河北省三河一中2011—2012学年高三上学期第一次月考

河北省三河一中2011—2012学年高三上学期第一次月考
数学试卷(理科)
第Ⅰ卷（共60分）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合},1|{2
R x x
y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M ( )
A. ),1[+∞-
B. ]2,1[-
C. ),2[+∞
D. φ
2.命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使”为假命题是命题“016≤≤-a ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.已知10<<a ，函数|log |)(x a x f a x -=的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或3或4
4.设232555
322555
a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是( )
A.b ＞c ＞a
B.a ＞b ＞c
C.c ＞a ＞b
D.a ＞c ＞b
5.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=( ) A.3 B. 1 C.-1 D.-3
6.设曲线1
1
x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =( ) A ．2
B ．12 C.2- D.1
2
-
7.函数2ln(43)y x x =+-的单调递减区间是( )
A.3(,]2-∞
B.3[,)2+∞
C.3(1,]2-
D.3
[,4)2 8.由直线21=x ，x=2，曲线x
y 1
=及x 轴所围图形的面积为（ ）
A.2ln 2
B.1ln 22
C.415
D.4
17
9.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设
).3(),2
1
(),0(f c f b f a ===则( )
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．a c b << 10.对任意的实数a 、b ，记{}()
max ,()
a a
b a b b a b ≥⎧=⎨
<⎩．若
{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数y=f(x)在x=l 时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数
()(0)y f x x =≥与函数y=g(x)的图象如图所示．则下列关于函数()y F x =的说法中，正确的是( )
A.()y F x =为奇函数
B.()y F x =有极大值(1)F -且有极小值(0)F
C.()y F x =在(3,0)-上为增函数
D.()y F x =的最小值为-2且最大值为2
11.正方形ABCD 的顶点2(0,
)2A ，2(,0)2
B ，顶点
C
D 、位于第一象限，直线:(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()s f t =的图象大致是( )
A B C D
12.对于函数)(x f 与)(x g 和区间E ，如果存在E x ∈0，使1|)()(|00<-x g x f ，则我们称函数)(x f 与)(x g 在区间E 上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间),0(+∞上“互相接近”的是( )
A ．2)(x x f =，32)(-=x x g
B ．x x f =)(，2)(+=x x g
C ．x e x f -=)(，x
x g 1
)(-
= D ． x x f ln )(=，x x g =)(
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．
13.幂函数22
3
()(1)m m f x m m x
+-=--在(0,)+∞上为增函数，则m =___________.
14.若函数23()log log 2f x a x b x =++,且1
()52012
f =,则(2012)f 的值为 ． 15.已知函数2
2
()ln (0)f x x a x x x
=+
+>在[1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是______________. 16.已知函数m x g m x x f x
-⎪⎭
⎫
⎝⎛=+=21)(,)(2
，若对[][]2,0,3,121∈∃-∈∀x x ， )()(21x g x f ≥，
则实数m 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本题满分10分)已知命题:p 对]1,1[-∈∀m ，不等式83522
+≥
--m a a 恒成立；
命题:q x ∃R ∈,使不等式022
<++ax x 成立;若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围.
18.(本题满分12分)求抛物线2
y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积．
19.(本题满分12分)已知2()2(2)4f x x a x =+-+，
(1)如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； (2)如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．
20.(本小题满分12分)
若()f x 对一切实数x 都有()()82,f x f x +=---且3x >时，()2
74f x x x =-+.
(1)求()f x 在R 上的解析式；(2)若()()()()212ln 5,,x x x x h x x f x a ϕϕ⎛⎫
=-+-
=- ⎪⎝⎭
当3x <时，求()h x 的单调递增区间.
21.(本题满分12分)已知函数.,.ln 3)(,22
1)(22
R b a b x a x g ax x x f ∈+=+=其中 (1)设两曲线)(x f y =与)(x g y =有公共点，且在公共点处的切线相同，若0>a ，试建立b 关于a 的函
数关系式；
(2)若[]2,2-∈b 时，函数x b a x g x f x h )2()()()(+-+=在(0，4)上为单调增函数，求a 的取值范围.
22.(本题满分12分)已知a ∈R ，函数()ln 1a
f x x x
=+-，()()ln 1x g x x e x =-+(其中e 为自然对数的底数)．
(1)求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；
(2)是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．
数学参考答案(理科)
一．选择题： BAADD CDABB CC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．
13.2 14.1- 15. 0a ≥ 16. 18
m ≥
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (本题满分10分)已知命题:p 对]1,1[-∈∀m ，不等式83522
+≥
--m a a ；
命题:q x ∃使不等式022<++ax x ;若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围. 17.答案：若p 是真命题，则16-≤≥a a 或；若是真命题则2222-<>a a 或 所以若p 是真命题，是假命题，]1,22[--∈a 18. (本题满分12分)已知2()2(2)4f x x a x =+-+，
(1)如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； (2)如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围． 18.解：(1)24(2)16004a a ∆=--<⇒<<； (2)(2)3(3)0a f --<-⎧⎨
->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1
(1)0
a f -->⎧⎨>⎩，
解得a φ∈或14a ≤<或1
12
a -
<<，∴a 的取值范围为1(,4)2-．
19．求抛物线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积．
解：由2230
y x
x y ⎧=⎨--=⎩解得两个交点纵坐标分别为-1，3
则围成的平面图形面积3
22
3311
132[(23)](3)|33
S y y dx y y y --=+-=+-=⎰
20.(本小题满分12分)若()f x 对一切实数x 都有()()82,f
x f x +=---且3x >时，
()274f x x x =-+. (1)求()f x 在R 上的解析式.
(2)若()()()()212ln 5,,x x x x h x x f x a ϕϕ⎛
⎫
=-+-
=- ⎪⎝⎭
当3x <时，求()h x 的单调递增区间. 20.分析：本题考查了函数的定义、性质、导数法求单调区间以及分类讨论的思想. 解：(1)()()()()82,6f x f x f x f x +=---∴=--，
当3x =时，()()33(3)0f f f =-∴=当3x <时，63x ->，
()()()()2
66764f x f x x x ⎡⎤∴=--=----+⎣⎦
252x x =-++，
综上：()2274,3
0,352,3x x x f x x x x x ⎧-+>⎪
==⎨⎪-++<⎩
(2)
当
3
x <时，
2211()2ln 5522ln 2
h x x x x x x x x a a ⎛
⎫=-+-+--=-- ⎪⎝
⎭，
()/h x ()2120,a x
a x a ax
-=
-=≠定义域为()0,3 当0a <时，()/0h x >恒成立，当302
a <≤时，由()/
0h x >得02x a <<，当32a >时，
()0,3x ∈恒有()/0h x >.综上：当0a <或3
2
a >时，()h x 的增区间为()0,3；当
3
02
a <≤时，()h x 的增区间为()0,2a .
21. (本题满分12分)已知函数.,.ln 3)(,22
1)(2
2R b a b x a x g ax x x f ∈+=+=其中
(1)设两曲线)(x f y =与)(x g y =有公共点，且在公共点处的切线相同，若0>a ，试建立b 关于a 的函数关系式；
(2)若[]2,2-∈b 时，函数x b a x g x f x h )2()()()(+-+=在(0，4)上为单调减函数，求a 的取值范围. 21.解：(1)因为)(x f y =与)0)((>=x x g y 在公共点),(00y x 处的切线相同.
x
a x g a x x f 2
3)(',2)('=+=。

由题意知)(')('),()(0000x g x f x g x f ==
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=+02
002
02032ln 3221x a a x b x a ax x ,解得a x =0或a x 30-=(舍去)， =
b ).0(ln 32
522
>-a a a a ． (2)()()()(2)h x f x g x a b x =+-+2
213ln 2
x bx a x b =
-++．
()h x 在(0,4)上恒为单调增函数，所以2
3()0a h x x b x
'=-+≥ 恒成立，
23a b x x ≤+在[2,2]b ∈-时恒成立，即2
32a x x
≤+对(0,4)x ∈恒成立．
22232(1)1a x x x ∴≥-+=--+对(0,4)x ∈恒成立，231a ∴≥,
33a ∴≥
或33a ≤-．综上， 33a ≥或33
a ≤- 22.已知a ∈R ，函数()ln 1a
f x x x
=
+-，()()ln 1x g x x e x =-+． (1)求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；
(2)是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；
若不存在，请说明理由．
22.(1)解：∵()ln 1a f x x x =
+-，∴221()a x a
f x x x x
-'=-+=． 令()0f x '=，得x a =．
①若a ≤0，则()0f x '>， ()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，
当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增， 所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．
③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减，
所以当x e =时，函数()f x 取得最小值
a
e
． 综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值；
当0a e <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当a e ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为
a e
． (2)解：∵()()ln 1x
g x x e x =-+，(]0,x e ∈，
∴ ()()()()ln 1ln 11x x
g x x e x e '''=-+-+
()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ⎛⎫
=+-+=+-+ ⎪⎝⎭
． 由(1)可知，当1a =时，1
()ln 1f x x x
=
+-．
此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1
ln 10x x
+-≥． 当(]00,x e ∈，0
0x e
>，
00
1
ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+> ⎪⎝⎭
≥． 曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．
故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．。