
I ( x) y2
r( x x )
y (1 r ) t e
t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt
r y ( x x )
所以
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§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r
f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2
1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )
1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
x x
概率论与数理统计复习4-5章
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
概率论与数理统计3-4
20
O
20
x
图 3-12
求 （1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度； （2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率； （3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章 连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X， 是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，
+
+
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1
高中数学排列组合概率统计
排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
《概率论与数理统计》第4-7 章复习与自测题
《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。
2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。
6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。
试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。
(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
概率统计试题及答案(本科完整版)
填空题（每题2分，共20分）A1、记三事件为A ，B，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 .A3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__⋃==。
A4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。
A5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >，必有概率{}P c x c e <<+ ＝⎧+<⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩e,c e b b a b c ,c e b b aA6、设X 服从正态分布2(,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) .A7、设1128363X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则 A8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。
则X 的数学期望=)(X E 4.5 。
A9、设随机变量(,)X Y 的分布律为则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 .A10、设121,,X X 来自正态总体)1 ,0(N , 2129285241⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数k =1/4 时，kY 服从2χ分布。
A 二、计算题（每小题10分，共70分）A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率（2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则:P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=⋅⋅=⨯⨯=ABC ABC ABC()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....⋃⋃=-=-⨯⨯= ()()()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=A2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。
《概率论与数理统计》第4章作业题
补充作业
设 X 的方差为2.5, 试估计 P{ | X- E(X) | 7.5 } 的值.
解
利用切比雪夫不等式
P{| X E( X ) | 7.5} 2 7.5 1 22.5 0.0444.
2.5
第四章
第四章
Z 2 ~ N (80, 1525) ， Z1 ~ N (2080, 652) ，
P{X Y } 0.9793, X Y ~ N (1360, 1525) ， P{X Y 1400} 1 P{X Y 1400}
1400 1360 1 Φ 1525
X~N(720,302),Y~N(640,252), 求Z1=2X+Y, Z2=X-Y
的分布，并求概率P{X>Y},P{X+Y>1400}.
第四章
由数学期望的性质知，
1 E(Y) E(2X1 - X 2 3X 3 - X 4 ) 2
1 2E(X1 ) - E(X) 2 3E(X 3 ) - E(X 4 ) 2 1 2 1 - 2 3 3 - 4 7 2 又因为 X1 , X 2 , X3 , X 4 , 相互独立，则由方差的性质知 1 D(Y) D(2X1 - X 2 3X 3 - X 4 ) 4D(X1 ) D(X2 ) 2 1 9D(X3 ) D(X4 ) 37.25 4
12(b a)
x
3
|
b a
12
(b 2 ab a 2 )
第四章
4-22 （1）设随机变量X1, X2, X3, X4 相互独立，
且有E(Xi)=i，D(Xi)=5-i，i=1,2,3,4. 设Y=
《概率论与数理统计》第4-7 章自测题讲评
《概率论与数理统计》第4－7章自测题讲评第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤10 其他 , 求数学期望EX 。
【讲评】考点：连续型随机变量数学期望的定义为EX= ∫-∞+∞xf(x)dx 。
[解]：EX= ∫-∞+∞xf(x)dx = 5∫01x 5dx = 5[x 56]01= 562.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
【讲评】考点：正态分布N(μ, σ2)的数字特征，EX=μ，DX=σ2。
和的方差公式：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)。
[解]：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)= 3+5+2×0.4 = 8.83. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0 ，若X ，Y 相互独立，求： E(XY)【讲评】考点：均匀分布与指数分布的数学期望，X~U[a,b] ⇒ EX=a+b 2 。
X~exp(λ) ⇒ EX=1λ 。
若X 与Y 相互独立，则 E(XY)=EXEY 。
本题：注意：X~U[1,3], Y~Exp(3) ⇒ EX=1+32 =1, EY=1/3，因为X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)=1×(1/3) =1/34. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ , E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ【讲评】考点：普阿松分布X~P(λ)的数字特征：EX=λ, DX=λ 。
及DX = E(X-EX)2 = EX 2 – (EX)2 , EX 2 =DX+(EX)2本题：X~P(λ) ⇒ EX=λ, DX=λ, EX 2=λ+λ2 .所以E(X)D(X) =1，E(X 2)=λ2＋λ＝E(X)[E(X)+1]，E(X) = λ，但是 DX=1λ , E (X - λ)2 = 0, 这两个是错误等式。
MATLAB概率统计函数（1）
MATLAB概率统计函数（1）第4章概率统计本章介绍MATLAB在概率统计中的若⼲命令和使⽤格式，这些命令存放于MatlabR12\Toolbox\Stats中。
4.1 随机数的产⽣4.1.1 ⼆项分布的随机数据的产⽣命令参数为N，P的⼆项随机数据函数 binornd格式 R = binornd(N,P) %N、P为⼆项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的⼆项分布的随机数，N、P⼤⼩相同。
R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。
R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表⽰R的⾏数和列数例4-1>> R=binornd(10,0.5)R =3>> R=binornd(10,0.5,1,6)R =8 1 3 7 6 4>> R=binornd(10,0.5,[1,10])R =6 8 4 67 5 3 5 6 2>> R=binornd(10,0.5,[2,3])R =7 5 86 5 6>>n = 10:10:60;>>r1 = binornd(n,1./n)r1 =2 1 0 1 1 2>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])r2 =0 1 2 1 3 14.1.2 正态分布的随机数据的产⽣命令参数为µ、σ的正态分布的随机数据函数 normrnd格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。
R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。
R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分别表⽰R的⾏数和列数例4-2>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))n1 =2.1650 2.31343.02504.0879 4.8607 6.2827>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])n2 =0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵n3 =0.9299 1.9361 2.96404.12465.0577 5.9864>> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为10，sigma为0.5的2⾏3列个正态随机数R =9.7837 10.0627 9.42689.1672 10.1438 10.59554.1.3 常见分布的随机数产⽣常见分布的随机数的使⽤格式与上⾯相同表4-1 随机数产⽣函数表函数名调⽤形式注释Unifrnd unifrnd ( A,B,m,n)[A,B]上均匀分布(连续) 随机数Unidrnd unidrnd(N,m,n)均匀分布（离散）随机数Exprnd exprnd(Lambda,m,n)参数为Lambda的指数分布随机数Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n)参数为MU，SIGMA的正态分布随机数chi2rnd chi2rnd(N,m,n)⾃由度为N的卡⽅分布随机数Trnd trnd(N,m,n)⾃由度为N的t分布随机数Frnd frnd(N1, N2,m,n)第⼀⾃由度为N1,第⼆⾃由度为N2的F分布随机数gamrnd gamrnd(A, B,m,n)参数为A, B的分布随机数betarnd betarnd(A, B,m,n)参数为A, B的分布随机数lognrnd lognrnd(MU, SIGMA,m,n)参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n)参数为R，P的负⼆项式分布随机数ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n)参数为N1，N2，delta的⾮中⼼F分布随机数nctrnd nctrnd(N, delta,m,n)参数为N，delta的⾮中⼼t分布随机数ncx2rnd ncx2rnd(N, delta,m,n)参数为N，delta的⾮中⼼卡⽅分布随机数raylrnd raylrnd(B,m,n)参数为B的瑞利分布随机数weibrnd weibrnd(A, B,m,n)参数为A, B的韦伯分布随机数binornd binornd(N,P,m,n)参数为N, p的⼆项分布随机数geornd geornd(P,m,n)参数为 p的⼏何分布随机数hygernd hygernd(M,K,N,m,n)参数为 M，K，N的超⼏何分布随机数Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n)参数为Lambda的泊松分布随机数4.1.4 通⽤函数求各分布的随机数据命令求指定分布的随机数函数 random格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的⾏和列例4-3 产⽣12（3⾏4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数>> y=random('norm',2,0.3,3,4)y =2.3567 2.0524 1.8235 2.03421.9887 1.94402.6550 2.32002.0982 2.2177 1.9591 2.01784.2 随机变量的概率密度计算4.2.1 通⽤函数计算概率密度函数值命令通⽤函数计算概率密度函数值函数 pdf格式 Y=pdf(name，K，A)Y=pdf(name，K，A，B)Y=pdf(name，K，A，B，C)说明返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。
概率论与数理统计第三、四章答案
概率论与数理统计第三、四章答案第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果112{0}={1}=33pp p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯=一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望ξ96 98 100 102 104p0.090.270.350.230.06960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能22||201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞+∞---∞===⎰⎰20|22x x x e xe dx +∞-+∞-=-+=⎰6题目略解 (1)15辆车的里程均值为1274(9050150)91.33153++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）ξ10 30 50 70 90 110 130 150 170p 5/a11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a故51124520103017096.1718818818847E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略解 记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解 设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则 题设条件为101,i i E g D g ξξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。
2024新教材高中数学第4章概率与统计4-1条件概率与事件的独立性4-1-3独立性与条件概率的关系作
程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则
这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )
A．21
B．13
C．14
D．61
解析 记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类
分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互独
解析
二、填空题
6．机动车驾驶的考核过程中，科目三又称道路安全驾驶考试，是机
动车驾驶人考试中道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目的简称．假
设某人每次通过科目三的概率均为
4 5
，且每次考试相互独立，则至多考两
次就通过科目三的概率为________．
答案
24 25
解析
第一类：考一次就通过的概率为
4 5
参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )
A．31
B．23
C．12
D．1
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测
试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝12，P(B)＝13.记“有且只有 一人通过听力测试”为事件C，则C＝A－B ∪－A B，且A－B 和－A B互斥．
故P(C)＝P(A
－B
∪
－A
B)＝P(A
－B
)＋P(
－A
B)＝P(A)P(
－B
)＋P(
－A
)P(B)＝
1 2
×1－13＋1－21×13＝12.
解析 答案
5．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一 个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确 回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否 正确回答互不影响．
概率统计第七章3-4
定义7.3.1 在一个假设检验问题中，利用观测 在一个假设检验问题中， 定义 值能够做出拒绝原假设的最小显著性水平 检验的p 称为检验的 称为检验的 值。 引进检验的p 值的概念有明显的好处: 第一，它比较客观，避免了事先确定 显著水平； 其次，由检验的p 值与人们心目中的显 著性水平α 进行比较可以很容易 作出检验的结论：
x ~ N (θ , σ 2 (θ ) / n) &
故可采用如下检验: 统计量
u=
n ( x − θ0 )
σ 2 (θ 0 )
~ N (0,1) &
由此近似地确定拒绝域。
例7.3.3 某厂产品的不合格品率为 10%，在 ， 一次例行检查中，随机抽取80件 一次例行检查中，随机抽取 件，发现有 11件不合格品，在α =0.05下能否认为不合 件不合格品， =0.05下能否认为不合 件不合格品 格品率仍为10%？ 格品率仍为 ？ 这是关于不合格品率的检验， 解：这是关于不合格品率的检验，设不合格率 为θ，假设为: ，假设为:
因为显著水平变小后会导致检验的拒绝域变 小，于是原来落在拒绝域中的观测值就可能 落入接受域。 落入接受域。 但这种情况在应用中会带来一些麻烦： 但这种情况在应用中会带来一些麻烦：假如 =0.05， 这时一个人主张选择显著水平α =0.05，而另 =0.01， 一个人主张选α =0.01，则第一个人的结论是 拒绝H 而后一个人的结论是接受H 拒绝 0，而后一个人的结论是接受 0， 我们该如何处理这一问题呢？ 我们该如何处理这一问题呢？
可看作某事件发生的概率。 比例 p 可看作某事件发生的概率。作 n 次 独立试验， 记该事件发生的次数， 独立试验，以 x 记该事件发生的次数，则 x ~ b ( n, p )。我们可以根据 x 检验关于 p 的 一些假设: 一些假设: (1)
概率论与数理统计：4-3协方差及相关系数
协方差的计算公式
1 CovX ,Y EXY EX EY 2 DX Y DX DY 2CovX ,Y .
性质
1. CovX ,Y CovY , X . 2. CovaX ,bY abCovX ,Y . a ,b为常数. 3. CovX1 X2 ,Y CovX1,Y CovX2 ,Y .
易知E(X)=0,E(Y)=5/2,E(XY)=0,于是 xy 0,
X,Y不相关.这表示X,Y不存在线性关系.
但,P{X=-2,Y=1}=0 P{X=-2}P{Y=1},知X,Y不
是相互独立的.事实上,X和Y具有关系:Y=X2,Y 的值完全可由X的值所确定.
例2
设X ,Y ~
N
1
,
2
,
2 1
2
1 2
1
2tu
1 2u2
u2 t2
e 2 2 dtdu
1 2 2
u2e
u2 2
du
e
t2 2
dt
1
2
1
2
2
ue
u2 2
du
te
t2 2
dt
1 2 2 2 , 2
故有 CovX ,Y 1 2 .
于是
XY
CovX ,Y DX DY .
得出结论
二维正态分布密度函数中,参数代表了X与Y
协方差及相关系数
协方差与相关系数的概念及性质 相关系数的意义
一、协方差与相关系数的概念及 性质
提出问题
若随机变量X和Y相互独立
DX Y DX DY 若随机变量X和Y不相互独立 DX Y ?
DX Y EX Y 2 EX Y 2 DX DY 2EX EX Y EY .
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作业 P 145--- 26、29、31
92
cov( X ,Y ) X E ( X ) Y E (Y ) ρ ρXY E[ ] cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ) D( X ) D(Y )
cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
无量纲 的量
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 pij 1 X Y 1 0 求 cov (X ,Y ), XY X 解 P 1 0 Y P p 0
原点矩与中心距
3、k + l 阶混合 v E ( X k Y l ) (k,l = 1, 2, 3,….) kl 原点矩 k E[( X E ( X ))k (Y E (Y ))l ] 4、k + l 阶混合 中心矩 (k,l = 1, 2, 3,….) 数 E [ X E ( X )][Y E (Y )] 反映了随机变量 X , Y 之间的 某种关系
§ 4.3 协方差和相关系数 定义 称E [ X E ( X )][Y E (Y )] 为 X ,Y 的协方差. 记为 XY cov( X , Y ) E [ X E ( X )][Y E (Y )] 特别地，当X=Y时，有
若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型，
1 2
u2 2 (1 2 )
du t e
12 2 t 2
dt
XY
若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关
90
xik pi 当X 为离散型 1、k 阶原点矩 vk E ( X k ) i x k f ( x)dx 当X 为连续型 (k = 1, 2, 3,….) ( xi E ( X ))k pi 当X 为离散型 2、k 阶中心距 k E ( X E ( X ))k i ( x E ( X ))k p ( x )dx 当X 为连续型 (k = 1, 2, 3,….)
相关系数的定义 若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称 ( X E ( X ))(Y E (Y ) cov( X , Y ) E D ( X ) D (Y ) D ( X ) D (Y ) 为X ,Y 的 相关系数，记为 XY 事实上， 相关系数的性质 性质2 | XY | 1
性质1 | XY | 1 P(Y = aX+b ) = 1 其中a≠0,b均为常数 即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这 种线性关系为 PY X 1 若 ρ 0, 称 X ,Y 不相关. 否则为相关 ρ>0为正相关，ρ<0为负相关 ρ=±1时为完全相关 性质3 若X与Y相互独立，则X与Y不相关。即 ρ = 0
XX cov( X , X ) E [ X E ( X )] D( X ) 协方差的计算 cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
2
i 1 j 1
cov( X , Y ) [ xi E ( X )][ y j E (Y )]pij
88
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY 解 cov( X , Y ) ( x 1 )( y 2 ) f ( x, y )dxdy
x 1 1 y 2 2
s
t 2 1 2
0
0 qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 < p <1 p+q=1
1 0 p q
XY P
1 p
0 q
p q
E ( X ) p, E (Y ) p,
D( X ) pq, D (Y ) pq ,
E ( XY ) p,
cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) pq
ρ ρXY cov( X , Y) D( X ) D(Y ) pq 1 pq pq
1 2
ste
1 1 ( s t )2 t 2 2 2 (1 2 )
dsdt
令 s t u
1 2
2
2 1
t ( t u )e
1 2 t 2 2 (1 ) 2
u2
dudt
89
1 2 e 2 2 1
cov( X , Y )
[ x E ( X )][ y E (Y )] f ( x, y )dxdy
协方 性质1 差的 性质2 性质 性质3
cov( X , Y ) cov(Y , X ) cov(aX , bY ) ab cov( X , Y )
cov( X1 X 2 , Y ) cov( X1 , Y ) cov( X 2 , Y )