几何学的两个发展方向：分离—统一
5近代自然科学(16-18世纪)
近代自然科学
——16-18世纪的自然科学 ——16-18世纪的自然科学 16
16-18世纪的自然科学 16-18世纪的自然科学
经过近代科学革命洗礼的自然科学在18 世纪末之前，主要还处于搜集材料的阶段。 这一时期唯有经典力学得到较完善的发展， 形成了经典力学体系。其他学科虽有了初步 的研究或较大的发展，但其水平还不高，真 正的科学还没有超出力学的范围。
但是，细心的开普勒发现，由此算出的火星 位置同第谷的数据间相差8分，就是0.133度。这 是第谷的数据发生了误差，还是火星的轨道根本 就不是圆呢？开普勒凭借着自己良好的科学素养 ，毫不犹豫地选择了后者，他坚定地说：“这8 分是不允许忽略的，它使我走上了改革整个天文 学的道路。”后来，开普勒向行星轨道形状也许 是椭圆的方向进行了大胆的探索，终于取得了成 功。
第三定律（作用力与反作用力定律） 第三定律（作用力与反作用力定律）：对每一个作
用力，总存在一个相等的反作用力和它对抗；或者说，两 个物体彼此施加的相互作用力总是相等的，并各自指向其 对方。
自然辩证法概论 张胜光制作
21
1687年，牛顿《自然哲学之数学原理》出版。这是 经典力学的第一部经典著作（标志着经典力学体系的创 立），也是人类掌握的第一个完整的科学的宇宙论和科 学理论体系，其影响遍布经典自然科学的所有领域。牛 顿力学是整个近代物理学和天文学的基础，也是现代一 切机械、土木建筑、交通运输等工程技术的理论基础。 牛顿在整个科学史上占有独特的地位，他给以后整 整两个多世纪的科学思想深深地打上了自己的烙印。他 的伟大不能完全归功于个人的聪明才智，牛顿自己也承 认他是站在巨人肩上，因此比别人站得更高看得更远。
伽利略绘制的月面图 和星空图
伽利略
双曲线知识点abc关系-解释说明
双曲线知识点abc关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是数学中的一种重要曲线形式，它具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将介绍双曲线的一些基本概念和相关知识点，包括知识点a、知识点b和知识点c。
通过深入研究和探索这些知识点，我们可以更好地理解双曲线的性质和应用。
在知识点a中，我们将讨论双曲线的定义和特点。
双曲线具有两个分支，其形状类似于对称的开口。
我们将探讨双曲线的方程形式、坐标轴、焦点和直角截距等重要概念，并介绍双曲线的几何性质和图形表示。
知识点b将进一步探讨双曲线的特点和应用。
我们将以具体的示例和实际应用为基础，展示双曲线在几何学、物理学、工程学等领域的重要性和用途。
通过深入了解双曲线的应用领域，我们可以更好地认识到双曲线对现实世界的实际意义和价值。
知识点c将围绕双曲线的探索和研究展开。
我们将介绍一些最新的研究成果和进展，包括双曲线的性质和变换、相关矩阵和方程、曲线的拟合等内容。
通过这些深入的研究，我们可以进一步掌握双曲线的数学本质和更高级的应用技巧。
通过本文的阐述，我们希望读者能够对双曲线有一个全面和深入的理解。
同时，我们也希望通过探索和研究双曲线的知识点a、b和c，能够拓宽我们在数学和其他领域中的思维和应用能力。
双曲线知识的掌握对于我们的学习和职业发展具有重要意义。
接下来，我们将深入讨论知识点a，揭示双曲线的定义和特点。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分进行论述。
引言部分主要对文章的主题进行概述，并介绍了文章的结构和目的。
首先会对双曲线的概念进行简单介绍，解释其在数学领域的重要性和应用价值。
接着，会对文章的结构进行说明，具体列出了正文各个部分的内容，以便读者能够清晰地了解文章的逻辑组织。
最后，会明确本文的目的，即通过对知识点a、b和c的探索和研究，揭示它们之间的关系，并展望双曲线知识点的应用前景。
正文部分是本文的核心，主要包括了三个知识点的介绍和分析。
数学史的历史
古印度人在算术和代数方 面取得了重要成就，如阿 拉伯数字的推广和应用。
古代数学的应用
01
古代数学的应用主要涉及日常生活、工程建筑、天文学等领域 。
02
例如，古埃及人使用数学方法进行土地测量和建筑结构设计，
古希腊人使用几何学进行天文观测和预测。
古代中国的数学在算术和代数方面取得了重大成就，广泛应用
03
VS
代数几何在数学中扮演着重要的角色 ，它与代数、分析、拓扑等其他数学 分支有着密切的联系，为解决复杂数 学问题提供了新的思路和方法。
分析学
分析学是数学中研究函数的性质和行 为的分支，主要包括实分析、复分析 和泛函分析等方向。
分析学在数学中占据着核心地位，它 为微积分、微分方程、积分方程、实 变函数、调和分析等领域提供了理论 基础。
数学史的历史
汇报人：
202X-12-25
• 数学的起源 • 中世纪数学的发展 • 近现代数学的发展 • 现代数学的分支
01
数学的起源
数学的起源
数学起源于人类早期的生产和生活实践，如计数、测量、图形等。
最早的数学概念可以追溯到公元前5000年左右的古埃及和苏美尔文明，他们开始使 用简单的数学工具和方法进行测量和计算。
概率论与数理统计在数学中扮演着重 要的角色，它为统计学、金融学、物 理学等领域提供了理论基础和工具支 持。
微分几何
微分几何是研究曲线、曲面等几何对象在微小尺度下的性质和行为的数学分支。
微分几何在数学中具有广泛的应用，它与代数几何、分析学、拓扑学等领域有着密切的联系，为解决数学问题提供了重要的 工具和方法。
阿拉伯数学家在几何学方面也有重要 贡献，他们研究了平面几何和立体几 何，并发展了一些重要的几何定理和 公式。
《数学史》几何学的变革(下)解析
几何学的变革
几何，就是研究空间结 构及性质的一门学科。它是 数学中最基本的研究内容之 一，与分析、代数等等具有 同样重要的地位，并且关系 极为密切。
几何学发展
• 几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、 数论等等关系极其密切。
• 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各 分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法 去探讨各数学理论。
x1 x2 x ,y x3 x3
齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多 射影几何基本结果的有效工具．但这种代数的方法遭 到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，19世纪的射 影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争 论中前进的． 支持庞斯列的数学家还有斯坦纳 (J.Steiner) 、沙 勒 (M.Chasles) 和施陶特 (K.G.C.von Staudt) 等，其中 施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性 的意义．
其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一 种几何学即欧几里得几何学的局面．
19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公 设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了上述几种非 欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几 何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展 的高维几何、射影几何，微分几何以及较晚出现的拓扑学等， 19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景．
其中 aij 的行列式必须不为零．射影变换下的不变量有线性、 共线性、交比、调和点组以及保持圆锥曲线不变等．显然， 如果 ，射影变换就成了仿射变换． a31 a32 并且 0 a33 1
下表反映了以射影几何为基础的克莱因几 何学分类中一些主要几何间的关系：
在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何 和拓扑学．克莱因对拓扑学的定义是“研究由无限 小变形组成的变换的不变性”．这里“无限小变形” 就是一一对应的双方连续变换。
人文科学导论
《人文科学导论》第一单元综合练习(填空题部分)一、填空题：1、科学精神培养人的主体自信心、探索精神和操作动手的（实验）性格。
2、马克斯·韦伯指出，现代社会科学坚持（价值中立）的知识学原则。
3、是否具有文化观念的科学精神，是科学与（技术）区别的一个标志。
4、“现代”是一种指向未来、不再回返过去的（矢量）时间。
5、十九世纪，最早提出“人文主义”这一词语的是德国教育家（尼特哈麦）。
6、鸦片战争后，冯桂芬的主张“以中国之伦常名教为原本，辅以诸国富强之术”，后来演变为（、“中学为体、西学为用”）的纲领。
7、1958年问世的（《为中国文化敬告世界人士宣言》）是中国文化民族主义典型代表的当代新儒学纲领。
8、古希腊全面教育的知识学方向引申，就是（“百科全书”）。
9、中国传统的武术以及琴棋书画等都属于人文学科的（艺术）教育。
10、德国学者鲍姆加敦1750年创立的（“美学”）是一门无法达到清晰概念科学的“感性的学问”。
11、从浪漫主义开始，文学艺术家愤而退出科学知识领域，声称人性的真谛不系于科学，不是科学，而属于（艺术）。
12、作为系统的知识与终极的真理追求，古希腊时代的“哲学”事实上就是（科学）。
13、“时间实际上是人的积极存在，它不仅是人的生命的尺度，而且是人的（发展的空间）。
”14、“人的本质，并不是单个人所固有的抽象物，在其现实性上，它是一切（社会关系）的总和。
”15、现代时间的决定性维度是（未来）。
16、对理想的执着追求就是（信仰）。
17、人文理想的典范形态就是被称为“美的规律”的（劳动）。
18、意义是（涵义）的人性化。
19、意义对终极价值目的的追问，使意义与（自我意识）密切相关。
20、近现代科学方法论对应的实践原型就是（技术）。
21、技术是外化的（方法论）。
22、胡塞尔把通过感性具体直观而非概念理解的东西称为（事实）。
23、描述是对现象学意义下的（直观的记录）。
24、人文事实在印证科学规律时属于（例证）。
代数与几何的统一结合
代数与几何的统一结合数学的历史和文化博大精深，源远流长。
在数学发展的近千年历史中，世界数学先后经历了古代数学时期、初等数学时期、高等数学数学时期以及现代数学时期。
数学不是哪一个国家、哪一个时期的发明创造，而是全世界几千年的智慧结晶。
如果将整个数学体系比作汪洋大海，我们如今所学的数学知识仅有一勺水之多。
回顾数学的发展历程，我们可以感知到螺旋式发展的数学，数学殿堂能如此辉煌，其充满了巧合，也充满了曲折。
标签：数学文化;数学历史;数学教学数学史和数学文化的发展主要由四个时期组成。
其中包括古代数学时期（数学萌芽时期）、初等数学时期（常量数学时期）、高等数学时期（变量数学时期）以及现代数学时期。
在数学体系这四个时期的发展中，涌现了很多的数学家、哲学家甚至是艺术家。
首先我将按照历史的发展顺序，从古代数学时期介绍数学史和数学文化的发展过程。
何为古代数学时期？这一时期大概从人类文明的起源到公元前六世纪。
古代数学时期主要以非洲尼罗河流域的古埃及文明和亚洲的美索不达米亚平原的古巴比伦文明为载体。
通过对古巴比伦遗迹的发掘，人们发现了一种写于泥板书上的文字——楔形文字。
通过对这些文字的研究，人们惊奇的发现古巴比伦人竟然使用了60进制计数法，这是有关数学运算最早的记录了。
后来研究人员偶然间发现了藏于莫斯科国立艺术馆的古埃及纸莎草书，该书通过象形文字记录了古埃及人验算几何的过程，古埃及人甚至得出了圆周率约为3.1605，这是数学发展的一次伟大壮举。
经过文明交流和不断发展，以古希腊文明为代表的初等数学时期将数学的发展推向了新的高潮。
这一时期，古希腊数学家引入了常量的概念。
古希腊以其哲学文明于世界，因此其数学家多是哲学家。
这些先贤们将哲学与数学结合起来，通过哲学推理数学，数学解释哲学。
当然，在这一时期，涌现了很多位有文字记载的哲学和数学大咖，这些大咖们可以说的是同根同源，也是因为如此，古希腊数学得到了一脈相承的发展。
说起古希腊哲学家，我们不得不提被誉为“科学与哲学之祖”、“古希腊七贤”之一的泰勒斯，他最早引入了命题证明思想。
群论统一几何学的历史根源
群论统一几何学的历史根源群结构是数学家最早研究的代数结构之一，是推动数学朝着统一化方向发展的一个非常重要的基本结构，群论的诞生预示了这种统一性的必然趋势。
然而群的产生却是多元的——数论的、代数的和几何的，特别是，群论诞生于几何学，反过来又为相互割裂的几何学提供了统一的基础，使几何学在更高层次上实现了统一。
几何学发展到19世纪，进入了发展的黄金时期，各种几何学如雨后春笋般不断涌现，且呈现出许多崭新的特点：几何对象的扩大化，研究方法的多样性，以及研究成果的多姿多彩。
可以说，19世纪几何学的发展对整个数学产生了不可忽视的影响，同时是群论诞生的三大历史根源之一。
1872年，克莱因发表了所谓的爱尔兰根纲领，引起了“群”的刻画乃至“群”定义的重大改变，推动“置换群”向“变换群”过渡，最终导致了“群”含义的扩张。
从这种意义上来讲，爱尔兰根纲领是群论发展史上的一个重要里程碑，是用群论思想统一几何学的理论基础。
然而，目前关于克莱因用群的观点统一几何学的历史研究，要么只是从单一方面加以论述，如：H. Wussing[1]、J. J. Gray[2]和M. Kline[3]；要么只是对此作一简单概述，如：David E. Rowe[4]；还有的是仅对爱尔兰根纲领的历史地位及影响简单进行评价，如：Thomas Hawkins[5]、David E. Rowe[6]。
总之，这些文献都没能从宏观意义上、全面而深入地给予系统研究。
爱尔兰根纲领作为几何学发展史上的一个重要里程碑，它的问世、传播及其对后来数学发展的影响，都值得我们进行深入细致的探讨，因此全面而系统地研究这一课题具有重大意义。
一、克莱因在几何学方面的主要学术活动克莱因(Felix Klein, 1849-1925)是19世纪优秀的数学家、数学史家以及数学教育家。
他创立了爱尔兰根纲领，研究了自守函数，还积极参与了数学教育的改革，对推动19世纪数学的发展做出了不可磨灭的贡献。
古典几何简史及思想在大学数学教学中的作用
古典几何简史及思想在大学数学教学中的作用作者：李明来源：《教育教学论坛》2013年第43期摘要：通过简要叙述古典几何的发展历史，并总结各个发展阶段的思想方法特点，指出其中的某些思想对于大学数学教育的若干启示。
关键词：古典几何；抽象思维；几何直观中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）43-0110-02真正意义上的数学是与人类文明一起诞生的，其原因是文字的使用使得大量计算成为可能。
然而几何学作为数学的一个分支，却相对于算术更晚地呈现出其独立存在的意义。
在四大文明古国，中国人、巴比伦人和埃及人都简单地将几何看成是算术的一个方面。
只有涉及到测量具体的物体的长度、面积或体积等问题时，几何的概念才会出现。
然而希腊数学的出现使得这种面貌彻底改变。
希腊人强调：数学上的东西，如数和图形是思维的抽象，同实际事物或形象截然不同。
这是人类对数学认识水平的重大飞跃。
近现代数学正是在这种理念的基础之上发展而来。
在大学数学教育中面临的基本问题是如何建立大学生正确的数学思维方式，并对其在数学方面的发展指明方向。
任何一门重要的课程，或者这门课程的思想体系，无论如何抽象，都有其历史的原因，是历史的必然产物。
要想掌握这门课程，也不可避免地需要了解其历史的原貌。
本文将以古典几何的发展历史为基础，分析古典几何发展各阶段的特点，抽象出其中体现的数学思想，并指出这些数学思想在大学某些课程教学中的基本作用。
这对于学生对相关课程建立正确的思考方式有一定的促进作用。
一、古希腊的几何学公元前600年到公元前300年的这段时间称为希腊数学的古典时期，这个时期数学成就的精华之一是Euclid的《几何原本》。
《几何原本》的意义在于：第一次清晰地表现出数学的抽象性；使得逻辑推理成为数学思维的基本方式。
从几何学历史的发展来看，对《几何原本》的研究导致了非欧几何的诞生以及数学公理化运动。
对数学的抽象性的领会，对于大学生是否能够学好数学非常重要，是学好数学的基础。
苏步青谈谈怎样学好数学
苏步青谈谈怎样学好数学1数学是怎样发展起来的我们平常一谈起数学，谁都会联想到小学里学习的算术，特别感到算术的四则运算，就是加法、减法、乘法、除法用处很大。
到了中学以后，开始学习初中代数、平面几何，进一步学习三角学、高中代数、立体几何、解析几何。
有些中学生毕业后进入高等学校，其中不少人还要学微积分、微分方程；一部分专门学数学的还要学数学分析、高等代数、高等几何、微分方程、函数论、概率统计等等。
一个学生从小学到大学学了很多数学科目，大部分都是数学的基础知识，从浅到深，从少到多，从简单到复杂，从具体到抽象，真是五花八门，让人眼花缭乱。
但是，如果我们分析它们的内容，可以看到它们大致可以分为两类:一类是现实世界中的量的关系，一类是空间形式。
比如算术和代数属于前一类，几何属于后一类。
人们不禁要问:为什么要学这些内容？这些内容有什么用？数学有什么特点？如何学好数学？在对这些问题作出初步回答之前，让我们先回顾一下数学是怎样发展起来的。
在很早的时候，人类在生产实践中，由于比较大小的需要，逐步获得了数的概念。
最初是自然数，就是 1，2，3，4，……。
后来逐渐发展成为分数，并从正数发展到负数，从有理数发展为无理数，它们全体构成一个所谓实数域。
在获得数的概念的同时，也发现一些具有特定形状的物体具有特定的性能，获得一些简单几何形体的概念，例如，三角形、四边形、圆、棱柱、圆柱、球等等。
据说古埃及人曾把绳子扔成边长为3个单位、4个单位、5个单位的直角三角形，做成直角，应用于建筑。
用简单几何形状的概念，把一些简单几何形状的面积和体积用数量来表示，比如圆的面积，球的体积，把这些数量关系总结成公式来表示一个规律。
几千年来人们就是这样用这些公式来计算耕地面积和建筑物体积的。
这应该说是形数结合。
因此，早在人类文化早期，就已经积累了一些数学知识。
到了十六世纪，包括算术、初等代数、初等几何和三角学在内的初等数学基本完成。
17世纪，生产力的发展促进了自然科学技术的发展，不仅现有的数学成果得到了进一步的巩固、丰富和拓展，而且由于实践的需要，我们开始研究运动的物体和变化的现象，从而获得了变量的概念。
几何学的发展概述.pptx
• 例如，用公理IV给出下述命题的证明：
中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是
OM 的长度。
[插入图5.27]
曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的
含x和y有限次代数方程来表示的曲线
费马的工作
费马关于曲线与方程的思想，源于 对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用 了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数 表述式。
例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成 圆，相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切线变 为圆的切线。我们不妨将原命题应用仿射变换
转化为相应的圆的命题：设△ABC为圆内接三
角形，以其顶点作切线构成了切线三角形
A1B1C1。如果A1B1∥AB. B1C1∥BC。那么 A1C1∥AC。一旦我们证明了这个有关圆的命题，
体的体积公式：
V = (1/3) h (a2 + ab +b2)
5.2.2 求积方法
勾股术与图证 “析理以辞，解体
用图”—— “弦图”
大方 = 弦方 + 2矩形，
（1） 图5.5 伏羲手持规，女娲手持矩
大方 = 勾方 + 弦方 = 勾方 + 股方。
• 阿基米德的双重方法——用力学原理发现公式， 再用穷竭法加以证明
，在AB上存在一个点R，使得：所有位
于它之前的点属于第一类，并且所有位
几何的发展历程与发现
XX, a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
几何的起源
几何的发展
几何的应用
几何的现代研究
几何的重要发现
几何的起源
01
古代几何的萌芽
几何学起源：古埃及和巴比伦文明
01
02
早期几何知识：土地测量、建筑和天文观测
几何学发展：古希腊数学家欧几里得奠定基础
拓扑学的诞生
拓扑学定义：研究图形在连续变形下不变的性质
添加标题
拓扑学发展历程：从欧几里得几何到非欧几里得几何的演变
添加标题
拓扑学的重要概念：连通性、紧致性、同胚等
添加标题
拓扑学在现代数学和物理学中的应用
添加标题
几何的应用
03
几何在物理学中的应用
拓扑学在量子力学中的应用
欧几里得几何在经典力学中的应用
庞加莱猜想的证明
意义：证明了单连通三维流形的同胚分类，对数学和物理学领域产生了深远影响
证明过程：经过多位数学家的努力，最终由英国数学家怀尔斯在1995年完成证明
猜想提出：法国数学家庞加莱在1904年提出
感谢观看
汇报人：XX
添加标题
现代几何拓扑的研究方向：包括几何群论、几何分析、几何拓扑中的复杂性与分类问题等。
添加标题
拓扑学在物理学中的应用：拓扑学在物理学中有着广泛的应用，如拓扑绝缘体、拓扑半金属等。
添加标题
几何物理的研究进展
几何分析：利用数学分析的方法研究几何对象的性质和结构
几何量子化：将量子力学与几何学结合起来，探索量子力学的几何结构
几何的现代研究
04
几何分析的研究进展
数学史8
哈密顿为四元数制定一种不可交换的 乘法运算。他规定，原始单元相乘必须 满足下列规则：i2=j2=k2=-1 ij=-ji=k , jk=-kj=i , ki=-ik=j 任给四元数pq≠qp。一种数系的乘法没 有交换性，是数学史上的一大革新。 有了复数的几何解释后不久，数学家 们发现，复代数是研究平面向量，而物 理学中的大量问题是三维空间的向量， 需要一种能处理空间向量的数学理论， 他们在四元数中找到了思想的源泉。
高斯特别研究了x2≡o(modp)(其中p是 素数，a不是p的倍数)这种同余式方程． 如果它有解，就称x是p的二次剩余，否则 称a是p的二次非剩余．关于二次剩余和二 次非剩余，有一个著名的定理与之相联系 ，高斯称它为二次互反律
[(q-1)/2]. （p/q）· （q/p）=（－1）[(p-1)/2]·
8.3 布尔代数 19世纪中后叶，代数学还开拓了另一 个完全不同的领域．早在17世纪，莱布 尼茨想要发明一种通用的语言，借助它 的符号和专门语法来指导推理．他认为 逻辑语言应该用一些表意的符号，每一 个符号代表一个简单的概念，通过各种 符号的组合表达复杂的思想．他也认真 地考虑过建立一种推理的代数，试图通 过演算完成一切正确的推理过程．
由布尔开创的逻辑代数，在施罗德的 三大卷《逻辑代数讲义》(1890—1905) 中发展到了顶峰．而在1879年，德国数 学家弗雷格(G．Frege)则开创了数理逻 辑研究的另一种传统——数学基础传统 ．他的目标不是把数学应用于逻辑以实 现逻辑规律和逻辑推理的数学化，而是 利用精密化的逻辑为数学建立一个可靠 的基础．以后，通过佩亚诺(G．Peano) 、怀特黑德和罗素等人的工作，就将数 理逻辑研究中的逻辑代数传统和数学基 础传统汇合在一起．
8.1代数方程的可解性与群的发现 18世纪末和19世纪初，方程的代数解 法是数学的中心问题，意大利人在16世 纪解决丁三次、四次方程根式求解的一 般法则后，数学家一直在寻找五次以上 代数方程的求解问题，将近3个世纪， 数学家们绞尽脑汁毫无进展。 1770年拉格朗日发表论文《关于代数 方程解的思考》提出，五次和五次以上 方程没有根式解。
几何学发展的概述
第一部分 几何学发展概述第一章 几何学发展简史几何学是数学中最古老的一门分科.最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的。
史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以再现。
图1-1所示图片显示了早期人类的几何兴趣，不止是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的运用。
根据古希腊学者希罗多德的研究，几何学起源于古埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法，它的外国语名称geometry 就是由geo （土地)与metry （测量)组成的。
古埃及有专门人员负责测量事务,这些人被称为“司绳”。
古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的所谓“绳法经”，就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载.中国最早的数学经典《周髀算经》事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法的著作,其中第一章叙述了西周开国时期（约公元前1000年）周公姬旦同商高的问答,讨论用矩测量的方法，得出了著名的勾股定理，并举出了“勾三、股四、弦五”的例子。
古希腊数学家泰勒斯曾经利用两三角形的等同性质，做了间接的测量工作;毕达哥拉斯学派则以勾股定理等著名。
在埃及产生的几何学传到希腊,然后逐步发展起来而变为理论的数学。
哲学家柏拉图（公元前429～前348）对几何学做了深奥的探讨,确立起今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念，而且树立了哲学与数学中的分析法与综合法的概念。
此外，梅内克缪斯（约公元前340）已经有了圆锥曲线的概念。
§1 欧几里得与《原本》 1。
1 《原本》产生的历史背景欧几里得《原本》①是一部划时代的著作。
其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。
它的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作。
从泰勒斯算起,已有三百多年的历史。
泰勒斯是希腊第一个哲学学派—-伊奥尼亚学派的创建者。
北京海淀区15-16高二数学教研立体几何教学分析与指导课件人教新课标
• 欧几里得的《几何本来》提出了五条公设，分别为： 第一：由任意一点到任意一点可作直线. 第二：一条有限直线可以继续延长. 第三： 以任意点为心及任意的距离可以画圆. 第四.：凡直角都相等. 第五条公设：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的
• 具体来说，学生在立体几何学习中的障碍主要有以下几类： （1）空间想象能力和逻辑思维能力的障碍（数学能力的角度）； （2）识图画图障碍和符号语言表达障碍（表现情势）； （3）对概念和定理的系统化理解与应用等方面存在障碍（数学内容）
二、本主题的内容解读
• （一）本主题知识体系的梳理
现实世界中的物体 空间几何体
如：专题2．古希腊数学（毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股 数，不可公度问题、欧几里得与《几何本来》，演绎逻辑系统，第五 公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响） 系列3-3，球面上的几何； 系列3-6，三等分角与数域扩充； 系列4-1，几何证明选讲； • 从上面三个阶段来看，要求是一步一步提高的.这样的安排更符合学 生的实际认知水平.能满足不同层次学生的学习几何的需要.
（二）本主题中研究的核心问题
• 1.几何学的特点：
• （1）几何是空间的科学 • （2）几何具有统一中的多样性 • （3）研究几何的方法具有多样性 • （4）直观具体与抽象性的结合
但形的概念的形成也需要抽象过程，因为只有意识到情势可以脱 离物体，并且明确地把情势本身分离出来，才能称得上有形的概念.比 如长方形，生活中本没有长方形，只有长方形的门、窗、桌，长方形 只是对这些现象的共同属性“形”的抽象，又如我们从平静的湖面抽 象出平面的概念等等.几何作为一门学科，正是建立在两千多年来严格 性、抽象性和一般性都在逐渐提高的情势化的过程中，这种舍弃了其 它性质，只保留了空间情势和关系作为自己的研究对象，就是几何学 的抽象性.
几何的发展及公理化体系PPT
笛卡尔在17世纪初提出了坐标系的概念，将几何图形与代数方程联系起来。通过 坐标系，几何图形可以用代数方程来表示，反之亦然。这一创新使得几何学的研 究更加深入和广泛，为微积分和现代数学的发展奠定了基础。
坐标系与几何图形的表示
总结词
坐标系是解析几何的核心工具，它使得几何图形能够用代数 方程来表示，从而使得几何问题可以通过代数方法来解决。
详细描述
微积分的研究需要用到大量的几何概念和工具，如极限、导数、积分等都与几何图形有关。同时，解析几何的应 用也深化了微积分的研究，如曲线面积、曲面体积等问题的解决需要用到解析几何的知识。因此，微积分与几何 是相互促进、共同发展的。
03
非欧几何的发现
非欧几何的背景与起源
欧几里得几何的局限性
非欧几何的诞生
几何拓扑的研究领域
几何拓扑是研究几何对象在拓扑变换下的性质和不变量的学科，是现代几何学的 重要组成部分。
几何拓扑的研究领域包括拓扑空间、流形、几何群论等，这些领域的研究对于数 学其他分支的发展以及物理学、工程学等领域的应用都有着重要的意义。
几何机器学习的新兴领域
几何机器学习是近年来新兴的一个领域，主要是利用机器学 习的方法对几何对象进行分析和建模，以实现自动化和智能 化的处理和应用。
物理学
相对论中的广义相对论使用非欧几何来描述时空 的弯曲。
数学与其他领域
非欧几何的发展对数学和其他领域产生了深远的 影响，推动了数学和科学的发展。
04
几何公理化体系的建立
欧几里得几何公理化体系
01
欧几里得几何公理化体系是几何学的基础，它以五个基本公理为基础，推导出 了一系列几何定理和性质。
02
这五个基本公理包括：两点确定一条直线、直线可以无限延长、通过直线外一 点有且只有一条直线与已知直线平行、所有直角都相等、以及所有相似图形都 可以通过连续变换相互重合。
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
工程光学知识点整理
工程光学课件总结班级：姓名：学号：目录第一章几何光学基本原理 (1)第一节光学发展历史 (1)第二节光线和光波 (1)第三节几何光学基本定律 (3)第四节光学系统的物象概念 (5)第二章共轴球面光学系统 (6)第一节符号规则 (6)第二节物体经过单个折射球面的成像 (7)第三节近轴区域的物像放大率 (10)第四节共轴球面系统成像 (11)第二章理想光学系统 (13)第一节理想光学系统的共线理论 (13)第二节无限远轴上物点与其对应像点F’---像方焦点 (14)第三节理想光学系统的物像关系 1，作图法求像 (17)第四节理想光学系统的多光组成像 (21)第五节实际光学系统的基点和基面 (25)第六节习题 (27)第四章平面系统 (27)第一节平面镜 (27)第二节反射棱镜 (28)第三节平行平面板 (30)第四节习题 (31)第五章光学系统的光束限制 (31)第一节概述 (31)第二节孔径光栅 (33)第三节视场光栅 (34)第四节景深 (35)第五节习题 (36)第八章典型光学系统 (36)第一节眼睛的光学成像特性 (36)第二节放大镜 (39)第三节显微镜系统 (40)第四节望远镜系统 (44)第五节目镜 (46)第六节摄影系统 (47)第七节投影系统 (49)第八节光学系统外形尺寸计算 (49)第九节光学测微原理 (52)第一章几何光学基本原理光和人类的生产活动和生活有着十分密切的关系，光学是人类最古老的科学之一。
对光的每一种描述都只是光的真实情况的一种近似。
研究光的科学被称为“光学”（optics），可以分为三个分支：几何光学物理光学量子光学第一节光学发展历史1，公元前300年，欧几里得论述了光的直线传播和反射定律。
2，公元前130年，托勒密列出了几种介质的入射角和反射角。
3，1100年，阿拉伯人发明了玻璃透镜。
4，13世纪，眼镜开始流行。
5，1595年，荷兰著名磨镜师姜森发明了第一个简陋的显微镜。
利玛窦传入的西方数学对中国科学的影响
一、利玛窦传播西方数学的主要活动明清之际，西洋传教士来华及西学东渐，是近代中西文化交流的一个重要方面。
当时来华的传教士有数百人，其中最有影响的是意大利传教士利玛窦。
李约瑟说过“利玛窦不仅是一位杰出的精通语言，也是一位优秀的科学家和数学家。
”当时的中国科学，在经历了宋元这个以数学为代表的科学极盛时期后，科学的发展脉络就出现裂痕。
明代以后，欧洲逐渐步入资本主义社会，近代科学受到生产力的刺激发展起来，而中国的科学却因为政治、经济、社会环境等原因停滞了。
所以，利玛窦在这个时期带来的西方数学思想及其翻译的不朽巨著《几何原本》等数学著作给中国数学乃至整个中国科学带来了一次非常大的震动和冲击。
中国文化和西方文化的实质性交流始于明末清初的耶稣会士入华，荷兰当代汉学家许理和认为这是中西文化之间最纯粹的一次文化交流。
利玛窦带来的数学思想和数学著作，使封闭的中国大门向西方敞开了。
《几何原本》的实用、天文观测的准确以及近代初等数学对中国产生的一系列影响给包括中国数学的中国科学带来了曙光。
利玛窦带来的数学文化，在推动中国传统数学发展的同时，还使得中西数学文化产生了剧烈的碰撞和融合，中国数学由此发生了一次大的变革，这次变革也推动了中国科学史的发展进程。
胡适和梁启超认为，清初学风之变、朴学兴起和西学传入有直接联系。
对于中国科学，除了地理学、天文学和数学等缺少系统科学理论指导的具体学科发生质的改变之外，科学思想的务实精神、科学研究方法的从格物穷理到实事求是，以及学者们对待科学的态度也都发生了翻天覆地的变化，尤其是统治阶级对待科学的态度，使得中国科学由在传统领域内的故步自封、徘徊不前到开始逐渐涉足和研究新的、无限的、变量的、连续的学科领域。
数学等学科的发展，对于明末清初的中国社会乃至明末清初以后的中国社会都成为一次意义重大的概念性革命。
一些全新的、革新的观点和知识方法带着巨大的文化和智慧，让中国科学开始重新审视自然和宇宙，由此导致了中国的科学革命。
漫谈法国历史上最杰出的十位数学家
漫谈法国历史上最杰出的十位数学家NO10: 韦达 (现代代数符号之父)韦达（François Viète,1540~1603）,法国数学家，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
在欧洲被尊称为“代数学之父”，在法国和西班牙的战争中，韦达利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为他的祖国赢得战争主动权。
这里提一下中国学生在初中，高中经常学到的韦达定理:韦达定理(Vieta's Theorem）的内容（根与系数的关系）一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中设两个实数根为X1和X2则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根:若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac<0>0>NO9. 笛卡尔 (解析几何之父)勒内·笛卡尔（Rene Descartes，公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），出生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念），逝世于瑞典斯德哥尔摩，法国著名哲学家、物理学家、数学家、神学家。
他对现代数学的发展做出了重要的贡献，创立了直角坐标系，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。
他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。
笛卡尔堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支，解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
世界七大数学难题之一：霍奇猜想
世界七⼤数学难题之⼀：霍奇猜想古希腊时期，毕达哥拉斯⽤演绎法证明了直⾓三⾓形斜边平⽅等于两直⾓边平⽅之和，即毕达哥拉斯定理。
⾃此，⼈类便开始将形状与数学联系在⼀起。
200年后，欧⼏⾥得把⼈们公认的⼀些事实列成定义和公理，以形式逻辑的⽅法，⽤这些定义和公理来研究各种图形的性质，从⽽建⽴了⼀套从公理、定义出发，论证命题得到定理的⼏何学论证⽅法，形成了⼀个严密的逻辑体系——⼏何学。
经过数千年的更迭，⼈们对于形状的研究越来越复杂，⽽这时，霍奇猜想就应运⽽⽣。
霍奇猜想诞⽣的背景17 世纪 70 年代以前，⼏何和代数都有了相当的发展，但它们是互相分离的两个学科。
笛卡尔对当时的⼏何⽅法和代数⽅法进⾏⽐较思考，他主张把⼏何学的问题归结成代数形式的问题，⽤代数学的⽅法进⾏计算、证明，从⽽达到最终解决⼏何问题的⽬的。
依照这种思想他创⽴了我们现在称之为的“解析⼏何学”。
笛卡尔的数学思想证明了如果你抽象⼀步进⼀步，⼏何实际上是与代数相同，⼏何可以转化为代数⽅程，代数⽅程同样也可以转化为⼏何图形。
如果你想看到某条线与特定圆交叉的位置，你可以⼏何地绘制形状，或者只是⽤代数⽅式⽐较⽅程。
两种⽅法都会给出相同的答案。
到了19世纪，数学家尝试推⼴笛卡尔的⽅法。
他们从⼀些代数⽅程⼊⼿，把这些⽅程的解定义为“⼏何”对象。
以这种⽅式从代数⽅程产⽣的对象，就被称为“代数簇”。
球射影空间上的代数簇因此，代数簇是⼏何图像的⼀种推⼴．任何⼀个⼏何对应都是⼀个代数簇，但是有许多代数簇是不可能被直观化的。
然⽽，并不因为某个特定的代数簇不可能被直观化，你就不能对它做（代数）⼏何。
你能做，只不过这是没有图形的⼏何。
之后，数学家很快发现更复杂的⽅程，或者甚⾄⽅程组都在⼀起⼯作，可以在各种维度产⽣惊⼈的形状。
数学家为了得到更加复杂的形状，发现了⼀个⾮常实⽤的⽅法，基本想法是在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单⼏何营造块粘合在⼀起来形成。
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曲线的方程给出； 曲线的方程的次数与坐标轴选择无关，因而可使方程
成为最简单形式； 两条曲线用同一坐标系写出方程，联立解出两方程，
可求出两条曲线交点的坐标； 曲线的存在不以尺规可否作出为准则，而以能否用方
程表示出来为准则，因而由方程求得了一些全新的曲线；
一对未知数联系起来，用方程表示曲线的一般方法。 2 ．坐标法
“只要最后在方程中出现了两个未知量，就能得到一个轨迹 曲线，这两个量之一的末端描绘出这条曲线。”
3 ．坐标的平移和旋转
导出曲线的方程 f(A、E) = 0 ，一次方程表示直线，二次
方程表示圆锥曲线，并且可以通过坐标的平移和旋转将它们 化为标准方程。
曲线的分类按所含x、y的次数，一次、二次为第一类、
三次、四次为第二类，由此类推。
三．解析几何在十七世纪的扩展
1． 笛卡儿与费马之争 费马1629年发现解析几何基本原理，1660年曾经提出笛 卡儿忽略了极值问题、曲线的切线问题、立体轨迹的作图问 题，但仍表示佩服笛卡儿的工作，甚至认为比别人没有缺点 的工作还有价值。 笛卡儿1637年发表《几何学》，讥笑费马为 “极大极小 大臣”，收到费马朋友们的尖刻的批评信，后两人态度缓和。 笛卡儿、费马共同创立了解析几何，但是并没有被数学 家们所热情接受： 1）传播不力，费马迟于发表，笛卡儿的作图遮掩了曲线 与方程的思想； 2）当时数学家们反对代数与几何混为一谈；
思想方法，获得重要的技术性成就。
二．Descartes，Rene （1596 ~ 1650）对解析几何的贡献
笛卡儿创立解析几何的思想基础：哲学研究、自然科 学研究、科学知识应用研究；
笛卡儿摒弃经院哲学，探求正确的思想方法，创立为 实践服务的哲学，使人成为大自然的主宰者；
笛卡儿以数学为基础，以演绎为核心的方法论，建立 哲学和其他科学。
y²= ay + bxy + cx + dx²，
其中 a、b、c、d 均为由已知量组成。
笛卡儿强调：“如果我们逐次给出线段 y 以无限个不同 的值，对于线段 x 也可找到无限个值，这样被表示出来的C 点就有无限多个，因此可以把所求的曲线表示出来。”
评论： 笛卡儿建立了一个坐标系，C 点的轨迹可由坐标系的
例 1．x²= ax + b²(a、b 已知)
代数方法结论： x a
a
2
b2
2 2
(不计负根)
几何方法作图： x = MN+NQ (见下图)
例 2．“帕普斯问题”
已知 AB、AD、EF、GH，······任意多条确定的直线。 求点C，使得由它引出的直线段 CB、CD、CF、CH，··· 与给定直线分别成给定的角 、、、，···，并且，
评论： 笛卡儿解析几何的基本思想，主要体现在用代数
方法解决几何作图问题，逐渐形成用方程表示曲线的 思想。
笛卡儿解决几何作图问题的步骤： 1 ．将几何问题化为代数问题，仿韦达用代数解 几何作图问题； 2 ．引入坐标和变量把点和数联系起来，用单位 线段的“五则运算”，线段与数联系起来； 3 ．假设问题已经解决，用两种方式表示同一个 量，建立起方程，用运算符号表示它们之间的关系； 4 ．通过方程的解表示线段之间的关系，用来指 导作图。 笛卡儿的思想方法要从他的例题中悟出。
4 ．方程表示曲线 由二次方程表示圆锥曲线，不仅使圆锥曲线从圆锥的附
属地位中解脱出来，而且使各种不同的曲线有代数方程这种 一般的表示方法和统一的研究方法。
“这个理论（平面曲线、曲面曲线）有可能用一个普遍
的方法来处理，我若有空闲，一定将说明这个方法。”
1637年《求最大值和最小值的方法》，引入形如 y＝xn，
|——圆锥曲线是共同对象——|
_____________|____________
| 解析几何
| 射影几何
“那个伟大时代的产物”
（恩格斯）
• 解析几何的创立
一、Fermat，Pierre de (1601 ~ 1665)的坐标几何 二、Descartes，Rene 及其对解析几何的贡献
三、解析几何在十七世纪的扩展 四、解析几何的创立在数学史上的意义
几何学的两个发展方向：分离 —— 统一
• 引言 • 解析几何学的创立 • 射影几何学的变迁 • 圆锥曲线谈往
• 引言
十七世纪上半叶，几何学出现了两个发展方向：
笛卡儿、费 马
笛沙格、帕斯卡
|_________________________|
|
|——曲线研究的一般方法——|
代数学
几何学
变量、方程
投射、截影
它 们中的某几条的乘积等于余下几条的乘积，或至少使这两个乘 积成一定的比。
譬如：CB·CF = Cห้องสมุดไป่ตู้·CH
假定C 点已找到一个，选定AB，以 A为起点，记AB = x，
BC = y；经过简单的几何处理，由已知量表出CD、CF、CH， 并代入CB·CF = CD·CH ，可得一个关于 x、y 的二次方程：
y = x-n 的曲线。 1643年，简短信件中，讨论过三维解析几何的观念，引
入柱面、椭圆抛物面、椭球、双叶双曲面等。
评论： 费马的坐标：无负坐标，所以方程并不能代表整个
曲线； 费马的方法：可通过平移、旋转坐标，简化曲线方
程； 费马的目的和方式： 1．自认为是重新表述阿波罗尼的工作，继承古希
腊的思想观念； 2．强调轨迹用方程表示，利用韦达的字母代数的
• 解析几何的创立 17世纪，社会生产、科学技术对数学提出新挑战和新要求，
数学必须面对运动和变化，数学要关注一般分析方法。数学自 身的几何学和代数学不断成熟和完善，解析几何学应运而生。
一．Fermat，Pierre de (1601 ~ 1665)的坐标几何
1 ．用代数方法研究几何问题 1629年《平面和立体的轨迹引论》，提出把平面上的点和
1637年笛卡儿的名著《更好地指导推理和寻求科学真 理的方法论》（简称《方法论》）出版，《方法论》有三 个附录，即《折光》、《气象》和《几何学》，其中《几 何学》被认为创立解析几何的力作。
笛卡儿主张将几何、代数和逻辑三者的优点结合起来， 而克服各自的不足，从而建立一种“真正的数学”、一种 “普遍的数学”，用于研究“一切事物的次序和度量的性 质”，不管它们是“来自数、图形、星辰或者其他任何涉 及度量的事物”。
“我思故我在”、“怀疑一切”。
“它（几何）过于抽象，只能使人在想象力大大疲 乏的情况下，去练习理解力。”
“它（代数）太受法则限制，成为一种充满混杂、 晦涩，故意阻碍人的思想的东西，而不象一门改进思想 的科学。”
“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何学，这就是说， 不再考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。 我这样做是 为了研究一种几何学，目的在于解释自然现象。”