PDE静电场仿真

问题1

截面为正方形的无限长线电荷如下图所示。设电荷面密度为02πε；边长2a =。

请采用Matlab 的PDETool 工具箱仿真区域oABC 的电磁场分布。说明场的边值问题，给出边界oA 、AB 、BC 、Co 上的边界条件。

问题1求解

由对称性知，边界Co 上的边界条件是0ϕ=，边界oA 上的边界条件是0n

ϕ∂=∂ 。当区域oABC 足够大时，边界AB 、BC 可视为距离线电荷无穷远，边界条件也是0ϕ=。因此可以根据边界条件利用Matlab 的PDETool 工具箱仿真区域oABC 的电场分布。

如图，矩形R1表示处于区域oABC中的部分线电荷，以20×20的矩形R2表示区域oABC。则R1内有电荷，设为泊松方程：

R2-R1内无电荷，设为拉普拉斯方程：

再分别设置AB 、BC 、Co 上的边界条件为0ϕ=：

设置oA 上的边界条件为0n

ϕ

∂=∂ ：

再经过剖分求解，得到以下仿真结果。

以上结果是假设区域oABC的大小为20×20得出的，可以看出Co、oA上的电场线分布是符合实际的，但不能确定在20×20的大小内AB、BC是否已经距离线电荷足够远以至可以ϕ=，因此，再仿真一个大小为100×100的结果进行对比：

认为0

可以看出，在20×20的范围内AB 、BC 上的边界条件并不满足0ϕ=的条件。所以对于本题，区域oABC 越大，仿真结果与实际越相符。 问题2

请采用Matlab 的PDETool 工具箱对下列场进行仿真。

问题2求解

(a).

左边界和下边界的边界条件都是0ϕ=。当上边界和右边界无穷大时，边界条件也是0ϕ=。无限长导体棒的边界条件为10ϕ=。区域内无电荷，应用拉普拉斯方程。

仿真结果如下：

(b).

两个直角壁的边界条件已知，右上方的为10ϕ=，左下方的为0ϕ=。当直角壁趋于无穷远时，上方和右方都相当于两个无限大平板，故上边界和右边界的条件都为0n

ϕ∂=∂ 。区域内无电荷，应用拉普拉斯方程。

仿真结果如下：

(c).

外边界条件为0ϕ=，内边界条件为10ϕ=。区域内无电荷，应用拉普拉斯方程。 仿真结果如下：

仿真收获

PDEtool工具箱是一个比较方便工具，在求解电场分布问题方面可以很简便地得到比较形象具体的结果。在以后的电磁场学习过程中，它是一个十分有用的工具。

但是由于PDEtool工具箱的基本原理是数学上的数值法求解偏微分方程，因此必须有确定的边界条件和微分方程。从理论上来说，它是无法求解无穷大区域的电场问题的。但当区域无穷大时，在无穷远处电势为0，因此我们可以设定一个比较大的有限区域，边界条件设为电势为0，由此得到近似解。只要仿真区域足够大，结果就越接近实际。而选取合适的边界条件，可以减小仿真区域，这主要考虑的是我们需要多大的求解范围（如问题1，如果我们需要的准确求解范围是20×20，就应该设一个100×100的或合适大的仿真区域）。