§1-6 波函数和电子云的图形表示-结构化学课件

§1-6
波函数和电子云的图形表示
(3) 图： 1-7.6(c) 特点： (4) 特点： ● 径向极值： − l 个； 径向极值：n
●
越大时，径向分布曲线的最高峰离核越远， 对于相同的l，n越大时，径向分布曲线的最高峰离核越远， 但是它的次级峰可能出现在离核较近的周围空间， 但是它的次级峰可能出现在离核较近的周围空间，这样就产 生了各轨道之间的相互渗透的现象。 ns态 生了各轨道之间的相互渗透的现象。(如ns态) 越小的轨道，它的第一个峰离核的距离越近， 对于相同的 n，l 越小的轨道，它的第一个峰离核的距离越近，
dθ

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作图： P86图1-7.7(b) 作图： P86图 7.7(b) 图形特点： 轴的圆， 轴上， 图形特点：两个互切于 x 轴的圆，圆心在 z 轴上，上面一 值为正，下面一个Y值为负。 个Y值为正，下面一个Y值为负。圆上任意一点到原点的距 的值。有一个角度节面。 离正比于 cos θ 的值。有一个角度节面。
定剖面： 定剖面： 选取xoz为剖面 (φ =0，π )， 确定节面： 3 cos θ = 0 → cos θ = 0 → θ = 90o → xoy平面为节面。 确定节面： 4π dYpz o o 确定极值： 确定极值： = 0 或180 时, 函数在z轴有极值. θ =0 列数据表： 列数据表：
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② P轨道角度分布图 作图方法: 根据Y函数的实函数形式， 作图方法: 根据Y函数的实函数形式，选定 θ ( 或φ ) 为0、 4、 2 π π 等一些特殊角度作为剖面，然后在这些剖面上作Y 等一些特殊角度作为剖面，然后在这些剖面上作Y随 φ (或θ ) 变化的图。 变化的图。 步骤：定函数，定投影平面，定节面，定极值，列数据表， 步骤：定函数，定投影平面，定节面，定极值，列数据表， 然后在某投影平面上作波函数的角度分布图。 然后在某投影平面上作波函数的角度分布图。 例： p z
2
电子在半径为r处，厚度为dr 电子在半径为 处 厚度为 的球壳内电子出现的几率
2
=0
=0
RΘΦ r 2 sin θ drdθ dφ
2π
= r R dr ∫
2 2
φ =0
Φ dφ ∫
2
π
θ =0
Θ sin θ dθ
2
= r 2 R 2 dr = D(r )dr
定义：径向分布函数： (1) 定义：径向分布函数：D ( r ) = r 2 R 2 ( r ) 在半径r处单位厚度球壳层内电子出现的几率。 (2) 物理意义： 物理意义： 在半径r处单位厚度球壳层内电子出现的几率。 或者说， 代表在半径r r+dr两个球壳夹层内找到电子 或者说， ( r ) dr 代表在半径r到r+dr两个球壳夹层内找到电子 D 的几率。 的几率。
（1）由于Yl ,m (θ , φ ) 总小于1，电子云的角度分布图形与原子 总小于1 轨道的角度分布图形类似，只是变得“狭窄”一些。 轨道的角度分布图形类似，只是变得“狭窄”一些。 （2）恒为正值。 恒为正值。
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三、 ψ—r, ψ2—r 这两种图形一般只用来表示S态的分布，因为S 这两种图形一般只用来表示S态的分布，因为S态的波函数只 与r有关，而与θ，φ无关。ψns这一特点使它分布具有球体 有关，而与θ 无关。 对称性，即离核为r 的数值相同， 对称性 ， 即离核为 r 的球面上各点波函数 ψ的数值相同 ， 几 的数值也相同. 率密度ψ2的数值也相同.
ψ
2 n ,l , m
(r ,θ , φ )
电子在( 电子在(r, θ, φ)处出现的几率密度
dτ = r 2 sin θ drdθ dφ 三维空间中的微体积元 ψ 2 n ,l ,m (r ,θ , φ )dτ 电子在微体积元dτ中出现的几率
∫φ ∫θ π π =∫ ∫ φ θ
=0
2π
π
=0
ψ 2 n ,l ,m (r , θ , φ )dτ
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例题3.讨论氦离子 态波函数的节面位置和形状. 例题 讨论氦离子He+2s态波函数的节面位置和形状 讨论氦离子 态波函数的节面位置和形状
解答: 解答 Z=2
要使ψ200=0 应有
，因此r=a0
由于ψ 故波函数的节面是以a 由于ψ200与θ,φ无关 故波函数的节面是以 0为半径的球面 φ无关,故波函数的节面是以 为半径的球面.
●
3 (如3s比3 p的第一个峰离核近，p又比3d 近。 )
●
即所谓的轨道的钻穿效应。 即所谓的轨道的钻穿效应。 在核附近D(r) D(r)为 D(r)极大值在r=a 极大值在 在核附近D(r)为0，1s态D(r)极大值在r=a0处
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二、角度部分图形 因为共价键是有方向性的， 因为共价键是有方向性的，所以我们最关心的是轨道和电子 云的角度分布。 云的角度分布。 1．波函数角度分布图 Y (θ , φ ) 波函数角度分布图物理意义： （1）波函数角度分布图物理意义： θ,φ） θ,φ）变化的图形，从坐标原点引线段， Y（θ,φ）随（θ,φ）变化的图形，从坐标原点引线段， 方向为（θ,φ），长度为Y的绝对值，连接所有这些线段的 方向为（θ,φ），长度为Y的绝对值， ），长度为 端点在空间形成一个曲面，曲面内根据Y 端点在空间形成一个曲面，曲面内根据Y的正负标记正号或负 这种图形称为原子轨道角度分布图。 号，这种图形称为原子轨道角度分布图。 （2）Yl ,m (θ , φ ) 剖面图 ① S轨道的角度分布图 ψ ns = ψ n ,0,0 = Rn ,l Θ 0,0 Φ 0 与角度无关，任一方向的剖面图均为一个圆。 与角度无关，任一方向的剖面图均为一个圆。
2
对了解原子的结构和性质以及原子结合成分子的过程具有 重要意义。 的函数， 重要意义。但是 ψ , ψ 是关于 r , θ , φ 的函数，作图需要四
2
维空间，比较困难。因此， 维空间，比较困难。因此，我们把 ψ 分离为径向部分和角 度部分。 度部分。
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原子轨道和电子云有多种图形，为了搞清这些图形是怎么画 原子轨道和电子云有多种图形， 出来的，相互之间是什么关系，应当区分两个问题： 出来的，相互之间是什么关系，应当区分两个问题： 1. 作图对象 2. 作图方法 作图对象主要包括： 作图对象主要包括： (1) (2) (3) 复函数还是实函数？ 复函数还是实函数？ 波函数(即轨道)还是电子云？ 波函数(即轨道)还是电子云？ 完全图形还是部分图形？ 完全图形还是部分图形？
(3) 特点： 态的电子在核附近有相当大的几率密度，其 特点： 态的电子在核附近有相当大的几率密度， ns 余各态的电子在核附近的几率密度为零。 余各态的电子在核附近的几率密度为零。 3．径向分布函数 D ( r ) ~ r 前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情况，要真正了解 前面R (r)描述的是几率密度随r的分布情况， 描述的是几率密度随 电子的分布情况，要关心电子分布的几率---电子在半径为r ---电子在半径为 电子的分布情况，要关心电子分布的几率---电子在半径为r 处，厚度为dr的球壳内电子出现的几率。 厚度为dr的球壳内电子出现的几率。 dr的球壳内电子出现的几率
l ,m
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波函数和电子云的图形表示 P86图 7.7(b) P86图1-7.7(b)
③ d轨道角度分布图
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Y 总结： 总结：l ,m (θ , φ ) 图形特点
无关， 相同， 角度分布图Yl ,m (θ , φ ) 与 n 无关，所以只要 l , m 相同，图形形 状就相似。 状就相似。如： px ,3 px , 4 px ，但 npx , np y , npz 图形方 2 向不同 角度节面有 l 个 为常数，图形为球形。 l = 0时，Yl ,m (θ , φ )为常数，图形为球形。
径向波函数满足归一化的条件。 ② 径向波函数满足归一化的条件。
n −l
−
Zr na0
∫
∞
0
Rn ,l ( r ) r 2 dr = 1
2
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1-7.6(a) ③ 图： ④径向节面数：n − l − 1 径向节面数：
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2 2. 径向密度函数图 Rn ,l ( r ) ~ r 物理意义：在距核r处电子出现的径向几率密度。 (1) 物理意义：在距核r处电子出现的径向几率密度。 (2) 图： 1-7.6(b)
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作图方法主要包括： 作图方法主要包括： 函数-对变量画图 函数等值面（线）图 等值面（ 界面图 网格图 黑点图
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一、径向部分图形 1. 径向函数图 Rn,l ( r )
Zr l +i −1 物理意义： ① 物理意义： Rn ,l (r ) = ∑ ci ( ) e , a0 i =1 它是反映在任意给定的角度方向上（即一定的θ 它是反映在任意给定的角度方向上（即一定的θ和φ）， 波函数随r变化的情况。 波函数随r变化的情况。
6 1 3 cos θ ⋅ = cos θ 定函数： 定函数： Y1,0 = Θ1,0 Φ 0 = 2 2π 4π
轴对称的。 于 z 轴对称的。
pz 的 Yl ,m (θ ,φ ) 是 cos θ 的函数（和 φ 无关），故其轨道是关 的函数（ 无关）， ），故其轨道是关
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3.界面图 3.界面图 ： 为了大体了解原子的运动范围，以估计“原子的大小” 为了大体了解原子的运动范围，以估计“原子的大小”，就 取电子出现的几率在90%范围为一界面，称为界面图。 90%范围为一界面 取电子出现的几率在90%范围为一界面，称为界面图。 图1-7.4 7.4 4. 网格图： 网格图： 坐标面是通过原子核的一个平面， 坐标面是通过原子核的一个平面，图上各点图形的高度则表 示该处电子云密度的大小。 示该处电子云密度的大小。 图1-7.1(b) 7.1(b)
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氢原子级基态的各种图示 小黑点图： 1. 小黑点图： 用小黑点的疏密来表示电子在空间各点几率密度分布。 用小黑点的疏密来表示电子在空间各点几率密度分布。 图1-7.2 等密度面图： 2. 等密度面图： 将几率密度相等的各点连起来构成的曲面，叫做等密度面图。 将几率密度相等的各点连起来构成的曲面，叫做等密度面图。 图1-7.3
§1-6 波函数和电子云的图形表示
一、径向部分图形 二、角度部分图形 三、 ψ—r, ψ2—r
§1-6 序：
波函数和电子云的图形表示
ψ ：原子中电子的运动状态 2 ψ ：电子在空间某点的几率密度
电子云： 电子云：电子在空间的几率密度分布 将ψ 及 ψ 用图形表示出来，使抽象的数学表达形象直观， 用图形表示出来，使抽象的数学表达形象直观，
px 和p y两个互切的圆的圆心分别在 x轴和y轴， 角度分布 一样。 形状完全和 pz 一样。
有关， 无关， 由于Y 仅与l , m有关，与n无关，因此 l , m 相同的角度部 l ,m 分图形是相同的， 图形是一样的。 分图形是相同的，如 2 p ,3 p , 4 p 的 Y 图形是一样的。
x x x
l = 1时， Yl ,m (θ , φ )
的图形分别为沿着三个坐标轴的哑铃型。 的图形分别为沿着三个坐标轴的哑铃型。
Y l = 2时， l ,m (θ , φ ) 的图形在空间有五个伸展方向。 的图形在空间有五个伸展方向。
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波函数和电子云的图形表示
Y (θ , φ )
2
2．电子ຫໍສະໝຸດ Baidu角度分布图
§1-6 完全图形有： 完全图形有：
波函数和电子云的图形表示
波函数图 ψ ( r , θ , φ ) 电子云图 ψ ( r ,θ , φ ) 部分图形有： 部分图形有： 径向函数图 R ( r ) 径向密度函数图 径向分布函数图
2
R (r)
2
r 2 R2 ( r ) 即 D( r )
2
波函数角度分布图 Y (θ , φ ) 电子云角度分布图 Y (θ , φ )