证明直线与圆相切是一类常见题目

证明直线与圆相切是一类常见题目，解决这类问题常用的方法有两种。

一、连半径，证垂直
若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直。

例1如图（1）所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交于BC于D，作DE⊥AC于E。

求证：DE为⊙O 的切线。

证明：连结OD
∵OB=OD
∴∠B=∠ODB
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠ODB=∠C
∵ DE⊥AC
∴∠C+∠CDE=90°
∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线。

例2如图（2）所示，AB是⊙O的直径，过A点作⊙O的切线，在切线上任取一点C，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC于E，求证：CD是△ADE外接圆的切线。

证明：取AE的中点F，连结FD。

∵AB为直径，
∴AD⊥BD
∵FD=FE(=FA)
∴∠FED=∠FDE
∵∠CDE=∠BDO=∠B
∠FEB+∠B=90°
∴∠FDE+∠CDE=90°
即FD⊥CD
∴CD是△ADE的外接圆的切线。

二、作垂线，证半径
若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径。

例3 如图（3）所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O 相切。

证明：过O作OE⊥L于E。

∵AC⊥L，BD⊥L，
∴AC∥OE∥BD。

又AO=OB，∴CE=CD
从而OE为梯形ACDB的中位线。

∴OE=(AC+BD)=AB
即垂足E到圆心O的距离等于半径。

故直线L与⊙O相切。