金融衍生工具第十章 期权定价理论答案

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6．简述无收益资产欧式看涨期权与看跌期权的平 价
关系
答案：无收益资产的欧式期权。 考虑有两种投资组合方式： 组合A：一份欧式看涨期权c加上金额为Xe-r（T-8）的现金 组合B：一份欧式看跌期权p加上标的股票ST 通过分析我们可以发现，无论ST与X大小关系如何，组合A的价值和组合
B的价值都相等c，因X此e有r下(T面t的) 公式p： S
答案：英镑看跌期权的delta值为－0.458，因为英镑现 货的Delta值为+1，故100万英镑现货头寸的Delta值为 +100万，为了抵消掉现货头寸的delta值，该公司应买
入 的看跌期权的数量为100万／0.458＝218.34。
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３．假设某股票的当前市价为22美元，且一个月后股价 可能变成24或20。无风险利率为8%，按照复利计息方 法。则执行价格为21美元、一个月的欧式期权的价值是 多少？ 答案：如果股价上升到24美元，则组合价值为24Δ-3；
头寸的delta值=合约数量×合约规模×期权Delta 值。所以可知①～④分别是：1200，-435，-925， -160。
头寸价值的变化=头寸的Delta值×股票价格变化= -160×2.50=400（欧元）
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６．某看涨期权的各项参数如下：
试用BS期权定价模型计算欧式看涨期权的价格。
答案：根据BS公式：C=SN（d2）−0X.05e1 N（d2）
S X 在看涨期权中
IV
式中，IV---内涵价值；
X
S 在看跌期权中
S---标的资产的市价；
X---协定价格。
按照有无内涵价值，期权可呈现三种状态：实值期权(in-the-money,
简称ITM )、虚值期权(out-of-the-money,简称OTM)、平价期权(at-the-
money,简称ATM)。
=9.61
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５．假设在9月中旬，投资者持有以下汉莎航空公司的股 票和期权：
为了管理你的头寸，你想知道一旦汉莎公司的股价 发生变化，你自己的头寸会随之发生多大幅度的变化。 请计算所持有头寸的Delta值（填出①-④），并说明如 果汉莎公司的股价上升2.50欧元，你的头寸的价值变 化。
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答案：汉莎公司期权的合约规模是100股。单个期 权
如果下降到20美元，则价值为20Δ。24Δ-3=20Δ， 则Δ=0.75，价值为15。15e0.080.08333 =14.9，-
f+22Δ=14.9,f=1.6(f为期权价格)。
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４．股票现价100美元，有2个连续时间步，每个时间步的 步
长为6个月，每个单步二叉树预期上涨10%或下跌10%。无 风
＝X e-rT N(－d2)－Fe-rT N(－d1)
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5.期权的Delta有哪些特征？它主要受哪些因素的影响？
答案：Delta(通常以“δ”表示)无疑是期权价格最为重要的敏感性指标，它表示期权 的标的物价格的变动对期权价格的影响程度。换句话说，δ是衡量期权对相关工具 的价格变动所面临风险程度的指标，因此非常重要。如期权之标的物的价格上升1美 元，该期权费上升0.5美元，则称该期权的Delta为0.5。对于欧式期权来说，看涨期 权和看跌期权的Delta的绝对值之和等于1。
险年利率为8%（按连续复利计）。执行价格为100美元，1 年
期的e0欧.080式.5 看涨期权的价值是多少？
答：此题中u=1.10,d=0.9, Δt=0.5,r=0.08
p=(
-0.9)/(1.10-0.9)=0.7041
e20.080.5
（0.7041×0.7041×21+2×07041×0.2959×0+0.2959×0.2959×0）
一般地说，平价看涨期权的Delta为0.5；平价看跌期权的Delta为-0.5；实值期 权的Delta，其绝对值将大于0.5而小于1；虚值期权的Delta，其绝对值将小于0.5而 大于0。在极端情况下，当期权处于极度实值时，其Delta的绝对值将趋近于1；当
期 权处于极度虚值时，其Delta的绝对值将趋近于0。换句话说，虚值程度很深的期权 的delta值很小或为0，实值程度很深的期权的delta值很大或接近于+1和-1。这是
它表明欧式看涨期来自百度文库的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌 期权的价值推导出来，反之亦然。
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三、计算题
1、已知S=$100,r=10%,X=$100,T=1年，б=25%,试求计
算看涨期权的价值？
答案：C＝14.98美元
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２．美国某公司持有100万英镑现货头寸，假设当时英镑 兑美元的汇率为1英镑＝1.6200美元，美国的无风险连续 复利年利率为10％，英国的为13％，英镑汇率的波动率 每年为15％。为防止英镑贬值，该公司打算用6个月期协 定价格为1.6000美元的英镑欧式看跌期权进行保值，请 问该公司应买入多少期权？
可知该看涨期权的价值=75×0.68−70×e0.05×1×0.75=1.06
（美元） 所以该看涨期权的价格也为1.06美元。
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S X 在看涨期权中
答案：
IV
X
S 在看跌期权中
式中，IV---内涵价值； S---标的资产的市价； X---协定价格。
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3．布莱克—斯科尔斯模型的假设条件有哪些？
答案：（1）期权的标的物为一有风险的资产，其现行价格为S。这种资产可以被自由 的买卖。
（2）期权是欧式的，其协定价格为X，期权期限为T（以年表示）。由于美式期 权 可以在到期日之前的任意交易日执行，因此其价格一般要高于同类的欧式期权。较早 地执行看涨期权会损失期权的时间价值。执行期权距离到期日越近，损失的时间价值 越小。 （3）在期权到期日之前，标的资产无任何收益（如股息、利息等）的支付，于 是，标的资产的价格的变动是连续的，且是均匀的，既无跳空上涨，也无跳空下跌。 （4）存在一个固定的无风险利率，投资者可以以此利率无限制的借入或贷出资金。 （5）不存在影响收益的任何外部因素，如税负、交易成本及保证金等。于是，标 的物持有者的收益仅来源于价格的变动。 （6）标的物的价格的波动为一已知常数。 （7）标的物价格的变动符合布朗运动。即： ds=μSdt+σSdz 其中，ds—标物价格的无穷小的变化值 dt—时间的无穷小的变化值 μ—标的资产在每一无穷小的期间内的平均收益率 σ—标的资产价格的波动性，也就是标的资产在每一无穷小的期间内的平均收益率 的标准差 dz—均值为0dt、方差为1dt的无穷小的随机变量
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4．根据布莱克—斯科尔斯模型，看跌期权是 如何定价的？
答案：p=C-S+Xe-rT =SN(d1)-Xe-rTN(d2)-S+Xe-rT =S[N(d1)-1]+Xe-rT[1-N(d2)]
=Xe-rT·N(－d2)-SN(-d1) P＝C+X e-rT-Fe-rT ＝［FN(d1)－XN(d2)］e-rT+Xe-rT-Fe-rT = FN(d1) e-rT－XN(d2)e-rT＋Xe-rT-Fe-rT ＝X e-rT［1－N(d2)］＋Fe-rT［N(d1)－1］
参考答案
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C 8.D 9.A 10.A
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1．期权的内在价值为什么不能为负值？
答案：内在价值，又称为内涵价值，是指在履行期权合约时可获得的总利润，
当总利润小于零时，内在价值为零。内在价值反映了期权合约中预先约定的
协定价格与相关基础资产市场价格之间的关系。其计算公式为：
因 为当期权的虚值程度很深时，相关标的物的价格变动对期权费的影响很小或没有影 响。这就是说，市场参与者受相关标的物市场影响不多或面临的风险不显著；当期 权的实值程度很深时，相关标的物的价格的任何变动将导致期权费差不多同等幅度 的变动，这将导致所面临的风险与持有相同额度的相关标的物一模一样。
观察delta的另一种方式是将其视为期权行将结束时其实值状态的概率衡量尺 度。Delta的值接近于+1或-1时，由于它的实值状态很深，最有可能被执行；Delta 的值接近于0或等于0时，由于它的虚值状态很深，最有可能被放弃。
我们把S＞X的看涨期权称为实值期权；把S＜X的看涨期权称为虚值期
权；把S=X的看涨期权称为平价期权。
同样，我们把X＞S时的看跌期权称为实值期权；把X＜S的看跌期权称为
虚值期权；把X=S的看跌期权称为平价期权。
实值期权的内在价值大于零，而虚值期权和平价期权的内在价值均为
零。
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2．市场价格与协定价格的关系怎样影响内在价值？